2024年4月28日发(作者：靖勇毅)
2019年4月
第34卷第8期
电 工 技 术 学 报
TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY
Vol.34 No. 8
Apr. 2019
DOI: 10.19595/.180847
基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步
电机变电感参数最大转矩电流比控制方法
康劲松 王 硕
（同济大学电子与信息工程学院 上海 201804）
摘要 内置式永磁同步电机的最大转矩电流比控制充分利用了电机的磁阻转矩，以最小铜损
为目标，可以在最小电流条件下输出最大转矩。然而，永磁同步电机的电感存在磁饱和及交叉饱
和特性，实际中电感参数会随电流的变化而变化，这需要结合不同电感值进行大量繁琐的标定和
拟合工作。本文提出一种变电感参数的最大转矩电流比自动搜索方法，通过构建电感关于电流的
三维数据表格，利用二阶Newton-Raphson（N-R）自动搜索算法，将复杂的最大转矩电流比非线
性公式转化为微控制器易实现的迭代运算，提高电流分配精度，简化标定工作，仿真和实验验证
了所提出算法的有效性。
关键词：内置式永磁同步电机 最大转矩电流比控制 牛顿拉夫森搜索算法 磁饱和效应
交叉饱和效应
中图分类号：TM351
Newton-Raphson-Based Searching Method for Variable-Parameters
Inductance Maximum Torque Per Ampere Control Used for IPMSM
Kang Jinsong Wang Shuo
（College of Electronics and Information Tongji University ShangHai 201804 China）
Abstract For interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM), the maximum torque per
ampere control (MTPA) can produce maximum torque output under the minimum current conditions by
making full use of the reluctance torque. However, the inductance of IPMSM has magnetic saturation
and cross-saturation characteristics, and its parameters vary with current in practice. This requires a lot
of tedious calibration and fitting work. In this paper, MTPA searching method with variable inductance
parameters is proposed. By constructing inductance look-up-table (LUT) varying with current, a
second-order Newton-Raphson (N-R) searching algorithm is used to convert the complex MTPA
nonlinear relationship into iterative operation, which can be easily implemented by a microcontroller.
In this way, MTPA current distribution accuracy is improved and the calibration work is simplified. The
simulation and experiments verify the effectiveness of the proposed method.
Keywords：Permanent magnet synchronous motor (PMSM), maximum torque per ampere control
(MTPA), Newton-Raphson (N-R) algorithm, magnetic saturation, cross saturation
国家重点研发计划（2016YFB0100700）和中央高校基本科研业务费专项资金（1700219142）资助项目。
收稿日期 2018-05-22 改稿日期 2018-09-27
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1617
0 引言
内置式永磁同步电机（Interior Permanent Magnet
Synchronous Motor, IPMSM），具有效率高、功率密
度高、调速范围宽等优点，在新能源汽车电驱动系
统领域中大量使用。相对于表贴式永磁同步电机，
内置式永磁同步电机本身具备凸极性，输出转矩包
括永磁转矩和磁阻转矩两部分。对于同一给定转矩，
可以得到无数种交直轴电流分配方式，而最大转矩
电流比（Maximum Torque Per Ampere, MTPA）分配
方式是以铜损最小为目标，实现最小电流下的最大
输出转矩的控制方式，受到研究人员广泛关注。
基本的MTPA方法主要分为四种：第一类方法
是基于电机模型的公式法，这类方法利用了电机本
身的参数，如电感、磁链等，通过MTPA非线性公
式得到交直轴电流的设定值，然而由于电感存在磁
饱和及交叉饱和效应
[1-3]
，传统MTPA方法采用常数
电感参与计算是不能实现精确控制的。第二类方法
是针对变电感的查表法及辨识法
[4-6]
，该类方法通过
有限元分析软件或者静态实验预先得到电感的数据
表，之后再使用MTPA公式法，由于其数学关系的
复杂性，加之变电感因素，这需要大量的实验测定
工作或者拟合工作，加重了研究人员的工作负担。
另外一些研究人员通过采用参数辨识的方法进行在
线修正
[7-9]
，这无疑增加了算法的复杂度，参数辨识
的收敛速度需要进一步考虑。第三类方法是采用自
动搜索法
[10-12]
，如文献[11]提到的Hill-Climbing
法，然而所提出的方法并未考虑参数变化的影响，
控制的精确性不能保证。第四类方法是采用谐波注
入法
[13-15]
，将高频电流或者电压注入到电机系统中，
例如，文献[15]利用速度和电流传感器，将速度谐
波或电流谐波提取，进而得到MTPA最优转矩角。
这类方法需要考虑电流环的带宽，同时由于注入谐
波的存在，增加了电机的转矩脉动
[16-17]
。
本文借鉴第二类方法，构建电感关于交直轴电
流的三维数据表，并利用变参数电感及该电感关于
交直轴电流的变化率，来补偿传统MTPA算法拉格
朗日乘子法中磁饱和作用，在此基础上，提出了一
种Newton-Raphson（N-R）搜索算法，将复杂的
MTPA方程转化为微控制器易实现的N-R迭代方
程，实现对MTPA曲线的自动分配，简化了标定工
作，同时提高了永磁同步电机MTPA的控制精度。
1 永磁同步电机数学模型与传统MTPA
控制方法
假设永磁同步电机磁路为线性，即电感为常数，
并忽略温度变化引起的电阻变化，以定子电流和磁
链为状态变量，通过Clarke变换和Park变换，
IPMSM在同步旋转坐标系下的数学模型描述为
⎧
⎪
⎪
uR
d
ψ
d
=
s
i
d
+
d
−
ω
e
ψ
⎨
d
t
q
（1）
⎪
⎪
⎩
u
q
=
R
d
ψ
q
s
i
q
+
d
t
+
ω
e
ψ
d
⎧
⎪
⎨
ψ
d
=L
d
i
d
+
ψ
f
⎪
⎩
ψ
（2）
q
=L
q
i
q
T
e
=1.5p
(
ψ
d
i
q
−
ψ
q
i
d
)
=1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
q
+(L
d
−L
q
)i
d
i
q
⎤
⎦
（3）
式中，
ψ
d
和
ψ
q
分别是d、q轴磁链；u
d
和u
q
分别是
定子d、q轴电压；i
d
和i
q
分别是定子d、q轴电流；
L
d
和L
q
分别是d、q轴电感；R
s
、
ψ
f
和p分别是定
子电阻、永磁体磁链和电机的极对数；
ω
e
是电机的
电角速度。
MTPA控制方法是矢量控制中最常用的方法，即
在最小铜损的条件下达到最大转矩的控制方法
[12-15]
，
为了方便说明，后文用上标*代表设定值，MTPA数
学关系可以描述为
⎧
⎪
minR
s
(
i
*2
d
+i
*2
⎨
q
)
⎪
⎩
s.t.T
e
*
（4）
=1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+(L
d
−L
q
)i
*
q
i
*
d
⎤
⎦
引入拉格朗日乘子方程
H(i
*
d
,i
*
q
,
λ
)=i
*2
d
+i
*2
q
+
λ
{
T
e
*
−1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+(L
d
−L
q
)i
*
d
i
*
q
⎤
⎦
}
（5）
对上述拉格朗日方程求偏导数可得
⎧
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
∂
i
=
2
i
*
3
d
−
λ
p
(
L
d
−
L
q
)
i
*
q
=
0
⎪
d
2
⎪
⎨
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
=
2
i
*
3
⎪
∂
i
q
−
λ
p
⎡
ψ
+
(
L
−
L
)
i
*
⎤
q
2
⎣
fdqd
⎦
=
0
⎪
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
