2024年5月18日发(作者：种白)
高中数学
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必修一
课后习题答案完整版
，
附精品高考试卷
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套
第一章集合与函数概念
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集合
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集合的含义与表示
练习(第
5
页)
1.
用符号或填空:
(1)
设
A
为所有亚洲国家组成的集合
，
贝上中国.
印度一
(2)
若
A
=
{xx
2
=x}
,
则一
1
(3)
^B
=
{
x
x
2
+
x
-6
=
0},
贝
J3
(4)
^C
=
{xeNl f 贝 U8 A ； A, 美国. A, 英国一 A, A ； B ； C, 9.1 C. 1. (1) 中国 g A , 美国印度 g A , 英国 g A ； 中国和印度是属于亚洲的国家 ， 美国在北美洲 ， 英国在欧洲. (2) -IgA (3) 3 w 8 A = {xx 2 =x} = {0.1}. B = {xx 1 +x — 6 = 0} = ( — 3,2). 9.1WN . (4) 8 g C, 9.1 2. 试选择适当的方法表示下列集合: (1) 由方程 x 2 -9 = 0 的所有实数根组成的集合; (2) 由小于 8 的所有素数组成的集合; (3) 一次函数 y =工+ 3 与 y = -2x+6 的图象的交点组成的集合; (4) 不等式 4x-5<3 的解集. 2. 解: (1) 因为方程 x 2 -9 = 0 的实数根为吐 = — 3, 改 = 3 ， 所以由方程 / - 9 = 0 的所有实数根组成的集合为 (-3,3 ｝ ； (2) 因为小于 8 的素数为 2,3,5,7, 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 ｛ 2, 3,5, 7 ｝ ； x = l , ， 得 < (3) 由 < y = 4 y = -2 尤+ 6 y=x+3 即一次函数 y = x + 3 与 y = -2x + 6 的图象的交点为 (1,4), 所以一次函数 y = x + 3 与 y = -2x+6 的图象的交点组成的集合为 {(1,4)} ； (4) 由 4x - 5 < 3 , 得 x < 2 , 所以不等式 4x-5<3 的解集为 {x|x<2}. 1 . 1.2 集合间的基本关系 练习(第 7 页) 1. 写出集合 {a,b,c} 的所有子集. 1. 解 ： 按子集元素个数来分类 ， 不取任何元素 ， 得 0 ； 取一个元素,得 {a},{b},{c} 取两个元素 ， 得 {a,b},{a,c},{b,c}-, 取三个元素 ， 得 {a,b,c} , 即集合 {a,b,c} 的所有子集 ^0,(«},(Z?},{c},{a, /?},(«, c},{b,c},{a,b,c} . 2. 用适当的符号填空 ： (1) a ___ — {a,b,c} ； {心= 0} ； (2) 0 _ ____ +1 = 0) ； 3 (3) 0 — __ { xg 7?| x 2 (5) {0}_ ____ {x| x 2 =x} ； (4) {0,l}_ ____ N ； (6) (2,1}_ ____ {xx 1 — 3x+2 = 0} 2. (1) a^{a,b,c} a 是集合 {a,b,c} 中的一个元素 ； (2) 0e(%|% 2 =0} (x|x 2 =0} = {0} ; (3) 0 - {xe/?|x 2 +l-0} 方程 % 2 +1 = 0 无实数根 ， {xek|F+l = O} = 0 ； (4) {0,l}%N (或 {0,1} g N) {0, ］ 是自然数集合 N 的子集 ， 也是真子集 ； (5) {0}S(x|x 2 =x} (或 {0}o{x|x 2 =%)) (6) (2,1} = {xx 2 -3x + 2 = 0) 3. 判断下列两个集合之间的关系 ： (x|x 2 =%) = {0,1) ； 方程了 2 一 3 工+ 2 = 0 两根为 jq =1, 芍 =2. (1) A = {1,2,4}, 8 = {幻尤是 8 的约数}; (2) A = {xx- 3k,k ^N} , B-{xx = 6z.z ^N ］ ； (3) A = {x|x 是 4 与 10 的公倍数, xc M} , B-{xx~ 20m, m^N + } . 3. 解 ： (1) 因为 8 = {x| 俱 8的约数} = {1,2,4,8}, 所以 A 隼 B ； (2) 当 k = 2z 时， 3k = 6z ； 当 R = 2z + 1 时 ， 3k = 6z + 3 , 即 B 是 A 的真子集 ， (3) 因为 4 与 10 的最小公倍数是 20, 所以 A = B. 1. 1. 3 集合的基本运算 练习(第 11 页) 1. 设 A = {3,5,6,8},3 = {4,5,7,8}, 求 A B,A B . 1. 解 ： A B = (3,5, 6, 8} {4,5,7,8} = {5,8}, A B = (3,5,6,8} {4,5,7,8} = {3,4,5,6,7,8}. 2. iS A — {x| x 2 — 4x —5 — 0},2? = {x x 2 =1}, 求 A B,A B . 2. 解 ： 方程 x 2 -4x-5 = 0 的两根为 X]= — 1, 易= 5, 方程 *2 — i = o 的两根为改 = 一 1, 易 =1, 得 A = {_1,5},3 = {-1,1}, 即 A B = (-1),A B = (-1,1,5). 3. 已知 A = {x|x 是等腰三角形}, 3 = {x|x 是直角三角形},求 A B,A B. 3. 解 ： A 3 = {x|x 是等腰直角三角形}, A 3 = {x|x 是等腰三角形或直角三角形}. 4. 已知全集 U = {1,2, 3,4,5,6, 7} , A = {2,4,5},3 = {1,3,5,7}, 求 A (雅 8),( 〃 A) (*3). 4. 解 ： 显然切 3 = {2,4,6}, {1,3,6,7), 则 A QB) = {2,4}, (噂 4) (波)={ 6}. 1. 1 集合 习题 1. 1 1. 用符号 或 “ W , ， 填空 ： (第 11 页) (3) 7i ______ A 组 ⑴ 3 - 7 — Q- (2) 3 2 _ — N ； (4) ^2 — — R ； (5) a /9_ ______ Z ； ⑹(姊 2_ _____ N . 1 . (1) 3 — g Q 7 (3) 7i 2 3 — 是有理数 ； 7 (2) 3 2 e N 32=9 是个自然数 ； 7T 是个无理数 ， 不是有理数 ； (4) gcR ^ = 3 是个整数 ； 扬是实数 ； (灼 2 =5 是个自然数 (5) a /9 s Z (6) (>/5) 2 e N “ b ‘ 或 “ w ” 符号填空: 2. 已知 A = {x x = 3k-l,k ^Z} , 用 (1) 5 2. (1) 5 g A ； A ； (2) 7 A ； (3) -10 A . (2) 7g A ； (3) -10e A. 当 k = 2 时 ， 3k — 1 = 5 ； 当 k = -3 时 ， 3R — 1 = — 10 ； 3. 用列举法表示下列给定的集合 ： (1) 大于 1 且小于 6 的整数 ； (2) A = ｛ x| (x-l)(x + 2) = 0 ｝ ； (3) B = (xeZ|-3<2x-l<3) . 3. 解 ： (1) 大于 1 且小于 6 的整数为 2,3,4,5, 即 ｛ 2, 3,4, 5 ｝ 为所求; (2) 方程 (X — l)(x + 2) = 0 的两个实根为茶 =一 2, 易= 1 ， 即 ｛ — 2,1｝ 为所求 ； (3) 由不等式 — 3<2x — 1<3, 得 — l 且 xcZ, 艮盯 0,1, 2 ｝为所求. 4 . 试选择适当的方法表示下列集合 ： (1) 二次函数 y = x"-4 的函数值组成的集合 ； 2 (2) 反比例函数 y = — 的自变量的值组成的集合 ； x (3) 不等式 3x>4-2x 的解集. 4. 解 ： (1) 显然有 X 2 >0, 得工 2_ 42T, 即 y>-4, 得二次函数 y = x2 -4 的函数值组成的集合为 ｛ y | y 2 — 4 ｝ ； 2 (2) 显然有尤主 0, 得反比例函数 y = — 的自变量的值组成的集合为 ｛ x | xa 0 ｝ ； x 4 4 (3) 由不等式 3xN4 — 2x, Wx>-, 即不等式 3x>4-2x 的解集为 ｛ 工|工> ； ｝ . 5. 选用适当的符号填空: (1) 已知集合 A = {x 1 2x-3 v3x},8 = {x| x>2} , 则有 ： -4 B ； -3 A ； {2 B ； B A ； (2) 已知集合 A = { x x 2 -1 = 0} , 则有: 1 A ； (-1 A ； 0 A ； (1- ] A ； (3) {x|x 是菱形} {x|x 是平行四边形}; {x|x 是等腰三角形} {x|x 是等边三角形} . 5. (1) - 4WB ； - 3WA ； ( 2 ； 2x-3<3x=> x> -3 , 即 A = [xx> -3},B = {x|x>2) ； (2) 1 e A ； {-1 呈 A : 。 呈 A ； (1- 1=A ； A = {x|F_1 = 0} = { — 1,1} ； (3) {了|了是菱形}呈{了|了是平行四边形}; 菱形一定是平行四边形 ， 是特殊的平行四边形 ， 但是平行四边形不一定是菱形; 口| X 是等边三角形 } 呈{引 X 是等腰三角形} . 等边三角形一定是等腰三角形 ， 但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6. 设集合A = {x|2Mx<4},B = {x|3x — 728 — 2x} , 求 A B,A B . 6. 解 ： 3x-7 >8-2x , 即 x>3 , 得 A = {%| 2 = {x| x>3) , 则 A B-{xx>2}, A B-{x3 . 7. 设集合 A = {x|x 是小于 9 的正整数}, 8 = {1,2,3},C = {3,4,5,6}, 求 A B, A C , A (B C) f A (B C). 7 . 