2024年5月12日发(作者：枝月朗)
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一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量、颜色、价格、
外形、实用、品牌等因素。比较中意的手机有诺基亚N73、摩托罗拉
E8、索爱W890i，但不知道购买哪一款好，请你建立数学模型给他一
个好的建议。
解：首先对考虑的准则排序：考虑到学生的身份首先考虑的是质量，一部手机只要质
量好就行了，其次是价格，作为学生没有经济来源，我们要考虑价格不能太高，接着是实
用，一部手机在质量好价格合理的条件下，我们接下来看重的是手机的实用程度，在考虑
以上因素之后，就选择品牌、颜色和外形。显然品牌优先于颜色和外形，而颜色和外形并
不是我们要考虑的重要因素，因此我们对准则层排序：质量>价格>实用>品牌>颜色>=外形
排完序后我们建立层次结构模型：
决策层
购买手机
质量
颜色 价格 外形 实用 品牌
准则层
诺基亚N73 摩托罗拉E8
索爱W890i
方案层
接着建立成对比矩阵：
A =
1.0000 7.0000 3.0000 8.0000 4.0000 7.0000
1/7 1.0000 1/7 3.0000 1/5 1/3
1/3 7.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000
1/8 1/3 1/6 1.0000 1/7 1/5
0.2500 5.0000 0.3333 7.0000 1.0000 3.0000
1/7 3.0000 1/5 5.0000 1/3 1.0000
矩阵A的特征根和与特征根对应的特征向量分别为矩阵D与V，如下：
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对特征根进行一致性检验。首先非负实特征根对应的特征根是6.5412，则特征根6.5412其
对应的特征向量为所求。查表得当N=6时RI=1.24，从而CI=（λ- 6）/(6 -1)=0.10824,
CR=CI/RI=0.10824/1.24<0.1,一致性检验通过。将特征根6.5412所对应的特征向量归一化，
得到C =
0.4410
0.0428
0.2612
0.0271
0.1504
0.0774
接着我们进入层次结构层的准则层，根据淘宝网以及互联网的数据显示，对于质量(一下简
称诺基亚N73为N73，摩托罗拉E8为E8，索爱W890i为w890),N73>W890>E8,
颜色：E8>w890>N73,价格：N73>E8>W890,外形：W890>E8>N73,实用：N73>W890>E8,品牌：
N73>W890>E8
构造准则层的关于质量、颜色、价格、外形、实用、品牌的成对比矩阵B1、B2、B3、B4、
B5、B6，找出各个矩阵的非负特征向量以及对应的特征根，
B1 =
1.0000 5.0000 3.0000
1/5 1.0000 1/3
1/3 3.0000 1.0000
B1的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9161 0.9161 0.9161
0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i
0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i
D =
3.0385 0 0
0 -0.0193 + 0.3415i 0
0 0 -0.0193 - 0.3415i
查表得当N=3时RI=0.58,取非负特征向量对应的特征根3.0385从而CI=（λ-3）/（3-1）=
0.01925，CR=CI/CR=0.01925/0.58<0.1,一致性检验通过。
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2024年5月12日发(作者：枝月朗)
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一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量、颜色、价格、
外形、实用、品牌等因素。比较中意的手机有诺基亚N73、摩托罗拉
E8、索爱W890i，但不知道购买哪一款好，请你建立数学模型给他一
个好的建议。
解：首先对考虑的准则排序：考虑到学生的身份首先考虑的是质量，一部手机只要质
量好就行了，其次是价格，作为学生没有经济来源，我们要考虑价格不能太高，接着是实
用，一部手机在质量好价格合理的条件下，我们接下来看重的是手机的实用程度，在考虑
以上因素之后，就选择品牌、颜色和外形。显然品牌优先于颜色和外形，而颜色和外形并
不是我们要考虑的重要因素，因此我们对准则层排序：质量>价格>实用>品牌>颜色>=外形
排完序后我们建立层次结构模型：
决策层
购买手机
质量
颜色 价格 外形 实用 品牌
准则层
诺基亚N73 摩托罗拉E8
索爱W890i
方案层
接着建立成对比矩阵：
A =
1.0000 7.0000 3.0000 8.0000 4.0000 7.0000
1/7 1.0000 1/7 3.0000 1/5 1/3
1/3 7.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000
1/8 1/3 1/6 1.0000 1/7 1/5
0.2500 5.0000 0.3333 7.0000 1.0000 3.0000
1/7 3.0000 1/5 5.0000 1/3 1.0000
矩阵A的特征根和与特征根对应的特征向量分别为矩阵D与V，如下：
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对特征根进行一致性检验。首先非负实特征根对应的特征根是6.5412，则特征根6.5412其
对应的特征向量为所求。查表得当N=6时RI=1.24，从而CI=（λ- 6）/(6 -1)=0.10824,
CR=CI/RI=0.10824/1.24<0.1,一致性检验通过。将特征根6.5412所对应的特征向量归一化，
得到C =
0.4410
0.0428
0.2612
0.0271
0.1504
0.0774
接着我们进入层次结构层的准则层，根据淘宝网以及互联网的数据显示，对于质量(一下简
称诺基亚N73为N73，摩托罗拉E8为E8，索爱W890i为w890),N73>W890>E8,
颜色：E8>w890>N73,价格：N73>E8>W890,外形：W890>E8>N73,实用：N73>W890>E8,品牌：
N73>W890>E8
构造准则层的关于质量、颜色、价格、外形、实用、品牌的成对比矩阵B1、B2、B3、B4、
B5、B6，找出各个矩阵的非负特征向量以及对应的特征根，
B1 =
1.0000 5.0000 3.0000
1/5 1.0000 1/3
1/3 3.0000 1.0000
B1的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9161 0.9161 0.9161
0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i
0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i
D =
3.0385 0 0
0 -0.0193 + 0.3415i 0
0 0 -0.0193 - 0.3415i
查表得当N=3时RI=0.58,取非负特征向量对应的特征根3.0385从而CI=（λ-3）/（3-1）=
0.01925，CR=CI/CR=0.01925/0.58<0.1,一致性检验通过。
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