=
T
*
−
3
⎪
p
⎡
ψ
i
*
+
(L
−
L)i
*
i
*
⎤
⎩
∂
λ
e
2
⎣
fqdqdq
⎦
=
0
（6）
求解式（6）可以得到
⎧
⎪
−
ψ
f
+
ψ
f
2
+
4(L
*2
⎪
⎨
i
*
d
−
L
q
)
2
i
q
d
=
2(L
d
−L
q
)
（7）
⎪
⎪
⎩
i
*
q
=
I
max
2
−
i
*2
d
重新整理式（7），可以得到
1618 电 工 技 术 学 报 2019年4月
⎡
2
⎢
⎢
i
*
⎣
d
+
ψ
f
⎤
2(
L
d
−
L
q
)
⎥
⎥
⎦
i
*2
q
ψ
2
−=
1
（8）
f
ψ
f
2
4(L
d
−L
q
)
2
4(L
d
−L
q
)
2
需要指出的是，式（8）表征了IPMSM的MTPA
表达式是一个双曲线的非线性函数，将其画在dq
轴电流平面内，交直轴电流平面MTPA控制曲线如
图1所示。电动状态下该曲线位于第二象限内，传
统MTPA控制算法框图如图2所示。传统的MTPA
控制方法采用常数电感查表法或拟合法获得MTPA
电流设定值。然而实际中电机电感参数随着电流工
作点的不同发生变化，特别是在负载有较多变化的场
合，使用定常电感参数进行MTPA获取是不精确的，
直接标定MTPA曲线，则需要进行大量的拟合工作
和数据存储工作，大大加重了研究人员的工作负担。
图1 交直轴电流平面MTPA控制曲线
Fig.1 MTPA control curve in dq current plane
图2 传统MTPA控制算法框图
Fig.2 Block diagram of traditional MTPA
control algorithm
2 考虑磁路饱和及交叉饱和影响下的永磁
同步电机数学模型
实际中在电流很大或者负载很大的情况下，磁
链不能表示为关于电流线性方程，即电感不为常
数
[4]
。以本文所采用的电机为例进行说明，交直轴
磁链磁路饱和现象如图3所示。由图3可知，在电
流很小的条件下，定子磁链和电流基本呈线性关系，
随着电流上升，交直轴磁链增长缓慢，出现磁饱和
特性，呈现S型，此时斜率变小，电感出现下降。
交直轴磁链交叉饱和现象如图4所示。由图4可知，
随着交轴电流的增加，直轴磁链增长速率变缓，反
之会出现相似现象，被称为电感磁路交叉饱和。事
实上，由于直接给出电感关于电流的解析方程是困
难的，通常情况下获得电感的方法为静态测试法
[18]
和有限元分析法。图5是通过有限元分析法获得本
文样机的交直轴电感随交直轴电流变化的结果，随
着电流增大，可以看出电感明显地下降。
（a）直轴磁链
（b）交轴磁链
图3 交直轴磁链磁路饱和现象
Fig.3 Magnetic saturation phenomenon
考虑到磁路饱和及交叉饱和现象下，直轴和交
轴磁链可以表示为电感关于交直轴电流的非线性函
数，即
（a）直轴磁链磁
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1619
（b）交轴磁链磁
图4 交直轴磁链交叉饱和现象
Fig.4 Cross magnetic saturation phenomenon
（a）直轴电感随电流变化三维图
（b）交轴电感随电流变化三维图
图5 直交轴电感的磁饱和及交叉饱和现象
Fig.5 Magnetic saturation and cross-saturation for
dq-axis inductance
⎧
⎪
ψ
d
(i
d
,i
q
)=
ψ
f
+L
d
(i
d
,i
q
)i
⎨
d
⎪
⎩
ψ
q
(i
d
,i
q
)
=
L
（9）
q
(i
d
,i
q
)i
q
式中，
ψ
d
(i
d
,i
q
)和
ψ
q
(i
d
,i
q
)是受磁饱和影响下的直轴和
交轴磁链；L
d
(i
d
,i
q
)和L
q
(i
d
,i
q
)是关于直轴和交轴电流
的静态电感
[3-4,7]
。考虑磁路饱和的永磁同步电机数
学模型可以改写为
⎧
⎪
u
=
Ri
+
d
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
−
ω
⎪
dsd
d
t
e
ψ
q
(
i
d
,
i
q
)
⎪
⎪
d
ψ
q
⎨
u
(
i
d
,
i
q
)
q
=
R
s
i
q
++
ω
e
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
（10）
⎪
d
t
⎪
T
⎡
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
i
q
−
ψ
q
(
i
d
,
i
⎪
e
=1.5
p
⎣
q
)
i
d
⎤
⎦
⎪
⎩
=1.5
p
{
ψ
f
i
q
+
⎡
⎣
L
d
(
i
d
,
i
q
)
−
L
q
(
i
d
,
i
q
)
⎤
⎦
i
d
i
q
}
由于磁饱和数学关系较为复杂，本文将采用基
于图5的离散数据点构成变电感数据表，离散数据
点和点之间用二阶插值法进行补偿。
3 变电感参数Newton-Raphson搜索算法
Newton-Raphson（N-R）搜索算法是数值分析
中最重要的方法之一，不仅适用于方程或方程组的
求解，还常用于微分方程和积分方程求解，是一种
非线性方程自动搜索的数值解法。
由IPMSM磁路饱和的数学模型式（10）可知，
考虑到磁饱和特性与电感关于电流变化率，给定转
矩
T
e
*
的条件下，拉格朗日方程式（6）的偏导数可
以改为
⎧
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
∂
i
=2
R
s
i
*
d
−
⎪
d
⎪
⎪
λ
3
p
⎡
⎪
2
⎢
⎢
(
L
d
(
i
d
,
i
q
)−
L
q
(
i
d
,
i
q
)
)
i
*
q
+
⎛
⎜
∂
L
d
∂
i
−
∂
L
q
⎞
**
⎤
∂
i
⎟
i
d
i
q
⎥
=0
d
⎪
⎣
⎝
d
⎠
⎥
⎦
⎪
*
⎪
∂
H
(
i
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
=
2
R
s
i
*
⎨
∂
i
q
−
q
⎪
⎪
⎪
λ
3
p
⎡
⎢
ψ
+
(
L
(
i
,
i
)
−
L
(
i
,
i
)
)
i
*
+
⎛
⎜
∂
L
d
−
∂
L
q
⎞
⎟
i
*
i
*
⎤
⎥
=
⎪
2
⎢
fddqqdqd
⎣
⎜
⎝
∂
i
q
∂
i
q
⎟
⎠
dq
⎥
0
⎦
⎪
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
⎪
∂
λ
=
⎪
⎪
⎩
T
e
*
−
3
2
p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+
(
L
d
(i
d
,i
q
)−L
q
(i
d
,i
q
)
)
i
*
d
i
*
q
⎤
⎦
=0
（11）
化简式（11）可以得到
⎧
⎪
f
(
i
*
d
,
i
*
q
)
=
T
e
*
−
3
p
⎡
ψ
f
i
*
q
+
(
L
d
−
L
q
)
i
*
d
i
*
q
⎤
=
0
⎪
⎣⎦
⎪
2
⎨
⎪
g
(
i
*
d
,
i
*
q
)
=
ψ
f
i
*
d
+
(
L
d
−
L
q
)
i
*2
d
−
（12）
⎪
⎪
⎩
(
L
d
−
L
q
)
i
*2
q
+
L
2
i
*2
d
i
*
q
−
L
1
i
*
d
i
*2
q
=
0
其中
L
∂L
∂L
q
1
=
d
∂i
−
L
∂L
∂L
q
2
=
d
−
d
∂i
d
∂i
q
∂i
q
式中，
g
(
i
*
d
,
i
*
q
)
由式（11）前两个方程消去参数
λ
得
出；
f(i
*
d
,i
*
q
)
来源于转矩方程式（3）。
假设存在连续方程
f
(
i
*
d
,i
*
q
)
和
g
(
i
*
d
,i
*
q
)
，并且在
其邻域内
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,i
*
q
+Δ
i
*
q
)
存在二阶连续偏导数，将
两个方程在其邻域内展开成泰勒级数，并忽略高次
项，可以得到
1620 电 工 技 术 学 报 2019年4月
⎧
⎪
f
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
+Δ
i
*
q
)
≈
⎪
⎪
*
⎪
fi
,
i
⎪
(
*
)
+Δ
i
∂
f
(
i
*
d
,
i
*
q
)
d
*
q
*
d
∂i
*
+Δ
i
*
∂
f
(
i
d
,
i
*
q
)
q
∂i
*
=
0
⎨
dq
（
13
）
⎪
⎪
g
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
+Δ
i
*
q
)
≈
⎪
⎪
⎪
gi
*
)
∂
g
(
i
*
d
,
i
*
+Δ
i
*
q
)
∂
g
(
i
*
)
d
,
i
*
qd
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
⎩
(
∂
i
*
q
∂
i
*
=
0
dq
偏导数部分可以用雅克比矩阵得到，即
⎡
⎢
∂f
(
i
*
d
,i
*
q
)
∂f
(
i
*
d
,i
*
q
)
⎤
⎥
J
=
⎢
⎢
∂
i
*
d
∂
i
*
d
⎥
f
y
⎤
⎢
⎢
∂gi
*
d
,i
*
q
)
∂g
()
⎥
简化符号
⎡
f
x
(
i
*
d
,i
*
q
⎥
=
⎢
⎢
⎣
g
x
g
⎥
=
y
⎥
⎦
⎢
⎣
∂i
*
d
∂i
*
⎥
q
⎥
⎦
⎡
⎢
−
3
()
3
()
⎢
2
pL
d
−
L
q
i
*
q
−
2
p[
ψ
f
+
L
d
−
L
q
i
*
⎤
d
]
⎥
⎢
⎣
ψ
f
+
2
(
L
d
−
L
q
)