解: A = {xx^ 小于 9 的正整数} = {1,2,3,4,5,6,7,8}, 则 A B = {1,2,3}, A C = (3,4,5,6}, 而 3 C = {1,2,3,4,5,6}, B C = {3}, 则 A (B C) = (1,2,3,4,5,6), A （ B C ） = （ 1,2,3,4,5,6,7,8}. 8. 学校里开运动会 ， 设 A = {x|x 是参加一百米跑的同学}, B = {x X 是参加二百米跑的同学} , C = {x X 是参加四百米跑的同学} , 学校规定 ， 每个参加上述的同学最多只能参加两项 ， 请你用集合的语言说明这项规定 ， 并解释以下集合运算的含义 ： （ 1 ） A B-, （ 2 ） A C. 8. 解 ： 用集合的语言说明这项规定 ： 每个参加上述的同学最多只能参加两项 ， 即为 （ A B ） C = 0 . （ 1 ） A 3 = {x|x 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}; （ 2 ） A C = {x|x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}. 9. 设 S = {x|x 是平行四边形或梯形}, A = {x|x 是平行四边形}, B = {x 菱形}, C = {x|x 是矩形},求 3 C , B, 冬 A. 9. 解 ： 同时满足菱形和矩形特征的是正方形 ， 即 3 C = {x|x 是正方形}, 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类 ， 而邻边相等的平行四边形就是菱形 ， 即 6 a B = { x X 是邻边不相等的平行四边形} , ={% | x 是梯形} . 10. 已知集合 4 = {%|3<%<7 ） ,5 = {%|2<%<10 ） , 求 4 （ A B ） , 4 （ A B ） , （ 4A ） B, A 每 B ） . 10. 解 ： A B = {x2 , A B = {x3< x , d R A - （ x| x <3,> 7 ） , 6 r B = { x x <2, > 10}, 得 4 （ A 3 ） = {x|x<2, 稣 210}, 4 （ A B ） = {xx<3,^x>l}, （ 4A ） 3 = 口| 2<1<3, 或 7 〈 x<10}, A (d R B) = {xx<2,^3 7gSa > 10}. B 组 1. 已知集合 A = {1,2}, 集合 B 满足 A 3 = {1,2}, 则集合 B 有 个. 1. 4 集合 B 满足 A B = A, 则 B^A ， 即集合 3 是集合 A 的子集 ， 得 4 个子集. 2. 在平面直角坐标系中 ， 集合 C = ((x, y)| y = x} 表示直线 y = x , 从这个角度看 ， 集合 = " 1 > 表示什么 ？ 集合之间有什么关系 ？ “ [x+4y = 5 f 2x — v = 1 2. 解 ： 集合 D= (x, v)| " 、 表示两条直线 2 x-y = l,x + 4y = 5 的交点的集合 ， - [x + 4y = 5 i2x- y = 1 即 D = (x, v) | - ' = {(1,1)} ， 点 Q(1,D 显然在直线 y = x 上 ， - [x + 4y = 5 得 D 任 C . 3. 设集合 A = {x (x — 3)(x — «) = 0,a & R} , 3 = {x| (x-4)(x-l) = 0}, 求 A B,A B . 3. 解:显然有集合 3 = {x|(x — 4)(x — 1) = 0} = {1,4}, 当 a = 3 时 ， 集合 A = {3} , 则 A B = (1,3,4},A B = 0 ； 当 0 = 1 时 ， 集合 A = {1,3}, 则 A 3 = {1,3,4},A 3 = {1} ； 当 a = 4 时 ， 集合 A = {3,4}, 则 A 8 = {1,3,4}, A 3 = {4} ； 当 a^l , 且 a/3, 且 a N 4 时 ， 集合 A = {3, a} , 则 A B = (1,3,4,«),A B = 0. 4. 已知全集 U = A B = {xeNI0 A = {1,3,5,7}, 试求集合 3. 4. 解 ： 显然 " = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 由 U = A B, 得 ^B^A, 即 A (枷) =/, 而 A QB) = {1,3, 5, 7}, 得 ^3 = {1,3,5,7}, 而 B = 、 B), 即 3 = {0,2, 4,6, 8.9,10}. 第一章集合与函数概念 1. 2 函数及其表示 1. 2. 1 函数的概念 练习(第 19 页) 1. 求下列函数的定义域 ： (1) f(x)=^ — ； (2) /( x ) = a /T ： x + a / x +3-1. 4x + 7 7 1. 解 ： (1) 要使原式有意义 ， 贝 O4x + 7^0, 即一一 ， 4 7 得该函数的定义域为 ｛ 'I 工 。 -日 ｝ ； (2) 要使原式有意义 ， 则 , 即一 3<%<1, x + 3>0 得该函数的定义域为 ｛ 工| 一 3 <% ｝ . 2. 已知函数 f(x) = 3x 2 +2x, (1) 求 /(2),/(-2),/⑵ + /X — 2) 的值 ； (2) 求 f(a), f(a) + f(-a) 的值. 2. 解 ： (1) 由 f(x) = 3x~+2x ， 得 f(2) = 3x22+2x2 = 18, 同理得 /(-2) = 3x (―2 尸 +2x (-2) = 8 , 则/■⑵ + f( — 2) = 18 + 8 = 26, 即 /(2) = 18, /(-2) = 8, /(2) + /(-2) = 26 ； (2) 由 /(x) = 3x 2 + 2x , 得 /(a) = 3xa~ +2xa = 3a~ +2a , 同理得 f ( —tz) — 3x( — tz) 2 + 2x( — a) — 3a 2 — 2a , 则 /(a) + f(-a) = (3a 2 + 2a) + (3a~ — 2a) = 6a 2 , 即 f(a) = 3a 2 + 2a, f(-a) = 3a 2 - 2a, /(a) + f(-a) = 6a 2 . 3. 判断下列各组中的函数是否相等 ，并说明理由 ： (1) 表示炮弹飞行高度 h 与时间 f 关系的函数 h = 130t-5t 2 和二次函数 y = 130x — 5 亍 ； (2) /(%) = 1 和 g(x) = x°. 3. 解 ： (1) 不相等 ， 因为定义域不同 ， 时间/ >0 ; (2) 不相等 ， 因为定义域不同 ， g(x) = x°(x^0). 1. 2. 2 函数的表示法 练习 （ 第 23页 ） 1. 如图 ， 把截面半径为 25 。 " 的圆形木头锯成矩形木料 ， 如果矩形的一边长为 面积为 ycm 2 , 把 y 表示为 x 的函数. 1 .解 ： 显然矩形的另一边长为痴厂京 cm, y = xa /50 2 -x 2 = xa /2500- x 2 , 且 。 < x < 50 , 即 y = W2500-X 2 （ 0< x< 50 ） . 第 1 题 2. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好 ？ 请你为剩下的那个图象写出一件事. （ 1 ） 我离开家不久 ， 发现自己把作业本忘在家里了 ， 于是返回家里找到了作业本再上学 ； （ 2 ） 我骑着 车一路匀速行驶 ， 只是在途中遇到一次交通堵塞 ， 耽搁了一些时间 ； （ 3 ） 我出发后 ， 心情轻松 ， 缓缓行进 ， 后来为了赶时间开始加速. 2. 解 ： 图象 （ A ） 对应事件 （ 2 ） , 在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象 （ B ） 对应事件 （ 3 ） , 刚刚开始缓缓行进 ， 后来为了赶时间开始加速; 图象 （ D ） 对应事件 （ 1 ） , 返回家里的时刻 ， 离开家的距离又为零 ； 图象 （ C ） 我出发后 ， 以为要迟到 ， 赶时间开始加速， 后来心情轻松 ， 缓缓行进. 3. 画出函数 y=|x-2| 的图象. 与 A 中元素 60 相对应 第 3 题 的 B 中的元素是什么 ？ 与 3 中的元素 巨 相对应的 A 中元素是什么 ? 2 解 ： 因为 sin60 = — , 所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是虫 4. 2 2 史相对应的 A 中元素是 45 . 因为 sin 45 = — , 所以与 3 中的元素 2 2 1. 2 函数及其表示 习题 1. 2 (第 23 页) 1. 求下列函数的定义域: 3x (1) f(x) = — - ； x-4 (2) /(%)=7? ； (3) ， (x)= — — x 2 -3 x + 2 』 4 — x (4) 1. 解 ： (1) 要使原式有意义 ， 贝 iJx-4^0, 即 x N 4 , 得该函数的定义域为 ｛x| x 者 4 ｝ ； (2) xe R, f(x) = & 都有意义, 即该函数的定义域为 R ； (3) 要使原式有意义 ， 则 3 x + 2 n 0, 即 XN1 且 xn 2, 得该函数的定义域为 ｛ x|x?l 且 x?2 ｝ ； (4) 要使原式有意义 ， 则 4-x>0 尤一 1 。 0 , 即尤^ 4 且尤更 1, 得该函数的定义域为 ｛ x|x<4 且 31 ｝ . 2. 下列哪一组中的函数 f(x) 与 g(x) 相等? (1) f(x) = x-l,g(x) = - -一 1 ： X (3) /(%) = % 2 ,^(%) = ^/?. (2) f(x) = x 2 ,g(x) = (y/x) 4 ； x 2 2 .解 ： (1) /(%) = %-! 的定义域 为 R , 而 g(x) = ---- 1 的定义域为 {x|x/0}, X 即两函数的定义域不同 ， 得函数 f(x) 与 g(x) 不相等 ； (2) /(%) = % 2 的定义域 为 R , 而 g(x) = ( a / x ) 4 的定义域为 {x|x2 0}, 即两函数的定义域不同 ， 得函数 f(x) 与 g(x) 不相等 ； (3) 对于任何实数 ， 都有 皎 =x 即这两函数的定义域相同 ， 切对应法则相同, 得函数/ ■( 》 ) 与 g(x) 相等. 3. 画出下列函数的图象 ， 并说出函数的定义域和值域. (1) y = 3x ； 8 (2) y = — ； (3) y = -4x+5 ； , (4) y — x -6x+7 . 3. 