2024年5月8日发(作者：詹密思)
对e的sinx次方定积分
题目：对 $e^{sin(x)}$ 的定积分
求解过程：
1.化简被积函数
根据指数函数的特性，我们可以将 $e^{sin(x)}$ 化为 $e^{isin(x)}$，
其中 $i$ 为虚数单位。进一步地，可以将指数函数转化为正弦和余弦的
形式，即 $e^{isin(x)} = cos(sin(x))+isin(sin(x))$。
因此，原函数可以化为 $int e^{sin(x)} dx = int
[cos(sin(x))+isin(sin(x))]dx$。
2.分离实部和虚部
由于定积分是实数，我们需要分离出被积函数的实部和虚部。因此，
可以将原函数分为 $int cos(sin(x)) dx + iint sin(sin(x))dx$。
3.求解实部
对于 $int cos(sin(x)) dx$，我们可以采用换元法来求其原函数。令 $u
= sin(x)$，则 $int cos(sin(x)) dx = int cos(u)cos(x)du$。
因此，我们可以根据 $int cos(x)dx = sin(x)+C$ 的公式来得到 $int
cos(sin(x)) dx = sin(sin(x))+C$。
4.求解虚部
对于 $int sin(sin(x)) dx$，我们需要采用分部积分法来求解其原函数。
令 $u = sin(x)$，$dv = cos(sin(x)) dx$，则 $du = cos(x)dx$，$v =
sin(sin(x))$。
根据分部积分公式 $int u dv = uv - int v du$，可以得到 $int sin(sin(x))
dx = -cos(x)sin(sin(x)) + int cos(sin(x))cos(x)dx$。
将 $int cos(sin(x))cos(x)dx$ 代入上式，得到 $int sin(sin(x)) dx = -
cos(x)sin(sin(x)) + sin(sin(x)) + C$。
5.合并实部和虚部
根据步骤 3 和步骤 4 的结论，原函数可以表示为 $int e^{sin(x)} dx =
sin(sin(x))+i(-cos(x)sin(sin(x))+sin(sin(x))) + C$。
由于定积分是实数，因此我们只需要保留实部即可。即 $int_{a}^{b}
e^{sin(x)} dx = sin(sin(b))-sin(sin(a))+C$。
结论：
对于 $e^{sin(x)}$ 的定积分，其积分值为 $sin(sin(b))-sin(sin(a))+C$。
2024年5月8日发(作者：詹密思)
对e的sinx次方定积分
题目：对 $e^{sin(x)}$ 的定积分
求解过程：
1.化简被积函数
根据指数函数的特性，我们可以将 $e^{sin(x)}$ 化为 $e^{isin(x)}$，
其中 $i$ 为虚数单位。进一步地，可以将指数函数转化为正弦和余弦的
形式，即 $e^{isin(x)} = cos(sin(x))+isin(sin(x))$。
因此，原函数可以化为 $int e^{sin(x)} dx = int
[cos(sin(x))+isin(sin(x))]dx$。
2.分离实部和虚部
由于定积分是实数，我们需要分离出被积函数的实部和虚部。因此，
可以将原函数分为 $int cos(sin(x)) dx + iint sin(sin(x))dx$。
3.求解实部
对于 $int cos(sin(x)) dx$，我们可以采用换元法来求其原函数。令 $u
= sin(x)$，则 $int cos(sin(x)) dx = int cos(u)cos(x)du$。
因此，我们可以根据 $int cos(x)dx = sin(x)+C$ 的公式来得到 $int
cos(sin(x)) dx = sin(sin(x))+C$。
4.求解虚部
对于 $int sin(sin(x)) dx$，我们需要采用分部积分法来求解其原函数。
令 $u = sin(x)$，$dv = cos(sin(x)) dx$，则 $du = cos(x)dx$，$v =
sin(sin(x))$。
根据分部积分公式 $int u dv = uv - int v du$，可以得到 $int sin(sin(x))
dx = -cos(x)sin(sin(x)) + int cos(sin(x))cos(x)dx$。
将 $int cos(sin(x))cos(x)dx$ 代入上式，得到 $int sin(sin(x)) dx = -
cos(x)sin(sin(x)) + sin(sin(x)) + C$。
5.合并实部和虚部
根据步骤 3 和步骤 4 的结论，原函数可以表示为 $int e^{sin(x)} dx =
sin(sin(x))+i(-cos(x)sin(sin(x))+sin(sin(x))) + C$。
由于定积分是实数，因此我们只需要保留实部即可。即 $int_{a}^{b}
e^{sin(x)} dx = sin(sin(b))-sin(sin(a))+C$。
结论：
对于 $e^{sin(x)}$ 的定积分，其积分值为 $sin(sin(b))-sin(sin(a))+C$。