2024年5月16日发(作者：安全)

第11章 一元线性回归分析

11.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。

（2）

r0.920232

（3） 检验统计量

t14.4222t



2

2.2281

，拒绝原假设，相关系数显著。

11.2 （1）散点图（略）。

（2）

r0.8621

ˆ

表示当

x0

时

y

的期望值。 11.3 （1）



0

ˆ

表示

x

每变动一个单位

y

平均下降0.5个单位。 （2）



1

（3）

E(y)7

11.4 （1）

R90%

（2）

s

e

1

11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10

个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离(单位：km)和运送时间(单位：天)的数据如下：

运送距离x 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

运送时间y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

要求：

(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态：

(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

解：（1）

运

送

时

间

天

2

可能存在线性关系。

（2）

x运送距离（km）

y运送时间（天）

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

有很强的线性关系。

（3）

系数(a)

非标准化系数

模型

B

标准误

标准化系数

Beta t

显著性

y

5

（

）

4

3

2

1

25250

x运送距离（km）

相关性

x运送距离（km）

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

10

.949(**)

0.000

10 10

1

y运送时间（天）

.949(**)

0.000

10

1

1

1

（常量）

x运送距离（km）

0.118

0.004

0.355

0.000 0.949

0.333

8.509

0.748

0.000

a. 因变量: y运送时间（天）

回归系数的含义：每公里增加0.004天。

11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据：

地区 人均GDP(元) 人均消费水平(元)

北京 22 460 7 326

辽宁 11 226 4 490

上海 34 547 11 546

江西 4 851 2 396

河南 5 444 2 208

贵州 2 662 1 608

陕西 4 549 2 035

要求：

(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。

(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

(4)计算判定系数，并解释其意义。

(5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。

(6)如果某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平。

(7)求人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。

解：（1）

人

均

消

费

水

平

元

12000

10000

可能存在线性关系。

（2）相关系数：

相关性

人均GDP（元）

人均GDP（元）

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

人均消费水平（元） Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

有很强的线性关系。

（3）回归方程：

系数(a)

（

）

8000

6000

4000

2000

0

000040000

人均GDP（元）

__

人均消费水平（元）

.998(**)

0.000

7

1

1

7

.998(**)

0.000

7 7

2

非标准化系数

模型

1

（常量）

人均GDP（元）

a. 因变量: 人均消费水平（元）

标准化系数

Beta

0.998

t

5.265

36.492

显著性

0.003

0.000

139.540

0.008

B

734.693

0.309

标准误

回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加0.309元。

（4）

模型摘要

模型

1

a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。

R

.998(a)

R 方

0.996

调整的 R 方

0.996

估计的标准差

247.303

人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。

（5）F检验：

ANOVA(b)

模型

1

回归

残差

合计

a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。

b. 因变量: 人均消费水平（元）

平方和

81,444,968.680

305,795.034

81,750,763.714

df

1

5

6

均方

81,444,968.680

61,159.007

F

1,331.692

显著性

.00

回归系数的检验：t检验

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

人均GDP（元）

a. 因变量: 人均消费水平（元）

标准化系数

Beta

0.998

t

5.265

36.492

显著性

0.003

0.000

139.540

0.008

B

734.693

0.309

标准误

（6）

某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平为2278.10657元。

（7）

人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区间为[1990.74915，2565.46399]，预测区间为

[1580.46315，2975.74999]。

11.7（1） 散点图（略），二者之间为负的线性相关关系。

ˆ

4.7

表示航班正点率每增加1%，

ˆ

430.18924.7x

。回归系数



（2）估计的回归方程为：

y

1

顾客投诉次数平均下降4.7次。

（3）检验统计量

t4.959t



2

2.3060

（P-Value=0.001108<



0.05

），拒绝原假设，回归

系数显著。

ˆ

80

430.18924.78054.1892

（次）（4）

y

。

（5）置信区间：（37.660，70.619）；预测区间：（7.572，100.707）。

11.8 Excel输出的结果如下（解释与分析请读者自己完成）

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

df

0.7951

0.6322

0.6117

2.6858

20

SS

MS

F

Significance F

3

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

1

18

19

Coefficients

49.3177

0.2492

223.1403

129.8452

352.9855

标准误差

3.8050

0.0448

223.1403

7.2136

t Stat

12.9612

5.5618

30.9332

P-value

0.0000

0.0000

2.79889E-05

Lower 95%

41.3236

0.1551

Upper 95%

57.3117

0.3434

11.9 某汽车生产商欲了解广告费用(x)对销售量(y)的影响，收集了过去12年的有关数据。通过计算得

到下面的有关结果：

方差分析表

变差来源

回归

残差

总计

Intercept

XVariable1

Coefficients

363.6891

1.420211

参数估计表

标准误差 tStat

62.45529

0.071091

5.823191

19.97749

P—value

0.000168

2.17E—09

df

1

10

11

SS

1602708.6

40158.07

1642866.67

MS

1602708.6

4015.807

—

F

399.1000065

—

—

SignificanceF

2.17E—09

—

—

要求：

(1)完成上面的方差分析表。

(2)汽车销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的?

(3)销售量与广告费用之间的相关系数是多少?

(4)写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。

(5)检验线性关系的显著性(a＝0.05)。

解：（2）R

2

=0.9756，汽车销售量的变差中有97.56%是由于广告费用的变动引起的。

（3）r=0.9877

（4）回归系数的意义：广告费用每增加一个单位，汽车销量就增加1.42个单位。

（5）回归系数的t检验：p=2.17E—09＜α，回归系数不等于0，显著。

回归直线的F检验：p=2.17E—09＜α，回归直线显著。

ˆ

13.62542.3029x

；(3)略；(4)

R

2

93.74%

；(5)

s

e

3.8092

。 11.10 (1) r=0.9682;(2)

y

11.11 从20的样本中得到的有关回归结果是：SSR=60，SSE=40。要检验x与y之间的线性关系是否

显著，即检验假设：

H

0

:



1

0

。

(1)线性关系检验的统计量F值是多少?

(2)给定显著性水平a＝0.05，F

a

是多少?

(3)是拒绝原假设还是不拒绝原假设?

(4)假定x与y之间是负相关，计算相关系数r。

(5)检验x与y之间的线性关系是否显著?

解：（1）SSR的自由度为k=1；SSE的自由度为n-k-1=18；

SSR

60

k

因此：F==

1

=27

SSE40

nk118

4

（2）

F





1,18



=

F

0.05



1,18



=4.41

（3）拒绝原假设，线性关系显著。

（4）r=

SSR

=

0.6

=0.7746，由于是负相关，因此r=-0.7746

SSRSSE

（5）从F检验看线性关系显著。

11.12（1）

15.95E(y)18.05

。（2）

14.651y

0

19.349

。

11.13

ˆ

46.2915.24x

；

441.555E(y

40

)685.045

。

y

11.14 略

11.15 随机抽取7家超市，得到其广告费支出和销售额数据如下：

超市 广告费支出(万元) 销售额(万元)

A l 19

B 2 32

C 4 44

D 6 40

E 10 52

F 14 53

G 20 54

要求：

(1)用广告费支出作自变量x，销售额作因变量y，求出估计的回归方程。

(2)检验广告费支出与销售额之间的线性关系是否显著(a＝0.05)。

(3)绘制关于x的残差图，你觉得关于误差项



的假定被满足了吗?

(4)你是选用这个模型，还是另寻找一个更好的模型?

解：（1）

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

广告费支出（万元）

a. 因变量: 销售额（万元）

标准化系数

Beta

0.831

t

6.116

3.339

显著性

0.002

0.021

4.807

0.463

B

29.399

1.547

标准误

（2）回归直线的F检验：

ANOVA(b)

模型

1

回归

残差

合计

a. 预测变量:(常量), 广告费支出（万元）。

b. 因变量: 销售额（万元）

平方和

691.723

310.277

1,002.000

df

1

5

6

均方

691.723

62.055

F

11.147

显著性

.021(a)

显著。

回归系数的t检验：

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

广告费支出（万元）

a. 因变量: 销售额（万元）

标准化系数

Beta

0.831

t

6.116

3.339

显著性

0.002

0.021

4.807

0.463

B

29.399

1.547

标准误

显著。

（3）未标准化残差图：

5

10.00000

5.00000

U

n

s

t

a

n

d

a

r

d

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-5.00000

-10.00000

-15.00000

05101520

广告费支出（万元）

标准化残差图：

1.00000

S

t

a

n

d

a

r

d

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-1.00000

-2.00000

05101520

广告费支出（万元）

学生氏标准化残差图：

2.00000

1.00000

S

t

u

d

e

n

t

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-1.00000

-2.00000

05101520

看到残差不全相等。

（4）应考虑其他模型。可考虑对数曲线模型：

y=b

0

+b

1

ln(x)=22.471+11.576ln(x)。

广告费支出（万元）

6

第12章 多元线性回归分析

12.1 略

12.2 根据下面Excel输出的回归结果，说明模型中涉及多少个自变量、少个观察值？写出回归方程，

并根据F，s

e

，R

2

及调整的

R

a

2

的值对模型进行讨论。

SUMMARY OUTPUT

回归统计

Multiple R 0.842407

R Square 0.709650

Adjusted R Square 0.630463

109.429596

标准误差

15

观测值

方差分析

df SS MS F Significance F

3 321946.8018 107315.6006 8.961759 0.002724

回归

11 131723.1982 11974.84

残差

14 453670

总计

Coefficients t Stat P-value

标准误差

Intercept 657.0534 167.459539 3.923655 0.002378

X Variable 1 5.710311 1.791836 3.186849 0.008655

X Variable 2 -0.416917 0.322193 -1.293998 0.222174

X Variable 3 -3.471481 1.442935 -2.405847 0.034870

解：自变量3个，观察值15个。

ˆ

=657.0534+5.710311X

1

-0.416917X

2

-3.471481X

3

回归方程：

y

拟合优度：判定系数R

2

=0.70965，调整的

R

a

2

=0.630463，说明三个自变量对因变量的影响的比例占到

63%。

估计的标准误差

S

yx

=109.429596，说明随即变动程度为109.429596

回归方程的检验：F检验的P=0.002724，在显著性为5%的情况下，整个回归方程线性关系显著。

回归系数的检验：



1

的t检验的P=0.008655，在显著性为5%的情况下，y与X

1

线性关系显著。



2

的t检验的P=0.222174，在显著性为5%的情况下，y与X

2

线性关系不显著。



3

的t检验的P=0.034870，在显著性为5%的情况下，y与X

3

线性关系显著。

因此，可以考虑采用逐步回归去除X

2

，从新构建线性回归模型。

ˆ

18.42.01x

1

4.74x

2

，并且已知n＝10，SST＝6

12.3 根据两个自变量得到的多元回归方程为

y

724.125，SSR＝6 216.375，

s



ˆ

0.0813

，

s



ˆ

＝0.056 7。要求：

1

2

(1)在a=0.05的显著性水平下，

x

1

,x

2

与y的线性关系是否显著?