解 ： (1) 定义域是 ( YO, +8), 值域是 ( YO, +8) ； 定义域是 ( yo , 0) (0, +00) ， 值域是 (-00, 0) (0, +00) ； 5 4 ⑶ 定义域是 （ Y 。 , -+W ） , 值域是 （ Y 。 , +8 ） ； 定义域是 (-co, -Ko) , 值域是 ［ -2, +oo) . 4. 已知函数 f(x)=3x 2 -5x+2, 求 fS ， / X — 。 ) ， /(« + 3), /(«) + /(3). 4. 解 ： 因为/ '3)=312 — 5x+2, 所以/ X — Jl)=3x( — Jl)2 — 5x( — Jl) + 2 = 8+5jL 即 /(- a /2)=8+5^ ; 同理 ， f ( — ci) = 3x( — a)~ — 5x( — ci) + 2 — 3o 2 + 5a + 2 , 即 f(-a) = 3a 2 + 5a + 2 ； f (tz + 3) = 3x(tz + 3)~ — 5x( 。 + 3) + 2 — 3a~ +13 。 + 14 , 即 /(a + 3)-3a 2 +13a + 14 ； /(a) + /(3) = 3a 2 -5a + 2+/(3) =3a 2 -5a+16 , 即 /(a) + /(3)-3a 2 -5a + 16. x + 2 5. 已知函数 /(x) = ----- , x-6 (1) 点 (3,14) 在 f(x) 的图象上吗 ？ (2) 当 x = 4 时 ， 求 f(x) 的值 ； (3) 当 f(x) = 2 时 ， 求 X 的值. 3 + 2 5 5. 解 ： (1) 当 x = 3 时 ， /(3)= — — = — — 。 14, 3-6 3 即点 (3,14) 不在/ Xx) 的图象上 ； 4 + 2 (2) 当 x = 4 时 ， f(4) = — — =-3, 4-6 即当 x = 4 时 ， 求/ '(X) 的值为 — 3 ； x + 2 (3) f(x) = — — =2 , 得 x + 2 = 2(x — 6), x-6 即 x = 14 . 6. 若 f(x)=x~+bx+c, 且 /(1) = 0,/(3) = 0, 求 /(-I) 的值. 6. 解 ： 由 f(l)=0,f(3) = 0, 得 1,3 是方程 x 2 +bx + c = 0 的两个实数根 ， 即 1 + 3 = -b,M = c, 得人 = — 4,c = 3, 即 /(% ) = x~-4x+3, 得 /(-I) = (-1) 2 - 4x(-1) + 3 = 8, 即 /(-I) 的值为 8. 7. 画出下列函数的图象 ： fO,x< 0 (1) F(x) = < ； x>0 l, (2) G(〃) = 3〃 + 1,〃 e{l,2,3} . 7. 图象如下: y ‘ '0,x<0 心 =< 顷 ” ) . 10 8 . 6 4 - ■ 2 0 1 2 3 l,x>0 1 > -------- -------- M X „ 8. 如图 ， 矩形的面积为 10, 如果矩形的长 为 x, 宽 为 y, 对角线为 d, 周长为 /, 那么你能获得关于这些量的哪些函数 ？ 8. 解 ： 由矩形的面积为 10, 即 xy = 10 , 得^ = — (% > 0), 尤=一 (y 〉 0), x y 由对角线 为 d , 即 d = J/ + y2 , 得^ = "+%(乂> 0) , 20 由周长为 Z, 艮 PZ = 2x + 2y , 得/ = 2 工+ — 3>0), x 另外 l = 2(x+y) , 而 xy = 10, 6?2 = x 2 + y 2 , 得 I = Z&x + y) 2 = WxfFxy = 20+20 (d 〉 0), BP/ = 2^ 2 +20 (d>0) . 9. 一个圆柱形容器的底部直径是 dem, 高是屁彻,现在以 vcm 3 /5 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 As 的函数解析式 ， 并写出函数的定义域和值域. 9. 解 ： 依题意 ， 有 7T( — ) 2 % = Vt , 即 》 =― t , 4v h7id~ 显然 0 即 0< — t 得 ----- , 7i d' 4v h ■兀 d' 得函数的定义域为 ［ 0,- 性 ］ 和值域为 ［ 0, 仞 . 4v 10. 设集合 A = {a ， ,c},B = {0,l}, 试问 ： 从 A 到 B 的映射共有几个 ？ 并将它们分别表示出来. 10. 解 ： 从 A 到 B 的映射共有 8 个. /(«) = 0 分别是 〈 /(a) = 0 /(«) = o f(a) = 0 彻 =0, /(c) = 0 了 (a) = l f(b) = 0, /(c) = 1 /(c) = 0 /(«) = 1 f(b) = 0, /(c) = 1 f(a)T ") = 1 f(b) = 0, < f(b) = 0, < 了 (b) = l ， < f(b) = 0. /(c) = 0 /(c) = 1 /(c) = 0 /(c) = 1 B 组 1. 函数 r = f(p) 的图象如图所示. (1) 函数 r = / '(p) 的定义域是什么 ？ (2) 函数 r = /Xp) 的值域是什么 ？ (3) 尸取何值时 ， 只有唯一的 p 值与之对应 ？ 1. 解 ： ⑴ 函数 r = f(p) 的定义域是 [ — 5,0] [2, 6) ； (2) 函数 r = / '(p) 的值域是 [0, +oo) ； (3) 当 r>5 , 或 0 时 ， 只有唯一的 p 值与之对应. : 「 1 . 2. 画出定义域为 ｛ x| — 3 且 ， 值域为 ｛ y| — lMyM2,yN0 ｝ 的一个函数的图象. (1) 如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 -3<%<8, -l 那么其中哪些点不能在图象 上 ？ (2) 将你的图象和其他同学的相比较 ， 有什么差别吗 ？ 2. 解 ： 图象如下 ， (1) 点 (x,0) 和点 (5, >) 不能在图象上 ； (2)省略. y 3. 函数 f (%) = [x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数 ， 例如 ， [― 3.5] = T, [2.1] = 2. 当 *e( — 2.5,3 〕 时 ， 写出函数 f(x) 的解析式 ， 并作出函数的图象. — 3, — 2.5 < x < — 2 -2, -2 -1, -l 3. 解 ： f (x) = [x] = < 0, 0< x< 1 1, l 2, 2 3, 尤 =3 图象如下 -2 4. 如图所示 ， 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2 比〃? , 从点 P 沿海岸正东处有一个城镇. （ 1 ） 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km/h, 步行的速度是 5km/h, f （ 单位:人 ） 表示他从小岛 到城镇的时间 ， x （ 单位 ： 切 1 ） 表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 f 表示为 x 的函数. （ 2 ） 如果将船停在距点 P 4km 处 ， 那么从小岛到城镇要多长时间 （ 精确到功 ） ? 4. 解 ： （ 1 ） 驾驶小船的路程为 J7 万 ， 步行的路程为 12- 》 ， 得 + 3 5 即 f = J"+4 3 （ 0<%<12 ） , （ 0<%<12 ） . 5 ⑵当 “ 4 时 ， ,=产+也 1 = ^+%3 （ /0. 3 5 3 5 第一章集合与函数概念 1. 3 函数的基本性质 1. 3. 1 单调性与最大 （ 小 ） 值 练习 （ 第 32 页 ） 1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. t 生产效率 0 工人数 (Miff) 1. 答 ： 在一定的范围内 ， 生产效率随着工人数量的增加而提高 ， 当工人数量达到某个数量时 ， 生产效率 达到最大值 ， 而超过这个数量时 ， 生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见 ， 并非是工人 越多 ， 生产效率就越高. 2. 整个上午 (8:00 12:00) 天气越来越暖 ， 中午时分 (12:00 13:00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许 多.暴风雨过后 ， 天气转暖 ， 直到太阳落山 (18:00) 才又开始转凉.画出这一天 8:00 20:00 期间气温 作为时间函数的一个可能的图象 ， 并说出所画函数的单调区间. 2. 解 ： 图象如下 ［ 8,12 ］ 是递增区间 ， ［ 12,13 ］ 是递减区间 ， ［ 13,18 ］ 是递增区间 ， ［ 18,20 ］是递减区间. 3 . 根据下图说出函数的单调区间 ， 以及在每一单调区间上 ， 函数是增函数还是减函数. 第 3 题 3. 解 ： 该函数在 ［ -1,0 ］ 上是减函数， 在 ［ 0,2 ］ ± 是增函数 ， 在 ［ 2,4 ］ ± 是减函数, 在 ［ 4,5 ］ 上是增函数. 4 . 证明函数 /(x) = -2x + l 在 R 上是减函数. 4. 证明 ： 设 g 7?, 且工 1 〈 工 2 ， 因为 即 /(x 1 )>/(% 2 ) ， = — 2( 玉 一 X 2)= 2( 互 — X I) >0 ， 所以函数 /(%) = -2x + l 在 R 上是减函数. 5. 设/ '(X) 是定义在区间 ［ -6,11 ］ 上的函数.如果/ '(X) 在区间 ［ -6,-2 ］ 上递减 ， 在区间 ［ -2,11 ］ 上递增 ， 画 出 f(x) 的一个大致的图象 ， 从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 . 5. 最小值. 1. 3. 2 单调性与最大(小)值 练习(第 36 页) 1.判断下列函数的奇偶性 ： (1) /(x) = 2 a : 4 +3 x 2 ； 工 2 + 1 (3) f(x) = ----- ； X (2) f(x) = x 3 -2x (4) / •(x) = r+l. 1. 