2024年5月18日发(作者：户意致)

一元二次方程公式法、配方法

【主体知识归纳】

4．直接开平方法 形如

x

＝

a

(

a

≥0)的方程，因为

x

是

a

的平方根，所以

x

＝±

a

，即

x

1

＝

a

，

x

2

＝－

a

．这

种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2

b

2

b4ac

2

5．配方法 将一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)化成(

x

＋)＝的形式后，当

b

－4

ac

≥0时，用直

2

2a

4a

2

2

接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：

(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；

(2)将常数项移到方程右边；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．

bb

2

4ac

2

6．公式法 用一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的求根公式

x

＝(

b

－4

ac

≥0)，这种解一元二

2a

2

次方程的方法叫做公式法．

【例题精讲】

2

例1：用配方法解方程2

x

＋7

x

－4＝0．

剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：

(1)将二次项系数化为1；

(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；

2

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(

x

＋

a

)＝

k

的形式，然后用开平方法求解．

解：把方程的各项都除以2，得

x

＋

即(

x

＋

2

7777

2

7

2

81

22

x

－2＝0．移项，得

x

＋

x

＝2．配方，得

x

＋

x

＋()＝2＋()＝，

22244

16

7

2

81

)＝．

4

16

81

7791

＝±，

x

＋＝±．即

x

1

＝，

x

2

＝－4．

16

4442

解这个方程，得

x

＋

说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式

22

的证明中有着广泛的应用，例如证明不论

x

为何实数，代数式2

x

－4

x

＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2

x

－

22

4

x

＋3＝2

x

－4

x

＋2＋1＝2(

x

－1)＋1．

例6：用公式法解下列方程：

2

(1)2

x

＋7

x

＝4；

2

解：(1)方程可变形为2

x

＋7

x

－4＝0．

22

∵

a

＝2，

b

＝7，

c

＝－4，

b

－4

ac

＝7－4×2×(－4)＝81＞0，

77

2

42(4)

79

1

∴

x

＝．∴

x

1

＝，

x

2

＝－4．



224

2

【同步达纲练习】

1．选择题

(1)下列方程中是一元二次方程的是( )

x

2

x



＝0 B．

23

(2)下列方程不是一元二次方程的是( )

24

A．

2



＝0

x

x

A．

C．

x

＋2

xy

＋1＝0

2

D．5

x

＝3

x

－1

1

2

x

＝1 B．0.01

x

2

＋0．2

x

－0.1＝0C．

2

x

2

－3

x

＝0

2

2

(3)方程3

x

－4＝－2

x

的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )

D．

1

2

1

x

－

x

＝(

x

2

＋1)

22

A．3，－4，－2 B．3，2，－4 C．3，－2，－4 D．2，－2，0

2

(4)一元二次方程2

x

－(

a

＋1)

x

＝

x

(

x

－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则

a

的值为( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

22

(5)若方程(

m

－1)

x

＋

x

＋

m

＝0是关于

x

的一元二次方程，则

m

的取值范围是( )

A．

m

≠0 B．

m

≠1 C．

m

≠1且

m

≠－1 D．

m

≠1或

m

≠－1

(6)方程

x

(

x

＋1)＝0的根为( )

A．0 B．－1 C．0，－1 D．0，1

2

(7)方程3

x

－75＝0的解是( )

A．

x

＝5 B．

x

＝－5 C．

x

＝±5 D．无实数根

2

(8)方程(

x

－5)＝6的两个根是( )

A．

x

1

＝

x

2

＝5＋

6

B．

x

1

＝

x

2

＝－5＋

6

D．

x

1

＝5＋

6

，

x

2

＝5－

6

C．

x

1

＝－5＋

6

，

x

2

＝－5－

6

2

(9)若代数式

x

－6

x

＋5的值等于12，那么

x

的值为( )

A．1或5 B．7或－1 C．－1或－5

2

(10)关于

x

的方程3

x

－2(3

m

－1)

x

＋2

m

＝15有一个根为－2，则

m

的值等于( )

A．2 B．－

D．－7或1

1

2

C．－2 D．

1

2

2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

2

(1)4

x

＋1＝9

x

； (2)(

x

＋1)(

x

－3)＝2

x

－3；

(3)(

x

＋3)(

x

－3)＝2(

x

－3)；

2

2

(4)