i
*
d
+
2L
2
i
*
d
i
*
q
−
L
1
i
*2
d
L
2
i
*2
d
−
2
(
L
d
−
L
q
)
i
*
q
−
2L
1
i
*
d
i
*
⎥
q
⎥
⎦
（
14
）
如果将
Δ
i
*
d
=
i
*
d
n+
1
−
i
*
d
n
和
Δi
*
q
=i
*
qn
+
1
−i
*
qn
代入式（
13
），
根据
N-R
算法，由式（
13
）得到的二元函数解可以
表示为迭代形式
⎡
⎢
i
*
d
n+
1
⎤⎡
i
*
d
n
⎤
⎡
f(i
*
d
n
, i
*
q
n
)
⎤
⎢
⎣
i
*
⎥
=
⎢
q
n+
1
⎥
⎦
⎢
⎣
i
*
⎥
−
J
−
1
⎢
q
n
⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
g
(
i
*
i
（
15
）
d
n
,
*
q
n
)
⎥
⎦
其中，
f
x
、
f
y
、
g
x
、
g
y
需要满足条件
g
x
f
y
−
f
x
g
y
≠0
（
16
）
将雅克比矩阵式（
14
）的逆矩阵代入式（
15
）
得到
N-R
搜索算法的迭代形式
⎧
**
⎪
i
dn+1
=i
dn
+
⎪
⎪
f
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
g
y
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
−g
(
i
*
dn
, ,i
*
qn
)
f
y
(
i
*
dn
i
*
qn
)
⎪
⎪
g
x
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
f
y
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
−
f
x
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
g
y
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
⎨
)
=
i
⎪
i
*
⎪
q
n+
1
*
q
n
+
⎪
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
−
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
⎪
q
n
)
⎪
⎩
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
f
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
−
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
qn
)
g
y
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
（
17
）
式中，
i
*
dn+1
和
i
*
q
n+
1
是第
n
+1
次迭代最优解
i
*
d
和
i
*
q
的
设定值；
i
*
d
n
和
i
*
q
n
是第
n
次迭代的最优解
i
*
d
和
i
*
q
的设
定值，
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
和
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
是
i
*
d
n
和
i
*
q
n
的评价函数
（其中
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
≠
0
和
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
≠
0
，因为当前的
i
*
d
n
和
i
*
q
n
并不一定是最优解）。四个偏导数
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
、
f
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
和
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
、
g
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
是从雅克比矩阵
式（
14
）中获得。
n
是从
1
开始的迭代次数。迭代过
程从初始值
i
*
d0
和
i
*
q0
开始，第二步是由第一步通过
式（
17
）获得，如此循环迭代，得到
MTPA
的电流
设定值。
为提高
MTPA
控制电流设定值最优解的精度，
定义两次迭代误差的二次方和为
E
（本文中设定
E
=
0.01
2
），迭代收敛条件设为
(
i
*
d
n+
1
−i
*
2
d
n
)
+
(
i
**
2
q
n+
1
−i
q
n
)
＜
E
（
18
）
图
6
是
N-R
自动搜索算法
MTPA
控制方法流
程。首先通过采集电流查表得到当前的电感
L
d
(
i
d
,
i
q
)
和
L
q
(
i
d
,
i
q
)
，计算电感偏导数矩阵与前述的
L
1
和
L
2
，
设定电流初值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
，
k
代表当前迭代次
数，
N
代表迭代次数的最大值，计算初次迭代的雅
克比矩阵J和初始函数值
f
(
i
d1
,
i
q1
)
和
g
(
i
d1
,
i
q1
)
，利用
式（
17
）更新
i
d1
和
i
q1
，迭代次数
k
+1
，判断条件，
反复迭代更新，继续搜索，直到两次迭代的误差二
次方和小于
E
，最终输出
MTPA
最优设定值
i
dMTPA
和
i
qMTPA
。如果迭代
10
次，此时
k
=
N
，标记未找到
最优的收敛值，则重新选取初始值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
，
（a）所提出的N-R算法框图
（b）N-R搜索算法流程
图6 基于N-R自动搜索算法的MTPA控制方法流程
Fig.6 Flow chart MTPA control method based on N-R
search algorithm
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1621
重新搜索。一般来说，
N-R
方程只有局部收敛性，
当初始值离最优值太远时，迭代将不收敛；一旦初
始值进入收敛域内，
N-R
搜索法就有较快收敛速度。
由于电动条件下的
MTPA
曲线位于第二象限，交直
轴电流的初始值的选择应限制在第二象限的电流极
限圆内，迭代初值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
的选择及迭代精
度
E
的设定对
N-R
方法的迭代步数的影响将在第
4.1
节进一步讨论。
4 仿真分析与实验验证
4.1
仿真分析
为验证所提出算法的有效性，进行了基于
Matlab/
Simulink
的仿真实验，仿真中具有饱和效应的永磁
同步电机采用自行搭建的模块构建，其参数见表
1
，
磁饱和效应电感数据表由有限元分析结果图
5
导
出，存储为三维数据表格，两个离散数据点之间利
用线性插值补偿，
N-R
搜索方法用
m
函数编写，具
体算法框图如图
6a
和图
6b
所示。
表1 永磁同步电机样机参数
Tab.1 The parameters of prototype permanent-magnet
synchronous machine
参 数 数 值
额定转矩/(N⋅m)
32
峰值转矩/(N⋅m)
80
额定转速/(r/min)
2 400
定子电阻/Ω
0.1
直轴电感/mH 0.306～0.335
交轴电感/mH 0.450～0.545
极对数
4
永磁磁链/Wb
0.067 22
为了探索直轴和交轴电流初始值
i
*
d0
和
i
*
q0
的选
取与精度设定对于
MTPA
搜索结果的影响，采用表
1
中电机参数进行了仿真，其中直轴和交轴电感采
用额定值
0.335mH
和
0.545mH
，仿真结果如图
7
所
示，直轴和交轴电流
i
*
d
和
i
*
q
迭代初始值（
i
*
d0
,
i
*
q0
）
分别选取不同初值数据对作为搜索起点，在所选取
的所有初始值条件下，最终收敛到
MTPA
设定值
（−
68.63A, 163.33A
），仅仅需要
4
次迭代。给定转
矩为
5N·m
时，同样从上述不同初始值出发，同样
仅需要
4
次迭代，即可得到
MTPA
设定值（−
0.48A,
12.38A
）。
以（−
60A, 60A
）和（−
4A, 80A
）为搜索起点，
考虑变电感条件下
N-R
搜索算法迭代收敛过程见表
（a）T
e
=80N·m
（b）T
e
=5N·m
图7 N-R算法电流设定值收敛过程
Fig.7 N-R algorithm current optimal reference
convergence process with T
e
=80N·m and T
e
=5N·m
2
，对于每一行的搜索结果，从两个不同初始搜索起
点，均可以收敛到同一
MTPA
电流设定值。对比表
2
的第一行和第二行，由于电感磁饱和效应，较大
给定转矩会使得电感下降。对比第一行和第三行的
收敛结果，定义
E
为式（
18
）的误差精度，当
E
=0.01
2
时，需要
4
步迭代达到
MTPA
设定值（−
57.29A,
177.75A
），而当
E
=0.000 1
2
时，需要
5
步迭代可以
达到
MTPA
设定值（−
57.285 5A, 177.752 1A
），精
度提高到小数点后第四位，设定的精度越高，收敛