(2)在a＝0.05的显著性水平下，



1

是否显著?

(3)在a＝0.05的显著性水平下，



2

是否显著?

解：（1）回归方程的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=



2

=0 H

1

：



1

，



2

不全等于0

SSE=SST-SSR=6 724.125-6 216.375=507.75

F=

SSRp6724.1252

==42.85

SSEnp1507.751021

F





2,7



=4.74，F>

F





2,7



，认为线性关系显著。

（2）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=

2.01



1

==24.72

S



0.0813

1

7

t



2



np1



=2.36，

t

>

t



2



7



，认为y与x

1

线性关系显著。

（3）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



2

=0 H

1

：



2

≠0

t=

4.74



2

==83.6

S



0.0567

2

t



2



np1



=2.36，

t

>

t



2



7



，认为y与x

2

线性关系显著。

12.4 一家电器销售公司的管理人员认为，每月的销售额是广告费用的函数，并想通过广告费用对

月销售额作出估计。下面是近8个月的销售额与广告费用数据：

月销售收入y(万元) 电视广告费用工：x

1

(万元) 报纸广告费用x

2

(万元)

96

90

95

92

95

94

94

94

5．0

2．0

4．0

2．5

3．0

3．5

2．5

3．0

1.5

2．0

1．5

2.5

3．3

2．3

4．2

2．5

要求：

(1)用电视广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计的回归方程。

(2)用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计的回归方程。

(3)上述(1)和(2)所建立的估计方程，电视广告费用的系数是否相同?对其回归系数分别进行解释。

(4)根据问题(2)所建立的估计方程，在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多

少?

(5)根据问题(2)所建立的估计方程，检验回归系数是否显著(a=0.05)。

ˆ

88.64+1.6x

解：（1）回归方程为：

y

ˆ

83.232.29x

1

1.3x

2

（2）回归方程为：

y

（3）不相同，（1）中表明电视广告费用增加1万元，月销售额增加1.6万元；（2）中表明，在报纸广

告费用不变的情况下，电视广告费用增加1万元，月销售额增加2.29万元。

（4）判定系数R

2

= 0.919，调整的

R

a

2

= 0.8866，比例为88.66%。

（5）回归系数的显著性检验：

下限 上限

Coefficient

标准误

Lower Upper

差

t Stat

P-value

95%

s

95%

95.0%

95.0%

1.5738652.88244.57E-0

Intercept

83.23009

9

8

8

79.18433

87.27585

79.18433

87.27585

电视广告费用工：x1 (万

0.304067.531890.00065

元)

2.290184

5

9

3

1.508561

3.071806

1.508561

3.071806

0.320704.056690.00976

报纸广告费用x2(万元)

1.300989

2

7

1

0.476599

2.125379

0.476599

2.125379

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=



1

2.29

==7.53

S



0.304

1

t

0.025



5



=2.57，

t

>

t

0.025



5



，认为y与x

1

线性关系显著。

（3）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



2

=0 H

1

：



2

≠0

8

t=



2

1.3

==4.05

0.32

S



2

t

0.025



5



=2.57，

t

>

t

0.025



5



，认为y与x

2

线性关系显著。

12.5 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下：

收获量y(kg／hm

2

) 降雨量x

1

(mm) 温度x

2

(℃)

2 250

3 450

4 500

6 750

7 200

7 500

8 250

25

33

45

105

110

115

120

6

8

10

13

14

16

17

要求：

(1)试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。

(2)解释回归系数的实际意义。

(3)根据你的判断，模型中是否存在多重共线性?

ˆ

-0.59122.386x

1

327.672x

2

解：（1）回归方程为：

y

（2）在温度不变的情况下，降雨量每增加1mm，收获量增加22.386kg／hm

2

，在降雨量不变的情况下，

降雨量每增加1度，收获量增加327.672kg／hm

2

。

（3）

x

1

与

x

2

的相关系数

r

x

1

x

2

=0.965，存在多重共线性。

12.6

12.7

12.8

12.9 下面是随机抽取的15家大型商场销售的同类产品的有关数据(单位：元)。

企业编号 销售价格y 购进价格x

1

销售费用

x

2

l l 238 966 223

2 l 266 894 257

3 l 200 440 387

4 1 193 664 310

5 1 106 791 339

6 1 303 852 283

7 1 313 804 302

8 1 144 905 214

9 1 286 77l 304

10 l 084 511 326

11 l 120 505 339

12 1 156 85l 235

13 1 083 659 276

14 1 263 490 390

15 1 246 696 316

要求：

(1)计算y与x

1

、y与x

2

之间的相关系数，是否有证据表明销售价格与购进价格、销售价格与销售

费用之间存在线性关系?

(2)根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否有用?

(3)用Excel进行回归，并检验模型的线性关系是否显著(a＝0.05)。

(4)解释判定系数R

2

，所得结论与问题(2)中是否一致?

9

(5)计算x

1

与x

2

之间的相关系数，所得结果意味着什么?

(6)模型中是否存在多重共线性?你对模型有何建议?

解：（1）y与x

1

的相关系数=0.309，y与x

2

之间的相关系数=0.0012。对相关性进行检验：

相关性

销售价格

销售价格

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

购进价格 Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

销售费用 Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

购进价格

1 0.309

0.263

15 15

1

15

-.853(**)

0.000

15

销售费用

0.001

0.997

15

-.853(**)

0.000

15

1

0.309

0.263

15

0.001

0.997

15 15

可以看到，两个相关系数的P值都比较的，总体上线性关系也不现状，因此没有明显的线性相关关系。

（2）意义不大。

（3）

回归统计

Multiple R

0.593684

R Square

0.35246

Adjusted R Square

0.244537

标准误差

69.75121

观测值

15

方差分析

回归分析

残差

总计

df

2

12

14

SS

31778.1539

58382.7794

90160.9333

Significance

MS

F

F

15889.08

3.265842

0.073722

4865.232

下限 上限

CoefficientLower Upper

标准误差

t Stat

P-value

s

95%

95%

95.0%

95.0%

Intercept

375.6018

339.410562

1.10663

0.290145

-363.91

1115.114

-363.91

1115.114

购进价格x1

0.537841

0.21044674

2.555711

0.0252

0.079317

0.996365

0.079317

0.996365

销售费用x2

1.457194

0.66770659

2.182386

0.049681

0.002386

2.912001

0.002386

2.912001

从检验结果看，整个方程在5%下，不显著；而回归系数在5%下，均显著，说明回归方程没有多大意

义，并且自变量间存在线性相关关系。

（4）从R

2

看，调整后的R

2

=24.4%，说明自变量对因变量影响不大，反映情况基本一致。

（5）方程不显著，而回归系数显著，说明可能存在多重共线性。

（6）存在多重共线性，模型不适宜采用线性模型。

12.11 一家货物运输公司想研究运输费用与货物类型的关系，并建立运输费用与货物类型的回归模型，

以此对运输费用作出预测。该运输公司所运输的货物分为两种类型：易碎品和非易碎品。下表给出了

15个路程大致相同，而货物类型不同的运输费用数据。

x1

每件产品的运输费用y(元) 货物类型

10

17．2 易碎品

11．1 易碎品

12．0 易碎品

10．9 易碎品

13．8 易碎品

6．5 易碎品

10．0 易碎品

11．5 易碎品

7．0 非易碎品

8．5 非易碎品

2．1 非易碎品

l。3 非易碎品

3．4 非易碎品

7．5 非易碎品

2．0 非易碎品

要求：

(1)写出运输费用与货物类型之间的线性方程。

(2)对模型中的回归系数进行解释。

(3)检验模型的线性关系是否显著(a＝0.05)。

解：

回归分析

残差

总计

df

SS

MS

1

187.2519

187.2519

13

120.3721

9.259396

14

307.624

1

1

1

l

1

l

1

1

0

0

0

0

0

0

0

Significance

F

F

20.2229

0.000601

下限 上限

Coefficients

标准误差

t Stat

P-value

Lower 95%

Upper 95%

95.0%

95.0%

Intercept

4.542857

1.150118

3.949906

0.001662

2.058179

7.027535

2.058179

7.027535

x1

7.082143

1.574864

4.496988

0.000601

3.679857

10.48443

3.679857

10.48443

ˆ

4.547.08x

（1）回归方程为：

y

（2）非易碎品的平均运费为4.54元，易碎品的平均运费为11.62元，易碎品与非易碎品的平均运费差

为7.08元。

（3）回归方程的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

不等于0

SSR=187.25195，SSE=120.3721，

F=

SSRp6724.1251

==20.22

SSEnp1

507.751511

P=0.000601<0.05，或者

F

0.05



1,13



=4.67，F>

F

0.05



1,13



，认为线性关系显著。

或者，回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=



1

7.08

==4.5

S



1.57

1

P=0.000601<0.05，或者

t



2



np1



=

t

0.025



13



=2.16，

t

>

t

0.025



13



，认为y与x线性关系显著。

12.12 为分析某行业中的薪水有无性别歧视，从该行业中随机抽取15名员工，有关数据如下：

月薪y(元) 工龄x

1

性别(1=男，0＝女)x

2

11

l 548

l 629

1 011

l 229

l 746

1 528

l 018

1 190

l 551

985

l 610

1 432

1 215

990

1 585

3．2

3．8

2．7

3．4

3．6

4．1

3．8

3．4

3．3

3．2

3．5

2．9

3．3

2．8

3．5

l

l

0

0

l

1

0

0

l

0

l

l

0

0

l

要求：用Excel进行回归，并对结果进行分析。

解：

回归统计

0.94339

Multiple R

1

0.88998

R Square

7

Adjusted R 0.87165

Square

2

96.7915

标准误差

8

观测值

15

方差分析

回归分析

残差

总计

Significance

df

SS

MS

F

F

2

909488.4

454744.2

48.53914

1.77E-06

12

112423.3

9368.61

14

1021912

Coefficient

标准误

差

s

下限

95.0%

上限

95.0%

Lower Upper

t Stat

P-value

95%

95%

3.107420.00906

Intercept

732.0606

235.5844

5

4

218.7664

1245.355

1.542930.14879

工龄x1

111.2202

72.08342

7

6

-45.8361

268.2765

性别(1=男，0＝女)x2

458.6841

53.4585

8.58019

1.82E-06

342.208

575.1601

拟合优度良好，方程线性显著，工龄线性不显著，性别线性显著。

218.7664

1245.355

-45.8361

268.2765

342.208

575.1601

12

第13章 时间序列分析和预测

13.1 下表是1981年—1999年国家财政用于农业的支出额数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