解 ： (1) 对于函数 f(x) = 2x 4 +3x 2 , 其定义域为 ( — 00,40 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 /(-%) = 2( — 1)4 + 3( — x)2 = 2x 4 + 3x 2 = /(x) , 所以函数/ "(X) = 2 了 4 +3% 2 为偶函数 ； (2) 对于函数 f(x) =x 3 -2x , 其定义域为 ( yo ,+ o 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 /(-%) = (-%) 3 - 2( — x) = -(X 3 - 2%) = -/(%), 所以函数 f(x)=x 3 -2x 为奇函数 ； / +1 (3) 对于函数 /(%) = ----- , 其定义域为 ( tx ),0) (0, 心) ， 因为对定义域内 x L 人丑 — /•/ ( — %) 2 + 1 % 2 + 1 母一个 X 都有 /(-%) = -------- = ------- = -/(X) , -X X / +1 所以函数 f(x) = ----- 为奇函数 ； X (4) 对于函数 f{x) = JC +1 , 其定义域为(- 3,+0 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 f(-x) = (-x) 2 +1 = F +1 = y(% ), 所以函数 f(x) % 2 +1 为偶函数. 2 . 已知 y(x) 是偶函数 ， g(x) 是奇函数 ， 试将下图补充完整. 2 . 解 ：f(x) 是偶函数 ， 其图象是关于 y 轴对称的; g(x) 是奇函数 ， 其图象是关于原点对称的. 习题 1.3 A 组 1 . 画出下列函数的图象 ， 并根据图象说出函数 y = f(x) 的单调区间 ， 以及在各单调区间 上函数 y = f(x) 是增函数还是减函数. (1 ) y = x~ — 5x — 6 ； (2) y = 9-x 1 . 1. 解 ： (1) 函数在 (-00, — ) 上递减 ； 函数在 ［ — ,+00 )上递增; 2 2 (2) (-00, 0) ± 递增 ； 函数在 ［ 0, +oo) 上递减. 2 . 证明 ： (1) 函数 /(x) = x 2 +l 在 ( — oo,0)上是减函数 ； (2) 函数 /(%) = !-- 在 ( — 8,0) 上是增函数. x 2 . 证明 ： (1) 设 %! < x 2 < 0 , 而 -X 2 2 =(Xy +% 2 )(%! -%2) , 由 jq +x 2 <0, jq -x 2 <0, 得 /(^)-/(^ 2 ) >0, 即了 31) > /(x 2 ) , 所以函数 f(x) =X 2 +1 在 ( — 8,0) 上是减函数; (2) 设工 ］ 〈 工 2<0, 而 f (Xj f (x 2 ) — ------ — ---- , 由 x^x 2 >0,^ -x 2 <0, 得 /(^)-/(% 2 ) <0 , 即/(^)所以函数 f(x) = l-- 在( — 8,0) 上是增函数 X 3. 探究一次函数 y = mx+b{x g R) 的单调性 ， 并证明你的结论. 3. 解 ： 当 m>0 时 ， 一次函数 y = mx + b 在 (-oo,+oo) 上是增函数; 当 m v 0 时 ， 一次函数 y - mx + b 在 (-oo,+oo) 上是减函数, 令 f{x)-mx+b , 设 x v 2 , 而/'(为 ) — /X% )= 次为 一 易 ) ， 当 7">0 时 ， 秫(工] 一 易 )< 0 , 即 /(%]) < /(X 2 ) - 得一次函数 y = tnx + b 在 (-0 。 , +oo) 上是增函数 ； 当 7"<0 时 ， m(Xj - x 2 ) > 0, 即 /(%]) > /(x 2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 (-0 。 , 心)上是减函数. 4 . 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢 ， 之后随着药力的减退 ， 心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起 ， 心率关于时间的一个可能的图象(示意图) . 4 . 解 ： 自服药那一刻起 ， 心率关于时间的一个可能的图象为 5. 某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为 x 2 y = - — + 162x- 21000, 那么 ， 每辆车的月租金多少元时 ， 租赁公司的月收益最大 ？ 最大月收益是多 X 5. 解 ： 对于函数 y = - — + 162x- 21000, 当 x = — —= 4050 时 ， y max = 307050 (元) ， 2x( ---- ) 50 即每辆车的月租金为 4050 元时 ， 租赁公司最大月收益为 307050 元. 6 . 已知函数/ '(X) 是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x> 0 时 ， /(%) = %(1 + x) .画出函数/ '(x) 的图象 ， 并求出函数的解析式. 6. 解 ： 当 x<0 时， 一 x>0, 而当 x 2 0 时 ， /(%) = %(! + %), 即 /(-%) = -x(l - %), 而由已知函数是奇函数 ， 得 /(-%) = -/(%), 得一 f(x) = -x(l - x) , 即 /(%) = %(!-%), 所以函数的解析式为 rco= . x(l-x),x<0 B 组 1 . 已知函数 /(%) = X * - 2% , g(x) =x2 -2x (x e ［ 2,4 ］ ). 2 (1) 求 /(X) , g(x) 的单调区间 ； (2) 求 y(x) , g(x) 的最小值. 1. 解 ： (1) 二次函数 /(%) =x 2 -2x 的对称轴 为 x = l , 则函数/ XX) 的单调区间为 ( f ,1), ［ 1,+8), 且函数/(乃在 ］ - 8,1) 上为减函数 ， 在 ［ 1, +oo) 上为增函数 ， 函数 g(x) 的单调区间为 ［ 2,4 ］ , 且函数 g(x)在 ［ 2,4 ］ 上为增函数 ； (2) 当 X = 1 时 ， f(x) 血 n= — 1 ， 因为函数 g(x)在 ［ 2,4 ］ 上为增函数 ， 所以 g3) 讪 =g(2) = 2 2 -2x2 = 0. 2 . 如图所示 ， 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室 ， 如果可供建造围墙的材料总长是 30m , 那么宽 x (单位 ： m) 为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大 ？ 每间熊猫居室的最大面积 是多少 ？ 2. 解 ： 由矩形的宽 为 xm , 得矩形的长为 ----- m , 设矩形的面积为 S, 2 30-3% 3(% 2 -10%) 2 2 当工= 5 时 ， = 37.5 m 2 , 即宽 x = 5m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 18.75m A 2. 3. 已知函数 y(x) 是偶函数 ， 而且在 (0, +oo) 上是减函数 ， 判断/ '( 》 ) 在(-8,0) 上是增函数还是减函数 ， 并 证明你的判断. 3. 判断 f(x) 在 (-8,0) 上是增函数， 证明如下 ： 设 x { 2 <0, 则 一 X] > 一 邑 >0, 因为函数 /(X) 在 (0,+8) 上是减函数 ， 得 /(-%!)< /(-X 2 ) , 又因为函数 f(x) 是偶函数 ， 得/(%]) 2 ), 所以 f(x) 在 (-8,0) 上是增函数. 复习参考题 A 组 1. 用列举法表示下列集合 ： (1) A = {xx 2 = 9} ； (2) B = (xe2V|l ； (3) C = {x | % 2 — 3x +2 = 0). 1. 解 ： (1) 方程 x 2 =9 的解为工]= — 3, 易= 3, 即集合 A = {-3,3)； (2) l 且 xeN, 则x = l,2, 即集合 3 = {1,2} ； (3) 方程 x 2 -3x + 2 = 0 的解为工 1=1, 易= 2, 即集合 C = (1,2}. 2. 设 P 表示平面内的动点 ， 属于下列集合的点组成什么图形 ？ (1) {PPA = PB} 两个定点) ； (2) {PPO = 3cm} (OM 定点). 2. 解 ： (1) 由 PA = PB ， 得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等 ， ^[PPA = PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线 ； (2) {PPO = 3cm} 表示的点组成以定点 。 为圆心 ， 半径 为 3cm 的圆. 3 . 设平面内有 AA3C, 且 P 表示这个平面内的动点 ， 指出属于集合 {PPA = PB} {PPA = PC} 的点是什么. 3 . 解 ： 集合 ［ PPA = PB} 表示的点组成线段 A3 的垂直平分线, 集合 {PPA = PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线 ， 得 {PPA = PB} {PPA = PC} 的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点 ， 即 AABC 的外心. 4 . 已知集合 A = {xx~=l ］ , B = {xax = l}. 若求实数 。 的值. 4. 解 ： 显然集合 A = {-1,1 ） , 对于集合 B = {xax = } , 当 。 =0 时 ， 集合 8 = 0 ， 满足 B A , 即 a = 0 ； 当 a^O 时 ， 集合 B = {-} , 而 B^A, 则 - = -1, 或 - = 1, a a a 得"=一 1, 或 。 =1, 综上得 ： 实数"的值为 -1,0, 或 1. 5 . 已知集合 A = ((x,y) | 2x- y= 0], B = {(x, y)|3x + y = 0), C = ((x,y) | 2x-y = 3} , 求 A B , A C, (A B) (B C). A 人 [2x-y = 0 5. 解 ： 集合 A B = Ux,y){ = {(0,0)}, 即 A 8 = {(0,0)} ； [3x+y = 0 + (2x — y = 0 集合 A C = Ux.y) 7 } = 0, 即 A C = 0 ； [ 0 — y = 3j 集合 B C = > = ((|,-|)} ； 、 I ， J 3 9 贝心 B) (B C) = ((0,0), 6. 