2024年5月13日发(作者：查夏萱)
关于数字的排列组合题解法举例
例1：由数字
0,1,2,3,4,5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的
个数共有多少个？
5
解法1：（直接法）：分别用
1,2,3,4,5
作十万位的排列数，共有
5⋅A
5
种，所以其中
个位数字小于十位数字的这样的六位数有
1
⋅
5
⋅A
5
5
=
300
个．
2
65
，而
0
作为十万位的排列有
A
5
，所
解法2：（间接法）：取
0,1,⋯,5
个数字排列有
A
6
以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有
1
65
(
A
6
−A
5
)
=
300
(个)．
2
小结：
小结
：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或
间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能
否用间接法来解．
(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六
位数个数一样多，即各占全部六位数的一半。
组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？ 例2：用
1,2,3,4,5
这五个数字，
解法1：分类计算．
2
将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有
A
4
个，另一类是4作个位数，
222
也有
A
4
个．因此符合条件的偶数共有
A
4
+A
4
=24
个．
解法2：分步计算．
12
先排个位数字，有
A
2
种排法，再排十位和百位数字，有
A
4
种排法，根据分步计数原理，
12
三位偶数应有
A
2
⋅A
4
=
24
个．
小结：
小结
：本题是带有附加条件的排列问题，可分类，也可分步。
例3： 用
0、1、2、3、4、5
共六个数字，组成无重复数字的自然数，
(1) 可以组成多少个无重复数字的
3
位偶数？
(2)可以组成多少个无重复数字且被
3
整除的三位数？
解：(1)就个位用
0
还是用
2、4
分成两类，个位用
0
，其它两位从
1、2、3、4
中任取两
2
数排列，共有
A
4
=
12
(个)，个位用
2
或
4
，再确定首位，最后确定十位，共有
2
×
4
×
4
=
32
(个)，所有
3
位偶数的总数为：
12
+
32
=
44
(个)．
(2) 从
0、1、2、3、4、5
中取出和为
3
的倍数的三个数，分别有下列取法：
(012)
、
(015)
、
(024)
、
(045)
、
(123)
、
(135)
、
(234)
、
(345)
，前四组中有
0
，
2
后四组中没有
0
，用它们排成三位数，如果用前
4
组，共有
4
×
2
×
A
2
=
16
(个)，如果用后
四组，共有
4
×
A
3
=
24
(个)，所有被
3
整除的三位数的总数为
16
+
24
=
40
(个)．
小结：
小结
：
3
位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是
0
，由于个位用或者不用数字
0
，对
3
4
进行分类．一个自然数能被
3
整确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用
0
或者用
2、
除的条件是所有数字之和是
3
的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要
注意就用与不用数字
0
进行分类．
例4： 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：
分析
：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③
个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、
8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有
A
9
个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
A
4
⋅
A
8
⋅
A
8
（个）．
∴ 没有重复数字的四位偶数有
311
A
9
+
A
4
⋅
A
8
⋅
A
8
2
=
504
+
1792
=
2296
个．
112
3
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有
A
9
个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：
3
13
A
4
⋅
(
A
9
−
A
8
2
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
A
9
+
A
4
⋅
(
A
9
−
A
8
)
=
504
+
1792
=
2296
个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一
个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
A
5
⋅
A
5
⋅
A
8
个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
11
A
4
⋅
A
4
⋅
A
8
2
个
112
3132
∴ 没有重复数字的四位偶数有
112112
A
5
⋅
A
5
⋅
A
8
+
A
4
⋅
A
4
⋅
A
8
=
2296
个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
43
没有重复数字的四位数有
A
10
−
A
9
个．
13
其中四位奇数有
A
5
(
A
9
−
A
8
2
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
43133
A
10
−
A
9
−
A
5
(
A
9
3
−
A
8
2
)
=
10
×
A
9
−
A
9
−
5
A
9
3
+
5
A
8
2
3
=
4
A
9
+
5
A
8
2
=
36
A
8
2
+
5
A
8
2
=
41
A
8
2
=
2296
个
小结：
小结
：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法，
要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用。