支出额（亿元）

110.21

120.49

132.87

141.29

153.62

184.2

195.72

214.07

265.94

307.84

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

支出额（亿元）

347.57

376.02

440.45

532.98

574.93

700.43

766.39

1154.76

1085.76

（1）绘制时间序列图描述其形态。

（2）计算年平均增长率。

（3）根据年平均增长率预测2000年的支出额。

详细答案：

（1）时间序列图如下：

从时间序列图可以看出，国家财政用于农业的支出额大体上呈指数上升趋势。

（2）年平均增长率为：

。

（3） 。

13.2 下表是1981年—2000年我国油彩油菜籽单位面积产量数据（单位：kg / hm2）

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

单位面积产量

1451

1372

1168

1232

1245

1200

1260

1020

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

单位面积产量

1215

1281

1309

1296

1416

1367

1479

1272

13

1989

1990

1095

1260

1999

2000

1469

1519

（1）绘制时间序列图描述其形态。

（2）用5期移动平均法预测2001年的单位面积产量。

（3）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=0.3和a=0.5预测2001年的单位面积产

量，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？

详细答案：

（1）时间序列图如下：

（2）2001年的预测值为：

|

（3）由Excel输出的指数平滑预测值如下表：

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

合计

单位面积产量

1451

1372

1168

1232

1245

1200

1260

1020

1095

1260

1215

1281

1309

1296

1416

1367

1479

1272

1469

1519

—

1451.0

1427.3

1349.5

1314.3

1293.5

1265.4

1263.8

1190.7

1162.0

1191.4

1198.5

1223.2

1249.0

1263.1

1308.9

1326.4

1372.2

1342.1

1380.2

—

指数平滑预测

a=0.3

6241.0

67236.5

13808.6

4796.5

8738.5

29.5

59441.0

9151.5

9611.0

558.1

6812.4

7357.6

2213.1

23387.7

3369.9

23297.7

10031.0

16101.5

19272.1

291455.2

误差平方

1451.0

1411.5

1289.8

1260.9

1252.9

1226.5

1243.2

1131.6

1113.3

1186.7

1200.8

1240.9

1275.0

1285.5

1350.7

1358.9

1418.9

1345.5

1407.2

—

指数平滑预测

a=0.5

6241.0

59292.3

3335.1

252.0

2802.4

1124.3

49833.6

1340.8

21518.4

803.5

6427.7

4635.8

442.8

17035.9

264.4

14431.3

21589.8

15260.3

12491.7

239123.0

误差平方

14

2001年a=0.3时的预测值为：

a=0.5时的预测值为：

比较误差平方可知，a=0.5更合适。

13.3 下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

营业额（万元）

295

283

322

355

286

379

381

431

424

月份

10

11

12

13

14

15

16

17

18

营业额（万元）

473

470

481

449

544

601

587

644

660

（1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。

（2）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=0.3、a=0.4和a=0.5预测各月的营业额，

分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？

（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。

详细答案：

（1）第19个月的3期移动平均预测值为：

营业额

295

283

322

355

286

379

381

431

424

473

470

481

449

544

601

587

644

660

预测

a=0.3

295.0

291.4

300.6

316.9

307.6

329.0

344.6

370.5

386.6

412.5

429.8

445.1

446.3

475.6

513.2

535.4

567.9

误差平方

144.0

936.4

2961.5

955.2

5093.1

2699.4

7459.6

2857.8

7468.6

3305.6

2626.2

15.0

9547.4

15724.5

5443.2

11803.7

8473.4

预测

a=0.4

295.0

290.2

302.9

323.8

308.7

336.8

354.5

385.1

400.7

429.6

445.8

459.9

455.5

490.9

534.9

555.8

591.1

误差平方

144.0

1011.2

2712.3

1425.2

4949.0

1954.5

5856.2

1514.4

5234.4

1632.9

1242.3

117.8

7830.2

12120.5

2709.8

7785.2

4752.7

预测

a=0.5

295.0

289.0

305.5

330.3

308.1

343.6

362.3

396.6

410.3

441.7

455.8

468.4

458.7

501.4

551.2

569.1

606.5

误差平方

144.0

1089.0

2450.3

1958.1

5023.3

1401.6

4722.3

748.5

3928.7

803.1

633.5

376.9

7274.8

9929.4

1283.3

5611.7

2857.5

（2）

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

15

合计 — — 87514.7 — 62992.5 — 50236

由Excel输出的指数平滑预测值如下表： a=0.3时的预测值：

，误差均方＝87514.7。

a=0.4时的预测值：

，误差均方＝62992.5.。

a=0.5时的预测值：

，误差均方＝50236。

比较各误差平方可知，a=0.5更合适。

（3）根据最小二乘法，利用Excel输出的回归结果如下：

回归统计

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

Coefficients

239.73203

21.928793

df

1

16

17

0.9673

0.9356

0.9316

31.6628

18

SS

232982.5

16040.49

MS

232982.5

F

232.3944

Lower 95%

206.7239

18.87936

Significance F

5.99E-11

Upper 95%

272.7401

24.97822

1002.53

t Stat

15.3965

15.24449

P-value

5.16E-11

5.99E-11

249022.9

标准误差

15.57055

1.438474

。估计标准误差 。

13.4 下表是1981年—2000年我国财政用于文教、科技、卫生事业费指出额数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

支出（万元）

171.36

196.96

223.54

263.17

316.70

379.93

402.75

486.10

553.33

617.29

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

支出（万元）

708.00

792.96

957.77

1278.18

1467.06

1704.25

1903.59

2154.38

2408.06

2736.88

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2001年的支出额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

