2024年5月17日发(作者：元博远)

龙源期刊网

例说解排列组合应用题的基本思考方法

作者：陈浩铭

来源：《中学理科园地》2010年第02期

在教学中,排列组合部分是学生感到困难的内容,尤其是应用题,更是感到难于下手,有时不是

计算重复就是有遗漏,或者重复、遗漏兼而有之。由于排列组合的答案数字一般偏大,它又不同

于解方程,可以进行检验,因此,更给解排列、组合应用题带来困难。而排列、组合应用题的解法

是该单元的重点,其中有条件限制的排列、组合例题教材中只各安排了三道,学生是难于掌握的,

因此须补充一定适量而且具有一定难度(不超过教材中的习题难度)的例题。无条件限制的排

列、组合问题是基础,也不容忽视。有条件限制的排列、组合问题,当条件限制较繁杂时学生难

于掌握,教师在讲课时应着重讲解例题的分析,着重讲思路,并尽量把学生在解题过程中可能出现

的错误指出来并将其错误原因给学生分析透彻。

这里举例、浅谈解排列、组合应用题的一些基本思考方法:

一、占位法。对于此解法,对于有条件限制的特殊位置或有位置限制的特殊元素可按条件

入“座”,称为占位法。

例1.用0到9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位?

分析:做图示:

条件限制:千位上不能排0,或说千位上只能排1到9这九个数字中的一个。

解法一:分步完成:第一步选元素占据特殊位置,第二步选元素占据其余位置。此解法着眼于

有条件限制的特殊位置。

解:分两步完成。

第一步从1到9这九个数中任选一个占据千位。有P19种方法。

第二步从余下的九个数(包括数字0)中任选3个占据百、十、个位,有P39种方法。

由乘法原理:P19P39=4536

答:可组成4536个无重数字的四位数。

解法二:对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成:第一步让特殊元素先占位,第二步让

其余元素占位。此解法着眼于有条件限制的特殊元素。

龙源期刊网

分析:在所给元素中0是有位置限制的特殊元素,在组成的四位数中,有一类根本无0元素,另

一类含有0元素,而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一。

解:组成的四位数分为两类:

第一类不含0的四位数有P49个。

第二类含0的四位数的组成分为两步。

第一步让0占位有P13种占法。

第二步让其余9个数占位有P39种占法。

含0的四位数有P13P39个。

由加法原理:P49+P13P39=4536答:(略)

二、排除法

从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法)。

例1 中不合要求的排列即为0占据千位的排列。

解法三:从0至9十个数中任取4个数的排列总数为P410,其中0在千位的有P39个。

P410-P39=4536。答:(略)

用解法三时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏。

例2 以长方体的顶点为四面体的四个顶点,可有组成多少个四面体?

解长方体的8个顶点任取4个的组合数是C48,其间有四点共面的特殊情况12种,所以可组

成C48-12个四面体。

三、“捆”在一起

例3 有m个男运动员和n个女运动员站成一排,其中男运动员必须排在一起的排法有多少

种?

分析:m个男运动员“捆”在一起,看成“一个”,则“一个男”和n个女共有Pn+1n+1种排法,而

“一个男”中的m个男有Pmm种排法,故共有Pn+1n+1·Pmm种不同排法。

龙源期刊网

四、逆向思考

将例3改为m个男运动员不全排在一起的排法有多少种,用逆向思考法,因为不全部在一起

的反面是都排在一起,故可得:

Pm+n-Pn+1·Pm

五、插空档

例4 8人并排照相,其中某3人都不相邻站着,有多少种排法?

分析:“都不相邻”的反面不能理解为“都相邻”,正确的理解是,“都不相邻”的反面是“不都相

邻”,即下面两种情况:

1、三人都相邻:

2、两人相邻,而另一人与他们不相邻。

因此,要从全部排列P88中去掉这两种情况的排列数。这样解显得较繁,下面我们用一种比

较简便的方法来解,

即先将没有特殊要求的5人排好,有P55种排法

↑○↑○↑○↑○↑○↑

××××× ×

这5人中有6个空位“×”,可选3个空位将某3人插入,这时有P36种排法,由乘法原

理,P55·P36=14400(种)

六、分类讨论

例5 由0、1、2、3、4、5、可以组成多少个没有重复数字、且能被6整除的六位数?

