2024年4月27日发(作者：刚依楠)

2023-2024学年广东省广州市高二下册第一次月考数学试题

一、单选题

，则该质点在

t3

时的瞬

1

．一质点的运动方程为

S2t

2

3

（位移单位：

m

，时间单位：

s

）

时速度为（

A

．

4

【正确答案】

B

【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算

.

【详解】由题意，该质点在

t3

时的瞬时速度为

）

B

．

12C

．

15D

．

21

2





3



t





3





2



3

2



3



S



3



t





S



3





S

lim



lim



lim



lim



12



2



t





12

.



t



0



t



t



0



t



0



t



0



t



t

2

故选：

B







2．已知定义域为R的函数

f



x



sinxxf





0



（

f





x



为

f



x



的导函数），则

f







（



2



）

A．

1





4

B．0C．



1

2

D．1

【正确答案】

C

【分析】先求出

f





0





1

1







，即可得到

f





x





cos

x

，直接求出

f





.

2

2



2



【详解】因为

f



x



sinxxf





0



，所以

f





x



cosxf





0



，所以

f





0



cos0f





0



，

解得：

f





0





故选：

C

3．在

(x1)(x1)

6

的展开式中，

x

3

的系数为（

A

．

5

【正确答案】

A

【分析】由

(x1)(x1)

6

x(x1)

6

(x1)

6

，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定

理求展开式中

x

3

的系数

.

【详解】

(x1)(x1)

6

x(x1)

6

(x1)

6

，

42

4

x



1



，其系数为

C

6

x(x1)

6

的展开式中含

x

3

的项为

C

6



1



15

，

4



11

1

1







，所以

f





x





cos

x

，所以

f







cos



.

222

2

2



2



）

D

．

20B

．

5C

．

20

4

3

3

(x1)

6

的展开式中含

x

3

的项为

C

3

6

x



1



，其系数为

C

6



1



20

，

3

3

(x1)(x1)

6

的展开式中，

x

3

的系数为

15205

.

故选：

A.

4．已知函数

f

(

x

)



x

e



x



a

在

[1,0]

上的最大值为1，则函数

f(x)

的图像在

(0,f(0))

处的切

线方程为（

A

．

yx1

【正确答案】

A

【分析】先对

f(x)

进行求导确定单调性，结合最大值求出参数的值，再利用在点处的切线方

程求出答案

.

【详解】由题意，

f



(

x

)(1

x

)e



x

，当

x[1,0]

时，

f



(x)0

，所以

f(x)

在

[1,0]

上单调递

增，所以

f(x)

在

[1,0]

上的最大值为

f(0)a1

，又

f



(0)1

，所以

f(x)

的图像在

(0,f(0))

处的切线

）

B

．

y3x2

C

．

y2x1

D

．

yx2

方程为

yx1

.

故选：

A.

5

．从

0

，

1

，

2

，

3

，

4

，

5

这六个数字中选

3

个数字，可以组成多少个无重复数字的三位偶数

（）

B

．

48C

．

52D

．

72A

．

36

【正确答案】

C

【分析】由于

0

不能在首位数字，则分

2

种情况讨论：①若

0

在个位，此时

0

一定不在首位，

由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②若

0

不在个位，此时

0

可能在首位，由分步计数

原理可得此情况下三位偶数的数目，综合

2

种情况，由分类计数原理计算可得答案

.

【详解】根据题意，分

2

种情况讨论：

①若

0

在个位，此时只须在

1

，

2

，

3

，

4

，

5

中任取

2

个数字，作为十位和百位数字即可，

2

有

A

5

20

个没有重复数字的三位偶数；

②若

0

不在个位，此时必须在

2

或

4

中任取

1

个，作为个位数字，有

2

种取法，

0

不能作为百位数字，则百位数字有

4

种取法，十位数字也有

4

种取法，

此时共有

24432

个没有重复数字的三位偶数

.

综合可得，共有

20+32=52

个没有重复数字的三位偶数

.

故选：

C.

6．若函数

f



x







1



A．



0,





4



1

2

xxa

ln

x

有两个不同的极值点，则实数

a

的取值范围为（

2



1



B．



0,





2



1



C．





,



4



1



D．





,



4



）

【正确答案】

A

【分析】根据导函数有

2

个不同的零点，且两个零点均大于零可求解

.