16

（2）从趋势图可以看出，我国财政用于文教、科技、卫生事业费指出额呈现指数

增长趋势，因此，选择指数曲线。经线性变换后，利用Excel输出的回归结果如下：

回归统计

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

Coefficients

2.163699

0.064745

df

1

18

19

0.998423

0.996849

0.996674

0.022125

20

SS

2.787616

0.008811

MS

2.787616

F

5694.885

Lower 95%

2.142106

0.062942

Significance F

5.68E-24

Upper 95%

2.185291

0.066547

0.000489

t Stat

210.5269

75.46446

P-value

5.55E-32

5.68E-24

2.796427

标准误差

0.010278

0.000858

，

方程为：

；

。

， 。所以，指数曲线

2001年的预测值为： 。

13.5 我国1964年～1999年的纱产量数据如下（单位：万吨）：

年份

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

纱产量

97.0

130.0

156.5

135.2

137.7

180.5

205.2

190.0

188.6

196.7

年份

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

纱产量

196.0

223.0

238.2

263.5

292.6

317.0

335.4

327.0

321.9

353.5

年份

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

纱产量

465.7

476.7

462.6

460.8

501.8

501.5

489.5

542.3

512.2

559.8

17

1974

1975

180.3

210.8

1986

1987

397.8

436.8

1998

1999

542.0

567.0

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2000年的产量。

详细答案：

（1）趋势图如下：

（2）从图中可以看出，纱产量具有明显的线性趋势。用Excel求得的线性趋势方程

为：

2000年预测值为：

=585.65（万吨）。

13.6 对下面的数据分别拟合线性趋势线

和阶次曲线

时间t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

观测值Y

372

370

374

375

377

377

374

372

373

372

369

367

367

365

363

359

358

359

、二阶曲线

。并对结果进行比较。

时间t

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

观测值Y

360

357

356

352

348

353

356

356

356

359

360

357

357

355

356

363

365

18

详细答案：

在求二阶曲线和三阶曲线时，首先将其线性化，然后用最小二乘法按线性回归进行

求解。用Excel求得的趋势直线、二阶曲线和三阶曲线的系数如下：

直线

Intercept

X Variable 1

374.1613

-0.6137

二阶曲线

Intercept

X Variable 1

X Variable 2

381.6442

-1.8272

0.0337

三阶曲线

Intercept

X Variable 1

X Variable 2

X Variable 3

372.5617

1.0030

-0.1601

0.0036

各趋势方程为：

线性趋势：

二阶曲线：

三阶曲线： 。

根据趋势方程求得的预测值和预测误差如下表：

时间t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

观测值Y

372

370

374

375

377

377

374

372

373

372

369

367

367

365

363

359

358

359

360

357

356

352

348

353

356

356

356

359

直线

预测

373.5

372.9

372.3

371.7

371.1

370.5

369.9

369.3

368.6

368.0

367.4

366.8

366.2

365.6

365.0

364.3

363.7

363.1

362.5

361.9

361.3

360.7

360.0

359.4

358.8

358.2

357.6

357.0

误差平方

2.4

8.6

2.8

10.8

34.9

42.5

17.1

7.6

19.0

15.8

2.5

0.0

0.7

0.3

3.8

28.5

32.8

16.9

6.3

23.9

27.8

75.0

145.1

41.4

7.9

4.9

2.5

4.1

二阶曲线

预测

379.9

378.1

376.5

374.9

373.4

371.9

370.5

369.2

367.9

366.7

365.6

364.6

363.6

362.7

361.8

361.0

360.3

359.7

359.1

358.6

358.1

357.8

357.5

357.2

357.0

356.9

356.9

356.9

误差平方

61.6

66.0

6.1

0.0

13.3

26.1

12.2

7.9

25.7

27.6

11.4

5.9

11.6

5.4

1.4

4.2

5.4

0.5

0.8

2.5

4.6

33.2

89.3

17.7

1.1

0.9

0.8

4.4

三阶曲线

预测

373.4

374.0

374.2

374.2

374.0

373.6

373.0

372.2

371.2

370.2

369.0

367.7

366.4

365.1

363.7

362.3

361.0

359.7

358.4

357.3

356.3

355.4

354.6

354.0

353.7

353.5

353.6

353.9

误差平方

2.0

15.6

0.1

0.6

8.9

11.6

1.1

0.0

3.1

3.3

0.0

0.6

0.3

0.0

0.5

11.1

8.9

0.5

2.4

0.1

0.1

11.3

43.7

1.1

5.5

6.3

5.9

25.8

19

29

30

31

32

33

34

35

合计

360

357

357

355

356

363

365

—

356.4

355.7

355.1

354.5

353.9

353.3

352.7

—

13.2

1.6

3.5

0.2

4.4

94.2

151.8

854.9

357.0

357.2

357.4

357.7

358.1

358.5

359.0

—

9.0

0.0

0.2

7.2

4.2

20.4

36.2

524.7

354.5

355.5

356.7

358.3

360.3

362.7

365.4

—

29.8

2.3

0.1

11.0

18.4

0.1

0.2

232.1

不同趋势线预测的标准误差如下：

直线：

二阶曲线：

三阶曲线：

比较各预测误差可知，直线的误差最大，三阶曲线的误差最小。

从不同趋势方程的预测图也可以看出，三阶曲线与原序列的拟合最好。

13.7 下表是1981—2000年我国的原煤产量数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

原煤产量（亿吨）

6.22

6.66

7.15

7.89

8.72

8.94

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

原煤产量（亿吨）

10.87

11.16

11.50

12.40

13.61

13.97

20

1987

1988

1989

1990

9.28

9.80

10.54

10.80

1997

1998

1999

2000

13.73

12.50

10.45

9.98

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2001年的产量。

详细答案：

（1）原煤产量趋势图如下：

从趋势图可以看出，拟合二阶曲线比较合适。

（2）用Excel求得的二阶曲线趋势方程为：

2001年的预测值为：

。

13.8 一家贸易公司主要经营产品的外销业务，为了合理地组织货源，需要了解外销

订单的变化状况。下表是1997—2001年各月份的外销定单金额（单位：万元）。

年/月

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1997

54.3

46.6

62.6

58.2

57.4

56.6

56.1

52.9

54.6

51.3

54.8

52.1

1998

49.1

50.4

59.3

58.5

60.0

55.6

58.0

55.8

55.8

59.8

59.4

55.5

1999

56.7

52.0

61.7

61.4

62.4

63.6

63.2

63.9

63.2

63.4

64.4

63.8

2000

64.4

54.5

68.0

71.9

69.4

67.7

68.0

66.3

67.8

71.5

70.5

69.4

2001

61.1

69.4

76.5

71.6

74.6

69.9

71.4

72.7

69.9

74.2

72.7

72.5

（1）根据各年的月份数据绘制趋势图，说明该时间序列的特点。

（2）要寻找各月份的预测值，你认为应该采取什么方法？

（3）选择你认为合适的方法预测2002年1月份的外销订单金额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

21

从趋势图可以看出，每一年的各月份数据没有趋势存在，但从1997—2001年的变化

看，订单金额存在一定的线性趋势。

（2）由于是预测各月份的订单金额，因此采用移动平均法或指数平滑法比较合适。

（3）用Excel采用12项移动平均法预测的结果为： 。

用Excel采用指数平滑法（a=0.4）预测的预测结果为： 。

13.9 1993—2000年我国社会消费品零售总额数据如下（单位：亿元）

月/年

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1993

977.5

892.5

942.3

941.3

962.2

1005.7

963.8

959.8

1023.3

1051.1

1102.0

1415.5

1994

1192.2

1162.7

1167.5

1170.4

1213.7

1281.1

1251.5

1286.0

1396.2

1444.1

1553.8

1932.2

1995

1602.2

1491.5

1533.3

1548.7

1585.4

1639.7

1623.6

1637.1

1756.0

1818.0

1935.2

2389.5

1996

1909.1

1911.2

1860.1

1854.8

1898.3

1966.0

1888.7

1916.4

2083.5

2148.3

2290.1

2848.6

1997

2288.5

2213.5

2130.9

2100.5

2108.2

2164.7

2102.5

2104.4

2239.6

2348.0

2454.9

2881.7

1998

2549.5

2306.4

2279.7

2252.7

2265.2

2326.0

2286.1

2314.6

2443.1

2536.0

2652.2

3131.4

1999

2662.1

2538.4

2403.1

2356.8

2364.0

2428.8

2380.3

2410.9

2604.3

2743.9

2781.5

3405.7

2000

2774.7

2805.0

2627.0

2572.0

2637.0

2645.0

2597.0

2636.0

2854.0

3029.0

3108.0

3680.0

（1）绘制时间序列线图，说明该序列的特点。

（2）利用分解预测法预测2001年各月份的社会消费品零售总额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

22

从趋势图可以看出，我国社会消费品零售总额的变具有明显的季节变动和趋势。

（2）利用分解法预测的结果如下：

2001年/月

时间编号 季节指数 回归预测值 最终预测值

1 97 1.0439 3056.30 3190.48

2 98 0.9939 3077.50 3058.87

3 99 0.9593 3098.71 2972.48

4 100 0.9398 3119.92 2931.99

5 101 0.9439 3141.13 2964.88

6 102 0.9589 3162.33 3032.30

7 103 0.9287 3183.54 2956.43

8 104 0.9261 3204.75 2967.86

9 105 0.9814 3225.96 3166.05

10 106 1.0075 3247.16 3271.51

11 107 1.0472 3268.37 3422.77

12 108 1.2694 3289.58 4175.95

13.10 1995年～2000年北京市月平均气温数据如下（单位： ）：

月/年

1995 1996 1997 1998 1999 2000

1 -0.7 -2.2 -3.8 -3.9 -1.6 -6.4

2 2.1 -0.4 1.3 2.4 2.2 -1.5

3 7.7 6.2 8.7 7.6 4.8 8.1

4 14.7 14.3 14.5 15.0 14.4 14.6

5 19.8 21.6 20.0 19.9 19.5 20.4

6 24.3 25.4 24.6 23.6 25.4 26.7

7 25.9 25.5 28.2 26.5 28.1 29.6

8 25.4 23.9 26.6 25.1 25.6 25.7

9 19.0 20.7 18.6 22.2 20.9 21.8

10 14.5 12.8 14.0 14.8 13.0 12.6

11 7.7 4.2 5.4 4.0 5.9 3.0

12 -0.4 0.9 -1.5 0.1 -0.6 -0.6

（1）绘制年度折叠时间序列图，判断时间序列的类型。

（2）用季节性多元回归模型预测2001年各月份的平均气温。

详细答案：

（1）年度折叠时间序列图如下：

从年度折叠时间序列图可以看出，北京市月平均气

温具有明显的季节变动。由

23

于折

线图中有交叉，表明该序列不存在趋势。

（2）季节性多元回归模型为：

设月份为 。则季节性多元回归模型为：

虚拟变量为：

，

由Excel输出的回归结果如下：

系数

b0

b1

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

M8

M9

M10

M11

-0.2233

-0.0030

-2.7832

1.3365

7.5062

14.9092

20.5289

25.3319

27.6349

25.7213

20.8743

13.9606

5.3803

，……， 。

季节性多元回归方程为：

预测

-3.2

0.9

7.1

14.5

20.1

24.9

27.2

25.3

20.4

13.5

4.9

-0.5

2001年各月份平均气温的预测值如下：

年/月

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

时间

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

虚拟变量

M1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M2

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M3

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M4

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

M5

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

M6

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

M7

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

M8

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

M9

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

M10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

M11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

24

13.11 下表中的数据是一家大型百货公司最近几年各季度的销售额数据（单位：万

元）。对这一时间序列的构成要素进行分解，计算季节指数、剔除季节变动、计算

剔除季节变动后趋势方程。

年/季

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

1

993.1

1673.6

2342.4

3254.4

3904.2

5483.2

5123.6

4942.4

5009.9

6059.3

2

971.2

1931.5

2552.6

4245.2

5105.9

5997.3

6051.0

6825.5

6257.9

5819.7

3

2264.1

3927.8

3747.5

5951.1

7252.6

8776.1

9592.2

8900.1

8016.8

7758.8

4

1943.3

3079.6

4472.8

6373.1

8630.5

8720.6

8341.2

8723.1

7865.6

8128.2

详细答案：

各季节指数如下：

季节指数

1季度

0.7517

2季度

0.8513

3季度

1.2343

4季度

1.1627

季节变动图如下：

根据分离季节因素后的数据计算的趋势方程为： 。

13.12 下表中的数据是一家水产品加工公司最近几年的加工量数据（单位：t）。对

该序列进行分解，计算季节指数、剔除季节变动、计算剔除季节变动后趋势方程。

年/月

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1997

78.8

78.1

84.0

94.3

97.6

102.8

92.7

41.6

109.8

127.3

210.3

242.8

1998

91.9

92.1

80.9

94.5

101.4

111.7

92.9

43.6

117.5

153.1

229.4

286.7

1999

90.4

100.1

114.1

108.2

125.7

118.3

89.1

46.1

132.1

173.9

273.3

352.1

2000

66.8

73.3

85.3

94.6

74.1

100.8

106.7

44.0

132.1

162.5

249.0

330.8

2001

99.5

80.0

108.4

118.3

126.8

123.3

117.2

42.0

150.6

176.6

249.2

320.6

25

详细答案：

各月季节指数如下：

1月

0.6744

7月

0.7552

2月

0.6699

8月

0.3449

3月

0.7432

9月

0.9619

4月

0.7903

10月

1.1992

5月

0.8061

11月

1.8662

6月

0.8510

12月

2.3377

季节变动图如下：

根据分离季节因素后的数据计算的趋势方程为：

26

。

第14章 指数

14.8

（1）产值总指数：

k

pq

pq







pq

11



00

0.9100058.5500115800130250

123.87%

8.590055500100700105150

产值变动的绝对额：



pq



（2）单位成本指数：

P

p





pq



pq

1100

1302501051502510（元）



pq



pq

10

0

11

01



9100058.5500115800130250

112.28%

8.5100055500100800116000

由于单位成本变动影响产值的绝对量：



p





pq



pq

1101

130250116001425（元）

经济意义：由于单位成本平均上涨了12.28%，使总产值增加了1425元。

（3）产量指数：

L

q





qp



qp

0



8.5100055500100800116000

110.32%

8.590055500100700105150

由于产量变动影响产值的绝对量：



q





qp



qp

1000

1160001051501085（元）

经济意义：由于产量平均增长10.32%，使总产值增长10850元。

（4）

相对分析：

k

pq

L

q

P

p

绝对量分析：



pq



q



p



pq





qp





pq

123.87%112.28%110.32%



pq



qp



pq



pq



pq(



qp



qp)(



pq



pq)

111011

000001

11

130250105150(13025011600)(300500290000)(116000105150)

251014251085

经济意义（分析说明）:由于三种产品的产量平均增长了10.32%,使总产值增长了1085元；又由于

三种产品的单位成本平均上涨了12.28%,使总产值增加了1425元。它们共同作用的结果，使报告期总

产值比基期增加了23.87%,增加的绝对量为2510元.