求下列函数的定义域 ： (1) y = y/x-2 •』 x+5 ； ② s 6 .解 ： （ 1 ） 要使原式有意义 ， 则 { x-2>0 即 x>2, x + 5 > 0 得函数的定义域为 ［ 2, +8 ） ； 2024年5月18日发(作者：种白) 高中数学 ， 必修一 课后习题答案完整版 ， 附精品高考试卷 1 套 第一章集合与函数概念 1. 1 集合 1. 1. 1 集合的含义与表示 练习(第 5 页) 1. 用符号或填空: (1) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合 ， 贝上中国. 印度一 (2) 若 A = {xx 2 =x} , 则一 1 (3) ^B = { x x 2 + x -6 = 0}, 贝 J3 (4) ^C = {xeNl f 贝 U8 A ； A, 美国. A, 英国一 A, A ； B ； C, 9.1 C. 1. (1) 中国 g A , 美国印度 g A , 英国 g A ； 中国和印度是属于亚洲的国家 ， 美国在北美洲 ， 英国在欧洲. (2) -IgA (3) 3 w 8 A = {xx 2 =x} = {0.1}. B = {xx 1 +x — 6 = 0} = ( — 3,2). 9.1WN . (4) 8 g C, 9.1 2. 试选择适当的方法表示下列集合: (1) 由方程 x 2 -9 = 0 的所有实数根组成的集合; (2) 由小于 8 的所有素数组成的集合; (3) 一次函数 y =工+ 3 与 y = -2x+6 的图象的交点组成的集合; (4) 不等式 4x-5<3 的解集. 2. 解: (1) 因为方程 x 2 -9 = 0 的实数根为吐 = — 3, 改 = 3 ， 所以由方程 / - 9 = 0 的所有实数根组成的集合为 (-3,3 ｝ ； (2) 因为小于 8 的素数为 2,3,5,7, 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 ｛ 2, 3,5, 7 ｝ ； x = l , ， 得 < (3) 由 < y = 4 y = -2 尤+ 6 y=x+3 即一次函数 y = x + 3 与 y = -2x + 6 的图象的交点为 (1,4), 所以一次函数 y = x + 3 与 y = -2x+6 的图象的交点组成的集合为 {(1,4)} ； (4) 由 4x - 5 < 3 , 得 x < 2 , 所以不等式 4x-5<3 的解集为 {x|x<2}. 1 . 1.2 集合间的基本关系 练习(第 7 页) 1. 写出集合 {a,b,c} 的所有子集. 1. 解 ： 按子集元素个数来分类 ， 不取任何元素 ， 得 0 ； 取一个元素,得 {a},{b},{c} 取两个元素 ， 得 {a,b},{a,c},{b,c}-, 取三个元素 ， 得 {a,b,c} , 即集合 {a,b,c} 的所有子集 ^0,(«},(Z?},{c},{a, /?},(«, c},{b,c},{a,b,c} . 2. 用适当的符号填空 ： (1) a ___ — {a,b,c} ； {心= 0} ； (2) 0 _ ____ +1 = 0) ； 3 (3) 0 — __ { xg 7?| x 2 (5) {0}_ ____ {x| x 2 =x} ； (4) {0,l}_ ____ N ； (6) (2,1}_ ____ {xx 1 — 3x+2 = 0} 2. (1) a^{a,b,c} a 是集合 {a,b,c} 中的一个元素 ； (2) 0e(%|% 2 =0} (x|x 2 =0} = {0} ; (3) 0 - {xe/?|x 2 +l-0} 方程 % 2 +1 = 0 无实数根 ， {xek|F+l = O} = 0 ； (4) {0,l}%N (或 {0,1} g N) {0, ］ 是自然数集合 N 的子集 ， 也是真子集 ； (5) {0}S(x|x 2 =x} (或 {0}o{x|x 2 =%)) (6) (2,1} = {xx 2 -3x + 2 = 0) 3. 判断下列两个集合之间的关系 ： (x|x 2 =%) = {0,1) ； 方程了 2 一 3 工+ 2 = 0 两根为 jq =1, 芍 =2. (1) A = {1,2,4}, 8 = {幻尤是 8 的约数}; (2) A = {xx- 3k,k ^N} , B-{xx = 6z.z ^N ］ ； (3) A = {x|x 是 4 与 10 的公倍数, xc M} , B-{xx~ 20m, m^N + } . 3. 解 ： (1) 因为 8 = {x| 俱 8的约数} = {1,2,4,8}, 所以 A 隼 B ； (2) 当 k = 2z 时， 3k = 6z ； 当 R = 2z + 1 时 ， 3k = 6z + 3 , 即 B 是 A 的真子集 ， (3) 因为 4 与 10 的最小公倍数是 20, 所以 A = B. 1. 1. 3 集合的基本运算 练习(第 11 页) 1. 设 A = {3,5,6,8},3 = {4,5,7,8}, 求 A B,A B . 1. 解 ： A B = (3,5, 6, 8} {4,5,7,8} = {5,8}, A B = (3,5,6,8} {4,5,7,8} = {3,4,5,6,7,8}. 2. iS A — {x| x 2 — 4x —5 — 0},2? = {x x 2 =1}, 求 A B,A B . 2. 解 ： 方程 x 2 -4x-5 = 0 的两根为 X]= — 1, 易= 5, 方程 *2 — i = o 的两根为改 = 一 1, 易 =1, 得 A = {_1,5},3 = {-1,1}, 即 A B = (-1),A B = (-1,1,5). 3. 已知 A = {x|x 是等腰三角形}, 3 = {x|x 是直角三角形},求 A B,A B. 3. 解 ： A 3 = {x|x 是等腰直角三角形}, A 3 = {x|x 是等腰三角形或直角三角形}. 4. 已知全集 U = {1,2, 3,4,5,6, 7} , A = {2,4,5},3 = {1,3,5,7}, 求 A (雅 8),( 〃 A) (*3). 4. 解 ： 显然切 3 = {2,4,6}, {1,3,6,7), 则 A QB) = {2,4}, (噂 4) (波)={ 6}. 1. 1 集合 习题 1. 1 1. 用符号 或 “ W , ， 填空 ： (第 11 页) (3) 7i ______ A 组 ⑴ 3 - 7 — Q- (2) 3 2 _ — N ； (4) ^2 — — R ； (5) a /9_ ______ Z ； ⑹(姊 2_ _____ N . 1 . (1) 3 — g Q 7 (3) 7i 2 3 — 是有理数 ； 7 (2) 3 2 e N 32=9 是个自然数 ； 7T 是个无理数 ， 不是有理数 ； (4) gcR ^ = 3 是个整数 ； 扬是实数 ； (灼 2 =5 是个自然数 (5) a /9 s Z (6) (>/5) 2 e N “ b ‘ 或 “ w ” 符号填空: 2. 已知 A = {x x = 3k-l,k ^Z} , 用 (1) 5 2. (1) 5 g A ； A ； (2) 7 A ； (3) -10 A . (2) 7g A ； (3) -10e A. 当 k = 2 时 ， 3k — 1 = 5 ； 当 k = -3 时 ， 3R — 1 = — 10 ； 3. 用列举法表示下列给定的集合 ： (1) 大于 1 且小于 6 的整数 ； (2) A = ｛ x| (x-l)(x + 2) = 0 ｝ ； (3) B = (xeZ|-3<2x-l<3) . 3. 解 ： (1) 大于 1 且小于 6 的整数为 2,3,4,5, 即 ｛ 2, 3,4, 5 ｝ 为所求; (2) 方程 (X — l)(x + 2) = 0 的两个实根为茶 =一 2, 易= 1 ， 即 ｛ — 2,1｝ 为所求 ； (3) 由不等式 — 3<2x — 1<3, 得 — l 且 xcZ, 艮盯 0,1, 2 ｝为所求. 4 . 试选择适当的方法表示下列集合 ： (1) 二次函数 y = x"-4 的函数值组成的集合 ； 2 (2) 反比例函数 y = — 的自变量的值组成的集合 ； x (3) 不等式 3x>4-2x 的解集. 4. 解 ： (1) 显然有 X 2 >0, 得工 2_ 42T, 即 y>-4, 得二次函数 y = x2 -4 的函数值组成的集合为 ｛ y | y 2 — 4 ｝ ； 2 (2) 显然有尤主 0, 得反比例函数 y = — 的自变量的值组成的集合为 ｛ x | xa 0 ｝ ； x 4 4 (3) 由不等式 3xN4 — 2x, Wx>-, 即不等式 3x>4-2x 的解集为 ｛ 工|工> ； ｝ . 5. 选用适当的符号填空: (1) 已知集合 A = {x 1 2x-3 v3x},8 = {x| x>2} , 则有 ： -4 B ； -3 A ； {2 B ； B A ； (2) 已知集合 A = { x x 2 -1 = 0} , 则有: 1 A ； (-1 A ； 0 A ； (1- ] A ； (3) {x|x 是菱形} {x|x 是平行四边形}; {x|x 是等腰三角形} {x|x 是等边三角形} . 5. (1) - 4WB ； - 3WA ； ( 2 ； 2x-3<3x=> x> -3 , 即 A = [xx> -3},B = {x|x>2) ； (2) 1 e A ； {-1 呈 A : 。 呈 A ； (1- 1=A ； A = {x|F_1 = 0} = { — 1,1} ； (3) {了|了是菱形}呈{了|了是平行四边形}; 菱形一定是平行四边形 ， 是特殊的平行四边形 ， 但是平行四边形不一定是菱形; 口| X 是等边三角形 } 呈{引 X 是等腰三角形} . 等边三角形一定是等腰三角形 ， 但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6. 设集合A = {x|2Mx<4},B = {x|3x — 728 — 2x} , 求 A B,A B . 6. 解 ： 3x-7 >8-2x , 即 x>3 , 得 A = {%| 2 = {x| x>3) , 则 A B-{xx>2}, A B-{x3 . 7. 设集合 A = {x|x 是小于 9 的正整数}, 8 = {1,2,3},C = {3,4,5,6}, 求 A B, A C , A (B C) f A (B C). 7 . 