【详解】函数的定义域为

(0,)

，

因为函数

f



x





1

2

xxa

ln

x

有两个不同的极值点，

2

ax

2



x



a

所以

f





x





x



1



0

有两个不同正根，

xx

即

x

2

xa0

有两个不同正根，



Δ



1



4

a



0

1



所以



x

1



x

2



1



0

解得

0



a



，

4



xx



a



0



12

故答案为

:A.

122331010

7．

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

除以88的余数是（）

D

．

87A

．

2

【正确答案】

B

B

．

1C

．

86

1223910

根据二项式定理，将原式化为

188



C

10

88C

10

88C

10

88C

10



，即可得出结果.

10

【详解】因为

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

(190)(188)

12310

188C

10

88

2

C

10

88

3

C

10

88

10

C

10

12310

188C

10

88C

10

88

2

C

10

88

9

C

10

，



122331010

所以

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

除以88的余数是1.

故选：

B.

关键点点睛：

求解本题的关键在于将所给式子看作二项展开式的形式，利用二项式定理，将原式化为

(188)

10

，再由二项展开式，即可求解出结果.





x

1



e

x

,

x

0



8．已知函数

f



x







ln

x

，若函数

g



x



f



x



a

的零点有两个或三个，则实数a

,

x



0





x

的取值范围为（）



11



A．





2

,





ee



【正确答案】

B



11



B．





2

,





ee





1



C．



0,





e





1



D．





2

,0





e



【分析】将问题转化为直线

ya

与函数

yf



x



的图象有

2

个或

3

个交点的问题，利用导数

分析函数

yf



x



的单调性与极值，画出函数

yf



x



图象，数形结合即可得出实数

a

的取

值范围

.

x

x

【详解】

x0

时，

f



x







x

1



e

，则

f





x







x2



e

，

当

x



2,0



时，

f

¢

(

x

)

>

0

，函数

yf



x



递增；

当

x







,2



时，

f





x



0

，函数

yf



x



递减，且此时

f(x)0

.

x0

时，

f



x





lnx

1



lnx

，

f





x





，令

f





x



0

，可得

xe

.

2

x

x

当

x



0,e



时，

f

¢

(

x

)

>

0

，函数

yf



x



递增；

当

x



e,





时，

f





x



0

，函数

yf



x



递减，且此时

f



x



0

；

所以

f



x



极小值



f





2





11

fx



fe





，，

f



0



1

，



极大值

e

2

e

在

x0

且

x0

时，

f



x





，

函数

yf



x



的示意图如图所示，

所以当它与

ya

有

2

个或

3

个交点时，



故选：

B.

11



a



.

e

2

e

二、多选题

9．已知函数

f



x





lnx

，下列说法正确的是（

x

）

A．

f



x



在

x1

处的切线方程为

yx1

C．

f



x



的极大值为

【正确答案】

AC

【分析】先求得

f





x





B．单调递增区间为



,e



D．方程

f



x



2

有两个不同的解

1

e

1



lnx

（

x0

），然后分别求得曲线

f



x



在

x1

处的切线方程、函

x

2

数

f



x



的单调区间和极值，方程

f



x



2

即

lnx2x

解的个数问题可转化为函数

ylnx

与函数

y2x

的图象交点个数问题，据此可以作出判断

.

【详解】

f





x





1



lnx

（

x0

），

x

2

因为

f





1



1

，

f



1



0

，所以

f



x



在

x1

处的切线方程为

yx1

，故A正确；

令

f





x





1



ln

x



0

，即

1lnx0

，解之得

xe

，又因为

x0

，

x

2

所以

f



x



的单调递增区间为



0,e



，故B错误；

再令

f





x





1



ln

x



0

，即

1lnx0

，解之得

xe

，所以

f



x



的单调递减区间为



e,



，

x

2

1

，故C正确；

e

所以

f



x



在

xe

处取得极大值，极大值为

f(e)



方程

f



x



2

即

ln

x



2

，也即

lnx2x

，函数

ylnx

与函数

y2x

的图象只有一个交

x

点，所以方程

f



x



2

有一个解，故D错误.