14.9

（1） 总平均劳动生产率指数：

k

xf



x

1

x

0



xf



f





xf



f

1

0

11

1

11

00

4.52406.41809.2120

6.18

240180120

97.78%

4.42006.21609.0150

6.32

200160150

该企业总平均劳动生产率变动量为：



xf





xf





xf



f



f

0

00

6.186.320.14

（元/件）

（2）各个车间职工人数结构变动对总平均劳动生产率变动的影响：

k

f



xf



f





xf



f

1

0

01

00

4.42406.21809.0120

6.02

240180120

95.29%

4.42006.21609.0150

6.32

200160150

27



f





xf





xf



f



f

01

10

00

6.026.320.3

（元/件）

（3）各个车间劳动生产率变动对总平均劳动生产率变动的影响：



xf

4.52406.41809.2120

6.18



f



240180120

k102.66%

4.42406.21809.0120

6.02



xf

240180120



f



xf





xf

6.186.020.16

（元/件）





f



f



xf



xf



xf



f





f





f

（4）相对分析：

kkk



xf



xf



xf



f



f



f

11

1

x

01

1

11

1

01

1

x

11

1

11

1

01

1

xxf

00

0

01

1

00

0

97.78%95.29%102.66%

绝对分析：



xf



x



f



xf



f

1

11

xf







f

0

0

0

xf



(



f

1

11

xf







f

1

01

xf



)(



f

1

01

xf







f

0

0

0

)

-0.14=-0.3+0.16

经济意义：由于三个车间职工人数变化，使总平均劳动生产率价格提高了2.66%，即平均每人增长

了0.16万元，又由于三个车间劳动生产率的变化，使总平均劳动生产率降低了4.81%，即平均每人减

少0.3万元，两者共同的影响，使总平均劳动生产率下降了2.22%，即平均每人减少0.14万元。

28

2024年5月16日发(作者：安全)

第11章 一元线性回归分析

11.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。

（2）

r0.920232

（3） 检验统计量

t14.4222t



2

2.2281

，拒绝原假设，相关系数显著。

11.2 （1）散点图（略）。

（2）

r0.8621

ˆ

表示当

x0

时

y

的期望值。 11.3 （1）



0

ˆ

表示

x

每变动一个单位

y

平均下降0.5个单位。 （2）



1

（3）

E(y)7

11.4 （1）

R90%

（2）

s

e

1

11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10

个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离(单位：km)和运送时间(单位：天)的数据如下：

运送距离x 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

运送时间y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

要求：

(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态：

(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

解：（1）

运

送

时

间

天

2

可能存在线性关系。

（2）

x运送距离（km）

y运送时间（天）

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

有很强的线性关系。

（3）

系数(a)

非标准化系数

模型

B

标准误

标准化系数

Beta t

显著性

y

5

（

）

4

3

2

1

25250

x运送距离（km）

相关性

x运送距离（km）

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

10

.949(**)

0.000

10 10

1

y运送时间（天）

.949(**)

0.000

10

1

1

1

（常量）

x运送距离（km）

0.118

0.004

0.355

0.000 0.949

0.333

8.509

0.748

0.000

a. 因变量: y运送时间（天）

回归系数的含义：每公里增加0.004天。

11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据：

地区 人均GDP(元) 人均消费水平(元)

北京 22 460 7 326

辽宁 11 226 4 490

上海 34 547 11 546

江西 4 851 2 396

河南 5 444 2 208

贵州 2 662 1 608

陕西 4 549 2 035

要求：

(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。

(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

(4)计算判定系数，并解释其意义。

(5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。

(6)如果某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平。

(7)求人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。

解：（1）

人

均

消

费

水

平

元

12000

10000

可能存在线性关系。

（2）相关系数：

相关性

人均GDP（元）

人均GDP（元）

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

人均消费水平（元） Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

有很强的线性关系。

（3）回归方程：

系数(a)

（

）

8000

6000

4000

2000

0

000040000

人均GDP（元）

__

人均消费水平（元）

.998(**)

0.000

7

1

1

7

.998(**)

0.000

7 7

2

非标准化系数

模型

1

（常量）

人均GDP（元）

a. 因变量: 人均消费水平（元）

标准化系数

Beta

0.998

t

5.265

36.492

显著性

0.003

0.000

139.540

0.008

B

734.693

0.309

标准误

回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加0.309元。

（4）

模型摘要

模型

1

a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。

R

.998(a)

R 方

0.996

调整的 R 方

0.996

估计的标准差

247.303

人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。

（5）F检验：

ANOVA(b)

模型

1

回归

残差

合计

a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。

b. 因变量: 人均消费水平（元）

平方和

81,444,968.680

305,795.034

81,750,763.714

df

1

5

6

均方

81,444,968.680

61,159.007

F

1,331.692

显著性

.00

回归系数的检验：t检验

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

人均GDP（元）

a. 因变量: 人均消费水平（元）

标准化系数

Beta

0.998

t

5.265

36.492

显著性

0.003

0.000

139.540

0.008

B

734.693

0.309

标准误

（6）

某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平为2278.10657元。

（7）

人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区间为[1990.74915，2565.46399]，预测区间为

[1580.46315，2975.74999]。

11.7（1） 散点图（略），二者之间为负的线性相关关系。

ˆ

4.7

表示航班正点率每增加1%，

ˆ

430.18924.7x

。回归系数



（2）估计的回归方程为：

y

1

顾客投诉次数平均下降4.7次。

（3）检验统计量

t4.959t



2

2.3060

（P-Value=0.001108<



0.05

），拒绝原假设，回归

系数显著。

ˆ

80

430.18924.78054.1892

（次）（4）

y

。

（5）置信区间：（37.660，70.619）；预测区间：（7.572，100.707）。

11.8 Excel输出的结果如下（解释与分析请读者自己完成）

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

df

0.7951

0.6322

0.6117

2.6858

20

SS

MS

F

Significance F

3

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

1

18

19

Coefficients

49.3177

0.2492

223.1403

129.8452

352.9855

标准误差

3.8050

0.0448

223.1403

7.2136

t Stat

12.9612

5.5618

30.9332

P-value

0.0000

0.0000

2.79889E-05

Lower 95%

41.3236

0.1551

Upper 95%

57.3117

0.3434

11.9 某汽车生产商欲了解广告费用(x)对销售量(y)的影响，收集了过去12年的有关数据。通过计算得

到下面的有关结果：

方差分析表

变差来源

回归

残差

总计

Intercept

XVariable1

Coefficients

363.6891

1.420211

参数估计表

标准误差 tStat

62.45529

0.071091

5.823191

19.97749

P—value

0.000168

2.17E—09

df

1

10

11

SS

1602708.6

40158.07

1642866.67

MS

1602708.6

4015.807

—

F

399.1000065

—

—

SignificanceF

2.17E—09

—

—

要求：

(1)完成上面的方差分析表。

(2)汽车销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的?

(3)销售量与广告费用之间的相关系数是多少?

(4)写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。

(5)检验线性关系的显著性(a＝0.05)。

解：（2）R

2

=0.9756，汽车销售量的变差中有97.56%是由于广告费用的变动引起的。

（3）r=0.9877

（4）回归系数的意义：广告费用每增加一个单位，汽车销量就增加1.42个单位。

（5）回归系数的t检验：p=2.17E—09＜α，回归系数不等于0，显著。

回归直线的F检验：p=2.17E—09＜α，回归直线显著。

ˆ

13.62542.3029x

；(3)略；(4)

R

2

93.74%

；(5)

s

e

3.8092

。 11.10 (1) r=0.9682;(2)

y

11.11 从20的样本中得到的有关回归结果是：SSR=60，SSE=40。要检验x与y之间的线性关系是否

显著，即检验假设：

H

0

:



1

0

。

(1)线性关系检验的统计量F值是多少?

(2)给定显著性水平a＝0.05，F

a

是多少?

(3)是拒绝原假设还是不拒绝原假设?

(4)假定x与y之间是负相关，计算相关系数r。

(5)检验x与y之间的线性关系是否显著?

解：（1）SSR的自由度为k=1；SSE的自由度为n-k-1=18；

SSR

60

k

因此：F==

1

=27

SSE40

nk118

4

（2）

F





1,18



=

F

0.05



1,18



=4.41

（3）拒绝原假设，线性关系显著。

（4）r=

SSR

=

0.6

=0.7746，由于是负相关，因此r=-0.7746

SSRSSE

（5）从F检验看线性关系显著。

11.12（1）

15.95E(y)18.05

。（2）

14.651y

0

19.349

。

11.13

ˆ

46.2915.24x

；

441.555E(y

40

)685.045

。

y

11.14 略

11.15 随机抽取7家超市，得到其广告费支出和销售额数据如下：

超市 广告费支出(万元) 销售额(万元)

A l 19

B 2 32

C 4 44

D 6 40

E 10 52

F 14 53

G 20 54

要求：

(1)用广告费支出作自变量x，销售额作因变量y，求出估计的回归方程。

(2)检验广告费支出与销售额之间的线性关系是否显著(a＝0.05)。

(3)绘制关于x的残差图，你觉得关于误差项



的假定被满足了吗?

(4)你是选用这个模型，还是另寻找一个更好的模型?