解: A = {xx^ 小于 9 的正整数} = {1,2,3,4,5,6,7,8}, 则 A B = {1,2,3}, A C = (3,4,5,6}, 而 3 C = {1,2,3,4,5,6}, B C = {3}, 则 A (B C) = (1,2,3,4,5,6), A （ B C ） = （ 1,2,3,4,5,6,7,8}. 8. 学校里开运动会 ， 设 A = {x|x 是参加一百米跑的同学}, B = {x X 是参加二百米跑的同学} , C = {x X 是参加四百米跑的同学} , 学校规定 ， 每个参加上述的同学最多只能参加两项 ， 请你用集合的语言说明这项规定 ， 并解释以下集合运算的含义 ： （ 1 ） A B-, （ 2 ） A C. 8. 解 ： 用集合的语言说明这项规定 ： 每个参加上述的同学最多只能参加两项 ， 即为 （ A B ） C = 0 . （ 1 ） A 3 = {x|x 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}; （ 2 ） A C = {x|x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}. 9. 设 S = {x|x 是平行四边形或梯形}, A = {x|x 是平行四边形}, B = {x 菱形}, C = {x|x 是矩形},求 3 C , B, 冬 A. 9. 解 ： 同时满足菱形和矩形特征的是正方形 ， 即 3 C = {x|x 是正方形}, 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类 ， 而邻边相等的平行四边形就是菱形 ， 即 6 a B = { x X 是邻边不相等的平行四边形} , ={% | x 是梯形} . 10. 已知集合 4 = {%|3<%<7 ） ,5 = {%|2<%<10 ） , 求 4 （ A B ） , 4 （ A B ） , （ 4A ） B, A 每 B ） . 10. 解 ： A B = {x2 , A B = {x3< x , d R A - （ x| x <3,> 7 ） , 6 r B = { x x <2, > 10}, 得 4 （ A 3 ） = {x|x<2, 稣 210}, 4 （ A B ） = {xx<3,^x>l}, （ 4A ） 3 = 口| 2<1<3, 或 7 〈 x<10}, A (d R B) = {xx<2,^3 7gSa > 10}. B 组 1. 已知集合 A = {1,2}, 集合 B 满足 A 3 = {1,2}, 则集合 B 有 个. 1. 4 集合 B 满足 A B = A, 则 B^A ， 即集合 3 是集合 A 的子集 ， 得 4 个子集. 2. 在平面直角坐标系中 ， 集合 C = ((x, y)| y = x} 表示直线 y = x , 从这个角度看 ， 集合 = " 1 > 表示什么 ？ 集合之间有什么关系 ？ “ [x+4y = 5 f 2x — v = 1 2. 解 ： 集合 D= (x, v)| " 、 表示两条直线 2 x-y = l,x + 4y = 5 的交点的集合 ， - [x + 4y = 5 i2x- y = 1 即 D = (x, v) | - ' = {(1,1)} ， 点 Q(1,D 显然在直线 y = x 上 ， - [x + 4y = 5 得 D 任 C . 3. 设集合 A = {x (x — 3)(x — «) = 0,a & R} , 3 = {x| (x-4)(x-l) = 0}, 求 A B,A B . 3. 解:显然有集合 3 = {x|(x — 4)(x — 1) = 0} = {1,4}, 当 a = 3 时 ， 集合 A = {3} , 则 A B = (1,3,4},A B = 0 ； 当 0 = 1 时 ， 集合 A = {1,3}, 则 A 3 = {1,3,4},A 3 = {1} ； 当 a = 4 时 ， 集合 A = {3,4}, 则 A 8 = {1,3,4}, A 3 = {4} ； 当 a^l , 且 a/3, 且 a N 4 时 ， 集合 A = {3, a} , 则 A B = (1,3,4,«),A B = 0. 4. 已知全集 U = A B = {xeNI0 A = {1,3,5,7}, 试求集合 3. 4. 解 ： 显然 " = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 由 U = A B, 得 ^B^A, 即 A (枷) =/, 而 A QB) = {1,3, 5, 7}, 得 ^3 = {1,3,5,7}, 而 B = 、 B), 即 3 = {0,2, 4,6, 8.9,10}. 第一章集合与函数概念 1. 2 函数及其表示 1. 2. 1 函数的概念 练习(第 19 页) 1. 求下列函数的定义域 ： (1) f(x)=^ — ； (2) /( x ) = a /T ： x + a / x +3-1. 4x + 7 7 1. 解 ： (1) 要使原式有意义 ， 贝 O4x + 7^0, 即一一 ， 4 7 得该函数的定义域为 ｛ 'I 工 。 -日 ｝ ； (2) 要使原式有意义 ， 则 , 即一 3<%<1, x + 3>0 得该函数的定义域为 ｛ 工| 一 3 <% ｝ . 2. 已知函数 f(x) = 3x 2 +2x, (1) 求 /(2),/(-2),/⑵ + /X — 2) 的值 ； (2) 求 f(a), f(a) + f(-a) 的值. 2. 解 ： (1) 由 f(x) = 3x~+2x ， 得 f(2) = 3x22+2x2 = 18, 同理得 /(-2) = 3x (―2 尸 +2x (-2) = 8 , 则/■⑵ + f( — 2) = 18 + 8 = 26, 即 /(2) = 18, /(-2) = 8, /(2) + /(-2) = 26 ； (2) 由 /(x) = 3x 2 + 2x , 得 /(a) = 3xa~ +2xa = 3a~ +2a , 同理得 f ( —tz) — 3x( — tz) 2 + 2x( — a) — 3a 2 — 2a , 则 /(a) + f(-a) = (3a 2 + 2a) + (3a~ — 2a) = 6a 2 , 即 f(a) = 3a 2 + 2a, f(-a) = 3a 2 - 2a, /(a) + f(-a) = 6a 2 . 3. 判断下列各组中的函数是否相等 ，并说明理由 ： (1) 表示炮弹飞行高度 h 与时间 f 关系的函数 h = 130t-5t 2 和二次函数 y = 130x — 5 亍 ； (2) /(%) = 1 和 g(x) = x°. 3. 解 ： (1) 不相等 ， 因为定义域不同 ， 时间/ >0 ; (2) 不相等 ， 因为定义域不同 ， g(x) = x°(x^0). 1. 2. 2 函数的表示法 练习 （ 第 23页 ） 1. 如图 ， 把截面半径为 25 。 " 的圆形木头锯成矩形木料 ， 如果矩形的一边长为 面积为 ycm 2 , 把 y 表示为 x 的函数. 1 .解 ： 显然矩形的另一边长为痴厂京 cm, y = xa /50 2 -x 2 = xa /2500- x 2 , 且 。 < x < 50 , 即 y = W2500-X 2 （ 0< x< 50 ） . 第 1 题 2. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好 ？ 请你为剩下的那个图象写出一件事. （ 1 ） 我离开家不久 ， 发现自己把作业本忘在家里了 ， 于是返回家里找到了作业本再上学 ； （ 2 ） 我骑着 车一路匀速行驶 ， 只是在途中遇到一次交通堵塞 ， 耽搁了一些时间 ； （ 3 ） 我出发后 ， 心情轻松 ， 缓缓行进 ， 后来为了赶时间开始加速. 2. 解 ： 图象 （ A ） 对应事件 （ 2 ） , 在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象 （ B ） 对应事件 （ 3 ） , 刚刚开始缓缓行进 ， 后来为了赶时间开始加速; 图象 （ D ） 对应事件 （ 1 ） , 返回家里的时刻 ， 离开家的距离又为零 ； 图象 （ C ） 我出发后 ， 以为要迟到 ， 赶时间开始加速， 后来心情轻松 ， 缓缓行进. 3. 画出函数 y=|x-2| 的图象. 与 A 中元素 60 相对应 第 3 题 的 B 中的元素是什么 ？ 与 3 中的元素 巨 相对应的 A 中元素是什么 ? 2 解 ： 因为 sin60 = — , 所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是虫 4. 2 2 史相对应的 A 中元素是 45 . 因为 sin 45 = — , 所以与 3 中的元素 2 2 1. 2 函数及其表示 习题 1. 2 (第 23 页) 1. 求下列函数的定义域: 3x (1) f(x) = — - ； x-4 (2) /(%)=7? ； (3) ， (x)= — — x 2 -3 x + 2 』 4 — x (4) 1. 解 ： (1) 要使原式有意义 ， 贝 iJx-4^0, 即 x N 4 , 得该函数的定义域为 ｛x| x 者 4 ｝ ； (2) xe R, f(x) = & 都有意义, 即该函数的定义域为 R ； (3) 要使原式有意义 ， 则 3 x + 2 n 0, 即 XN1 且 xn 2, 得该函数的定义域为 ｛ x|x?l 且 x?2 ｝ ； (4) 要使原式有意义 ， 则 4-x>0 尤一 1 。 0 , 即尤^ 4 且尤更 1, 得该函数的定义域为 ｛ x|x<4 且 31 ｝ . 2. 下列哪一组中的函数 f(x) 与 g(x) 相等? (1) f(x) = x-l,g(x) = - -一 1 ： X (3) /(%) = % 2 ,^(%) = ^/?. (2) f(x) = x 2 ,g(x) = (y/x) 4 ； x 2 2 .解 ： (1) /(%) = %-! 的定义域 为 R , 而 g(x) = ---- 1 的定义域为 {x|x/0}, X 即两函数的定义域不同 ， 得函数 f(x) 与 g(x) 不相等 ； (2) /(%) = % 2 的定义域 为 R , 而 g(x) = ( a / x ) 4 的定义域为 {x|x2 0}, 即两函数的定义域不同 ， 得函数 f(x) 与 g(x) 不相等 ； (3) 对于任何实数 ， 都有 皎 =x 即这两函数的定义域相同 ， 切对应法则相同, 得函数/ ■( 》 ) 与 g(x) 相等. 3. 画出下列函数的图象 ， 并说出函数的定义域和值域. (1) y = 3x ； 8 (2) y = — ； (3) y = -4x+5 ； , (4) y — x -6x+7 . 