3

y

－

2

y

＝

2

y

－

3

y

＋

5

．

22

3．当

m

满足什么条件时，方程(

m

＋1)

x

－4

mx

＋4

m

－2＝0是一元二次方程?当

x

＝0时，求

m

的值．

4．用直接开平方法解下列方程：

(1)

x

＝

2

2

9

；

4

(2)

x

＝1．96；

(5)(

x

－1)＝144；

2

2

(3)3

x

－48＝0；

(6)(6

x

－7)－9＝0．

2

2

(4)4

x

－1＝0；

5．用配方法解下列方程：

2

(1)

x

＋12

x

＝0；

2

(4)9

x

＋6

x

－1＝0；

(2)

x

＋12

x

＋15＝0

2

(3)

x

－7

x

＋2＝0；

2

(5)5

x

－2＝－

x

；

2

(6)3

x

－4

x

＝2．

2

6．用公式法解下列方程：

(1)

x

－2

x

＋1＝0；

(5)4

x

－1＝0；

2

2

(2)

x

(

x

＋8)＝16； (3)

x

－

2

5

x

＝2；

3

(4)0．8

x

＋

x

＝0．3；

2

(6)

x

＝7

x

；

2

(7)3

x

＋1＝2

3

x

；

2

(8)12

x

＋7

x

＋1＝0．

2

2

7．(1)当

x

为何值时，代数式2

x

＋7

x

－1与4

x

＋1的值相等?

22

(2)当

x

为何值时，代数式2

x

＋7

x

－1与

x

－19的值互为相反数?

8．已知

a

，

b

，

c

均为实数，且

a

2

2a1

＋｜

b

＋1｜＋(

c

＋3)＝0，解方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0．

22

2

9．已知

a

＋

b

＋

c

＝0．求证：1是关于

x

的一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0的根．

10．用配方法证明：

22

(1)3

y

－6

y

＋11的值恒大于零；(2)－10

x

－7

x

－4的值恒小于零．

22

11．证明：关于

x

的方程(

a

－8

a

＋20)

x

＋2

ax

＋1＝0，不论

a

为何实数，该方程都是一元二次方程．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D

2．(1)9

x

2

－4

x

－1＝0，9，－4，－1； (2)

x

2

－4

x

＝0，1，－4，0； (3)

x

2

－12

x

＋27＝0，1，－

12，27； (4)(

3

－

2

)

y

2

＋(

3

－

2

)

y

－

5

＝0，

3

－

2

，

3

－

2

，－

5

．

3．

m

≠－1，

m

＝

4．(1)

x

1

＝，

x

2

＝－；

(2)

x

1

＝－1．4，

x

2

＝1．4；

(3)

x

1

＝－4，

x

2

＝4；

(4)

x

1

＝－，

x

2

＝；

(5)

x

1

＝13，

x

2

＝－11；

(6)

x

1

＝，

x

2

＝．

5．(1)

x

1

＝0，

x

2

＝－12；

(2)

x

1

＝－6－

21

，

x

2

＝－6＋

21

；

741741

，

x

2

＝；

22

1212

(4)

x

1

＝，

x

2

＝；

33

141141

(5)

x

1

＝，

x

2

＝；

1010

210210

(6)

x

1

＝，

x

2

＝．

33

1

2

3

2

3

2

1

2

1

2

2

3

5

3

(3)

x

1

＝

6．(1)

x

1

＝

x

2

＝1；

(2)

x

1

＝－4－4

2

，

x

2

＝－4＋4

2

；

597597

13

，

x

2

＝；(4)

x

1

＝，

x

2

＝－；

66

42

11

(5)

x

1

＝，

x

2

＝－；(6)

x

1

＝0，

x

2

＝7；

22

3

(7)

x

1

＝

x

2

＝；

3

11

(8)

x

1

＝－，

x

2

＝－．

34

1

7．(1)

x

＝－2或

x

＝；

2

5

(2)

x

＝－4或

x

＝．

3

(3)

x

1

＝

8．

x

1

＝

113113

，

x

2

＝．

22

9把1代入

ax

2

＋

bx

＋

c

中，得

ax

2

＋

bx

＋

c

＝

a

＋

b

＋

c

＝0

∴1是方程

ax

2

＋

bx

＋

c

＝0的一个根．

10(1)∵3

y

2

－6

y

＋11＝3

y

2

－6

y

＋3＋8＝3(

y

－1)

2

＋8

又(

y

－1)

2

≥0，∴3(

y

－1)

2

＋8＞0． 即3

y

2

－6

y

＋11的值恒大于零．

(2)∵－10

x

2

－7

x

－4＝－10(

x

2

＋

7

2

111

)＋］

400

20

7111

＝－10(

x

＋)

2

－．

2040

7

又－10(

x

＋)

2

≤0，

20

111

7

∴－10(

x

＋)

2

－＜0．

40

20

74

x

＋)

1010

＝－10［(

x

＋

即－10

x

2

－7

x

－4的值恒小于零．

11∵

a

2

－8

a

＋20＝(

a

－4)

2

＋4＞0

∴该方程是一元二次方程

2024年5月18日发(作者：户意致)