速度越慢，占用资源越多，本文则采用
E
=0.01
2
作
为设定精度。仿真结果表明，相较于传统
MTPA
控
制算法存在的大量的查表插值运算，重复试验测定，
所提出的
N-R
搜索算法可以从不同初始值出发，仅
需要少于
5
步迭代运算即可达到
MTPA
的电流设定
值。无论是低转矩
5N
⋅
m
，还是峰值转矩
80N
⋅
m
所
有范围内，均具有较快的收敛速度。
为了验证磁饱和现象存在对于
MTPA
曲线轨迹
偏移的影响，仿真采用转矩给定，恒定转速为
500r/min
进行仿真，仿真时间为
0.5s
，初始给定转
矩为
10N
⋅
m
，
0.2s
时跳变到
40N
⋅
m
，
0.4s
时跳变到
70N
⋅
m
，电流设定值为黑色细实线，电流反馈值为
灰色，仿真结果如图
8
所示。传统算法采用常数电
1622 电 工 技 术 学 报 2019年4月
表2 N-R搜索算法初始值与精度选择对迭代次数的影响
Tab.2 Influence of initial value and precision selection on iteration
设定工况 dq电流初始值
T
e
=80N·m, E=0.01
2
(−60A, 60A)
迭代收敛过程
(−60, 60)→(−35.08,
179.58)→(−57.96, 177.45)→(−57.29, 177.75)
(−4,80)→(−47.73,
189.74)→(−57.10, 177.61)→(−57.29, 177.75)
(20, 60)→(−5.42,
19.29)→(−0.44,
12.49)→(−0.50, 12.38)
(−4,80)→(11.97, 16.35)→(−0.97, 12.38) →(−0.50, 12.38)
L
d
=0.302mH, L
q
=0.438mH
(−4A, 80A)
T
e
=5N·m, E=0.01
2
(−60A, 60A)
L
d
=0.335mH, L
q
=0.544mH
(−4A, 80A)
T
e
=80N·m, E=0.000 1
2
(−60A, 60A)
(−60, 60)→(−35.0818, 179.5790)→(−57.9589, 177.4470)→(−57.2858, 177.7516)→(−57.2855, 177.7521)
(−4, 80)→(−47.7325, 189.7397)→(−57.1019,
177.6051)→(−57.2855,
177.7521)
(−60, 60)→(−5.4230, 19.2941)→(−0.4377, 12.4898)→(−0.4982, 12.3770)
(−4,80)→(11.9664, 16.3455)→(−0.9692, 12.1832)→(−0.4989, 12.3767)→(−0.4983, 12.3770)
L
d
=0.302mH, L
q
=0.438mH
(−4A, 80A)
T
e
=5N·m, E=0.000 1
2
(−60A, 60A)
感
MTPA
公式法，
L
d
和
L
q
使用常参数分别为
0.335mH
和
0.545mH
。
0
～
0.2s
区间内，给定转矩较小时，磁
饱和现象不明显，最终得到的电流设定值相差较小。
L
d
=0.335mH, L
q
=0.544mH
(−4A, 80A)
将考虑和忽视磁饱和及交叉饱和效应的恒转矩
如图曲线和电流极限圆画在同一
dq
轴电流平面上，
9
所示，采用定常数电感值的
MTPA
曲线和转矩曲
线为三角形线，本文所采用的变电感
N-R
搜索算法，
相应的
MTPA
曲线和转矩曲线为黑色实线。图
9
仿
真结果表明，考虑和忽略磁饱和效应下，
MTPA
的
最优电流轨迹曲线会发生偏移，恒转矩曲线也因为
电感参数变化发生偏移，特别是在电流极限圆附近，
交直轴电流给定值偏差较大，使得电机不能完全工
作在最小铜损的工作条件下，系统效率降低。
0.2
～
0.4s
区间内，
L
d
下降
6.6%
，
L
q
下降
3.9%
，传
统算法和变电感
N-R
搜索算法的直轴和交轴电流设
定值出现偏差，偏差为
1.8A
和
1.5A
。
0.4
～
0.5s
区
间内，继续增加转矩到
70N
⋅
m
，出现了严重的磁饱
和现象，
L
d
下降
8.7%
，
L
q
下降
16.9%
，此时直轴电
流和交轴电流设定值偏差分别为
8.9A
和
9.9A
，如
果采用定常数电感，在磁饱和情况下导致电感参数
不准确，造成了交直轴电流设定值偏离
MTPA
真实
曲线，最终导致电流损耗加大。
（a）传统公式法的MTPA控制
图9 MTPA控制曲线轨迹考虑或忽视磁饱和效应
Fig.9 MTPA control trajectory considering or ignoring
the magnetic saturation effect
4.2
实验分析
为了进一步验证所提出的变电感
N-R
搜索算法
的控制效果，搭建了由内置式永磁同步电机、减速
比为
5
的减速机、转矩传感器、磁粉制动器组成的
（b）考虑磁饱和效应的N-R算法
实验平台，如图
10a
所示。电机负载由磁粉制动器
提供，可以选择手动调节或者
DA
输出调节两种方
式。电机主要参数与表
1
相同，电机控制器由
图8 转矩阶跃响应仿真结果
Fig.8 simulation results dealing with torque step
DSP28335
为主控芯片，采用三相桥式
IGBT
作为逆
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1623
变器，电流环采样频率为
10kHz
，转速环采样频率
为
100Hz
。电机控制器如图
10b
所示。控制算法利
用
Simulink
中的
embedded coder
进行代码自动生
成，通过编译链接可以自动下载到
DSP
中，可以快
速高效地验证算法的正确性。
（a）永磁同步电机实验台架
（b）控制器
图10 永磁同步电机实验控制系统平台
Fig.10 IPMSM experimental control system platform
实验结果如图
11
所示，为了方便观测，将各个
信号以
DA
输出方式输出至示波器显示，电感实测
波形用实际直轴交轴电感分别减去
0.335mH
和
0.545mH
以
DA
输出方式输出，速度环输出上限设
置为
20N
⋅
m
，由于实验限制，实验平台不能长时间
运行于过电流状态，电流上限设置为
60A
。永磁同
步电机以
200r/min
稳定运行，此时的电感值近似于
额定值
0.335mH
和
0.545mH
，突变转速指令到
600r/min
，转速
PI
输出达到上限，电机控制在
20N
⋅
m
转矩下进行加速运动，此时电机的直轴和交轴电感
分别为
0.330mH
和
0.532mH
，磁饱和现象较为明显。
当速度再次达到稳态
600r/min
时，控制磁粉制动器
加入负载转矩
10N
⋅
m
，最终，电机直轴、交轴电感
分别下落到
0.333mH
（下降
0.3%
）和
0.534mH
（下
降
2%
），
q
轴电感出现磁饱和现象。从实验结果可
以看出，所采用的控制算法可以根据实时电流查表
得到电感变化值，通过
N-R
自动搜索算法结合变参
数电感快速得到电机的
MTPA
电流设定值。
转速设定值为
500r/min
，带载
20N
⋅
m
进行起动，
短时间内进行过电流实验，稳定到负载转矩平衡后，
（a）利用DA输出观测当前转矩、转速和直轴交轴电感波形
（b）利用DA输出观测直轴交轴电流的设定值和反馈值波形
图11 基于N-R算法的MTPA控制实验结果图
Fig.11 MTPA experimental results based on
N-R algorithm
负载转矩跳变到
40N
⋅
m
和
60N
⋅
m
，永磁同步电机采
用电流转速双闭环控制方法，存储电流数据得到四
个电流工作点，将采用常数电感的
MTPA
曲线和实
测电流数据画在同一
dq
轴电流平面内，如图
12
所
示。起动时电流实测值随着
L
1
方向跳变跟随达到最
大转矩
80N
⋅
m
，以最大转矩加速；平衡时，电流设
定值以
L
2
箭头方向跳变进入稳态运行，随后快速突
变负载转矩为
40N
⋅
m
和
60N
⋅
m
，电流设定值沿着箭
图12 MTPA控制曲线实测轨迹
Fig.12 The measured points on MTPA control
curve trajectory
1624 电 工 技 术 学 报 2019年4月
头
L
3
和
L
4
方向跳变后进入稳态运行，三个稳态运
行点电流设定值和不计磁饱和的
MTPA
曲线有一定
偏差，特别是在负载转矩变大或者给定转矩变大的
情况下，偏差更明显。
5 结论
内置式永磁同步电机（
IPMSM
）最大转矩电流
比控制方法（
MTPA
），可以实现最小电流条件下输
出最大转矩，得到广泛关注。受电感参数变化影响，
实际
MTPA
曲线会发生偏移。针对这一问题，本文
通过分析内置式永磁同步电机的磁饱和及交叉饱和
特性，构建电感关于交直轴电流的三维数据表格，
利用
N-R
搜索算法结合变参数电感得到
MTPA
电流
分配，所提方法省去了传统
MTPA
算法在参数变化
时的大量拟合和测定工作，同时考虑到了磁饱和产
生的偏移，提高了
MTPA
电流分配的精度。
本文设计的仿真和实验中，永磁同步电机的永
磁磁链看成常值，然而实际中受到温度或者老化影
响，同样会对
MTPA
控制精度产生一定影响，同本
文所提出的方法类似，可以采用构建数据表的方法
实现永磁磁链非线性的补偿，使用变参数的
N-R
方
法进行搜索可得到
MTPA
的电流设定值。
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magnet synchronous motors[J]. Transactions of China
Electrotechnical Society, 2014, 29(7): 97-103.
