2024年5月11日发(作者：褚振博)

最小二乘复频域法（PolyMax）

SX1201069 虞刚

PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘

复频域法( Polyreference least squares complex frequency domain method)，

是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整

体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、

阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减

最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得

到。该方法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,

并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者

FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集

的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发

展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：

（1）建立频率响应函数模型

多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵

作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统

输出

o

（

o1,2,N

0

， 其中

N

0

为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分

式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为

H

o







U

o







D







（1）

1

式中：

H

o







C

lN

i

—理论频响函数的第

o

行，

N

i

是输入点数，即激励数；

U

o







C

lN

i

—分子多项式行向量；

D

o







C

N

i

N

i

—分母多项式矩阵。

且

U

o







和

D

o







可以表示成如下形式：

U

o













Z

r







B

or



（

o1,2,N

0

） （2）

r0

N

D

o













Z

r







A

r



（3）

r0

N

式中：

N

—多项式阶次

其中分母系数矩阵

A

r

R

N

i

N

i

和分子系数行向量

B

or

R

lN

i

是待估计的参数。所

有这些系数合并为一个矩阵。









1

T

其中



T



N



T

（4）



T



B

o0





A

0





B





A





o1



1





N1



N

i

N



N1



N

i



o





， （5）

R







R

i

o















A

N







B

oN





式（2）和式（3）中出现的多项式基函数

Z

r







，一般地，有以下两种选择：

ⅰ.对于连续时域模型，可取为



Z

r













i







（6）

s



j

式中：



s





1





N

2

i

—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为

Z

r







e



j



Tr

s



（7）

式中：

T

s

—采样周期。

通常采用离散时域模型。

（2）参数的线性化

~

~

通过试验测量出的频率响应函数矩阵

H





f



C

N

o

N

i

，用

H

o





f



C

1N

i

表

示实测频响矩阵的第

o

行，



o1,2,,N

o

,f1,2,,N

f



，那么关于参数矩阵



的

非线性最小二乘（NLS）目标函数可表示为

N

o

N

f



nls











tr





o

NLS





f

,













o

NLS





f

,







（8）

H

o1f1



式中：

•

H

－矩阵的复共扼转置；

tr



•



－矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。

2024年5月11日发(作者：褚振博)

最小二乘复频域法（PolyMax）

SX1201069 虞刚

PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘

复频域法( Polyreference least squares complex frequency domain method)，

是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整

体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、

阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减

最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得

到。该方法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,

并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者

FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集

的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发

展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：

（1）建立频率响应函数模型

多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵

作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统

输出

o

（

o1,2,N

0

， 其中

N

0

为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分

式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为

H

o







U

o







D







（1）

1

式中：

H

o







C

lN

i

—理论频响函数的第

o

行，

N

i

是输入点数，即激励数；

U

o







C

lN

i

—分子多项式行向量；

D

o







C

N

i

N

i

—分母多项式矩阵。

且

U

o







和

D

o







可以表示成如下形式：

U

o













Z

r







B

or



（

o1,2,N

0

） （2）

r0

N

D

o













Z

r







A

r



（3）

r0

N

式中：

N

—多项式阶次

其中分母系数矩阵

A

r

R

N

i

N

i

和分子系数行向量

B

or

R

lN

i

是待估计的参数。所

有这些系数合并为一个矩阵。









1

T

其中



T



N



T

（4）



T



B

o0





A

0





B





A





o1



1





N1



N

i

N



N1



N

i



o





， （5）

R







R

i

o















A

N







B

oN





式（2）和式（3）中出现的多项式基函数

Z

r







，一般地，有以下两种选择：

ⅰ.对于连续时域模型，可取为



Z

r













i







（6）

s



j

式中：



s





1





N

2

i

—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为

Z

r







e



j



Tr

s



（7）

式中：

T

s

—采样周期。

通常采用离散时域模型。

（2）参数的线性化

~

~

通过试验测量出的频率响应函数矩阵

H





f



C

N

o

N

i

，用

H

o





f



C

1N

i

表

示实测频响矩阵的第

o

行，



o1,2,,N

o

,f1,2,,N

f



，那么关于参数矩阵



的

非线性最小二乘（NLS）目标函数可表示为

N

o

N

f



nls











tr





o

NLS





f

,













o

NLS





f

,







（8）

H

o1f1



式中：

•

H

－矩阵的复共扼转置；

tr



•



－矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。