解：（1）

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

广告费支出（万元）

a. 因变量: 销售额（万元）

标准化系数

Beta

0.831

t

6.116

3.339

显著性

0.002

0.021

4.807

0.463

B

29.399

1.547

标准误

（2）回归直线的F检验：

ANOVA(b)

模型

1

回归

残差

合计

a. 预测变量:(常量), 广告费支出（万元）。

b. 因变量: 销售额（万元）

平方和

691.723

310.277

1,002.000

df

1

5

6

均方

691.723

62.055

F

11.147

显著性

.021(a)

显著。

回归系数的t检验：

系数(a)

非标准化系数

模型

1

（常量）

广告费支出（万元）

a. 因变量: 销售额（万元）

标准化系数

Beta

0.831

t

6.116

3.339

显著性

0.002

0.021

4.807

0.463

B

29.399

1.547

标准误

显著。

（3）未标准化残差图：

5

10.00000

5.00000

U

n

s

t

a

n

d

a

r

d

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-5.00000

-10.00000

-15.00000

05101520

广告费支出（万元）

标准化残差图：

1.00000

S

t

a

n

d

a

r

d

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-1.00000

-2.00000

05101520

广告费支出（万元）

学生氏标准化残差图：

2.00000

1.00000

S

t

u

d

e

n

t

i

z

e

d

R

e

s

i

d

u

a

l

0.00000

-1.00000

-2.00000

05101520

看到残差不全相等。

（4）应考虑其他模型。可考虑对数曲线模型：

y=b

0

+b

1

ln(x)=22.471+11.576ln(x)。

广告费支出（万元）

6

第12章 多元线性回归分析

12.1 略

12.2 根据下面Excel输出的回归结果，说明模型中涉及多少个自变量、少个观察值？写出回归方程，

并根据F，s

e

，R

2

及调整的

R

a

2

的值对模型进行讨论。

SUMMARY OUTPUT

回归统计

Multiple R 0.842407

R Square 0.709650

Adjusted R Square 0.630463

109.429596

标准误差

15

观测值

方差分析

df SS MS F Significance F

3 321946.8018 107315.6006 8.961759 0.002724

回归

11 131723.1982 11974.84

残差

14 453670

总计

Coefficients t Stat P-value

标准误差

Intercept 657.0534 167.459539 3.923655 0.002378

X Variable 1 5.710311 1.791836 3.186849 0.008655

X Variable 2 -0.416917 0.322193 -1.293998 0.222174

X Variable 3 -3.471481 1.442935 -2.405847 0.034870

解：自变量3个，观察值15个。

ˆ

=657.0534+5.710311X

1

-0.416917X

2

-3.471481X

3

回归方程：

y

拟合优度：判定系数R

2

=0.70965，调整的

R

a

2

=0.630463，说明三个自变量对因变量的影响的比例占到

63%。

估计的标准误差

S

yx

=109.429596，说明随即变动程度为109.429596

回归方程的检验：F检验的P=0.002724，在显著性为5%的情况下，整个回归方程线性关系显著。

回归系数的检验：



1

的t检验的P=0.008655，在显著性为5%的情况下，y与X

1

线性关系显著。



2

的t检验的P=0.222174，在显著性为5%的情况下，y与X

2

线性关系不显著。



3

的t检验的P=0.034870，在显著性为5%的情况下，y与X

3

线性关系显著。

因此，可以考虑采用逐步回归去除X

2

，从新构建线性回归模型。

ˆ

18.42.01x

1

4.74x

2

，并且已知n＝10，SST＝6

12.3 根据两个自变量得到的多元回归方程为

y

724.125，SSR＝6 216.375，

s



ˆ

0.0813

，

s



ˆ

＝0.056 7。要求：

1

2

(1)在a=0.05的显著性水平下，

x

1

,x

2

与y的线性关系是否显著?

(2)在a＝0.05的显著性水平下，



1

是否显著?

(3)在a＝0.05的显著性水平下，



2

是否显著?

解：（1）回归方程的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=



2

=0 H

1

：



1

，



2

不全等于0

SSE=SST-SSR=6 724.125-6 216.375=507.75

F=

SSRp6724.1252

==42.85

SSEnp1507.751021

F





2,7



=4.74，F>

F





2,7



，认为线性关系显著。

（2）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=

2.01



1

==24.72

S



0.0813

1

7

t



2



np1



=2.36，

t

>

t



2



7



，认为y与x

1

线性关系显著。

（3）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



2

=0 H

1

：



2

≠0

t=

4.74



2

==83.6

S



0.0567

2

t



2



np1



=2.36，

t

>

t



2



7



，认为y与x

2

线性关系显著。

12.4 一家电器销售公司的管理人员认为，每月的销售额是广告费用的函数，并想通过广告费用对

月销售额作出估计。下面是近8个月的销售额与广告费用数据：

月销售收入y(万元) 电视广告费用工：x

1

(万元) 报纸广告费用x

2

(万元)

96

90

95

92

95

94

94

94

5．0

2．0

4．0

2．5

3．0

3．5

2．5

3．0

1.5

2．0

1．5

2.5

3．3

2．3

4．2

2．5

要求：

(1)用电视广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计的回归方程。

(2)用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计的回归方程。

(3)上述(1)和(2)所建立的估计方程，电视广告费用的系数是否相同?对其回归系数分别进行解释。

(4)根据问题(2)所建立的估计方程，在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多

少?

(5)根据问题(2)所建立的估计方程，检验回归系数是否显著(a=0.05)。

ˆ

88.64+1.6x

解：（1）回归方程为：

y

ˆ

83.232.29x

1

1.3x

2

（2）回归方程为：

y

（3）不相同，（1）中表明电视广告费用增加1万元，月销售额增加1.6万元；（2）中表明，在报纸广

告费用不变的情况下，电视广告费用增加1万元，月销售额增加2.29万元。

（4）判定系数R

2

= 0.919，调整的

R

a

2

= 0.8866，比例为88.66%。

（5）回归系数的显著性检验：

下限 上限

Coefficient

标准误

Lower Upper

差

t Stat

P-value

95%

s

95%

95.0%

95.0%

1.5738652.88244.57E-0

Intercept

83.23009

9

8

8

79.18433

87.27585

79.18433

87.27585

电视广告费用工：x1 (万

0.304067.531890.00065

元)

2.290184

5

9

3

1.508561

3.071806

1.508561

3.071806

0.320704.056690.00976

报纸广告费用x2(万元)

1.300989

2

7

1

0.476599

2.125379

0.476599

2.125379

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=



1

2.29

==7.53

S



0.304

1

t

0.025



5



=2.57，

t

>

t

0.025



5



，认为y与x

1

线性关系显著。

（3）回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



2

=0 H

1

：



2

≠0

8

t=



2

1.3

==4.05

0.32

S



2

t

0.025



5



=2.57，

t

>

t

0.025



5



，认为y与x

2

线性关系显著。

12.5 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下：

收获量y(kg／hm

2

) 降雨量x

1

(mm) 温度x

2

(℃)

2 250

3 450

4 500

6 750

7 200

7 500

8 250

25

33

45

105

110

115

120

6

8

10

13

14

16

17

要求：

(1)试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。

(2)解释回归系数的实际意义。

(3)根据你的判断，模型中是否存在多重共线性?

ˆ

-0.59122.386x

1

327.672x

2

解：（1）回归方程为：

y

（2）在温度不变的情况下，降雨量每增加1mm，收获量增加22.386kg／hm

2

，在降雨量不变的情况下，

降雨量每增加1度，收获量增加327.672kg／hm

2

。

（3）

x

1

与

x

2

的相关系数

r

x

1

x

2

=0.965，存在多重共线性。

12.6

12.7

12.8

12.9 下面是随机抽取的15家大型商场销售的同类产品的有关数据(单位：元)。

企业编号 销售价格y 购进价格x

1

销售费用

x

2

l l 238 966 223

2 l 266 894 257

3 l 200 440 387

4 1 193 664 310

5 1 106 791 339

6 1 303 852 283

7 1 313 804 302

8 1 144 905 214

9 1 286 77l 304

10 l 084 511 326

11 l 120 505 339

12 1 156 85l 235

13 1 083 659 276

14 1 263 490 390

15 1 246 696 316

要求：

(1)计算y与x

1

、y与x

2

之间的相关系数，是否有证据表明销售价格与购进价格、销售价格与销售

费用之间存在线性关系?

(2)根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否有用?

(3)用Excel进行回归，并检验模型的线性关系是否显著(a＝0.05)。

(4)解释判定系数R

2

，所得结论与问题(2)中是否一致?

9

(5)计算x

1

与x

2

之间的相关系数，所得结果意味着什么?

(6)模型中是否存在多重共线性?你对模型有何建议?

解：（1）y与x

1

的相关系数=0.309，y与x

2

之间的相关系数=0.0012。对相关性进行检验：

相关性

销售价格

销售价格

Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

购进价格 Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

销售费用 Pearson 相关性

显著性（双侧）

N

**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

购进价格

1 0.309

0.263

15 15

1

15

-.853(**)

0.000

15

销售费用

0.001

0.997

15

-.853(**)