作者简介
康劲松 男，1972年生，教授，博士生导师，研究方向为电动汽
车用电力电子技术与电机控制技术，新能源变换与控制技术。
E-mail: kjs@
王 硕 男，1988年生，博士研究生，研究方向为车用永磁同步
电机高性能转矩控制研究。
E-mail: 1988wangshuo@（通信作者）
（编辑
郭丽军
）
2024年4月28日发(作者：靖勇毅)
2019年4月
第34卷第8期
电 工 技 术 学 报
TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY
Vol.34 No. 8
Apr. 2019
DOI: 10.19595/.180847
基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步
电机变电感参数最大转矩电流比控制方法
康劲松 王 硕
（同济大学电子与信息工程学院 上海 201804）
摘要 内置式永磁同步电机的最大转矩电流比控制充分利用了电机的磁阻转矩，以最小铜损
为目标，可以在最小电流条件下输出最大转矩。然而，永磁同步电机的电感存在磁饱和及交叉饱
和特性，实际中电感参数会随电流的变化而变化，这需要结合不同电感值进行大量繁琐的标定和
拟合工作。本文提出一种变电感参数的最大转矩电流比自动搜索方法，通过构建电感关于电流的
三维数据表格，利用二阶Newton-Raphson（N-R）自动搜索算法，将复杂的最大转矩电流比非线
性公式转化为微控制器易实现的迭代运算，提高电流分配精度，简化标定工作，仿真和实验验证
了所提出算法的有效性。
关键词：内置式永磁同步电机 最大转矩电流比控制 牛顿拉夫森搜索算法 磁饱和效应
交叉饱和效应
中图分类号：TM351
Newton-Raphson-Based Searching Method for Variable-Parameters
Inductance Maximum Torque Per Ampere Control Used for IPMSM
Kang Jinsong Wang Shuo
（College of Electronics and Information Tongji University ShangHai 201804 China）
Abstract For interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM), the maximum torque per
ampere control (MTPA) can produce maximum torque output under the minimum current conditions by
making full use of the reluctance torque. However, the inductance of IPMSM has magnetic saturation
and cross-saturation characteristics, and its parameters vary with current in practice. This requires a lot
of tedious calibration and fitting work. In this paper, MTPA searching method with variable inductance
parameters is proposed. By constructing inductance look-up-table (LUT) varying with current, a
second-order Newton-Raphson (N-R) searching algorithm is used to convert the complex MTPA
nonlinear relationship into iterative operation, which can be easily implemented by a microcontroller.
In this way, MTPA current distribution accuracy is improved and the calibration work is simplified. The
simulation and experiments verify the effectiveness of the proposed method.
Keywords：Permanent magnet synchronous motor (PMSM), maximum torque per ampere control
(MTPA), Newton-Raphson (N-R) algorithm, magnetic saturation, cross saturation
国家重点研发计划（2016YFB0100700）和中央高校基本科研业务费专项资金（1700219142）资助项目。
收稿日期 2018-05-22 改稿日期 2018-09-27
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1617
0 引言
内置式永磁同步电机（Interior Permanent Magnet
Synchronous Motor, IPMSM），具有效率高、功率密
度高、调速范围宽等优点，在新能源汽车电驱动系
统领域中大量使用。相对于表贴式永磁同步电机，
内置式永磁同步电机本身具备凸极性，输出转矩包
括永磁转矩和磁阻转矩两部分。对于同一给定转矩，
可以得到无数种交直轴电流分配方式，而最大转矩
电流比（Maximum Torque Per Ampere, MTPA）分配
方式是以铜损最小为目标，实现最小电流下的最大
输出转矩的控制方式，受到研究人员广泛关注。
基本的MTPA方法主要分为四种：第一类方法
是基于电机模型的公式法，这类方法利用了电机本
身的参数，如电感、磁链等，通过MTPA非线性公
式得到交直轴电流的设定值，然而由于电感存在磁
饱和及交叉饱和效应
[1-3]
，传统MTPA方法采用常数
电感参与计算是不能实现精确控制的。第二类方法
是针对变电感的查表法及辨识法
[4-6]
，该类方法通过
有限元分析软件或者静态实验预先得到电感的数据
表，之后再使用MTPA公式法，由于其数学关系的
复杂性，加之变电感因素，这需要大量的实验测定
工作或者拟合工作，加重了研究人员的工作负担。
另外一些研究人员通过采用参数辨识的方法进行在
线修正
[7-9]
，这无疑增加了算法的复杂度，参数辨识
的收敛速度需要进一步考虑。第三类方法是采用自
动搜索法
[10-12]
，如文献[11]提到的Hill-Climbing
法，然而所提出的方法并未考虑参数变化的影响，
控制的精确性不能保证。第四类方法是采用谐波注
入法
[13-15]
，将高频电流或者电压注入到电机系统中，
例如，文献[15]利用速度和电流传感器，将速度谐
波或电流谐波提取，进而得到MTPA最优转矩角。
这类方法需要考虑电流环的带宽，同时由于注入谐
波的存在，增加了电机的转矩脉动
[16-17]
。
本文借鉴第二类方法，构建电感关于交直轴电
流的三维数据表，并利用变参数电感及该电感关于
交直轴电流的变化率，来补偿传统MTPA算法拉格
朗日乘子法中磁饱和作用，在此基础上，提出了一
种Newton-Raphson（N-R）搜索算法，将复杂的
MTPA方程转化为微控制器易实现的N-R迭代方
程，实现对MTPA曲线的自动分配，简化了标定工
作，同时提高了永磁同步电机MTPA的控制精度。
1 永磁同步电机数学模型与传统MTPA
控制方法
假设永磁同步电机磁路为线性，即电感为常数，
并忽略温度变化引起的电阻变化，以定子电流和磁
链为状态变量，通过Clarke变换和Park变换，
IPMSM在同步旋转坐标系下的数学模型描述为
⎧
⎪
⎪
uR
d
ψ
d
=
s
i
d
+
d
−
ω
e
ψ
⎨
d
t
q
（1）
⎪
⎪
⎩
u
q
=
R
d
ψ
q
s
i
q
+
d
t
+
ω
e
ψ
d
⎧
⎪
⎨
ψ
d
=L
d
i
d
+
ψ
f
⎪
⎩
ψ
（2）
q
=L
q
i
q
T
e
=1.5p
(
ψ
d
i
q
−
ψ
q
i
d
)
=1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
q
+(L
d
−L
q
)i
d
i
q
⎤
⎦
（3）
式中，
ψ
d
和
ψ
q
分别是d、q轴磁链；u
d
和u
q
分别是
定子d、q轴电压；i
d
和i
q
分别是定子d、q轴电流；
L
d
和L
q
分别是d、q轴电感；R
s
、
ψ
f
和p分别是定
子电阻、永磁体磁链和电机的极对数；
ω
e
是电机的
电角速度。
MTPA控制方法是矢量控制中最常用的方法，即
在最小铜损的条件下达到最大转矩的控制方法
[12-15]
，
为了方便说明，后文用上标*代表设定值，MTPA数
学关系可以描述为
⎧
⎪
minR
s
(
i
*2
d
+i
*2
⎨
q
)
⎪
⎩
s.t.T
e
*
（4）
=1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+(L
d
−L
q
)i
*
q
i
*
d
⎤
⎦
引入拉格朗日乘子方程
H(i
*
d
,i
*
q
,
λ
)=i
*2
d
+i
*2
q
+
λ
{
T
e
*
−1.5p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+(L
d
−L
q
)i
*
d
i
*
q
⎤
⎦
}
（5）
对上述拉格朗日方程求偏导数可得
⎧
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
∂
i
=
2
i
*
3
d
−
λ
p
(
L
d
−
L
q
)
i
*
q
=
0
⎪
d