2024年5月13日发(作者：查夏萱)
关于数字的排列组合题解法举例
例1：由数字
0,1,2,3,4,5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的
个数共有多少个？
5
解法1：（直接法）：分别用
1,2,3,4,5
作十万位的排列数，共有
5⋅A
5
种，所以其中
个位数字小于十位数字的这样的六位数有
1
⋅
5
⋅A
5
5
=
300
个．
2
65
，而
0
作为十万位的排列有
A
5
，所
解法2：（间接法）：取
0,1,⋯,5
个数字排列有
A
6
以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有
1
65
(
A
6
−A
5
)
=
300
(个)．
2
小结：
小结
：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或
间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能
否用间接法来解．
(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六
位数个数一样多，即各占全部六位数的一半。
组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？ 例2：用
1,2,3,4,5
这五个数字，
解法1：分类计算．
2
将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有
A
4
个，另一类是4作个位数，
222
也有
A
4
个．因此符合条件的偶数共有
A
4
+A
4
=24
个．
解法2：分步计算．
12
先排个位数字，有
A
2
种排法，再排十位和百位数字，有
A
4
种排法，根据分步计数原理，
12
三位偶数应有
A
2
⋅A
4
=
24
个．
小结：
小结
：本题是带有附加条件的排列问题，可分类，也可分步。
例3： 用
0、1、2、3、4、5
共六个数字，组成无重复数字的自然数，
(1) 可以组成多少个无重复数字的
3
位偶数？
(2)可以组成多少个无重复数字且被
3
整除的三位数？
解：(1)就个位用
0
还是用
2、4
分成两类，个位用
0
，其它两位从
1、2、3、4
中任取两
2
数排列，共有
A
4
=
12
(个)，个位用
2
或
4
，再确定首位，最后确定十位，共有
2
×
4
×
4
=
32
(个)，所有
3
位偶数的总数为：
12
+
32
=
44
(个)．
(2) 从
0、1、2、3、4、5
中取出和为
3
的倍数的三个数，分别有下列取法：
(012)
、
(015)
、
(024)
、
(045)
、
(123)
、
(135)
、
(234)
、
(345)
，前四组中有
0
，
2
后四组中没有
0
，用它们排成三位数，如果用前
4
组，共有
4
×
2
×
A
2
=
16
(个)，如果用后
四组，共有
4
×
A
3
=
24
(个)，所有被
3
整除的三位数的总数为
16
+
24
=
40
(个)．
小结：
小结
：
3
位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是
0
，由于个位用或者不用数字
0
，对
3
4
进行分类．一个自然数能被
3
整确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用
0
或者用
2、
除的条件是所有数字之和是
3
的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要
注意就用与不用数字
0
进行分类．
例4： 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：
分析
：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③
个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、
8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有
A
9
个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
A
4
⋅
A
8
⋅
A
8
（个）．
∴ 没有重复数字的四位偶数有
311
A
9
+
A
4
⋅
A
8
⋅
A
8
2
=
504
+
1792
=
2296
个．
112
3
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有
A
9
个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：
3
13
A
4
⋅
(
A
9
−
A
8
2
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
A
9
+
A
4
⋅
(
A
9
−
A
8
)
=
504
+
1792
=
2296
个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一
个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
A
5
⋅
A
5
⋅
A
8
个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
11
A
4
⋅
A
4
⋅
A
8
2
个
112
3132
∴ 没有重复数字的四位偶数有
112112
A
5
⋅
A
5
⋅
A
8
+
A
4
⋅
A
4
⋅
A
8
=
2296
个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
43
没有重复数字的四位数有
A
10
−
A
9
个．
13
其中四位奇数有
A
5
(
A
9
−
A
8
2
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
43133
A
10
−
A
9
−
A
5
(
A
9
3
−
A
8
2
)
=
10
×
A
9
−
A
9
−
5
A
9
3
+
5
A
8
2
3
=
4
A
9
+
5
A
8
2
=
36
A
8
2
+
5
A
8
2
=
41
A
8
2
=
2296
个
小结：
小结
：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法，
要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用。