故选：

AC.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数与方程的关系，

考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题

.

10．已知



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，则（

8

8

A．

a

0

2

）

B．

a

1

a

2

a

8

1

8

C．

a

1

a

2

a

3

a

8

3

D．

a

1

2a

2

3a

3

8a

8

8

【正确答案】

AD

【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案

.

【详解】由



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，

8

令

x0

得

a

0

2

，A选项正确.

8

8

令

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

8

1,a

1

a

2

a

8

12

，B选项错误.

rr



2

8



r







x









1





2

8



r



C

8



x

r

，二项式



2x



展开式的通项公式为

C

8

8

rr

由此可知

a

1

,a

3

,a

5

,a

7

是负数，

a

2

,a

4

,a

6

,a

8

为正数，

8

所以令

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

3

，

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

3

8

2

8

，

88

即

a

1

a

2

a

3

a

8

32

，C选项错误

8

由



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，

两边求导得

8



2x



a

1

2a

2

x3a

3

x

2

8a

8

x

7

，

令

x1

得

a

1

2a

2

3a

3

8a

8

8

，所以D选项正确.

故选：

AD

，则（

11

．已知

1abe

（

e

为自然对数的底数）

A．

a

b

b

a

【正确答案】

AD

【分析】利用指数函数的单调性，可比较

a

b

,

a

a

大小，然后将

a

b

，

b

a

，

e

e

变形并构造函数

f



x





ab

lnx

，利用导数判断其单调性，进而比较出

a

b

，

b

a

，

e

e

的大小关系，由此可判断A，

x

ab

7

）

ab

B．

b

a



e

e

ab

C．

a

a



e

e

D．

a

b



e

e

ab

B

，

C

，

D.

【详解】因为

1abe

，所以

a

b

a

a

a

0



1

，

b

a

b

0



1

，

0



log

b

a

log

b

b

1

．

ln

a

b

b

ln

a

ln

a

ln

b

a

a

ln

b

ln

b

对

a

，

则，，





b

，

e

这三个数先取自然对数再除以

ab

，

ababb

ababa

b

a

ab

e

lne1lne

,



ab

ee

设

f



x





lnx

1



lnx

，则

f





x





，由

f

¢

(

x

)

>

0

，解得

0xe

，

2

x

x

ab

e

所以

f



x



在



0,e



上单调递增，故

f



a



f



b



f



e



，

即

abab

ln

a

ln

b

lne



，则

a

b

b

a



e

e

，故

a

a

a

b

b

a



e

e

，

ab

e

故选：

AD

．

x

12．已知函数

f



x





e

，

g



x





ln

x

1



下列说法正确的是（

22

）

g



x



的图像分别交于A，

A．存在直线

ym

与

f



x



，B两点，使得

f



x



在A处的切线与

g



x



在

B

处的切线平行

1

1

B．若

x1

，

f



ax



axxg



2

x





恒成立，则正实数a的最小值为

e

2

C．若

f



x



，

g



x



图像与直线

ym

分别交于A，B两点，则

AB

的最小值为

2ln2

D．对于

mR

，

h



x



f



x



g



x



m

都存在零点

【正确答案】

ABC

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线平行可求出

m,

判断

A

，利用同构转

化为

axlnx

，分离参数后求

t



x





AB



2e

m



1

2

lnx

最值即可得解,判断B，曲线上两点间距离

x

x

1

x

hx

e



ln

m

的

，构造函数求最小值可判断C，利用导数判断函数





ln

m

22

单调性得出极值，根据极值的正负可判断

D.



m



1



x

【详解】对于A，假设存在

ym

满足题意，可

A



lnm,m



，

B



2e

2

,

m



，

f





x





e

，



1

m





1

1

g





x





f





ln

m





e

ln

m



m

，

g





2e

2





m



1

，因为在

f



x



在A处与

g



x



在B处的切

x



2e

2

线平行所以有

m



1

2e

m



1

2

1

1

，即

2

m

e

m



2



1

，得

m

，故存在m符合题意，故A正确;