分析本题有两个限制条件,一个是明显的条件:能被6整除;另一个是隐含的条件:首位不能排

0。由于六个数字之和0+1+2+3+4+5=15,所以这六个数字排出来的六位数一定能被3整除。题

目要求能被6整除,因而当且仅当这六位数还能被2整除(即个位数字是0、2、4)就能满足条

件。

解:①末位排0:这时前面五个数字作全排列,共有P55种方法。

龙源期刊网

②末位排2:首位排1、3、4、5之一,余下的四个数字在中间四个位置上作全排列,共有

C14·P44种方法。

③末位排4:首位排1、2、3、5之一,余下的四个数字在中间四个位置上作全排列,共有

C14·P44种

因此,符合题目要求的六位数共有P55+2C14·P44=312(个)

七、先组后排

对同一对象,既有排列问题又有组合问题时,一般先组后排。

例6 某班有男生25人,女生21人,要选男生3人,女生2人,分虽担任正、副班长、学委、体

委、宣委,问有多少种不同的选举方案?

分析1)此题要求选出的5个人分别担任5种工作有位置问题,从整体看是排列问题。

2)因为选出的5个人中必须有3个男生,2个女生,所以显然答案不是P465 。

3)3名男生要从25名男生中选,2名女生要从21名女生中选。

问:列式P325·P221对吗?错误。因为题中对3名男生在5种工作中可以担任哪3种工作并

无限制,对2名女生亦如此,因此,这个题目只对选出什么元素有限制,而对元素所占据的位置无限

制,即选出的5个元素一起排队,而不是各自排队。

解:分两步完成:

第一步选人而不分工,有C325C221种选法

第二步选出的5人分工,有P55种分工方法。

由乘法原则:C325C221P55答:(略)

八、分配问题

例7 将12本不同的书按下列条件分配,各有多少种分法:

(1)分给甲、乙、丙三人,每人各得4本。

解释这时有组合问题又有排列问题:甲得C124,乙得C48,丙得C44,共有分法C124C84C44

种。这里“任取4个”是不计顺序的,而三个组合数相乘的过程中,又含有排列的关系。

龙源期刊网

解释:这里都是不分次序的,故而从(1)题的结果中除以P33,所以共有C512C48C44/P33种

例8 用1、2、3、4、5五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个偶

数?

解:(1)可组成P45=120个没有重复数字的四位数。

(2)因为奇偶数相间,它们各占这120个数的一半

共120/2=60个偶数。

剖析:(2)中有错误,因为这120个数中,奇、偶数并不是各占一半,比如,从这5个数字中组成

P45=20个两位数。

12、13、14、15、21、23、24、25、31、32、34、35、41、42、43、45、51、52、53、54

其中偶数只有8个并不占一半。

偶数不占一半的原因是:只有末位数是2、4时,才可组成4位偶数,是1、3、5时就可得到4

位奇数,因此奇数、偶数之比为3:2。

正确解法:用1、2、3、4、5可组成的偶数个数计算如下:

先排在末位,可从2、4中任选一个有Cl2种,再排前3位P43种。

共C21·P43=48个4位偶数。

在排列、组合的教学过程中,教师应始终强调不重不漏的原则,加强对学生进行思维条理性

和全面性的训练,培养学生分析、概括、归纳的能力。

教师在讲解例题时要注意提高学生的审题能力,教会他们要“吃透条件”和抓住“题架子”(如:

任何一个无条件限制的排列问题若将其具体含义抽去必然剩下“从n个不同元素中任取m个元

素占据m个不同的位置”这一个题架子)。并有意识地在讲课中保留某个典型例题的题架子改变

例题的具体内容编出新的题目,让学生看到不十分复杂的排列、组合的应用题“万变不离其宗”。

也可以让学生自己去编题……,通过这样的训练,学生的审题能力是会提高的。

2024年5月17日发(作者：元博远)

