2024年4月27日发(作者：南门淑哲)
第2讲 二项式定理
A组基础巩固
一、单选题
2
x
－
1
6
1．(2024·山西师大附中月考)二项式
展开式的常数项为( B )
x
A．－160
C．120
B．60
D．240
1
k
2
x
－
1
6
k
6－
k
k
6－
k
－
[解析]
展开式的通项为：
T
k
＋1
＝C
6
(2
x
)
＝C
6
·2·(－
x
x
1)·
k
3
424
，令6－
k
＝0得
k
＝4，所以展开式的常数项为C
6
×2×(－1)＝60，故选B.
2
x
－
2
85
2．(2024·江苏镇江一中学情检测)
的展开式中含
x
项的系数是( B )
x
A．－112
C．－28
B．112
D．28
r
8－
r
－
2
r
[解析] 由题意可得，其通项公式为
T
r
＋1
＝C
8
x
＝
x
r
∈N，令8－
r
＝5，可得
r
＝2，所以含
x
5
项的系数是(－2)
2
C
2
8
＝112.故选B.
3
2
，0≤
r
≤8，
2
x
－
1
n
*
3．(2023·河南新乡联考)若二项式
(
n
∈N)的展开式中只有第5项的二项式
x
系数最大，则展开式中
x
项的系数为( D )
A．－1 120
C．1 792
B．－1 792
D．1 120
r
8
2
[解析] 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以
n
＝8.通项为
T
r
＋1
＝C
8
(2
x
)
－
r
－
1
r
＝
x
4
3
2
，令8－
r
＝2，得
r
＝4，所以展开式中
x
项的系数为
2
C
8
2(－1)＝1 120.故选D.
4．(2024·山东新高考质检联盟联考)设(1＋
x
)＋(1＋
x
)＋…＋(1＋
x
)＋(1＋
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋…＋
a
7
x
＋
a
8
x
，则
a
2
＝( A )
A．84
C．36
222
78
278
44
B．56
D．28
32232232
[解析] 依题意，
a
2
＝C
2
＋C
3
＋…＋C
8
＝C
3
＋C
3
＋…＋C
8
＝C
4
＋C
4
＋…＋C
8
＝…＝C
8
＋C
8
＝
C
9
＝84，故选A.
5．(2024·湖北武汉九所重点中学联考)多项式(
ax
＋1)的
x
项系数比
x
项系数多35，
623
3
则其各项系数之和为( D )
A．1
C．64
23
B．243
D．0
423323
[解析] ∵
x
项系数比
x
项系数多35，∴C
6
a
－C
6
a
＝35，即3
a
－4
a
＝7，解得：
a
＝
－1.∴(－
x
＋1)＝C
6
x
－C
6
x
＋C
6
x
－C
6
x
＋C
6
x
－C
6
x
＋C
6
，令
x
＝1可得各项系数之和为C
6
－
C
6
＋C
6
－C
6
＋C
6
－C
6
＋C
6
＝0.故选D.
6．(2023·河北示范性高中调研)关于二项式(1＋
ax
＋
x
)(1－
x
)，若展开式中含
x
的
项的系数为21，则
a
＝( C )
A．3
C．1
8
282
123456
660
B．2
D．－1
rrr
2221
[解析] (1－
x
)的展开式的通项为
T
r
＋1
＝(－1)C
8
x
，
x
的系数为1×C
8
×(－1)＋
a
×C
8
×(－1)＋1×C
8
＝21，解得
a
＝1，故选项C正确．
7．(2022·北京高考)若(2
x
－1)＝
a
4
x
＋
a
3
x
＋
a
2
x
＋
a
1
x
＋
a
0
，则
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＝( B )
A．40
C．－40
B．41
D．－41
4
4432
0
[解析] 令
x
＝1，则
a
4
＋
a
3
＋
a
2
＋
a
1
＋
a
0
＝1，令
x
＝－1，则
a
4
－
a
3
＋
a
2
－
a
1
＋
a
0
＝(－3)
1＋81
＝81，故
a
4
＋
a
2
＋
a
0
＝＝41，故选B.