2
⎪
⎨
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
=
2
i
*
3
⎪
∂
i
q
−
λ
p
⎡
ψ
+
(
L
−
L
)
i
*
⎤
q
2
⎣
fdqd
⎦
=
0
⎪
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
=
T
*
−
3
⎪
p
⎡
ψ
i
*
+
(L
−
L)i
*
i
*
⎤
⎩
∂
λ
e
2
⎣
fqdqdq
⎦
=
0
（6）
求解式（6）可以得到
⎧
⎪
−
ψ
f
+
ψ
f
2
+
4(L
*2
⎪
⎨
i
*
d
−
L
q
)
2
i
q
d
=
2(L
d
−L
q
)
（7）
⎪
⎪
⎩
i
*
q
=
I
max
2
−
i
*2
d
重新整理式（7），可以得到
1618 电 工 技 术 学 报 2019年4月
⎡
2
⎢
⎢
i
*
⎣
d
+
ψ
f
⎤
2(
L
d
−
L
q
)
⎥
⎥
⎦
i
*2
q
ψ
2
−=
1
（8）
f
ψ
f
2
4(L
d
−L
q
)
2
4(L
d
−L
q
)
2
需要指出的是，式（8）表征了IPMSM的MTPA
表达式是一个双曲线的非线性函数，将其画在dq
轴电流平面内，交直轴电流平面MTPA控制曲线如
图1所示。电动状态下该曲线位于第二象限内，传
统MTPA控制算法框图如图2所示。传统的MTPA
控制方法采用常数电感查表法或拟合法获得MTPA
电流设定值。然而实际中电机电感参数随着电流工
作点的不同发生变化，特别是在负载有较多变化的场
合，使用定常电感参数进行MTPA获取是不精确的，
直接标定MTPA曲线，则需要进行大量的拟合工作
和数据存储工作，大大加重了研究人员的工作负担。
图1 交直轴电流平面MTPA控制曲线
Fig.1 MTPA control curve in dq current plane
图2 传统MTPA控制算法框图
Fig.2 Block diagram of traditional MTPA
control algorithm
2 考虑磁路饱和及交叉饱和影响下的永磁
同步电机数学模型
实际中在电流很大或者负载很大的情况下，磁
链不能表示为关于电流线性方程，即电感不为常
数
[4]
。以本文所采用的电机为例进行说明，交直轴
磁链磁路饱和现象如图3所示。由图3可知，在电
流很小的条件下，定子磁链和电流基本呈线性关系，
随着电流上升，交直轴磁链增长缓慢，出现磁饱和
特性，呈现S型，此时斜率变小，电感出现下降。
交直轴磁链交叉饱和现象如图4所示。由图4可知，
随着交轴电流的增加，直轴磁链增长速率变缓，反
之会出现相似现象，被称为电感磁路交叉饱和。事
实上，由于直接给出电感关于电流的解析方程是困
难的，通常情况下获得电感的方法为静态测试法
[18]
和有限元分析法。图5是通过有限元分析法获得本
文样机的交直轴电感随交直轴电流变化的结果，随
着电流增大，可以看出电感明显地下降。
（a）直轴磁链
（b）交轴磁链
图3 交直轴磁链磁路饱和现象
Fig.3 Magnetic saturation phenomenon
考虑到磁路饱和及交叉饱和现象下，直轴和交
轴磁链可以表示为电感关于交直轴电流的非线性函
数，即
（a）直轴磁链磁
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1619
（b）交轴磁链磁
图4 交直轴磁链交叉饱和现象
Fig.4 Cross magnetic saturation phenomenon
（a）直轴电感随电流变化三维图
（b）交轴电感随电流变化三维图
图5 直交轴电感的磁饱和及交叉饱和现象
Fig.5 Magnetic saturation and cross-saturation for
dq-axis inductance
⎧
⎪
ψ
d
(i
d
,i
q
)=
ψ
f
+L
d
(i
d
,i
q
)i
⎨
d
⎪
⎩
ψ
q
(i
d
,i
q
)
=
L
（9）
q
(i
d
,i
q
)i
q
式中，
ψ
d
(i
d
,i
q
)和
ψ
q
(i
d
,i
q
)是受磁饱和影响下的直轴和
交轴磁链；L
d
(i
d
,i
q
)和L
q
(i
d
,i
q
)是关于直轴和交轴电流
的静态电感
[3-4,7]
。考虑磁路饱和的永磁同步电机数
学模型可以改写为
⎧
⎪
u
=
Ri
+
d
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
−
ω
⎪
dsd
d
t
e
ψ
q
(
i
d
,
i
q
)
⎪
⎪
d
ψ
q
⎨
u
(
i
d
,
i
q
)
q
=
R
s
i
q
++
ω
e
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
（10）
⎪
d
t
⎪
T
⎡
ψ
d
(
i
d
,
i
q
)
i
q
−
ψ
q
(
i
d
,
i
⎪
e
=1.5
p
⎣
q
)
i
d
⎤
⎦
⎪
⎩
=1.5
p
{
ψ
f
i
q
+
⎡
⎣
L
d
(
i
d
,
i
q
)
−
L
q
(
i
d
,
i
q
)
⎤
⎦
i
d
i
q
}
由于磁饱和数学关系较为复杂，本文将采用基
于图5的离散数据点构成变电感数据表，离散数据
点和点之间用二阶插值法进行补偿。
3 变电感参数Newton-Raphson搜索算法
Newton-Raphson（N-R）搜索算法是数值分析
中最重要的方法之一，不仅适用于方程或方程组的
求解，还常用于微分方程和积分方程求解，是一种
非线性方程自动搜索的数值解法。
由IPMSM磁路饱和的数学模型式（10）可知，
考虑到磁饱和特性与电感关于电流变化率，给定转
矩
T
e
*
的条件下，拉格朗日方程式（6）的偏导数可
以改为
⎧
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
∂
i
=2
R
s
i
*
d
−
⎪
d
⎪
⎪
λ
3
p
⎡
⎪
2
⎢
⎢
(
L
d
(
i
d
,
i
q
)−
L
q
(
i
d
,
i
q
)
)
i
*
q
+
⎛
⎜
∂
L
d
∂
i
−
∂
L
q
⎞
**
⎤
∂
i
⎟
i
d
i
q
⎥
=0
d
⎪
⎣
⎝
d
⎠
⎥
⎦
⎪
*
⎪
∂
H
(
i
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
=
2
R
s
i
*
⎨
∂
i
q
−
q
⎪
⎪
⎪
λ
3
p
⎡
⎢
ψ
+
(
L
(
i
,
i
)
−
L
(
i
,
i
)
)
i
*
+
⎛
⎜
∂
L
d
−
∂
L
q
⎞
⎟
i
*
i
*
⎤
⎥
=
⎪
2
⎢
fddqqdqd
⎣
⎜
⎝
∂
i
q
∂
i
q
⎟
⎠
dq
⎥
0
⎦
⎪
⎪
∂
H
(
i
*
d
,
i
*
q
,
λ
)
⎪
⎪
∂
λ
=
⎪
⎪
⎩
T
e
*
−
3
2
p
⎡
⎣
ψ
f
i
*
q
+
(
L
d
(i
d
,i
q
)−L
q
(i
d
,i
q
)
)
i
*
d
i
*
q
⎤
⎦
=0
（11）
化简式（11）可以得到
⎧
⎪
f
(
i
*
d
,
i
*
q
)
=
T
e
*
−
3
p
⎡
ψ
f
i
*
q
+
(
L
d
−
L
q
)
i
*
d
i
*
q
⎤
=
0
⎪
⎣⎦
⎪
2
⎨
⎪
g
(
i
*
d
,
i
*
q
)
=
ψ
f
i
*
d
+
(
L
d
−
L
q
)
i
*2
d
−
（12）
⎪
⎪
⎩
(
L
d
−
L
q
)
i
*2
q
+
L
2
i
*2
d
i
*
q
−
L
1
i
*
d
i
*2
q
=
0
其中
L
∂L
∂L
q
1
=
d
∂i
−
L
∂L
∂L
q
2
=
d
−
d
∂i
d
∂i
q
∂i
q
式中，
g
(
i
*
d
,
i
*
q
)
由式（11）前两个方程消去参数
λ
得
出；
f(i
*
d
,i
*
q
)
来源于转矩方程式（3）。
假设存在连续方程
f
(
i
*
d
,i
*
q
)
和
g
(
i
*
d
,i
*
q
)
，并且在
其邻域内
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,i
*
q
+Δ
i
*
q
)
存在二阶连续偏导数，将
两个方程在其邻域内展开成泰勒级数，并忽略高次
项，可以得到
1620 电 工 技 术 学 报 2019年4月
⎧
⎪
f
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
+Δ
i
*
q
)
≈
⎪
⎪
*
⎪
fi
,
i
⎪
(
*
)
+Δ
i
∂
f
(
i
*
d
,
i
*
q
)
d
*
q
*
d
∂i
*
+Δ
i
*
∂
f
(
i
d
,
i
*
q
)
q
∂i
*
=
0
⎨
dq
（
13
）
⎪
⎪
g
(
i
*
d
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
+Δ
i
*
q
)
≈
⎪
⎪
⎪
gi
*
)
∂
g
(
i
*
d
,
i
*
+Δ
i
*
q
)
∂
g
(
i
*
)
d
,
i
*
qd
+Δ
i
*
d
,
i
*
q
⎩
(
∂
i
*
q
∂
i
*
=
0
dq
偏导数部分可以用雅克比矩阵得到，即
⎡
⎢
∂f
(
i
*
d
,i
*
q
)
∂f
(
i
*
d
,i
*
q
)
⎤
⎥
J
=
⎢
⎢
∂
i
*
d
∂
i
*
d
⎥
f
y
⎤
⎢
⎢
∂gi
*
d
,i
*
q
)
∂g
()
⎥
简化符号
⎡
f
x
(
i
*
d
,i
*
q
⎥
=
⎢
⎢
⎣
g
x
g
⎥
=
y
⎥
⎦
⎢
⎣
∂i
*
d
∂i
*
⎥
q
⎥
⎦
⎡
⎢
−
3
()
3
()
⎢
2
pL
d
−
L
q
i
*
q
−
2
p[
ψ
f
+
L
d
−