2

x

对于B，不等式化为

e

ax

axx

ln

x

e

ln

x



ln

x

，令

ye

x

x

，则

y



e1

，所以

ye

x

x

在



0,





上递增，

axlnx

，故同构可得：即

a



lnx

1



lnx

lnx

的最大值，令

t



x





，则

t





x





，

x

x

2

x

1

1

所以

x



0,e



时

t





x



0

，当

x



e,



时

t



x



0

，所以

t



x



max

t



e





，所以

a

成立，

e

e

故

B

正确

;

11



m



1



m



x



对于C，可知

A



lnm,m



，

B



2e

2

,

m



，

AB



2e

2



ln

m

，令





x





2e

2



ln

x





1





1



1

在



0,





上递增，且









0

，当

x





0,



，







x



0

，



2



x



2





1





1



当

x





,





，







x



0

，所以





x



min









2



ln2

，故C正确;



2





2









x





2e

x



1

2



x

对于D，因为

h



x





e



ln

x

得

e

0



x

11

1

m

，所以

h





x





e

x



，令

h





x





e

x



0

，存在

x

0

使

x

22

x

1

，故

h



x



在



0,x

0



单调递减，在区间



x

0

,



单调递增，

h



x



的最小值为

x

0

x

0

1

x

1

m

，当

m

ln

0



e

x

0

时，

h



x



不存在零点，故D错误.

2222

h



x

0





e

x

0



ln

故选：

ABC

三、填空题

13．函数

yxe

x

的减区间是___．

【正确答案】



0,





（或

[0,)

）

【分析】求解导函数，并求出

y



0

与

y



0

的解集，从而得函数的单调区间

.

【详解】由题意，函数的定义域为

R

，

y





1

e

x



0

，得

x0

，当

y



1e

x

0

时，

x0

；

当

y





1

e

x



0

时，

x0

，所以函数的单调递增区间为







,0



，单调递减区间为



0,





.

故答案为.



0,





（或

[0,)

）

14

．已知直线

yax1

与曲线

yalnx2

相切，则

a

___________.

【正确答案】

3

a





a



x

0





【分析】设切点为



x

0

,y

0



，则



y

0



ax

0



1

，即求.



y



alnx



2

0



0





【详解】对

yalnx2

求导，得

y





a

，

x

2024年4月27日发(作者：刚依楠)

2023-2024学年广东省广州市高二下册第一次月考数学试题

一、单选题

，则该质点在

t3

时的瞬

1

．一质点的运动方程为

S2t

2

3

（位移单位：

m

，时间单位：

s

）

时速度为（

A

．

4

【正确答案】

B

【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算

.

【详解】由题意，该质点在

t3

时的瞬时速度为

）

B

．

12C

．

15D

．

21

2





3



t





3





2



3

2



3



S



3



t





S



3





S

lim



lim



lim



lim



12



2



t





12

.



t



0



t



t



0



t



0



t



0



t



t

2

故选：

B







2．已知定义域为R的函数

f



x



sinxxf





0



（

f





x



为

f



x



的导函数），则

f







（



2



）

A．

1





4

B．0C．



1

2

D．1

【正确答案】

C

【分析】先求出

f





0





1

1







，即可得到

f





x





cos

x

，直接求出

f





.

2

2



2



【详解】因为

f



x



sinxxf





0



，所以

f





x



cosxf





0



，所以

f





0



cos0f





0



，

解得：

f





0





故选：

C

3．在

(x1)(x1)

6

的展开式中，

x

3

的系数为（

A

．

5

【正确答案】

A

【分析】由

(x1)(x1)

6

x(x1)

6

(x1)

6

，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定

理求展开式中

x

3

的系数

.

【详解】

(x1)(x1)

6

x(x1)

6

(x1)

6

，

42

4

x



1



，其系数为

C

6

x(x1)

6

的展开式中含

x

3

的项为

C

6



1



15

，

4



11

1

1







，所以

f





x





cos

x

，所以

f







cos



.

222

2

2



2



）

D

．

20B

．

5C

．

20

4

3

3

(x1)

6

的展开式中含

x

3

的项为

C

3

6

x



1



，其系数为

C

6



1



20

，

3

3

(x1)(x1)

6

的展开式中，

x

3

的系数为

15205

.

故选：

A.

