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组合恒等式的证明方法与技巧
2024年5月6日发(作者：广高卓)
证明组合恒等式的方法与技巧
前言
组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组
合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关
的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样
化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．
1. 利用组合公式证明
组合公式：
C
n
=
m
n!
m
（!n－m）！
m
m
－
1
例1． 求证：m
C
n
=n
C
n
－
1
分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式
代入，经过简化比较，等号两边相等即可．
证：∵ m
C
n
=
m
mn!
m
（!n－m）！
n
（
n
－1）
!n
（
n
－1）
!mmn!
==
（
m
－
1
）（
!n
－
m
）！（
m
－
1
）（
!n
－
m
）！
m
m
（!n－m）！
m
－
1
C
n
－
1
=
m
m
－
1
∴ m
C
n
=n
C
n
－
1
.
技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，
对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可
取．
2. 利用组合数性质证明
组合数的基本性质：（1）
C
n
=
C
n
m
m
n
－
m
m
－
1
（2）
C
n
＋
1
=
C
n
+
C
n
m
k
－
1
k
（3）k
C
n
=n
C
n
－
1
（4）
C
n
＋
C
n
＋
C
n
...＋
C
n
＝
2
012n
n
（5）
C
n
－
C
n
＋
C
n
－
C
n
＋...＋（－1）
C
n
＝0
0123nn
例2：求证：
C
n
＋
2
C
n
＋3
C
n
...＋n
C
n
＝n
2
123n
n
－
1
分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组
k
－
1
k
合数的基本性质：k
C
n
=n
C
n
－
1
，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质
1
C
n
0
＋
C
n
＋
C
n
2
...＋
C
n
n
＝
2
n
可得到证明．
k
－
1
k
证：由k
C
n
=n
C
n
－
1
得
C
n
＋2
C
n
＋3
C
n
...＋n
C
n
＝
n
C
n
－
1
＋
n
C
n
－
1
＋
n
C
n
－
1
...＋n
C
n
－
1
＝n（
C
n
－
1
＋
C
n
－
1
＋
C
n
－
1
...＋
C
n
－
1
）
＝n
2
0
012n
－
1
012n
－
1
123n
n
－
1
.
2k
－
1k
－
1
例3．求证：
C
m
＋
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
＝
C
m
＋
k
分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m＝下标，而且各项下标是递增＋
1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．
证：由性质（2）可得
C
m
＋
i
＋
1
=
C
m
＋
i
+
C
m
＋
i
（i∈N）
即
C
m
＋
i
＝
C
m
＋
i
＋
1
－
C
m
＋
i
令i＝1，2，…，k－1，并将这k－1个等式相加，得
12k
－
1
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
i
1
i
ii
－
1
i
i
－
1
＝
C
m
＋
2
－
C
m
＋
1
＋
C
m
＋3
－
C
m
＋2
＋...＋
C
m
＋
k
－
C
m
＋
k
－1
＝－
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
k
＝－
C
m
＋
C
m
＋
k
∴
C
m
＋
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
＝
C
m
＋
k
.
技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在
的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．
012k
－
1k
－
1
0
1021k
－
1k
－
2
k
－
1
0k
－
1
3. 利用二项式定理证明
2024年5月6日发(作者：广高卓)
证明组合恒等式的方法与技巧
前言
组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组
合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关
的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样
化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．
1. 利用组合公式证明
组合公式：
C
n
=
m
n!
m
（!n－m）！
m
m
－
1
例1． 求证：m
C
n
=n
C
n
－
1
分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式
代入，经过简化比较，等号两边相等即可．
证：∵ m
C
n
=
m
mn!
m
（!n－m）！
n
（
n
－1）
!n
（
n
－1）
!mmn!
==
（
m
－
1
）（
!n
－
m
）！（
m
－
1
）（
!n
－
m
）！
m
m
（!n－m）！
m
－
1
C
n
－
1
=
m
m
－
1
∴ m
C
n
=n
C
n
－
1
.
技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，
对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可
取．
2. 利用组合数性质证明
组合数的基本性质：（1）
C
n
=
C
n
m
m
n
－
m
m
－
1
（2）
C
n
＋
1
=
C
n
+
C
n
m
k
－
1
k
（3）k
C
n
=n
C
n
－
1
（4）
C
n
＋
C
n
＋
C
n
...＋
C
n
＝
2
012n
n
（5）
C
n
－
C
n
＋
C
n
－
C
n
＋...＋（－1）
C
n
＝0
0123nn
例2：求证：
C
n
＋
2
C
n
＋3
C
n
...＋n
C
n
＝n
2
123n
n
－
1
分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组
k
－
1
k
合数的基本性质：k
C
n
=n
C
n
－
1
，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质
1
C
n
0
＋
C
n
＋
C
n
2
...＋
C
n
n
＝
2
n
可得到证明．
k
－
1
k
证：由k
C
n
=n
C
n
－
1
得
C
n
＋2
C
n
＋3
C
n
...＋n
C
n
＝
n
C
n
－
1
＋
n
C
n
－
1
＋
n
C
n
－
1
...＋n
C
n
－
1
＝n（
C
n
－
1
＋
C
n
－
1
＋
C
n
－
1
...＋
C
n
－
1
）
＝n
2
0
012n
－
1
012n
－
1
123n
n
－
1
.
2k
－
1k
－
1
例3．求证：
C
m
＋
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
＝
C
m
＋
k
分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m＝下标，而且各项下标是递增＋
1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．
证：由性质（2）可得
C
m
＋
i
＋
1
=
C
m
＋
i
+
C
m
＋
i
（i∈N）
即
C
m
＋
i
＝
C
m
＋
i
＋
1
－
C
m
＋
i
令i＝1，2，…，k－1，并将这k－1个等式相加，得
12k
－
1
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
i
1
i
ii
－
1
i
i
－
1
＝
C
m
＋
2
－
C
m
＋
1
＋
C
m
＋3
－
C
m
＋2
＋...＋
C
m
＋
k
－
C
m
＋
k
－1
＝－
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
k
＝－
C
m
＋
C
m
＋
k
∴
C
m
＋
C
m
＋
1
＋
C
m
＋
2
＋...＋
C
m
＋
k
－
1
＝
C
m
＋
k
.
技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在
的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．
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1
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k
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3. 利用二项式定理证明