2024年5月18日发(作者：祢诗柳)

高中数学例题：秦九韶算法

例4．利用秦九韶算法求

f(x)1x0.5x

2

0.16663x

3

0.04168x

4

0.00835x

5

在x=0.2时的值．写出

详细计算过程．

【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．

（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求

值问题，即将一个n次多项式的求值问题，归结为重复计算n个一次

式

(a

i

xa

i1

)

．即

f(x)(((a

n

xa

n1

)xa

n2

)xa

1

)xa

0

．

（2）具体方法如下：已知一个一元n次多项式

f(x)a

n

x

n

a

n1

x

n1

a

1

xa

0

0．当x=x

0

，我们可按顺序一项一项地计

算，然后相加，求得

f(x

0

)

．

【答案】1.2214024

【解析】

v

0

=0.00835，

v

1

=v

0

x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，

v

2

=v

1

x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，

v

3

=v

2

x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，

v

4

=v

3

x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，

v

5

=v

4

x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．

【总结升华】秦九韶算法的原理是





v

0

a

n



v

k

v

k1

xa

nk

(k1,2,3,,n)

．

在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这

第 1 页 共 3 页

种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会

全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．

举一反三：

【变式1】用秦九韶算法求多项式

f(x)8x

7

5x

6

3x

4

2x1

当x=2时

的值．

【答案】1397

【解析】

f(x)8x

7

5x

6

0x

5

3x

4

0x

3

0x

2

2x1((((((8x5)x0)x3)x0)x0)x2)x1

．

v

0

=8，

v

1

=8×2+5=21，

v

2

=21×2 4-0=42，

v

3

=42×2 4-3=87，

v

4

=87×2+0=174，

v

5

=174×2+0=348，

v

6

=348×2+2=698，

v

7

=698×2+1=1397，

所以，当x=2时，多项式的值为1397．

【变式2】用秦九韶算法计算多项式

f(x)6x

6

5x

5

4x

4

3x

3

2x

2

x7

在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（ ）

A．10 B．9 C．12 D．8

【答案】 C

第 2 页 共 3 页

【解析】

f(x)(((((6x5)x4)x3)x2)x1)x7

．

∴加法6次，乘法6次，

∴6+6=12（次），故选C．

第 3 页 共 3 页

2024年5月18日发(作者：祢诗柳)

高中数学例题：秦九韶算法

例4．利用秦九韶算法求

f(x)1x0.5x

2

0.16663x

3

0.04168x

4

0.00835x

5

在x=0.2时的值．写出

详细计算过程．

【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．

（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求

值问题，即将一个n次多项式的求值问题，归结为重复计算n个一次

式

(a

i

xa

i1

)

．即

f(x)(((a

n

xa

n1

)xa

n2

)xa

1

)xa

0

．

（2）具体方法如下：已知一个一元n次多项式

f(x)a

n

x

n

a

n1

x

n1

a

1

xa

0

0．当x=x

0

，我们可按顺序一项一项地计

算，然后相加，求得

f(x

0

)

．

【答案】1.2214024

【解析】

v

0

=0.00835，

v

1

=v

0

x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，

v

2

=v

1

x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，

v

3

=v

2

x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，

v

4

=v

3

x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，

v

5

=v

4

x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．

【总结升华】秦九韶算法的原理是





v

0

a

n



v

k

v

k1

xa

nk

(k1,2,3,,n)

．

在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这

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种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会

全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．

举一反三：

【变式1】用秦九韶算法求多项式

f(x)8x

7

5x

6

3x

4

2x1

当x=2时

的值．

【答案】1397

【解析】

f(x)8x

7

5x

6

0x

5

3x

4

0x

3

0x

2

2x1((((((8x5)x0)x3)x0)x0)x2)x1

．

v

0

=8，

v

1

=8×2+5=21，

v

2

=21×2 4-0=42，

v

3

=42×2 4-3=87，

v

4

=87×2+0=174，

v

5

=174×2+0=348，

v

6

=348×2+2=698，

v

7

=698×2+1=1397，

所以，当x=2时，多项式的值为1397．

【变式2】用秦九韶算法计算多项式

f(x)6x

6

5x

5

4x

4

3x

3

2x

2

x7

在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（ ）

A．10 B．9 C．12 D．8

【答案】 C

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【解析】

f(x)(((((6x5)x4)x3)x2)x1)x7

．

∴加法6次，乘法6次，

∴6+6=12（次），故选C．

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