L
q
i
*
⎤
d
]
⎥
⎢
⎣
ψ
f
+
2
(
L
d
−
L
q
)
i
*
d
+
2L
2
i
*
d
i
*
q
−
L
1
i
*2
d
L
2
i
*2
d
−
2
(
L
d
−
L
q
)
i
*
q
−
2L
1
i
*
d
i
*
⎥
q
⎥
⎦
（
14
）
如果将
Δ
i
*
d
=
i
*
d
n+
1
−
i
*
d
n
和
Δi
*
q
=i
*
qn
+
1
−i
*
qn
代入式（
13
），
根据
N-R
算法，由式（
13
）得到的二元函数解可以
表示为迭代形式
⎡
⎢
i
*
d
n+
1
⎤⎡
i
*
d
n
⎤
⎡
f(i
*
d
n
, i
*
q
n
)
⎤
⎢
⎣
i
*
⎥
=
⎢
q
n+
1
⎥
⎦
⎢
⎣
i
*
⎥
−
J
−
1
⎢
q
n
⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
g
(
i
*
i
（
15
）
d
n
,
*
q
n
)
⎥
⎦
其中，
f
x
、
f
y
、
g
x
、
g
y
需要满足条件
g
x
f
y
−
f
x
g
y
≠0
（
16
）
将雅克比矩阵式（
14
）的逆矩阵代入式（
15
）
得到
N-R
搜索算法的迭代形式
⎧
**
⎪
i
dn+1
=i
dn
+
⎪
⎪
f
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
g
y
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
−g
(
i
*
dn
, ,i
*
qn
)
f
y
(
i
*
dn
i
*
qn
)
⎪
⎪
g
x
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
f
y
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
−
f
x
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
)
g
y
(
i
*
d
n
, i
*
q
n
⎨
)
=
i
⎪
i
*
⎪
q
n+
1
*
q
n
+
⎪
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
−
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
⎪
q
n
)
⎪
⎩
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
f
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
−
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
qn
)
g
y
(
i
*
dn
, i
*
qn
)
（
17
）
式中，
i
*
dn+1
和
i
*
q
n+
1
是第
n
+1
次迭代最优解
i
*
d
和
i
*
q
的
设定值；
i
*
d
n
和
i
*
q
n
是第
n
次迭代的最优解
i
*
d
和
i
*
q
的设
定值，
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
和
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
是
i
*
d
n
和
i
*
q
n
的评价函数
（其中
f
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
≠
0
和
g
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
≠
0
，因为当前的
i
*
d
n
和
i
*
q
n
并不一定是最优解）。四个偏导数
f
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
、
f
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
和
g
x
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
、
g
y
(
i
*
d
n
,
i
*
q
n
)
是从雅克比矩阵
式（
14
）中获得。
n
是从
1
开始的迭代次数。迭代过
程从初始值
i
*
d0
和
i
*
q0
开始，第二步是由第一步通过
式（
17
）获得，如此循环迭代，得到
MTPA
的电流
设定值。
为提高
MTPA
控制电流设定值最优解的精度，
定义两次迭代误差的二次方和为
E
（本文中设定
E
=
0.01
2
），迭代收敛条件设为
(
i
*
d
n+
1
−i
*
2
d
n
)
+
(
i
**
2
q
n+
1
−i
q
n
)
＜
E
（
18
）
图
6
是
N-R
自动搜索算法
MTPA
控制方法流
程。首先通过采集电流查表得到当前的电感
L
d
(
i
d
,
i
q
)
和
L
q
(
i
d
,
i
q
)
，计算电感偏导数矩阵与前述的
L
1
和
L
2
，
设定电流初值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
，
k
代表当前迭代次
数，
N
代表迭代次数的最大值，计算初次迭代的雅
克比矩阵J和初始函数值
f
(
i
d1
,
i
q1
)
和
g
(
i
d1
,
i
q1
)
，利用
式（
17
）更新
i
d1
和
i
q1
，迭代次数
k
+1
，判断条件，
反复迭代更新，继续搜索，直到两次迭代的误差二
次方和小于
E
，最终输出
MTPA
最优设定值
i
dMTPA
和
i
qMTPA
。如果迭代
10
次，此时
k
=
N
，标记未找到
最优的收敛值，则重新选取初始值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
，
（a）所提出的N-R算法框图
（b）N-R搜索算法流程
图6 基于N-R自动搜索算法的MTPA控制方法流程
Fig.6 Flow chart MTPA control method based on N-R
search algorithm
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1621
重新搜索。一般来说，
N-R
方程只有局部收敛性，
当初始值离最优值太远时，迭代将不收敛；一旦初
始值进入收敛域内，
N-R
搜索法就有较快收敛速度。
由于电动条件下的
MTPA
曲线位于第二象限，交直
轴电流的初始值的选择应限制在第二象限的电流极
限圆内，迭代初值
i
d0
、
i
q0
和
i
d1
、
i
q1
的选择及迭代精
度
E
的设定对
N-R
方法的迭代步数的影响将在第
4.1
节进一步讨论。
4 仿真分析与实验验证
4.1
仿真分析
为验证所提出算法的有效性，进行了基于
Matlab/
Simulink
的仿真实验，仿真中具有饱和效应的永磁
同步电机采用自行搭建的模块构建，其参数见表
1
，
磁饱和效应电感数据表由有限元分析结果图
5
导
出，存储为三维数据表格，两个离散数据点之间利
用线性插值补偿，
N-R
搜索方法用
m
函数编写，具
体算法框图如图
6a
和图
6b
所示。
表1 永磁同步电机样机参数
Tab.1 The parameters of prototype permanent-magnet
synchronous machine
参 数 数 值
额定转矩/(N⋅m)
32
峰值转矩/(N⋅m)
80
额定转速/(r/min)
2 400
定子电阻/Ω
0.1
直轴电感/mH 0.306～0.335
交轴电感/mH 0.450～0.545
极对数
4
永磁磁链/Wb
0.067 22
为了探索直轴和交轴电流初始值
i
*
d0
和
i
*
q0
的选
取与精度设定对于
MTPA
搜索结果的影响，采用表
1
中电机参数进行了仿真，其中直轴和交轴电感采
用额定值
0.335mH
和
0.545mH
，仿真结果如图
7
所
示，直轴和交轴电流
i
*
d
和
i
*
q
迭代初始值（
i
*
d0
,
i
*
q0
）
分别选取不同初值数据对作为搜索起点，在所选取
的所有初始值条件下，最终收敛到
MTPA
设定值
（−
68.63A, 163.33A
），仅仅需要
4
次迭代。给定转
矩为
5N·m
时，同样从上述不同初始值出发，同样
仅需要
4
次迭代，即可得到
MTPA
设定值（−
0.48A,
12.38A
）。
以（−
60A, 60A
）和（−
4A, 80A
）为搜索起点，
考虑变电感条件下
N-R
搜索算法迭代收敛过程见表
（a）T
e
=80N·m
（b）T
e
=5N·m
图7 N-R算法电流设定值收敛过程
Fig.7 N-R algorithm current optimal reference
convergence process with T
e
=80N·m and T
e
=5N·m
2
，对于每一行的搜索结果，从两个不同初始搜索起
点，均可以收敛到同一
MTPA
电流设定值。对比表
2
的第一行和第二行，由于电感磁饱和效应，较大
给定转矩会使得电感下降。对比第一行和第三行的
收敛结果，定义
E
为式（
18
）的误差精度，当
E
=0.01
2
时，需要
4
步迭代达到
MTPA
设定值（−
57.29A,
177.75A
），而当
E
=0.000 1
2
时，需要
5
步迭代可以
达到
MTPA
设定值（−
57.285 5A, 177.752 1A
），精
度提高到小数点后第四位，设定的精度越高，收敛
速度越慢，占用资源越多，本文则采用
E
=0.01
2
作
为设定精度。仿真结果表明，相较于传统
MTPA
控