4．已知函数

f

(

x

)



x

e



x



a

在

[1,0]

上的最大值为1，则函数

f(x)

的图像在

(0,f(0))

处的切

线方程为（

A

．

yx1

【正确答案】

A

【分析】先对

f(x)

进行求导确定单调性，结合最大值求出参数的值，再利用在点处的切线方

程求出答案

.

【详解】由题意，

f



(

x

)(1

x

)e



x

，当

x[1,0]

时，

f



(x)0

，所以

f(x)

在

[1,0]

上单调递

增，所以

f(x)

在

[1,0]

上的最大值为

f(0)a1

，又

f



(0)1

，所以

f(x)

的图像在

(0,f(0))

处的切线

）

B

．

y3x2

C

．

y2x1

D

．

yx2

方程为

yx1

.

故选：

A.

5

．从

0

，

1

，

2

，

3

，

4

，

5

这六个数字中选

3

个数字，可以组成多少个无重复数字的三位偶数

（）

B

．

48C

．

52D

．

72A

．

36

【正确答案】

C

【分析】由于

0

不能在首位数字，则分

2

种情况讨论：①若

0

在个位，此时

0

一定不在首位，

由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②若

0

不在个位，此时

0

可能在首位，由分步计数

原理可得此情况下三位偶数的数目，综合

2

种情况，由分类计数原理计算可得答案

.

【详解】根据题意，分

2

种情况讨论：

①若

0

在个位，此时只须在

1

，

2

，

3

，

4

，

5

中任取

2

个数字，作为十位和百位数字即可，

2

有

A

5

20

个没有重复数字的三位偶数；

②若

0

不在个位，此时必须在

2

或

4

中任取

1

个，作为个位数字，有

2

种取法，

0

不能作为百位数字，则百位数字有

4

种取法，十位数字也有

4

种取法，

此时共有

24432

个没有重复数字的三位偶数

.

综合可得，共有

20+32=52

个没有重复数字的三位偶数

.

故选：

C.

6．若函数

f



x







1



A．



0,





4



1

2

xxa

ln

x

有两个不同的极值点，则实数

a

的取值范围为（

2



1



B．



0,





2



1



C．





,



4



1



D．





,



4



）

【正确答案】

A

【分析】根据导函数有

2

个不同的零点，且两个零点均大于零可求解

.

【详解】函数的定义域为

(0,)

，

因为函数

f



x





1

2

xxa

ln

x

有两个不同的极值点，

2

ax

2



x



a

所以

f





x





x



1



0

有两个不同正根，

xx

即

x

2

xa0

有两个不同正根，



Δ



1



4

a



0

1



所以



x

1



x

2



1



0

解得

0



a



，

4



xx



a



0



12

故答案为

:A.

122331010

7．

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

除以88的余数是（）

D

．

87A

．

2

【正确答案】

B

B

．

1C

．

86

1223910

根据二项式定理，将原式化为

188



C

10

88C

10

88C

10

88C

10



，即可得出结果.

10

【详解】因为

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

(190)(188)

12310

188C

10

88

2

C

10

88

3

C

10

88

10

C

10

12310

188C

10

88C

10

88

2

C

10

88

9

C

10

，



122331010

所以

190C

10

90C

10

90C

10

90C

10

除以88的余数是1.

故选：

B.

关键点点睛：

求解本题的关键在于将所给式子看作二项展开式的形式，利用二项式定理，将原式化为

(188)

10

，再由二项展开式，即可求解出结果.





x

1



e

x

,

x

0



8．已知函数

f



x







ln

x

，若函数

g



x



f



x



a

的零点有两个或三个，则实数a

,

x



0





x

的取值范围为（）



11



A．





2

,





ee



【正确答案】

B



11



B．





2

,





ee





1



C．



0,





e





1



D．





2

,0





e



【分析】将问题转化为直线

ya

与函数

yf



x



的图象有

2

个或

3

个交点的问题，利用导数

分析函数

yf



x



的单调性与极值，画出函数

yf



x



图象，数形结合即可得出实数

a

的取

值范围

.

x

x

【详解】

x0

时，

f



x







x

1



e

，则

f





x







x2



e

，

当

x



2,0



时，

f

¢

(

x

)

>

0

，函数

yf



x



递增；

当

x







,2



时，

f





x



0

，函数

yf



x



递减，且此时

f(x)0

.

x0

时，

f



x





lnx

1



lnx

，

f





x





，令

f





x



0

，可得

xe

.