3. 解 ： (1) 定义域是 ( YO, +8), 值域是 ( YO, +8) ； 定义域是 ( yo , 0) (0, +00) ， 值域是 (-00, 0) (0, +00) ； 5 4 ⑶ 定义域是 （ Y 。 , -+W ） , 值域是 （ Y 。 , +8 ） ； 定义域是 (-co, -Ko) , 值域是 ［ -2, +oo) . 4. 已知函数 f(x)=3x 2 -5x+2, 求 fS ， / X — 。 ) ， /(« + 3), /(«) + /(3). 4. 解 ： 因为/ '3)=312 — 5x+2, 所以/ X — Jl)=3x( — Jl)2 — 5x( — Jl) + 2 = 8+5jL 即 /(- a /2)=8+5^ ; 同理 ， f ( — ci) = 3x( — a)~ — 5x( — ci) + 2 — 3o 2 + 5a + 2 , 即 f(-a) = 3a 2 + 5a + 2 ； f (tz + 3) = 3x(tz + 3)~ — 5x( 。 + 3) + 2 — 3a~ +13 。 + 14 , 即 /(a + 3)-3a 2 +13a + 14 ； /(a) + /(3) = 3a 2 -5a + 2+/(3) =3a 2 -5a+16 , 即 /(a) + /(3)-3a 2 -5a + 16. x + 2 5. 已知函数 /(x) = ----- , x-6 (1) 点 (3,14) 在 f(x) 的图象上吗 ？ (2) 当 x = 4 时 ， 求 f(x) 的值 ； (3) 当 f(x) = 2 时 ， 求 X 的值. 3 + 2 5 5. 解 ： (1) 当 x = 3 时 ， /(3)= — — = — — 。 14, 3-6 3 即点 (3,14) 不在/ Xx) 的图象上 ； 4 + 2 (2) 当 x = 4 时 ， f(4) = — — =-3, 4-6 即当 x = 4 时 ， 求/ '(X) 的值为 — 3 ； x + 2 (3) f(x) = — — =2 , 得 x + 2 = 2(x — 6), x-6 即 x = 14 . 6. 若 f(x)=x~+bx+c, 且 /(1) = 0,/(3) = 0, 求 /(-I) 的值. 6. 解 ： 由 f(l)=0,f(3) = 0, 得 1,3 是方程 x 2 +bx + c = 0 的两个实数根 ， 即 1 + 3 = -b,M = c, 得人 = — 4,c = 3, 即 /(% ) = x~-4x+3, 得 /(-I) = (-1) 2 - 4x(-1) + 3 = 8, 即 /(-I) 的值为 8. 7. 画出下列函数的图象 ： fO,x< 0 (1) F(x) = < ； x>0 l, (2) G(〃) = 3〃 + 1,〃 e{l,2,3} . 7. 图象如下: y ‘ '0,x<0 心 =< 顷 ” ) . 10 8 . 6 4 - ■ 2 0 1 2 3 l,x>0 1 > -------- -------- M X „ 8. 如图 ， 矩形的面积为 10, 如果矩形的长 为 x, 宽 为 y, 对角线为 d, 周长为 /, 那么你能获得关于这些量的哪些函数 ？ 8. 解 ： 由矩形的面积为 10, 即 xy = 10 , 得^ = — (% > 0), 尤=一 (y 〉 0), x y 由对角线 为 d , 即 d = J/ + y2 , 得^ = "+%(乂> 0) , 20 由周长为 Z, 艮 PZ = 2x + 2y , 得/ = 2 工+ — 3>0), x 另外 l = 2(x+y) , 而 xy = 10, 6?2 = x 2 + y 2 , 得 I = Z&x + y) 2 = WxfFxy = 20+20 (d 〉 0), BP/ = 2^ 2 +20 (d>0) . 9. 一个圆柱形容器的底部直径是 dem, 高是屁彻,现在以 vcm 3 /5 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 As 的函数解析式 ， 并写出函数的定义域和值域. 9. 解 ： 依题意 ， 有 7T( — ) 2 % = Vt , 即 》 =― t , 4v h7id~ 显然 0 即 0< — t 得 ----- , 7i d' 4v h ■兀 d' 得函数的定义域为 ［ 0,- 性 ］ 和值域为 ［ 0, 仞 . 4v 10. 设集合 A = {a ， ,c},B = {0,l}, 试问 ： 从 A 到 B 的映射共有几个 ？ 并将它们分别表示出来. 10. 解 ： 从 A 到 B 的映射共有 8 个. /(«) = 0 分别是 〈 /(a) = 0 /(«) = o f(a) = 0 彻 =0, /(c) = 0 了 (a) = l f(b) = 0, /(c) = 1 /(c) = 0 /(«) = 1 f(b) = 0, /(c) = 1 f(a)T ") = 1 f(b) = 0, < f(b) = 0, < 了 (b) = l ， < f(b) = 0. /(c) = 0 /(c) = 1 /(c) = 0 /(c) = 1 B 组 1. 函数 r = f(p) 的图象如图所示. (1) 函数 r = / '(p) 的定义域是什么 ？ (2) 函数 r = /Xp) 的值域是什么 ？ (3) 尸取何值时 ， 只有唯一的 p 值与之对应 ？ 1. 解 ： ⑴ 函数 r = f(p) 的定义域是 [ — 5,0] [2, 6) ； (2) 函数 r = / '(p) 的值域是 [0, +oo) ； (3) 当 r>5 , 或 0 时 ， 只有唯一的 p 值与之对应. : 「 1 . 2. 画出定义域为 ｛ x| — 3 且 ， 值域为 ｛ y| — lMyM2,yN0 ｝ 的一个函数的图象. (1) 如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 -3<%<8, -l 那么其中哪些点不能在图象 上 ？ (2) 将你的图象和其他同学的相比较 ， 有什么差别吗 ？ 2. 解 ： 图象如下 ， (1) 点 (x,0) 和点 (5, >) 不能在图象上 ； (2)省略. y 3. 函数 f (%) = [x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数 ， 例如 ， [― 3.5] = T, [2.1] = 2. 当 *e( — 2.5,3 〕 时 ， 写出函数 f(x) 的解析式 ， 并作出函数的图象. — 3, — 2.5 < x < — 2 -2, -2 -1, -l 3. 解 ： f (x) = [x] = < 0, 0< x< 1 1, l 2, 2 3, 尤 =3 图象如下 -2 4. 如图所示 ， 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2 比〃? , 从点 P 沿海岸正东处有一个城镇. （ 1 ） 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km/h, 步行的速度是 5km/h, f （ 单位:人 ） 表示他从小岛 到城镇的时间 ， x （ 单位 ： 切 1 ） 表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 f 表示为 x 的函数. （ 2 ） 如果将船停在距点 P 4km 处 ， 那么从小岛到城镇要多长时间 （ 精确到功 ） ? 4. 解 ： （ 1 ） 驾驶小船的路程为 J7 万 ， 步行的路程为 12- 》 ， 得 + 3 5 即 f = J"+4 3 （ 0<%<12 ） , （ 0<%<12 ） . 5 ⑵当 “ 4 时 ， ,=产+也 1 = ^+%3 （ /0. 3 5 3 5 第一章集合与函数概念 1. 3 函数的基本性质 1. 3. 1 单调性与最大 （ 小 ） 值 练习 （ 第 32 页 ） 1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. t 生产效率 0 工人数 (Miff) 1. 答 ： 在一定的范围内 ， 生产效率随着工人数量的增加而提高 ， 当工人数量达到某个数量时 ， 生产效率 达到最大值 ， 而超过这个数量时 ， 生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见 ， 并非是工人 越多 ， 生产效率就越高. 2. 整个上午 (8:00 12:00) 天气越来越暖 ， 中午时分 (12:00 13:00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许 多.暴风雨过后 ， 天气转暖 ， 直到太阳落山 (18:00) 才又开始转凉.画出这一天 8:00 20:00 期间气温 作为时间函数的一个可能的图象 ， 并说出所画函数的单调区间. 2. 解 ： 图象如下 ［ 8,12 ］ 是递增区间 ， ［ 12,13 ］ 是递减区间 ， ［ 13,18 ］ 是递增区间 ， ［ 18,20 ］是递减区间. 3 . 根据下图说出函数的单调区间 ， 以及在每一单调区间上 ， 函数是增函数还是减函数. 第 3 题 3. 解 ： 该函数在 ［ -1,0 ］ 上是减函数， 在 ［ 0,2 ］ ± 是增函数 ， 在 ［ 2,4 ］ ± 是减函数, 在 ［ 4,5 ］ 上是增函数. 4 . 证明函数 /(x) = -2x + l 在 R 上是减函数. 4. 证明 ： 设 g 7?, 且工 1 〈 工 2 ， 因为 即 /(x 1 )>/(% 2 ) ， = — 2( 玉 一 X 2)= 2( 互 — X I) >0 ， 所以函数 /(%) = -2x + l 在 R 上是减函数. 5. 设/ '(X) 是定义在区间 ［ -6,11 ］ 上的函数.如果/ '(X) 在区间 ［ -6,-2 ］ 上递减 ， 在区间 ［ -2,11 ］ 上递增 ， 画 出 f(x) 的一个大致的图象 ， 从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 . 5. 最小值. 1. 3. 2 单调性与最大(小)值 练习(第 36 页) 1.判断下列函数的奇偶性 ： (1) /(x) = 2 a : 4 +3 x 2 ； 工 2 + 1 (3) f(x) = ----- ； X (2) f(x) = x 3 -2x (4) / •(x) = r+l. 1. 