龙源期刊网

例说解排列组合应用题的基本思考方法

作者：陈浩铭

来源：《中学理科园地》2010年第02期

在教学中,排列组合部分是学生感到困难的内容,尤其是应用题,更是感到难于下手,有时不是

计算重复就是有遗漏,或者重复、遗漏兼而有之。由于排列组合的答案数字一般偏大,它又不同

于解方程,可以进行检验,因此,更给解排列、组合应用题带来困难。而排列、组合应用题的解法

是该单元的重点,其中有条件限制的排列、组合例题教材中只各安排了三道,学生是难于掌握的,

因此须补充一定适量而且具有一定难度(不超过教材中的习题难度)的例题。无条件限制的排

列、组合问题是基础,也不容忽视。有条件限制的排列、组合问题,当条件限制较繁杂时学生难

于掌握,教师在讲课时应着重讲解例题的分析,着重讲思路,并尽量把学生在解题过程中可能出现

的错误指出来并将其错误原因给学生分析透彻。

这里举例、浅谈解排列、组合应用题的一些基本思考方法:

一、占位法。对于此解法,对于有条件限制的特殊位置或有位置限制的特殊元素可按条件

入“座”,称为占位法。

例1.用0到9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位?

分析:做图示:

条件限制:千位上不能排0,或说千位上只能排1到9这九个数字中的一个。

解法一:分步完成:第一步选元素占据特殊位置,第二步选元素占据其余位置。此解法着眼于

有条件限制的特殊位置。

解:分两步完成。

第一步从1到9这九个数中任选一个占据千位。有P19种方法。

第二步从余下的九个数(包括数字0)中任选3个占据百、十、个位,有P39种方法。

由乘法原理:P19P39=4536

答:可组成4536个无重数字的四位数。

解法二:对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成:第一步让特殊元素先占位,第二步让

其余元素占位。此解法着眼于有条件限制的特殊元素。

龙源期刊网

分析:在所给元素中0是有位置限制的特殊元素,在组成的四位数中,有一类根本无0元素,另

一类含有0元素,而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一。

解:组成的四位数分为两类:

第一类不含0的四位数有P49个。

第二类含0的四位数的组成分为两步。

第一步让0占位有P13种占法。

第二步让其余9个数占位有P39种占法。

含0的四位数有P13P39个。

由加法原理:P49+P13P39=4536答:(略)

二、排除法

从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法)。

例1 中不合要求的排列即为0占据千位的排列。

解法三:从0至9十个数中任取4个数的排列总数为P410,其中0在千位的有P39个。

P410-P39=4536。答:(略)

用解法三时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏。

例2 以长方体的顶点为四面体的四个顶点,可有组成多少个四面体?

解长方体的8个顶点任取4个的组合数是C48,其间有四点共面的特殊情况12种,所以可组

成C48-12个四面体。

三、“捆”在一起

例3 有m个男运动员和n个女运动员站成一排,其中男运动员必须排在一起的排法有多少

种?

分析:m个男运动员“捆”在一起,看成“一个”,则“一个男”和n个女共有Pn+1n+1种排法,而

“一个男”中的m个男有Pmm种排法,故共有Pn+1n+1·Pmm种不同排法。

龙源期刊网

四、逆向思考

将例3改为m个男运动员不全排在一起的排法有多少种,用逆向思考法,因为不全部在一起

的反面是都排在一起,故可得:

Pm+n-Pn+1·Pm

五、插空档

例4 8人并排照相,其中某3人都不相邻站着,有多少种排法?

分析:“都不相邻”的反面不能理解为“都相邻”,正确的理解是,“都不相邻”的反面是“不都相

邻”,即下面两种情况:

1、三人都相邻:

2、两人相邻,而另一人与他们不相邻。

因此,要从全部排列P88中去掉这两种情况的排列数。这样解显得较繁,下面我们用一种比

较简便的方法来解,

即先将没有特殊要求的5人排好,有P55种排法

↑○↑○↑○↑○↑○↑

××××× ×

这5人中有6个空位“×”,可选3个空位将某3人插入,这时有P36种排法,由乘法原

理,P55·P36=14400(种)

六、分类讨论

例5 由0、1、2、3、4、5、可以组成多少个没有重复数字、且能被6整除的六位数?