2

x

x

当

x



0,e



时，

f

¢

(

x

)

>

0

，函数

yf



x



递增；

当

x



e,





时，

f





x



0

，函数

yf



x



递减，且此时

f



x



0

；

所以

f



x



极小值



f





2





11

fx



fe





，，

f



0



1

，



极大值

e

2

e

在

x0

且

x0

时，

f



x





，

函数

yf



x



的示意图如图所示，

所以当它与

ya

有

2

个或

3

个交点时，



故选：

B.

11



a



.

e

2

e

二、多选题

9．已知函数

f



x





lnx

，下列说法正确的是（

x

）

A．

f



x



在

x1

处的切线方程为

yx1

C．

f



x



的极大值为

【正确答案】

AC

【分析】先求得

f





x





B．单调递增区间为



,e



D．方程

f



x



2

有两个不同的解

1

e

1



lnx

（

x0

），然后分别求得曲线

f



x



在

x1

处的切线方程、函

x

2

数

f



x



的单调区间和极值，方程

f



x



2

即

lnx2x

解的个数问题可转化为函数

ylnx

与函数

y2x

的图象交点个数问题，据此可以作出判断

.

【详解】

f





x





1



lnx

（

x0

），

x

2

因为

f





1



1

，

f



1



0

，所以

f



x



在

x1

处的切线方程为

yx1

，故A正确；

令

f





x





1



ln

x



0

，即

1lnx0

，解之得

xe

，又因为

x0

，

x

2

所以

f



x



的单调递增区间为



0,e



，故B错误；

再令

f





x





1



ln

x



0

，即

1lnx0

，解之得

xe

，所以

f



x



的单调递减区间为



e,



，

x

2

1

，故C正确；

e

所以

f



x



在

xe

处取得极大值，极大值为

f(e)



方程

f



x



2

即

ln

x



2

，也即

lnx2x

，函数

ylnx

与函数

y2x

的图象只有一个交

x

点，所以方程

f



x



2

有一个解，故D错误.

故选：

AC.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数与方程的关系，

考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题

.

10．已知



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，则（

8

8

A．

a

0

2

）

B．

a

1

a

2

a

8

1

8

C．

a

1

a

2

a

3

a

8

3

D．

a

1

2a

2

3a

3

8a

8

8

【正确答案】

AD

【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案

.

【详解】由



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，

8

令

x0

得

a

0

2

，A选项正确.

8

8

令

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

8

1,a

1

a

2

a

8

12

，B选项错误.

rr



2

8



r







x









1





2

8



r



C

8



x

r

，二项式



2x



展开式的通项公式为

C

8

8

rr

由此可知

a

1

,a

3

,a

5

,a

7

是负数，

a

2

,a

4

,a

6

,a

8

为正数，

8

所以令

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

3

，

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

3

8

2

8

，

88

即

a

1

a

2

a

3

a

8

32

，C选项错误

8

由



2x



a

0

a

1

xa

2

x

2

a

8

x

8

，

两边求导得

8



2x



a

1

2a

2

x3a

3

x

2

8a

8

x

7

，

令

x1

得

a

1

2a

2

3a

3

8a

8

8

，所以D选项正确.

故选：

AD

，则（

11

．已知

1abe

（

e

为自然对数的底数）

A．

a

b

b

a

【正确答案】

AD

【分析】利用指数函数的单调性，可比较

a

b

,

a

a

大小，然后将

a

b

，

b

a

，

e

e

变形并构造函数

f



x





ab

lnx

，利用导数判断其单调性，进而比较出

a

b

，

b

a

，

e

e

的大小关系，由此可判断A，

x

ab

7

）

ab

B．

b

a



e

e

ab

C．

a

a



e

e

D．

a

b



e

e

ab

B

，

C

，

D.