2
8．(2024·安徽屯溪一中模拟)已知
f
(
x
)＝(2－
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋…＋
a
8
x
，则下列
描述正确的是( B )
A．
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1
B．
f
(－1)除以5所得的余数是1
C．|
a
1
|＋|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋|
a
8
|＝3
D．2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8
[解析] 令
x
＝1得：
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1；令
x
＝0，得
a
0
＝2，
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1
－2，因此A错误；
f
(－1)＝3＝9＝(10－1)＝10－C
4
10＋C
4
10－C
4
10＋1＝10×(10－C
4
10＋C
4
10－C
4
)＋1，因此B正确；因为(2－
x
)二项展开式的通项公式为
T
r
＋1
＝C
8
2
＝(－1)C
8
2
rr
8－
rr
22138
884441322331
8
8
828
r
8－
r
(－
x
)
r
x
，由通项公式知，(2－
x
)
8
二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|
a
1
|＋
828
|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋|
a
8
|＝－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…＋
a
8
，由(2－
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋…＋
a
8
x
，令
x
＝
0，得到
a
0
＝2，令
x
＝－1，得到
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…＋
a
8
＝3，所以|
a
1
|＋|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋
|
a
8
|＝3－2，因此C错误；对原表达式的两边同时对
x
求导，得到－8×(2－
x
)＝
a
1
＋2
a
2
x
＋3
a
3
x
＋…＋8
a
8
x
，令
x
＝1，得到
a
1
＋2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8，令
x
＝0，得
a
1
＝－
8×2，所以，2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8＋8×2＝8(2－1)，所以选项D错误．故选B.
9．(2023·广东广州阶段测试)(1＋
x
)＋(1＋
x
)＋…＋(1＋
x
)的展开式中
x
的系数是
2392
777
27
887
88
2024年4月27日发(作者：南门淑哲)
第2讲 二项式定理
A组基础巩固
一、单选题
2
x
－
1
6
1．(2024·山西师大附中月考)二项式
展开式的常数项为( B )
x
A．－160
C．120
B．60
D．240
1
k
2
x
－
1
6
k
6－
k
k
6－
k
－
[解析]
展开式的通项为：
T
k
＋1
＝C
6
(2
x
)
＝C
6
·2·(－
x
x
1)·
k
3
424
，令6－
k
＝0得
k
＝4，所以展开式的常数项为C
6
×2×(－1)＝60，故选B.
2
x
－
2
85
2．(2024·江苏镇江一中学情检测)
的展开式中含
x
项的系数是( B )
x
A．－112
C．－28
B．112
D．28
r
8－
r
－
2
r
[解析] 由题意可得，其通项公式为
T
r
＋1
＝C
8
x
＝
x
r
∈N，令8－
r
＝5，可得
r
＝2，所以含
x
5
项的系数是(－2)
2
C
2
8
＝112.故选B.
3
2
，0≤
r
≤8，
2
x
－
1
n
*
3．(2023·河南新乡联考)若二项式
(
n
∈N)的展开式中只有第5项的二项式
x
系数最大，则展开式中
x
项的系数为( D )
A．－1 120
C．1 792
B．－1 792
D．1 120
r
8
2
[解析] 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以
n
＝8.通项为
T
r
＋1
＝C
8
(2
x
)
－
r
－
1
r
＝
x
4
3
2
，令8－
r
＝2，得
r
＝4，所以展开式中
x
项的系数为
2
C
8
2(－1)＝1 120.故选D.
4．(2024·山东新高考质检联盟联考)设(1＋
x
)＋(1＋
x
)＋…＋(1＋
x
)＋(1＋
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋…＋
a
7
x
＋
a
8
x
，则
a
2
＝( A )
A．84
C．36
222
78
278
44
B．56
D．28
32232232
[解析] 依题意，
a
2
＝C
2
＋C
3
＋…＋C
8
＝C
3
＋C
3
＋…＋C
8
＝C
4
＋C
4
＋…＋C
8
＝…＝C
8
＋C
8
＝
C
9
＝84，故选A.