分析本题有两个限制条件,一个是明显的条件:能被6整除;另一个是隐含的条件:首位不能排

0。由于六个数字之和0+1+2+3+4+5=15,所以这六个数字排出来的六位数一定能被3整除。题

目要求能被6整除,因而当且仅当这六位数还能被2整除(即个位数字是0、2、4)就能满足条

件。

解:①末位排0:这时前面五个数字作全排列,共有P55种方法。

龙源期刊网

②末位排2:首位排1、3、4、5之一,余下的四个数字在中间四个位置上作全排列,共有

C14·P44种方法。

③末位排4:首位排1、2、3、5之一,余下的四个数字在中间四个位置上作全排列,共有

C14·P44种

因此,符合题目要求的六位数共有P55+2C14·P44=312(个)

七、先组后排

对同一对象,既有排列问题又有组合问题时,一般先组后排。

例6 某班有男生25人,女生21人,要选男生3人,女生2人,分虽担任正、副班长、学委、体

委、宣委,问有多少种不同的选举方案?

分析1)此题要求选出的5个人分别担任5种工作有位置问题,从整体看是排列问题。

2)因为选出的5个人中必须有3个男生,2个女生,所以显然答案不是P465 。

3)3名男生要从25名男生中选,2名女生要从21名女生中选。

问:列式P325·P221对吗?错误。因为题中对3名男生在5种工作中可以担任哪3种工作并

无限制,对2名女生亦如此,因此,这个题目只对选出什么元素有限制,而对元素所占据的位置无限

制,即选出的5个元素一起排队,而不是各自排队。

解:分两步完成:

第一步选人而不分工,有C325C221种选法

第二步选出的5人分工,有P55种分工方法。

由乘法原则:C325C221P55答:(略)

八、分配问题

例7 将12本不同的书按下列条件分配,各有多少种分法:

(1)分给甲、乙、丙三人,每人各得4本。

解释这时有组合问题又有排列问题:甲得C124,乙得C48,丙得C44,共有分法C124C84C44

种。这里“任取4个”是不计顺序的,而三个组合数相乘的过程中,又含有排列的关系。

龙源期刊网

解释:这里都是不分次序的,故而从(1)题的结果中除以P33,所以共有C512C48C44/P33种

例8 用1、2、3、4、5五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个偶

数?

解:(1)可组成P45=120个没有重复数字的四位数。

(2)因为奇偶数相间,它们各占这120个数的一半

共120/2=60个偶数。

剖析:(2)中有错误,因为这120个数中,奇、偶数并不是各占一半,比如,从这5个数字中组成

P45=20个两位数。

12、13、14、15、21、23、24、25、31、32、34、35、41、42、43、45、51、52、53、54

其中偶数只有8个并不占一半。

偶数不占一半的原因是:只有末位数是2、4时,才可组成4位偶数,是1、3、5时就可得到4

位奇数,因此奇数、偶数之比为3:2。

正确解法:用1、2、3、4、5可组成的偶数个数计算如下:

先排在末位,可从2、4中任选一个有Cl2种,再排前3位P43种。

共C21·P43=48个4位偶数。

在排列、组合的教学过程中,教师应始终强调不重不漏的原则,加强对学生进行思维条理性

和全面性的训练,培养学生分析、概括、归纳的能力。

教师在讲解例题时要注意提高学生的审题能力,教会他们要“吃透条件”和抓住“题架子”(如:

任何一个无条件限制的排列问题若将其具体含义抽去必然剩下“从n个不同元素中任取m个元

素占据m个不同的位置”这一个题架子)。并有意识地在讲课中保留某个典型例题的题架子改变

例题的具体内容编出新的题目,让学生看到不十分复杂的排列、组合的应用题“万变不离其宗”。

也可以让学生自己去编题……,通过这样的训练,学生的审题能力是会提高的。