2024年4月26日发(作者：析妙芙)
求解乘法逆元的简单方法总结
乘法逆元在数论和密码学中起着重要的作用。乘法逆元是指对于给定
的正整数a和模数m，找到一个整数b，使得(a*b)%m=1、换句话说，b是
a的“倒数”，使得a与b的乘积除以m的余数为1、在本文中，我将总
结求解乘法逆元的简单方法。
在开始讨论求解乘法逆元的方法之前，需要强调以下两个重要的前提
条件：
1.a和m必须是互质的，即它们没有除了1之外的公因数。这是因为
如果a和m不互质，那么它们的最大公因数大于1，乘积a*b将不可能被
m整除余1
2.m必须是一个质数（素数）。如果m不是质数，那么可能存在a的
多个乘法逆元。在这种情况下，我们需要选择一个特定的乘法逆元。
有几种方法可以求解乘法逆元，下面将会逐一介绍。
1.暴力法：
暴力法是一种最简单但是效率较低的方法。由于我们要找到满足
(a*b)%m=1的整数b，可以使用一个循环来逐个检查b的值。代码示例如
下：
```python
def find_inverse(a, m):
for b in range(1, m):
if (a * b) % m == 1:
return b
return None
```
这种方法的时间复杂度为O(m)，当m较大时，效率极低。
2.扩展欧几里得算法：
扩展欧几里得算法是一种高效的求解乘法逆元的方法。该算法同时求
解了最大公因数和乘法逆元。使用这个算法，我们可以在O(log(m))的时
间复杂度内找到乘法逆元。下面是使用扩展欧几里得算法求解乘法逆元的
代码示例：
```python
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
x=y1
y=x1-(a//b)*y1
return gcd, x, y
def find_inverse(a, m):
gcd, x, y = extended_gcd(a, m)
if gcd != 1:
return None
return x % m
```
扩展欧几里得算法通过递归的方式计算最大公因数和乘法逆元。该算
法的时间复杂度为O(log(m))。
3.快速幂算法：
快速幂算法是一种通过降低乘法运算次数的方法来计算乘法逆元的算
法。该算法使用的基本原理是：如果我们要计算a的n次幂mod m的结果，
可以先计算a的n/2次幂mod m的结果，然后将这个结果平方，再用mod
m进行取余。如果n是奇数，则还需要额外乘以a再进行mod m的操作。
下面是使用快速幂算法求解乘法逆元的代码示例：
```python
def fast_power(base, exp, mod):
result = 1
while exp > 0:
if exp % 2 == 1:
result = (result * base) % mod
base = (base * base) % mod
exp = exp // 2
return result
def find_inverse(a, m):
return fast_power(a, m-2, m)
```
该算法的时间复杂度为O(log(m))。
4. Fermat小定理：
Fermat小定理是一种特殊情况下求解乘法逆元的方法。它适用于模
数m为质数的情况下，即m是一个素数。根据Fermat小定理，对于任意
整数a和素数m，a^(m-1) % m = 1、因此，a的乘法逆元等于a^(m-2)，
我们可以使用快速幂算法来计算乘法逆元。下面是使用Fermat小定理求
解乘法逆元的代码示例：
```python
def find_inverse(a, m):
return fast_power(a, m-2, m)
```
使用Fermat小定理解决乘法逆元的方法具有较高的效率和广泛的应
用范围。
除了上述的求解乘法逆元的方法外，还有其他一些高级的算法和技巧
可以进一步优化求解乘法逆元的效率，如Montgomery乘法逆元算法和中
国剩余定理等。这里我们不再展开讨论，以上的方法已经足够满足绝大多
数情况下的求解需求。
总结起来，我们可以使用暴力法、扩展欧几里得算法、快速幂算法和
Fermat小定理等方法来求解乘法逆元。这些方法的时间复杂度各自不同，
其中扩展欧几里得和快速幂算法等效率较高，同时也符合算法设计中的
“高效性”原则。具体选择哪种方法取决于具体的求解情况和实际需求。