5．(2024·湖北武汉九所重点中学联考)多项式(
ax
＋1)的
x
项系数比
x
项系数多35，
623
3
则其各项系数之和为( D )
A．1
C．64
23
B．243
D．0
423323
[解析] ∵
x
项系数比
x
项系数多35，∴C
6
a
－C
6
a
＝35，即3
a
－4
a
＝7，解得：
a
＝
－1.∴(－
x
＋1)＝C
6
x
－C
6
x
＋C
6
x
－C
6
x
＋C
6
x
－C
6
x
＋C
6
，令
x
＝1可得各项系数之和为C
6
－
C
6
＋C
6
－C
6
＋C
6
－C
6
＋C
6
＝0.故选D.
6．(2023·河北示范性高中调研)关于二项式(1＋
ax
＋
x
)(1－
x
)，若展开式中含
x
的
项的系数为21，则
a
＝( C )
A．3
C．1
8
282
123456
660
B．2
D．－1
rrr
2221
[解析] (1－
x
)的展开式的通项为
T
r
＋1
＝(－1)C
8
x
，
x
的系数为1×C
8
×(－1)＋
a
×C
8
×(－1)＋1×C
8
＝21，解得
a
＝1，故选项C正确．
7．(2022·北京高考)若(2
x
－1)＝
a
4
x
＋
a
3
x
＋
a
2
x
＋
a
1
x
＋
a
0
，则
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＝( B )
A．40
C．－40
B．41
D．－41
4
4432
0
[解析] 令
x
＝1，则
a
4
＋
a
3
＋
a
2
＋
a
1
＋
a
0
＝1，令
x
＝－1，则
a
4
－
a
3
＋
a
2
－
a
1
＋
a
0
＝(－3)
1＋81
＝81，故
a
4
＋
a
2
＋
a
0
＝＝41，故选B.
2
8．(2024·安徽屯溪一中模拟)已知
f
(
x
)＝(2－
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋…＋
a
8
x
，则下列
描述正确的是( B )
A．
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1
B．
f
(－1)除以5所得的余数是1
C．|
a
1
|＋|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋|
a
8
|＝3
D．2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8
[解析] 令
x
＝1得：
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1；令
x
＝0，得
a
0
＝2，
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝1
－2，因此A错误；
f
(－1)＝3＝9＝(10－1)＝10－C
4
10＋C
4
10－C
4
10＋1＝10×(10－C
4
10＋C
4
10－C
4
)＋1，因此B正确；因为(2－
x
)二项展开式的通项公式为
T
r
＋1
＝C
8
2
＝(－1)C
8
2
rr
8－
rr
22138
884441322331
8
8
828
r
8－
r
(－
x
)
r
x
，由通项公式知，(2－
x
)
8
二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|
a
1
|＋
828
|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋|
a
8
|＝－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…＋
a
8
，由(2－
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋…＋
a
8
x
，令
x
＝
0，得到
a
0
＝2，令
x
＝－1，得到
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋…＋
a
8
＝3，所以|
a
1
|＋|
a
2
|＋|
a
3
|＋…＋
|
a
8
|＝3－2，因此C错误；对原表达式的两边同时对
x
求导，得到－8×(2－
x
)＝
a
1
＋2
a
2
x
＋3
a
3
x
＋…＋8
a
8
x
，令
x
＝1，得到
a
1
＋2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8，令
x
＝0，得
a
1
＝－
8×2，所以，2
a
2
＋3
a
3
＋…＋8
a
8
＝－8＋8×2＝8(2－1)，所以选项D错误．故选B.
9．(2023·广东广州阶段测试)(1＋
x
)＋(1＋
x
)＋…＋(1＋
x
)的展开式中
x
的系数是
2392
777
27
887
88