制算法存在的大量的查表插值运算，重复试验测定，
所提出的
N-R
搜索算法可以从不同初始值出发，仅
需要少于
5
步迭代运算即可达到
MTPA
的电流设定
值。无论是低转矩
5N
⋅
m
，还是峰值转矩
80N
⋅
m
所
有范围内，均具有较快的收敛速度。
为了验证磁饱和现象存在对于
MTPA
曲线轨迹
偏移的影响，仿真采用转矩给定，恒定转速为
500r/min
进行仿真，仿真时间为
0.5s
，初始给定转
矩为
10N
⋅
m
，
0.2s
时跳变到
40N
⋅
m
，
0.4s
时跳变到
70N
⋅
m
，电流设定值为黑色细实线，电流反馈值为
灰色，仿真结果如图
8
所示。传统算法采用常数电
1622 电 工 技 术 学 报 2019年4月
表2 N-R搜索算法初始值与精度选择对迭代次数的影响
Tab.2 Influence of initial value and precision selection on iteration
设定工况 dq电流初始值
T
e
=80N·m, E=0.01
2
(−60A, 60A)
迭代收敛过程
(−60, 60)→(−35.08,
179.58)→(−57.96, 177.45)→(−57.29, 177.75)
(−4,80)→(−47.73,
189.74)→(−57.10, 177.61)→(−57.29, 177.75)
(20, 60)→(−5.42,
19.29)→(−0.44,
12.49)→(−0.50, 12.38)
(−4,80)→(11.97, 16.35)→(−0.97, 12.38) →(−0.50, 12.38)
L
d
=0.302mH, L
q
=0.438mH
(−4A, 80A)
T
e
=5N·m, E=0.01
2
(−60A, 60A)
L
d
=0.335mH, L
q
=0.544mH
(−4A, 80A)
T
e
=80N·m, E=0.000 1
2
(−60A, 60A)
(−60, 60)→(−35.0818, 179.5790)→(−57.9589, 177.4470)→(−57.2858, 177.7516)→(−57.2855, 177.7521)
(−4, 80)→(−47.7325, 189.7397)→(−57.1019,
177.6051)→(−57.2855,
177.7521)
(−60, 60)→(−5.4230, 19.2941)→(−0.4377, 12.4898)→(−0.4982, 12.3770)
(−4,80)→(11.9664, 16.3455)→(−0.9692, 12.1832)→(−0.4989, 12.3767)→(−0.4983, 12.3770)
L
d
=0.302mH, L
q
=0.438mH
(−4A, 80A)
T
e
=5N·m, E=0.000 1
2
(−60A, 60A)
感
MTPA
公式法，
L
d
和
L
q
使用常参数分别为
0.335mH
和
0.545mH
。
0
～
0.2s
区间内，给定转矩较小时，磁
饱和现象不明显，最终得到的电流设定值相差较小。
L
d
=0.335mH, L
q
=0.544mH
(−4A, 80A)
将考虑和忽视磁饱和及交叉饱和效应的恒转矩
如图曲线和电流极限圆画在同一
dq
轴电流平面上，
9
所示，采用定常数电感值的
MTPA
曲线和转矩曲
线为三角形线，本文所采用的变电感
N-R
搜索算法，
相应的
MTPA
曲线和转矩曲线为黑色实线。图
9
仿
真结果表明，考虑和忽略磁饱和效应下，
MTPA
的
最优电流轨迹曲线会发生偏移，恒转矩曲线也因为
电感参数变化发生偏移，特别是在电流极限圆附近，
交直轴电流给定值偏差较大，使得电机不能完全工
作在最小铜损的工作条件下，系统效率降低。
0.2
～
0.4s
区间内，
L
d
下降
6.6%
，
L
q
下降
3.9%
，传
统算法和变电感
N-R
搜索算法的直轴和交轴电流设
定值出现偏差，偏差为
1.8A
和
1.5A
。
0.4
～
0.5s
区
间内，继续增加转矩到
70N
⋅
m
，出现了严重的磁饱
和现象，
L
d
下降
8.7%
，
L
q
下降
16.9%
，此时直轴电
流和交轴电流设定值偏差分别为
8.9A
和
9.9A
，如
果采用定常数电感，在磁饱和情况下导致电感参数
不准确，造成了交直轴电流设定值偏离
MTPA
真实
曲线，最终导致电流损耗加大。
（a）传统公式法的MTPA控制
图9 MTPA控制曲线轨迹考虑或忽视磁饱和效应
Fig.9 MTPA control trajectory considering or ignoring
the magnetic saturation effect
4.2
实验分析
为了进一步验证所提出的变电感
N-R
搜索算法
的控制效果，搭建了由内置式永磁同步电机、减速
比为
5
的减速机、转矩传感器、磁粉制动器组成的
（b）考虑磁饱和效应的N-R算法
实验平台，如图
10a
所示。电机负载由磁粉制动器
提供，可以选择手动调节或者
DA
输出调节两种方
式。电机主要参数与表
1
相同，电机控制器由
图8 转矩阶跃响应仿真结果
Fig.8 simulation results dealing with torque step
DSP28335
为主控芯片，采用三相桥式
IGBT
作为逆
第34卷第8期 康劲松等 基于Newton-Raphson搜索算法的永磁同步电机变电感参数最大转矩电流比控制方法 1623
变器，电流环采样频率为
10kHz
，转速环采样频率
为
100Hz
。电机控制器如图
10b
所示。控制算法利
用
Simulink
中的
embedded coder
进行代码自动生
成，通过编译链接可以自动下载到
DSP
中，可以快
速高效地验证算法的正确性。
（a）永磁同步电机实验台架
（b）控制器
图10 永磁同步电机实验控制系统平台
Fig.10 IPMSM experimental control system platform
实验结果如图
11
所示，为了方便观测，将各个
信号以
DA
输出方式输出至示波器显示，电感实测
波形用实际直轴交轴电感分别减去
0.335mH
和
0.545mH
以
DA
输出方式输出，速度环输出上限设
置为
20N
⋅
m
，由于实验限制，实验平台不能长时间
运行于过电流状态，电流上限设置为
60A
。永磁同
步电机以
200r/min
稳定运行，此时的电感值近似于
额定值
0.335mH
和
0.545mH
，突变转速指令到
600r/min
，转速
PI
输出达到上限，电机控制在
20N
⋅
m
转矩下进行加速运动，此时电机的直轴和交轴电感
分别为
0.330mH
和
0.532mH
，磁饱和现象较为明显。
当速度再次达到稳态
600r/min
时，控制磁粉制动器
加入负载转矩
10N
⋅
m
，最终，电机直轴、交轴电感
分别下落到
0.333mH
（下降
0.3%
）和
0.534mH
（下
降
2%
），
q
轴电感出现磁饱和现象。从实验结果可
以看出，所采用的控制算法可以根据实时电流查表
得到电感变化值，通过
N-R
自动搜索算法结合变参
数电感快速得到电机的
MTPA
电流设定值。
转速设定值为
500r/min
，带载
20N
⋅
m
进行起动，
短时间内进行过电流实验，稳定到负载转矩平衡后，
（a）利用DA输出观测当前转矩、转速和直轴交轴电感波形
（b）利用DA输出观测直轴交轴电流的设定值和反馈值波形
图11 基于N-R算法的MTPA控制实验结果图
Fig.11 MTPA experimental results based on
N-R algorithm
负载转矩跳变到
40N
⋅
m
和
60N
⋅
m
，永磁同步电机采
用电流转速双闭环控制方法，存储电流数据得到四
个电流工作点，将采用常数电感的
MTPA
曲线和实
测电流数据画在同一
dq
轴电流平面内，如图
12
所
示。起动时电流实测值随着
L
1
方向跳变跟随达到最
大转矩
80N
⋅
m
，以最大转矩加速；平衡时，电流设
定值以
L
2
箭头方向跳变进入稳态运行，随后快速突
变负载转矩为
40N
⋅
m
和
60N
⋅
m
，电流设定值沿着箭
图12 MTPA控制曲线实测轨迹
Fig.12 The measured points on MTPA control
curve trajectory
1624 电 工 技 术 学 报 2019年4月
头
L
3
和
L
4
方向跳变后进入稳态运行，三个稳态运
行点电流设定值和不计磁饱和的
MTPA
曲线有一定
偏差，特别是在负载转矩变大或者给定转矩变大的
情况下，偏差更明显。
5 结论
内置式永磁同步电机（
IPMSM
）最大转矩电流
比控制方法（
MTPA
），可以实现最小电流条件下输
出最大转矩，得到广泛关注。受电感参数变化影响，
实际
MTPA
曲线会发生偏移。针对这一问题，本文
通过分析内置式永磁同步电机的磁饱和及交叉饱和
特性，构建电感关于交直轴电流的三维数据表格，
利用
N-R
搜索算法结合变参数电感得到
MTPA
电流
分配，所提方法省去了传统
MTPA
算法在参数变化
时的大量拟合和测定工作，同时考虑到了磁饱和产
生的偏移，提高了
MTPA
电流分配的精度。
本文设计的仿真和实验中，永磁同步电机的永
磁磁链看成常值，然而实际中受到温度或者老化影
响，同样会对
MTPA
控制精度产生一定影响，同本
文所提出的方法类似，可以采用构建数据表的方法
实现永磁磁链非线性的补偿，使用变参数的
N-R
方
法进行搜索可得到
MTPA
的电流设定值。
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作者简介
康劲松 男，1972年生，教授，博士生导师，研究方向为电动汽
车用电力电子技术与电机控制技术，新能源变换与控制技术。
E-mail: kjs@
王 硕 男，1988年生，博士研究生，研究方向为车用永磁同步
电机高性能转矩控制研究。
E-mail: 1988wangshuo@（通信作者）
（编辑
郭丽军
）