2024年4月26日发(作者：析妙芙)
求解乘法逆元的简单方法总结
乘法逆元在数论和密码学中起着重要的作用。乘法逆元是指对于给定
的正整数a和模数m，找到一个整数b，使得(a*b)%m=1、换句话说，b是
a的“倒数”，使得a与b的乘积除以m的余数为1、在本文中，我将总
结求解乘法逆元的简单方法。
在开始讨论求解乘法逆元的方法之前，需要强调以下两个重要的前提
条件：
1.a和m必须是互质的，即它们没有除了1之外的公因数。这是因为
如果a和m不互质，那么它们的最大公因数大于1，乘积a*b将不可能被
m整除余1
2.m必须是一个质数（素数）。如果m不是质数，那么可能存在a的
多个乘法逆元。在这种情况下，我们需要选择一个特定的乘法逆元。
有几种方法可以求解乘法逆元，下面将会逐一介绍。
1.暴力法：
暴力法是一种最简单但是效率较低的方法。由于我们要找到满足
(a*b)%m=1的整数b，可以使用一个循环来逐个检查b的值。代码示例如
下：
```python
def find_inverse(a, m):
for b in range(1, m):
if (a * b) % m == 1:
return b
return None
```
这种方法的时间复杂度为O(m)，当m较大时，效率极低。
2.扩展欧几里得算法：
扩展欧几里得算法是一种高效的求解乘法逆元的方法。该算法同时求
解了最大公因数和乘法逆元。使用这个算法，我们可以在O(log(m))的时
间复杂度内找到乘法逆元。下面是使用扩展欧几里得算法求解乘法逆元的
代码示例：
```python
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
x=y1
y=x1-(a//b)*y1
return gcd, x, y
def find_inverse(a, m):
gcd, x, y = extended_gcd(a, m)
if gcd != 1:
return None
return x % m
```
扩展欧几里得算法通过递归的方式计算最大公因数和乘法逆元。该算
法的时间复杂度为O(log(m))。
3.快速幂算法：
快速幂算法是一种通过降低乘法运算次数的方法来计算乘法逆元的算
法。该算法使用的基本原理是：如果我们要计算a的n次幂mod m的结果，
可以先计算a的n/2次幂mod m的结果，然后将这个结果平方，再用mod
m进行取余。如果n是奇数，则还需要额外乘以a再进行mod m的操作。
下面是使用快速幂算法求解乘法逆元的代码示例：
```python
def fast_power(base, exp, mod):
result = 1
while exp > 0:
if exp % 2 == 1:
result = (result * base) % mod
base = (base * base) % mod
exp = exp // 2
return result
def find_inverse(a, m):
return fast_power(a, m-2, m)
```
该算法的时间复杂度为O(log(m))。
4. Fermat小定理：
Fermat小定理是一种特殊情况下求解乘法逆元的方法。它适用于模
数m为质数的情况下，即m是一个素数。根据Fermat小定理，对于任意
整数a和素数m，a^(m-1) % m = 1、因此，a的乘法逆元等于a^(m-2)，
我们可以使用快速幂算法来计算乘法逆元。下面是使用Fermat小定理求
解乘法逆元的代码示例：
```python
def find_inverse(a, m):
return fast_power(a, m-2, m)
```
使用Fermat小定理解决乘法逆元的方法具有较高的效率和广泛的应
用范围。
除了上述的求解乘法逆元的方法外，还有其他一些高级的算法和技巧
可以进一步优化求解乘法逆元的效率，如Montgomery乘法逆元算法和中
国剩余定理等。这里我们不再展开讨论，以上的方法已经足够满足绝大多
数情况下的求解需求。
总结起来，我们可以使用暴力法、扩展欧几里得算法、快速幂算法和
Fermat小定理等方法来求解乘法逆元。这些方法的时间复杂度各自不同，
其中扩展欧几里得和快速幂算法等效率较高，同时也符合算法设计中的
“高效性”原则。具体选择哪种方法取决于具体的求解情况和实际需求。