2024年5月8日发(作者：保暮雨)
初中三角函数的应用例题
1.一座山峰高度为1800米，从山脚测得与山顶的夹角为30°，求山
脚到山顶的实际水平距离。
解：设山脚到山顶的水平距离为x，则根据三角函数的定义，有
tan30°=1800/x。
将30°转化为弧度制，即tan(π/6)=1800/x，解得
x=1800/(tan(π/6)) ≈ 3600米。
所以山脚到山顶的实际水平距离约为3600米。
2.一条船从港口出发，先顺时针航行90°，然后逆时针航行120°，
最后顺时针航行150°，求船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之
间的夹角。
解：根据题意，船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹
角等于船的顺时针航行角度减去船的逆时针航行角度，即90°-
120°+150°=120°。
所以船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角为120°。
3.一个轮半径为40厘米的车轮以每秒10米的速度匀速滚动，求车轮
的角速度。
解：车轮每滚动一周，车轮上的任意一点都绕轮心旋转360°，所以
车轮的角速度是360°/一周所需要的时间。滚动一周的时间可以通过速
度和距离的关系求得，即一周所需时间为2πr/v，其中r为半径，v为速
度。
所以车轮的角速度为360°/(2πr/v)=(360°v)/(2πr)。
代入半径r=40厘米和速度v=10米/秒，计算可得车轮的角速度约为
(360°×10米/秒)/(2π×40厘米)≈0.90弧度/秒。
4.一架飞机从A地飞往B地，两地相距1200公里。飞机的地速为
400千米/小时，假设直飞过程中风速与飞机速度方向相反，风速为120
公里/小时，求飞机的实际航速和方向。
解：设飞机的实际航速为v，飞机速度与风速的夹角为θ。根据三角
函数的定义，有cosθ=(400-120)/v。
所以实际航速v=(400-120)/cosθ = 280/cosθ千米/小时。
又根据cosθ=(1200/v)，可得cosθ=1200/v。
将这两个式子相等，即280/cosθ = 1200/v，解得v=1200×280/
（1200+280） ≈ 103.45千米/小时。
所以飞机的实际航速约为103.45千米/小时。
再将cosθ=1200/v代入，可得cosθ=1200/103.45 ≈ 11.59
通过反余弦函数，可求得θ≈79.98°。
所以飞机的方向与目标地的方向夹角约为79.98°。
2024年5月8日发(作者：保暮雨)
初中三角函数的应用例题
1.一座山峰高度为1800米，从山脚测得与山顶的夹角为30°，求山
脚到山顶的实际水平距离。
解：设山脚到山顶的水平距离为x，则根据三角函数的定义，有
tan30°=1800/x。
将30°转化为弧度制，即tan(π/6)=1800/x，解得
x=1800/(tan(π/6)) ≈ 3600米。
所以山脚到山顶的实际水平距离约为3600米。
2.一条船从港口出发，先顺时针航行90°，然后逆时针航行120°，
最后顺时针航行150°，求船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之
间的夹角。
解：根据题意，船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹
角等于船的顺时针航行角度减去船的逆时针航行角度，即90°-
120°+150°=120°。
所以船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角为120°。
3.一个轮半径为40厘米的车轮以每秒10米的速度匀速滚动，求车轮
的角速度。
解：车轮每滚动一周，车轮上的任意一点都绕轮心旋转360°，所以
车轮的角速度是360°/一周所需要的时间。滚动一周的时间可以通过速
度和距离的关系求得，即一周所需时间为2πr/v，其中r为半径，v为速
度。
所以车轮的角速度为360°/(2πr/v)=(360°v)/(2πr)。
代入半径r=40厘米和速度v=10米/秒，计算可得车轮的角速度约为
(360°×10米/秒)/(2π×40厘米)≈0.90弧度/秒。
4.一架飞机从A地飞往B地，两地相距1200公里。飞机的地速为
400千米/小时，假设直飞过程中风速与飞机速度方向相反，风速为120
公里/小时，求飞机的实际航速和方向。
解：设飞机的实际航速为v，飞机速度与风速的夹角为θ。根据三角
函数的定义，有cosθ=(400-120)/v。
所以实际航速v=(400-120)/cosθ = 280/cosθ千米/小时。
又根据cosθ=(1200/v)，可得cosθ=1200/v。
将这两个式子相等，即280/cosθ = 1200/v，解得v=1200×280/
（1200+280） ≈ 103.45千米/小时。
所以飞机的实际航速约为103.45千米/小时。
再将cosθ=1200/v代入，可得cosθ=1200/103.45 ≈ 11.59
通过反余弦函数，可求得θ≈79.98°。
所以飞机的方向与目标地的方向夹角约为79.98°。