0.000

15

1

0.309

0.263

15

0.001

0.997

15 15

可以看到，两个相关系数的P值都比较的，总体上线性关系也不现状，因此没有明显的线性相关关系。

（2）意义不大。

（3）

回归统计

Multiple R

0.593684

R Square

0.35246

Adjusted R Square

0.244537

标准误差

69.75121

观测值

15

方差分析

回归分析

残差

总计

df

2

12

14

SS

31778.1539

58382.7794

90160.9333

Significance

MS

F

F

15889.08

3.265842

0.073722

4865.232

下限 上限

CoefficientLower Upper

标准误差

t Stat

P-value

s

95%

95%

95.0%

95.0%

Intercept

375.6018

339.410562

1.10663

0.290145

-363.91

1115.114

-363.91

1115.114

购进价格x1

0.537841

0.21044674

2.555711

0.0252

0.079317

0.996365

0.079317

0.996365

销售费用x2

1.457194

0.66770659

2.182386

0.049681

0.002386

2.912001

0.002386

2.912001

从检验结果看，整个方程在5%下，不显著；而回归系数在5%下，均显著，说明回归方程没有多大意

义，并且自变量间存在线性相关关系。

（4）从R

2

看，调整后的R

2

=24.4%，说明自变量对因变量影响不大，反映情况基本一致。

（5）方程不显著，而回归系数显著，说明可能存在多重共线性。

（6）存在多重共线性，模型不适宜采用线性模型。

12.11 一家货物运输公司想研究运输费用与货物类型的关系，并建立运输费用与货物类型的回归模型，

以此对运输费用作出预测。该运输公司所运输的货物分为两种类型：易碎品和非易碎品。下表给出了

15个路程大致相同，而货物类型不同的运输费用数据。

x1

每件产品的运输费用y(元) 货物类型

10

17．2 易碎品

11．1 易碎品

12．0 易碎品

10．9 易碎品

13．8 易碎品

6．5 易碎品

10．0 易碎品

11．5 易碎品

7．0 非易碎品

8．5 非易碎品

2．1 非易碎品

l。3 非易碎品

3．4 非易碎品

7．5 非易碎品

2．0 非易碎品

要求：

(1)写出运输费用与货物类型之间的线性方程。

(2)对模型中的回归系数进行解释。

(3)检验模型的线性关系是否显著(a＝0.05)。

解：

回归分析

残差

总计

df

SS

MS

1

187.2519

187.2519

13

120.3721

9.259396

14

307.624

1

1

1

l

1

l

1

1

0

0

0

0

0

0

0

Significance

F

F

20.2229

0.000601

下限 上限

Coefficients

标准误差

t Stat

P-value

Lower 95%

Upper 95%

95.0%

95.0%

Intercept

4.542857

1.150118

3.949906

0.001662

2.058179

7.027535

2.058179

7.027535

x1

7.082143

1.574864

4.496988

0.000601

3.679857

10.48443

3.679857

10.48443

ˆ

4.547.08x

（1）回归方程为：

y

（2）非易碎品的平均运费为4.54元，易碎品的平均运费为11.62元，易碎品与非易碎品的平均运费差

为7.08元。

（3）回归方程的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

不等于0

SSR=187.25195，SSE=120.3721，

F=

SSRp6724.1251

==20.22

SSEnp1

507.751511

P=0.000601<0.05，或者

F

0.05



1,13



=4.67，F>

F

0.05



1,13



，认为线性关系显著。

或者，回归系数的显著性检验：

假设：H

0

：



1

=0 H

1

：



1

≠0

t=



1

7.08

==4.5

S



1.57

1

P=0.000601<0.05，或者

t



2



np1



=

t

0.025



13



=2.16，

t

>

t

0.025



13



，认为y与x线性关系显著。

12.12 为分析某行业中的薪水有无性别歧视，从该行业中随机抽取15名员工，有关数据如下：

月薪y(元) 工龄x

1

性别(1=男，0＝女)x

2

11

l 548

l 629

1 011

l 229

l 746

1 528

l 018

1 190

l 551

985

l 610

1 432

1 215

990

1 585

3．2

3．8

2．7

3．4

3．6

4．1

3．8

3．4

3．3

3．2

3．5

2．9

3．3

2．8

3．5

l

l

0

0

l

1

0

0

l

0

l

l

0

0

l

要求：用Excel进行回归，并对结果进行分析。

解：

回归统计

0.94339

Multiple R

1

0.88998

R Square

7

Adjusted R 0.87165

Square

2

96.7915

标准误差

8

观测值

15

方差分析

回归分析

残差

总计

Significance

df

SS

MS

F

F

2

909488.4

454744.2

48.53914

1.77E-06

12

112423.3

9368.61

14

1021912

Coefficient

标准误

差

s

下限

95.0%

上限

95.0%

Lower Upper

t Stat

P-value

95%

95%

3.107420.00906

Intercept

732.0606

235.5844

5

4

218.7664

1245.355

1.542930.14879

工龄x1

111.2202

72.08342

7

6

-45.8361

268.2765

性别(1=男，0＝女)x2

458.6841

53.4585

8.58019

1.82E-06

342.208

575.1601

拟合优度良好，方程线性显著，工龄线性不显著，性别线性显著。

218.7664

1245.355

-45.8361

268.2765

342.208

575.1601

12

第13章 时间序列分析和预测

13.1 下表是1981年—1999年国家财政用于农业的支出额数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

支出额（亿元）

110.21

120.49

132.87

141.29

153.62

184.2

195.72

214.07

265.94

307.84

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

支出额（亿元）

347.57

376.02

440.45

532.98

574.93

700.43

766.39

1154.76

1085.76

（1）绘制时间序列图描述其形态。

（2）计算年平均增长率。

（3）根据年平均增长率预测2000年的支出额。

详细答案：

（1）时间序列图如下：

从时间序列图可以看出，国家财政用于农业的支出额大体上呈指数上升趋势。

（2）年平均增长率为：

。

（3） 。

13.2 下表是1981年—2000年我国油彩油菜籽单位面积产量数据（单位：kg / hm2）

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

单位面积产量

1451

1372

1168

1232

1245

1200

1260

1020

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

单位面积产量

1215

1281

1309

1296

1416

1367

1479

1272

13

1989

1990

1095

1260

1999

2000

1469

1519

（1）绘制时间序列图描述其形态。

（2）用5期移动平均法预测2001年的单位面积产量。

（3）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=0.3和a=0.5预测2001年的单位面积产

量，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？

详细答案：

（1）时间序列图如下：

（2）2001年的预测值为：

|

（3）由Excel输出的指数平滑预测值如下表：

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

合计

单位面积产量

1451

1372

1168

1232

1245

1200

1260

1020

1095

1260

1215

1281

1309

1296

1416

1367

1479

1272

1469

1519

—

1451.0

1427.3

1349.5

1314.3

1293.5

1265.4

1263.8

1190.7

1162.0

1191.4

1198.5

1223.2

1249.0

1263.1

1308.9

1326.4

1372.2

1342.1

1380.2

—

指数平滑预测

a=0.3

6241.0

67236.5

13808.6

4796.5

8738.5

29.5

59441.0

9151.5

9611.0

558.1

6812.4

7357.6

2213.1

23387.7

3369.9

23297.7

10031.0

16101.5

19272.1

291455.2

误差平方

1451.0

1411.5

1289.8

1260.9

1252.9

1226.5

1243.2

1131.6

1113.3

1186.7

1200.8

1240.9

1275.0

1285.5

1350.7

1358.9

1418.9

1345.5

1407.2

—

指数平滑预测

a=0.5

6241.0

59292.3

3335.1

252.0

2802.4

1124.3

49833.6

1340.8

21518.4

803.5

6427.7

4635.8

442.8

17035.9

264.4

14431.3

21589.8

15260.3

12491.7

239123.0

误差平方

14

2001年a=0.3时的预测值为：

a=0.5时的预测值为：

比较误差平方可知，a=0.5更合适。

13.3 下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

营业额（万元）

295

283

322

355

286

379

381

431

424

月份

10

11

12

13

14

15

16

17

18

营业额（万元）

473

470

481

449

544

601

587

644

660

（1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。

（2）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=0.3、a=0.4和a=0.5预测各月的营业额，

分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？

（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。

详细答案：

（1）第19个月的3期移动平均预测值为：

营业额

295

283

322

355

286

379

381

431

424

473

470

481

449

544

601

587

644

660

预测

a=0.3

295.0

291.4

300.6

316.9

307.6

329.0

344.6

370.5

386.6

412.5

429.8

445.1

446.3

475.6

513.2

535.4

567.9

误差平方

144.0

936.4

2961.5

955.2

5093.1

2699.4

7459.6

2857.8

7468.6

3305.6

2626.2

15.0

9547.4

15724.5

5443.2

11803.7

8473.4

预测

a=0.4

295.0

290.2

302.9

323.8

308.7

336.8

354.5

385.1

400.7

429.6

445.8

459.9

455.5

490.9

534.9

555.8

591.1

误差平方

144.0

1011.2

2712.3

1425.2

4949.0

1954.5

5856.2

1514.4

5234.4

1632.9

1242.3

117.8

7830.2

12120.5

2709.8

7785.2

4752.7

预测

a=0.5

295.0

289.0

305.5

330.3

308.1

343.6

362.3

396.6

410.3

441.7

455.8

468.4

458.7

501.4

551.2

569.1

606.5

误差平方

144.0

1089.0

2450.3

1958.1

5023.3

1401.6

4722.3

748.5

3928.7

803.1

633.5

376.9

7274.8

9929.4

1283.3

5611.7

2857.5

（2）

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

15

合计 — — 87514.7 — 62992.5 — 50236

由Excel输出的指数平滑预测值如下表： a=0.3时的预测值：

，误差均方＝87514.7。

a=0.4时的预测值：

，误差均方＝62992.5.。

a=0.5时的预测值：

，误差均方＝50236。

比较各误差平方可知，a=0.5更合适。

（3）根据最小二乘法，利用Excel输出的回归结果如下：

回归统计

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

Coefficients

239.73203

21.928793

df

1

16

17

0.9673

0.9356

0.9316

31.6628

18

SS

232982.5

16040.49

MS

232982.5

F

232.3944

Lower 95%

206.7239

18.87936

Significance F

5.99E-11

Upper 95%

272.7401

24.97822

1002.53

t Stat

15.3965

15.24449

P-value

5.16E-11

5.99E-11

249022.9

标准误差

15.57055

1.438474

。估计标准误差 。

13.4 下表是1981年—2000年我国财政用于文教、科技、卫生事业费指出额数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

支出（万元）

171.36

196.96

223.54

263.17

316.70

379.93

402.75

486.10

553.33

617.29

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

支出（万元）

708.00

792.96

957.77

1278.18

1467.06

1704.25

1903.59

2154.38

2408.06

2736.88

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2001年的支出额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