一元二次方程公式法、配方法

【主体知识归纳】

4．直接开平方法 形如

x

＝

a

(

a

≥0)的方程，因为

x

是

a

的平方根，所以

x

＝±

a

，即

x

1

＝

a

，

x

2

＝－

a

．这

种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2

b

2

b4ac

2

5．配方法 将一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)化成(

x

＋)＝的形式后，当

b

－4

ac

≥0时，用直

2

2a

4a

2

2

接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：

(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；

(2)将常数项移到方程右边；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．

bb

2

4ac

2

6．公式法 用一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的求根公式

x

＝(

b

－4

ac

≥0)，这种解一元二

2a

2

次方程的方法叫做公式法．

【例题精讲】

2

例1：用配方法解方程2

x

＋7

x

－4＝0．

剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：

(1)将二次项系数化为1；

(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；

2

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(

x

＋

a

)＝

k

的形式，然后用开平方法求解．

解：把方程的各项都除以2，得

x

＋

即(

x

＋

2

7777

2

7

2

81

22

x

－2＝0．移项，得

x

＋

x

＝2．配方，得

x

＋

x

＋()＝2＋()＝，

22244

16

7

2

81

)＝．

4

16

81

7791

＝±，

x

＋＝±．即

x

1

＝，

x

2

＝－4．

16

4442

解这个方程，得

x

＋

说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式

22

的证明中有着广泛的应用，例如证明不论

x

为何实数，代数式2

x

－4

x

＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2

x

－

22

4

x

＋3＝2

x

－4

x

＋2＋1＝2(

x

－1)＋1．

例6：用公式法解下列方程：

2

(1)2

x

＋7

x

＝4；

2

解：(1)方程可变形为2

x

＋7

x

－4＝0．

22

∵

a

＝2，

b

＝7，

c

＝－4，

b

－4

ac

＝7－4×2×(－4)＝81＞0，

77

2

42(4)

79

1

∴

x

＝．∴

x

1

＝，

x

2

＝－4．



224

2

【同步达纲练习】

1．选择题

(1)下列方程中是一元二次方程的是( )

x

2

x



＝0 B．

23

(2)下列方程不是一元二次方程的是( )

24

A．

2



＝0

x

x

A．

C．

x

＋2

xy

＋1＝0

2

D．5

x

＝3

x

－1

1

2

x

＝1 B．0.01

x

2

＋0．2

x

－0.1＝0C．

2

x

2

－3

x

＝0

2

2

(3)方程3

x

－4＝－2

x

的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )

D．

1

2

1

x

－

x

＝(

x

2

＋1)

22

A．3，－4，－2 B．3，2，－4 C．3，－2，－4 D．2，－2，0

2

(4)一元二次方程2

x

－(

a

＋1)

x

＝

x

(

x

－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则

a

的值为( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

22

(5)若方程(

m

－1)

x

＋

x

＋

m

＝0是关于

x

的一元二次方程，则

m

的取值范围是( )

A．

m

≠0 B．

m

≠1 C．

m

≠1且

m

≠－1 D．

m

≠1或

m

≠－1

(6)方程

x

(

x

＋1)＝0的根为( )

A．0 B．－1 C．0，－1 D．0，1

2

(7)方程3

x

－75＝0的解是( )

A．

x

＝5 B．

x

＝－5 C．

x

＝±5 D．无实数根

2

(8)方程(

x

－5)＝6的两个根是( )

A．

x

1

＝

x

2

＝5＋

6

B．

x

1

＝

x

2

＝－5＋

6

D．

x

1

＝5＋

6

，

x

2

＝5－

6

C．

x

1

＝－5＋

6

，

x

2

＝－5－

6

2

(9)若代数式

x

－6

x

＋5的值等于12，那么

x

的值为( )

A．1或5 B．7或－1 C．－1或－5

2

(10)关于

x

的方程3

x

－2(3

m

－1)

x

＋2

m

＝15有一个根为－2，则

m

的值等于( )

A．2 B．－

D．－7或1

1

2

C．－2 D．

1

2

2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

2

(1)4

x

＋1＝9

x

； (2)(

x

＋1)(

x

－3)＝2

x

－3；

(3)(

x

＋3)(

x

－3)＝2(

x

－3)；

2

2

(4)

