2024年4月26日发(作者：怀晖)
绘制庞加莱截面图
Poincare截面
在相空间中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不
能包含轨线）选取一截面，在此截面上某一对共轭变量如x1和x.1取固定值，称此截面为
Poincare截面，相空间的连续轨迹与Poincare截面的交点成为截点。通过观察Poincare截面
上截点的情况可以判断是否发生混沌：当Poincare截面上有且只有一个不动点或少数离散点
时，运动是周期的；当Poincare截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当Poincare截面
上是一些成片的具有分形结构的密集点时，运动便是混沌。
matlab计算程序如下:
文件一，其文件名为Poincare.m
function dx=Poincare(t,x);
% 单摆方程[不显含时间t的自治系统]
% 方程如下:
% dθ/dt=ω,
% dω/dt=-2*β*[dθ/dt]-ω^2*sin(θ)+F*cos(vt)
% dψ/dt=v
betaa=0.25;
F=1.093;
v=2/3;
P2=-2*betaa*x(2)-x(2).^2.*sin(x(1))+F*cos(v*t);
dx=[x(2)2;v];
文件二，其文件名为Poincare_section.m
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
[t,x]=ode45(@Poincare,[0,2800],[0,1.5,0]);
x(:,2)=mod(x(:,2),2*pi)-pi;
phi0=pi*2/3; % 选择phi=2*pi/3这个截面
for k=1:round(max(x(:,3))/2/pi);
d=x(:,3)-(k-1)*2*pi-phi0;
[P,K]=sort(abs(d));
x1l=x(K(1),1);
x1r=x(K(2),1);
x2l=x(K(1),2);
x2r=x(K(2),2);
x3l=x(K(1),3);
x3r=x(K(2),3);
if abs(P(1))+abs(P(2))<3e-16;
X1(k)=x1l;
X2(k)=x2l;
else
Q=polyfit([x3l,x3r],[x1l,x1r],1);
X1(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
Q=polyfit([x3l,x3r],[x2l,x2r],1);
X2(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
end
end
plot(X1,X2,'.');
xlabel('theta','fontsize',14);
ylabel('dtheta/dt','fontsize',14);
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
betaa=0.25;
F=1.093;
v=2/3;
Poin=inline(['[x(2);',...
'-2*betaa*x(2)-x(2).^2.*sin(x(1))+F*cos(v*t);',...
'v]'],...
't','x','flag','betaa','F','v');
这个文件也可以实现
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
[t,x]=ode45(Poin,[0,2800],[0,1.5,0],[],betaa,F,v);
x(:,2)=mod(x(:,2),2*pi)-pi;
phi0=pi*2/3; % 选择phi=2*pi/3这个截面
for k=1:round(max(x(:,3))/2/pi);
d=x(:,3)-(k-1)*2*pi-phi0;
[P,K]=sort(abs(d));
x1l=x(K(1),1);
x1r=x(K(2),1);
x2l=x(K(1),2);
x2r=x(K(2),2);
x3l=x(K(1),3);
x3r=x(K(2),3);
if abs(P(1))+abs(P(2))<3e-16;
X1(k)=x1l;
X2(k)=x2l;
else
Q=polyfit([x3l,x3r],[x1l,x1r],1);
X1(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
Q=polyfit([x3l,x3r],[x2l,x2r],1);
X2(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
end
end
plot(X1,X2,'.');
xlabel('theta','fontsize',14);
ylabel('dtheta/dt','fontsize',14);
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2024年4月26日发(作者：怀晖)
绘制庞加莱截面图
Poincare截面
在相空间中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不
能包含轨线）选取一截面，在此截面上某一对共轭变量如x1和x.1取固定值，称此截面为
Poincare截面，相空间的连续轨迹与Poincare截面的交点成为截点。通过观察Poincare截面
上截点的情况可以判断是否发生混沌：当Poincare截面上有且只有一个不动点或少数离散点
时，运动是周期的；当Poincare截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当Poincare截面
上是一些成片的具有分形结构的密集点时，运动便是混沌。
matlab计算程序如下:
文件一，其文件名为Poincare.m
function dx=Poincare(t,x);
% 单摆方程[不显含时间t的自治系统]
% 方程如下:
% dθ/dt=ω,
% dω/dt=-2*β*[dθ/dt]-ω^2*sin(θ)+F*cos(vt)
% dψ/dt=v
betaa=0.25;
F=1.093;
v=2/3;
P2=-2*betaa*x(2)-x(2).^2.*sin(x(1))+F*cos(v*t);
dx=[x(2)2;v];
文件二，其文件名为Poincare_section.m
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
[t,x]=ode45(@Poincare,[0,2800],[0,1.5,0]);
x(:,2)=mod(x(:,2),2*pi)-pi;
phi0=pi*2/3; % 选择phi=2*pi/3这个截面
for k=1:round(max(x(:,3))/2/pi);
d=x(:,3)-(k-1)*2*pi-phi0;
[P,K]=sort(abs(d));
x1l=x(K(1),1);
x1r=x(K(2),1);
x2l=x(K(1),2);
x2r=x(K(2),2);
x3l=x(K(1),3);
x3r=x(K(2),3);
if abs(P(1))+abs(P(2))<3e-16;
X1(k)=x1l;
X2(k)=x2l;
else
Q=polyfit([x3l,x3r],[x1l,x1r],1);
X1(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
Q=polyfit([x3l,x3r],[x2l,x2r],1);
X2(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
end
end
plot(X1,X2,'.');
xlabel('theta','fontsize',14);
ylabel('dtheta/dt','fontsize',14);
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
betaa=0.25;
F=1.093;
v=2/3;
Poin=inline(['[x(2);',...
'-2*betaa*x(2)-x(2).^2.*sin(x(1))+F*cos(v*t);',...
'v]'],...
't','x','flag','betaa','F','v');
这个文件也可以实现
% Poincare_section[绘制庞加莱截面图]
[t,x]=ode45(Poin,[0,2800],[0,1.5,0],[],betaa,F,v);
x(:,2)=mod(x(:,2),2*pi)-pi;
phi0=pi*2/3; % 选择phi=2*pi/3这个截面
for k=1:round(max(x(:,3))/2/pi);
d=x(:,3)-(k-1)*2*pi-phi0;
[P,K]=sort(abs(d));
x1l=x(K(1),1);
x1r=x(K(2),1);
x2l=x(K(1),2);
x2r=x(K(2),2);
x3l=x(K(1),3);
x3r=x(K(2),3);
if abs(P(1))+abs(P(2))<3e-16;
X1(k)=x1l;
X2(k)=x2l;
else
Q=polyfit([x3l,x3r],[x1l,x1r],1);
X1(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
Q=polyfit([x3l,x3r],[x2l,x2r],1);
X2(k)=polyval(Q,(k-1)*2*pi-phi0);
end
end
plot(X1,X2,'.');
xlabel('theta','fontsize',14);
ylabel('dtheta/dt','fontsize',14);
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