【详解】因为

1abe

，所以

a

b

a

a

a

0



1

，

b

a

b

0



1

，

0



log

b

a

log

b

b

1

．

ln

a

b

b

ln

a

ln

a

ln

b

a

a

ln

b

ln

b

对

a

，

则，，





b

，

e

这三个数先取自然对数再除以

ab

，

ababb

ababa

b

a

ab

e

lne1lne

,



ab

ee

设

f



x





lnx

1



lnx

，则

f





x





，由

f

¢

(

x

)

>

0

，解得

0xe

，

2

x

x

ab

e

所以

f



x



在



0,e



上单调递增，故

f



a



f



b



f



e



，

即

abab

ln

a

ln

b

lne



，则

a

b

b

a



e

e

，故

a

a

a

b

b

a



e

e

，

ab

e

故选：

AD

．

x

12．已知函数

f



x





e

，

g



x





ln

x

1



下列说法正确的是（

22

）

g



x



的图像分别交于A，

A．存在直线

ym

与

f



x



，B两点，使得

f



x



在A处的切线与

g



x



在

B

处的切线平行

1

1

B．若

x1

，

f



ax



axxg



2

x





恒成立，则正实数a的最小值为

e

2

C．若

f



x



，

g



x



图像与直线

ym

分别交于A，B两点，则

AB

的最小值为

2ln2

D．对于

mR

，

h



x



f



x



g



x



m

都存在零点

【正确答案】

ABC

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线平行可求出

m,

判断

A

，利用同构转

化为

axlnx

，分离参数后求

t



x





AB



2e

m



1

2

lnx

最值即可得解,判断B，曲线上两点间距离

x

x

1

x

hx

e



ln

m

的

，构造函数求最小值可判断C，利用导数判断函数





ln

m

22

单调性得出极值，根据极值的正负可判断

D.



m



1



x

【详解】对于A，假设存在

ym

满足题意，可

A



lnm,m



，

B



2e

2

,

m



，

f





x





e

，



1

m





1

1

g





x





f





ln

m





e

ln

m



m

，

g





2e

2





m



1

，因为在

f



x



在A处与

g



x



在B处的切

x



2e

2

线平行所以有

m



1

2e

m



1

2

1

1

，即

2

m

e

m



2



1

，得

m

，故存在m符合题意，故A正确;

2

x

对于B，不等式化为

e

ax

axx

ln

x

e

ln

x



ln

x

，令

ye

x

x

，则

y



e1

，所以

ye

x

x

在



0,





上递增，

axlnx

，故同构可得：即

a



lnx

1



lnx

lnx

的最大值，令

t



x





，则

t





x





，

x

x

2

x

1

1

所以

x



0,e



时

t





x



0

，当

x



e,



时

t



x



0

，所以

t



x



max

t



e





，所以

a

成立，

e

e

故

B

正确

;

11



m



1



m



x



对于C，可知

A



lnm,m



，

B



2e

2

,

m



，

AB



2e

2



ln

m

，令





x





2e

2



ln

x





1





1



1

在



0,





上递增，且









0

，当

x





0,



，







x



0

，



2



x



2





1





1



当

x





,





，







x



0

，所以





x



min









2



ln2

，故C正确;



2





2









x





2e

x



1

2



x

对于D，因为

h



x





e



ln

x

得

e

0



x

11

1

m

，所以

h





x





e

x



，令

h





x





e

x



0

，存在

x

0

使

x

22

x

1

，故

h



x



在



0,x

0



单调递减，在区间



x

0

,



单调递增，

h



x



的最小值为

x

0

x

0

1

x

1

m

，当

m

ln

0



e

x

0

时，

h



x



不存在零点，故D错误.

2222

h



x

0





e

x

0



ln

故选：

ABC

三、填空题

13．函数

yxe

x

的减区间是___．

【正确答案】



0,





（或

[0,)

）

【分析】求解导函数，并求出

y



0

与

y



0

的解集，从而得函数的单调区间

.

【详解】由题意，函数的定义域为

R

，

y





1

e

x



0

，得

x0

，当

y



1e

x

0

时，

x0

；

当

y





1

e

x



0

时，

x0

，所以函数的单调递增区间为







,0



，单调递减区间为



0,





.

故答案为.



0,





（或

[0,)

）

14

．已知直线

yax1

与曲线

yalnx2

相切，则

a

___________.

【正确答案】

3

a





a



x

0





【分析】设切点为



x

0

,y

0



，则



y

0



ax

0



1

，即求.



y



alnx



2

0



0





【详解】对

yalnx2

求导，得

y





a

，

x