3

y

－

2

y

＝

2

y

－

3

y

＋

5

．

22

3．当

m

满足什么条件时，方程(

m

＋1)

x

－4

mx

＋4

m

－2＝0是一元二次方程?当

x

＝0时，求

m

的值．

4．用直接开平方法解下列方程：

(1)

x

＝

2

2

9

；

4

(2)

x

＝1．96；

(5)(

x

－1)＝144；

2

2

(3)3

x

－48＝0；

(6)(6

x

－7)－9＝0．

2

2

(4)4

x

－1＝0；

5．用配方法解下列方程：

2

(1)

x

＋12

x

＝0；

2

(4)9

x

＋6

x

－1＝0；

(2)

x

＋12

x

＋15＝0

2

(3)

x

－7

x

＋2＝0；

2

(5)5

x

－2＝－

x

；

2

(6)3

x

－4

x

＝2．

2

6．用公式法解下列方程：

(1)

x

－2

x

＋1＝0；

(5)4

x

－1＝0；

2

2

(2)

x

(

x

＋8)＝16； (3)

x

－

2

5

x

＝2；

3

(4)0．8

x

＋

x

＝0．3；

2

(6)

x

＝7

x

；

2

(7)3

x

＋1＝2

3

x

；

2

(8)12

x

＋7

x

＋1＝0．

2

2

7．(1)当

x

为何值时，代数式2

x

＋7

x

－1与4

x

＋1的值相等?

22

(2)当

x

为何值时，代数式2

x

＋7

x

－1与

x

－19的值互为相反数?

8．已知

a

，

b

，

c

均为实数，且

a

2

2a1

＋｜

b

＋1｜＋(

c

＋3)＝0，解方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0．

22

2

9．已知

a

＋

b

＋

c

＝0．求证：1是关于

x

的一元二次方程

ax

＋

bx

＋

c

＝0的根．

10．用配方法证明：

22

(1)3

y

－6

y

＋11的值恒大于零；(2)－10

x

－7

x

－4的值恒小于零．

22

11．证明：关于

x

的方程(

a

－8

a

＋20)

x

＋2

ax

＋1＝0，不论

a

为何实数，该方程都是一元二次方程．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D

2．(1)9

x

2

－4

x

－1＝0，9，－4，－1； (2)

x

2

－4

x

＝0，1，－4，0； (3)

x

2

－12

x

＋27＝0，1，－

12，27； (4)(

3

－

2

)

y

2

＋(

3

－

2

)

y

－

5

＝0，

3

－

2

，

3

－

2

，－

5

．

3．

m

≠－1，

m

＝

4．(1)

x

1

＝，

x

2

＝－；

(2)

x

1

＝－1．4，

x

2

＝1．4；

(3)

x

1

＝－4，

x

2

＝4；

(4)

x

1

＝－，

x

2

＝；

(5)

x

1

＝13，

x

2

＝－11；

(6)

x

1

＝，

x

2

＝．

5．(1)

x

1

＝0，

x

2

＝－12；

(2)

x

1

＝－6－

21

，

x

2

＝－6＋

21

；

741741

，

x

2

＝；

22

1212

(4)

x

1

＝，

x

2

＝；

33

141141

(5)

x

1

＝，

x

2

＝；

1010

210210

(6)

x

1

＝，

x

2

＝．

33

1

2

3

2

3

2

1

2

1

2

2

3

5

3

(3)

x

1

＝

6．(1)

x

1

＝

x

2

＝1；

(2)

x

1

＝－4－4

2

，

x

2

＝－4＋4

2

；

597597

13

，

x

2

＝；(4)

x

1

＝，

x

2

＝－；

66

42

11

(5)

x

1

＝，

x

2

＝－；(6)

x

1

＝0，

x

2

＝7；

22

3

(7)

x

1

＝

x

2

＝；

3

11

(8)

x

1

＝－，

x

2

＝－．

34

1

7．(1)

x

＝－2或

x

＝；

2

5

(2)

x

＝－4或

x

＝．

3

(3)

x

1

＝

8．

x

1

＝

113113

，

x

2

＝．

22

9把1代入

ax

2

＋

bx

＋

c

中，得

ax

2

＋

bx

＋

c

＝

a

＋

b

＋

c

＝0

∴1是方程

ax

2

＋

bx

＋

c

＝0的一个根．

10(1)∵3

y

2

－6

y

＋11＝3

y

2

－6

y

＋3＋8＝3(

y

－1)

2

＋8

又(

y

－1)

2

≥0，∴3(

y

－1)

2

＋8＞0． 即3

y

2

－6

y

＋11的值恒大于零．

(2)∵－10

x

2

－7

x

－4＝－10(

x

2

＋

7

2

111

)＋］

400

20

7111

＝－10(

x

＋)

2

－．

2040

7

又－10(

x

＋)

2

≤0，

20

111

7

∴－10(

x

＋)

2

－＜0．

40

20

74

x

＋)

1010

＝－10［(

x

＋

即－10

x

2

－7

x

－4的值恒小于零．

11∵

a

2

－8

a

＋20＝(

a

－4)

2

＋4＞0

∴该方程是一元二次方程