16

（2）从趋势图可以看出，我国财政用于文教、科技、卫生事业费指出额呈现指数

增长趋势，因此，选择指数曲线。经线性变换后，利用Excel输出的回归结果如下：

回归统计

Multiple R

R Square

Adjusted R Square

标准误差

观测值

方差分析

回归分析

残差

总计

Intercept

X Variable 1

Coefficients

2.163699

0.064745

df

1

18

19

0.998423

0.996849

0.996674

0.022125

20

SS

2.787616

0.008811

MS

2.787616

F

5694.885

Lower 95%

2.142106

0.062942

Significance F

5.68E-24

Upper 95%

2.185291

0.066547

0.000489

t Stat

210.5269

75.46446

P-value

5.55E-32

5.68E-24

2.796427

标准误差

0.010278

0.000858

，

方程为：

；

。

， 。所以，指数曲线

2001年的预测值为： 。

13.5 我国1964年～1999年的纱产量数据如下（单位：万吨）：

年份

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

纱产量

97.0

130.0

156.5

135.2

137.7

180.5

205.2

190.0

188.6

196.7

年份

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

纱产量

196.0

223.0

238.2

263.5

292.6

317.0

335.4

327.0

321.9

353.5

年份

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

纱产量

465.7

476.7

462.6

460.8

501.8

501.5

489.5

542.3

512.2

559.8

17

1974

1975

180.3

210.8

1986

1987

397.8

436.8

1998

1999

542.0

567.0

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2000年的产量。

详细答案：

（1）趋势图如下：

（2）从图中可以看出，纱产量具有明显的线性趋势。用Excel求得的线性趋势方程

为：

2000年预测值为：

=585.65（万吨）。

13.6 对下面的数据分别拟合线性趋势线

和阶次曲线

时间t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

观测值Y

372

370

374

375

377

377

374

372

373

372

369

367

367

365

363

359

358

359

、二阶曲线

。并对结果进行比较。

时间t

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

观测值Y

360

357

356

352

348

353

356

356

356

359

360

357

357

355

356

363

365

18

详细答案：

在求二阶曲线和三阶曲线时，首先将其线性化，然后用最小二乘法按线性回归进行

求解。用Excel求得的趋势直线、二阶曲线和三阶曲线的系数如下：

直线

Intercept

X Variable 1

374.1613

-0.6137

二阶曲线

Intercept

X Variable 1

X Variable 2

381.6442

-1.8272

0.0337

三阶曲线

Intercept

X Variable 1

X Variable 2

X Variable 3

372.5617

1.0030

-0.1601

0.0036

各趋势方程为：

线性趋势：

二阶曲线：

三阶曲线： 。

根据趋势方程求得的预测值和预测误差如下表：

时间t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

观测值Y

372

370

374

375

377

377

374

372

373

372

369

367

367

365

363

359

358

359

360

357

356

352

348

353

356

356

356

359

直线

预测

373.5

372.9

372.3

371.7

371.1

370.5

369.9

369.3

368.6

368.0

367.4

366.8

366.2

365.6

365.0

364.3

363.7

363.1

362.5

361.9

361.3

360.7

360.0

359.4

358.8

358.2

357.6

357.0

误差平方

2.4

8.6

2.8

10.8

34.9

42.5

17.1

7.6

19.0

15.8

2.5

0.0

0.7

0.3

3.8

28.5

32.8

16.9

6.3

23.9

27.8

75.0

145.1

41.4

7.9

4.9

2.5

4.1

二阶曲线

预测

379.9

378.1

376.5

374.9

373.4

371.9

370.5

369.2

367.9

366.7

365.6

364.6

363.6

362.7

361.8

361.0

360.3

359.7

359.1

358.6

358.1

357.8

357.5

357.2

357.0

356.9

356.9

356.9

误差平方

61.6

66.0

6.1

0.0

13.3

26.1

12.2

7.9

25.7

27.6

11.4

5.9

11.6

5.4

1.4

4.2

5.4

0.5

0.8

2.5

4.6

33.2

89.3

17.7

1.1

0.9

0.8

4.4

三阶曲线

预测

373.4

374.0

374.2

374.2

374.0

373.6

373.0

372.2

371.2

370.2

369.0

367.7

366.4

365.1

363.7

362.3

361.0

359.7

358.4

357.3

356.3

355.4

354.6

354.0

353.7

353.5

353.6

353.9

误差平方

2.0

15.6

0.1

0.6

8.9

11.6

1.1

0.0

3.1

3.3

0.0

0.6

0.3

0.0

0.5

11.1

8.9

0.5

2.4

0.1

0.1

11.3

43.7

1.1

5.5

6.3

5.9

25.8

19

29

30

31

32

33

34

35

合计

360

357

357

355

356

363

365

—

356.4

355.7

355.1

354.5

353.9

353.3

352.7

—

13.2

1.6

3.5

0.2

4.4

94.2

151.8

854.9

357.0

357.2

357.4

357.7

358.1

358.5

359.0

—

9.0

0.0

0.2

7.2

4.2

20.4

36.2

524.7

354.5

355.5

356.7

358.3

360.3

362.7

365.4

—

29.8

2.3

0.1

11.0

18.4

0.1

0.2

232.1

不同趋势线预测的标准误差如下：

直线：

二阶曲线：

三阶曲线：

比较各预测误差可知，直线的误差最大，三阶曲线的误差最小。

从不同趋势方程的预测图也可以看出，三阶曲线与原序列的拟合最好。

13.7 下表是1981—2000年我国的原煤产量数据

年份

1981

1982

1983

1984

1985

1986

原煤产量（亿吨）

6.22

6.66

7.15

7.89

8.72

8.94

年份

1991

1992

1993

1994

1995

1996

原煤产量（亿吨）

10.87

11.16

11.50

12.40

13.61

13.97

20

1987

1988

1989

1990

9.28

9.80

10.54

10.80

1997

1998

1999

2000

13.73

12.50

10.45

9.98

（1）绘制时间序列图描述其趋势。

（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测2001年的产量。

详细答案：

（1）原煤产量趋势图如下：

从趋势图可以看出，拟合二阶曲线比较合适。

（2）用Excel求得的二阶曲线趋势方程为：

2001年的预测值为：

。

13.8 一家贸易公司主要经营产品的外销业务，为了合理地组织货源，需要了解外销

订单的变化状况。下表是1997—2001年各月份的外销定单金额（单位：万元）。

年/月

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1997

54.3

46.6

62.6

58.2

57.4

56.6

56.1

52.9

54.6

51.3

54.8

52.1

1998

49.1

50.4

59.3

58.5

60.0

55.6

58.0

55.8

55.8

59.8

59.4

55.5

1999

56.7

52.0

61.7

61.4

62.4

63.6

63.2

63.9

63.2

63.4

64.4

63.8

2000

64.4

54.5

68.0

71.9

69.4

67.7

68.0

66.3

67.8

71.5

70.5

69.4

2001

61.1

69.4

76.5

71.6

74.6

69.9

71.4

72.7

69.9

74.2

72.7

72.5

（1）根据各年的月份数据绘制趋势图，说明该时间序列的特点。

（2）要寻找各月份的预测值，你认为应该采取什么方法？

（3）选择你认为合适的方法预测2002年1月份的外销订单金额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

21

从趋势图可以看出，每一年的各月份数据没有趋势存在，但从1997—2001年的变化

看，订单金额存在一定的线性趋势。

（2）由于是预测各月份的订单金额，因此采用移动平均法或指数平滑法比较合适。

（3）用Excel采用12项移动平均法预测的结果为： 。

用Excel采用指数平滑法（a=0.4）预测的预测结果为： 。

13.9 1993—2000年我国社会消费品零售总额数据如下（单位：亿元）

月/年

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1993

977.5

892.5

942.3

941.3

962.2

1005.7

963.8

959.8

1023.3

1051.1

1102.0

1415.5

1994

1192.2

1162.7

1167.5

1170.4

1213.7

1281.1

1251.5

1286.0

1396.2

1444.1

1553.8

1932.2

1995

1602.2

1491.5

1533.3

1548.7

1585.4

1639.7

1623.6

1637.1

1756.0

1818.0

1935.2

2389.5

1996

1909.1

1911.2

1860.1

1854.8

1898.3

1966.0

1888.7

1916.4

2083.5

2148.3

2290.1

2848.6

1997

2288.5

2213.5

2130.9

2100.5

2108.2

2164.7

2102.5

2104.4

2239.6

2348.0

2454.9

2881.7

1998

2549.5

2306.4

2279.7

2252.7

2265.2

2326.0

2286.1

2314.6

2443.1

2536.0

2652.2

3131.4

1999

2662.1

2538.4

2403.1

2356.8

2364.0

2428.8

2380.3

2410.9

2604.3

2743.9

2781.5

3405.7

2000

2774.7

2805.0

2627.0

2572.0

2637.0

2645.0

2597.0

2636.0

2854.0

3029.0

3108.0

3680.0

（1）绘制时间序列线图，说明该序列的特点。

（2）利用分解预测法预测2001年各月份的社会消费品零售总额。

详细答案：

（1）趋势图如下：

22

从趋势图可以看出，我国社会消费品零售总额的变具有明显的季节变动和趋势。

（2）利用分解法预测的结果如下：

2001年/月

时间编号 季节指数 回归预测值 最终预测值

1 97 1.0439 3056.30 3190.48

2 98 0.9939 3077.50 3058.87

3 99 0.9593 3098.71 2972.48

4 100 0.9398 3119.92 2931.99

5 101 0.9439 3141.13 2964.88

6 102 0.9589 3162.33 3032.30

7 103 0.9287 3183.54 2956.43

8 104 0.9261 3204.75 2967.86

9 105 0.9814 3225.96 3166.05

10 106 1.0075 3247.16 3271.51

11 107 1.0472 3268.37 3422.77

12 108 1.2694 3289.58 4175.95

13.10 1995年～2000年北京市月平均气温数据如下（单位： ）：

月/年

1995 1996 1997 1998 1999 2000

1 -0.7 -2.2 -3.8 -3.9 -1.6 -6.4

2 2.1 -0.4 1.3 2.4 2.2 -1.5

3 7.7 6.2 8.7 7.6 4.8 8.1

4 14.7 14.3 14.5 15.0 14.4 14.6

5 19.8 21.6 20.0 19.9 19.5 20.4

6 24.3 25.4 24.6 23.6 25.4 26.7

7 25.9 25.5 28.2 26.5 28.1 29.6

8 25.4 23.9 26.6 25.1 25.6 25.7

9 19.0 20.7 18.6 22.2 20.9 21.8

10 14.5 12.8 14.0 14.8 13.0 12.6

11 7.7 4.2 5.4 4.0 5.9 3.0

12 -0.4 0.9 -1.5 0.1 -0.6 -0.6

（1）绘制年度折叠时间序列图，判断时间序列的类型。

（2）用季节性多元回归模型预测2001年各月份的平均气温。

详细答案：

（1）年度折叠时间序列图如下：

从年度折叠时间序列图可以看出，北京市月平均气

温具有明显的季节变动。由

23

于折

线图中有交叉，表明该序列不存在趋势。

（2）季节性多元回归模型为：

设月份为 。则季节性多元回归模型为：

虚拟变量为：

，

由Excel输出的回归结果如下：

系数

b0

b1

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

M8

M9

M10

M11

-0.2233

-0.0030

-2.7832

1.3365

7.5062

14.9092

20.5289

25.3319

27.6349

25.7213

20.8743

13.9606

5.3803

，……， 。

季节性多元回归方程为：

预测

-3.2

0.9

7.1

14.5

20.1

24.9

27.2

25.3

20.4

13.5

4.9

-0.5

2001年各月份平均气温的预测值如下：

年/月

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

时间

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

虚拟变量

M1

1

0

0

0

0