解 ： (1) 对于函数 f(x) = 2x 4 +3x 2 , 其定义域为 ( — 00,40 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 /(-%) = 2( — 1)4 + 3( — x)2 = 2x 4 + 3x 2 = /(x) , 所以函数/ "(X) = 2 了 4 +3% 2 为偶函数 ； (2) 对于函数 f(x) =x 3 -2x , 其定义域为 ( yo ,+ o 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 /(-%) = (-%) 3 - 2( — x) = -(X 3 - 2%) = -/(%), 所以函数 f(x)=x 3 -2x 为奇函数 ； / +1 (3) 对于函数 /(%) = ----- , 其定义域为 ( tx ),0) (0, 心) ， 因为对定义域内 x L 人丑 — /•/ ( — %) 2 + 1 % 2 + 1 母一个 X 都有 /(-%) = -------- = ------- = -/(X) , -X X / +1 所以函数 f(x) = ----- 为奇函数 ； X (4) 对于函数 f{x) = JC +1 , 其定义域为(- 3,+0 。 ) ， 因为对定义域内 每一个 x 都有 f(-x) = (-x) 2 +1 = F +1 = y(% ), 所以函数 f(x) % 2 +1 为偶函数. 2 . 已知 y(x) 是偶函数 ， g(x) 是奇函数 ， 试将下图补充完整. 2 . 解 ：f(x) 是偶函数 ， 其图象是关于 y 轴对称的; g(x) 是奇函数 ， 其图象是关于原点对称的. 习题 1.3 A 组 1 . 画出下列函数的图象 ， 并根据图象说出函数 y = f(x) 的单调区间 ， 以及在各单调区间 上函数 y = f(x) 是增函数还是减函数. (1 ) y = x~ — 5x — 6 ； (2) y = 9-x 1 . 1. 解 ： (1) 函数在 (-00, — ) 上递减 ； 函数在 ［ — ,+00 )上递增; 2 2 (2) (-00, 0) ± 递增 ； 函数在 ［ 0, +oo) 上递减. 2 . 证明 ： (1) 函数 /(x) = x 2 +l 在 ( — oo,0)上是减函数 ； (2) 函数 /(%) = !-- 在 ( — 8,0) 上是增函数. x 2 . 证明 ： (1) 设 %! < x 2 < 0 , 而 -X 2 2 =(Xy +% 2 )(%! -%2) , 由 jq +x 2 <0, jq -x 2 <0, 得 /(^)-/(^ 2 ) >0, 即了 31) > /(x 2 ) , 所以函数 f(x) =X 2 +1 在 ( — 8,0) 上是减函数; (2) 设工 ］ 〈 工 2<0, 而 f (Xj f (x 2 ) — ------ — ---- , 由 x^x 2 >0,^ -x 2 <0, 得 /(^)-/(% 2 ) <0 , 即/(^)所以函数 f(x) = l-- 在( — 8,0) 上是增函数 X 3. 探究一次函数 y = mx+b{x g R) 的单调性 ， 并证明你的结论. 3. 解 ： 当 m>0 时 ， 一次函数 y = mx + b 在 (-oo,+oo) 上是增函数; 当 m v 0 时 ， 一次函数 y - mx + b 在 (-oo,+oo) 上是减函数, 令 f{x)-mx+b , 设 x v 2 , 而/'(为 ) — /X% )= 次为 一 易 ) ， 当 7">0 时 ， 秫(工] 一 易 )< 0 , 即 /(%]) < /(X 2 ) - 得一次函数 y = tnx + b 在 (-0 。 , +oo) 上是增函数 ； 当 7"<0 时 ， m(Xj - x 2 ) > 0, 即 /(%]) > /(x 2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 (-0 。 , 心)上是减函数. 4 . 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢 ， 之后随着药力的减退 ， 心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起 ， 心率关于时间的一个可能的图象(示意图) . 4 . 解 ： 自服药那一刻起 ， 心率关于时间的一个可能的图象为 5. 某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为 x 2 y = - — + 162x- 21000, 那么 ， 每辆车的月租金多少元时 ， 租赁公司的月收益最大 ？ 最大月收益是多 X 5. 解 ： 对于函数 y = - — + 162x- 21000, 当 x = — —= 4050 时 ， y max = 307050 (元) ， 2x( ---- ) 50 即每辆车的月租金为 4050 元时 ， 租赁公司最大月收益为 307050 元. 6 . 已知函数/ '(X) 是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x> 0 时 ， /(%) = %(1 + x) .画出函数/ '(x) 的图象 ， 并求出函数的解析式. 6. 解 ： 当 x<0 时， 一 x>0, 而当 x 2 0 时 ， /(%) = %(! + %), 即 /(-%) = -x(l - %), 而由已知函数是奇函数 ， 得 /(-%) = -/(%), 得一 f(x) = -x(l - x) , 即 /(%) = %(!-%), 所以函数的解析式为 rco= . x(l-x),x<0 B 组 1 . 已知函数 /(%) = X * - 2% , g(x) =x2 -2x (x e ［ 2,4 ］ ). 2 (1) 求 /(X) , g(x) 的单调区间 ； (2) 求 y(x) , g(x) 的最小值. 1. 解 ： (1) 二次函数 /(%) =x 2 -2x 的对称轴 为 x = l , 则函数/ XX) 的单调区间为 ( f ,1), ［ 1,+8), 且函数/(乃在 ］ - 8,1) 上为减函数 ， 在 ［ 1, +oo) 上为增函数 ， 函数 g(x) 的单调区间为 ［ 2,4 ］ , 且函数 g(x)在 ［ 2,4 ］ 上为增函数 ； (2) 当 X = 1 时 ， f(x) 血 n= — 1 ， 因为函数 g(x)在 ［ 2,4 ］ 上为增函数 ， 所以 g3) 讪 =g(2) = 2 2 -2x2 = 0. 2 . 如图所示 ， 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室 ， 如果可供建造围墙的材料总长是 30m , 那么宽 x (单位 ： m) 为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大 ？ 每间熊猫居室的最大面积 是多少 ？ 2. 解 ： 由矩形的宽 为 xm , 得矩形的长为 ----- m , 设矩形的面积为 S, 2 30-3% 3(% 2 -10%) 2 2 当工= 5 时 ， = 37.5 m 2 , 即宽 x = 5m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 18.75m A 2. 3. 已知函数 y(x) 是偶函数 ， 而且在 (0, +oo) 上是减函数 ， 判断/ '( 》 ) 在(-8,0) 上是增函数还是减函数 ， 并 证明你的判断. 3. 判断 f(x) 在 (-8,0) 上是增函数， 证明如下 ： 设 x { 2 <0, 则 一 X] > 一 邑 >0, 因为函数 /(X) 在 (0,+8) 上是减函数 ， 得 /(-%!)< /(-X 2 ) , 又因为函数 f(x) 是偶函数 ， 得/(%]) 2 ), 所以 f(x) 在 (-8,0) 上是增函数. 复习参考题 A 组 1. 用列举法表示下列集合 ： (1) A = {xx 2 = 9} ； (2) B = (xe2V|l ； (3) C = {x | % 2 — 3x +2 = 0). 1. 解 ： (1) 方程 x 2 =9 的解为工]= — 3, 易= 3, 即集合 A = {-3,3)； (2) l 且 xeN, 则x = l,2, 即集合 3 = {1,2} ； (3) 方程 x 2 -3x + 2 = 0 的解为工 1=1, 易= 2, 即集合 C = (1,2}. 2. 设 P 表示平面内的动点 ， 属于下列集合的点组成什么图形 ？ (1) {PPA = PB} 两个定点) ； (2) {PPO = 3cm} (OM 定点). 2. 解 ： (1) 由 PA = PB ， 得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等 ， ^[PPA = PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线 ； (2) {PPO = 3cm} 表示的点组成以定点 。 为圆心 ， 半径 为 3cm 的圆. 3 . 设平面内有 AA3C, 且 P 表示这个平面内的动点 ， 指出属于集合 {PPA = PB} {PPA = PC} 的点是什么. 3 . 解 ： 集合 ［ PPA = PB} 表示的点组成线段 A3 的垂直平分线, 集合 {PPA = PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线 ， 得 {PPA = PB} {PPA = PC} 的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点 ， 即 AABC 的外心. 4 . 已知集合 A = {xx~=l ］ , B = {xax = l}. 若求实数 。 的值. 4. 解 ： 显然集合 A = {-1,1 ） , 对于集合 B = {xax = } , 当 。 =0 时 ， 集合 8 = 0 ， 满足 B A , 即 a = 0 ； 当 a^O 时 ， 集合 B = {-} , 而 B^A, 则 - = -1, 或 - = 1, a a a 得"=一 1, 或 。 =1, 综上得 ： 实数"的值为 -1,0, 或 1. 5 . 已知集合 A = ((x,y) | 2x- y= 0], B = {(x, y)|3x + y = 0), C = ((x,y) | 2x-y = 3} , 求 A B , A C, (A B) (B C). A 人 [2x-y = 0 5. 解 ： 集合 A B = Ux,y){ = {(0,0)}, 即 A 8 = {(0,0)} ； [3x+y = 0 + (2x — y = 0 集合 A C = Ux.y) 7 } = 0, 即 A C = 0 ； [ 0 — y = 3j 集合 B C = > = ((|,-|)} ； 、 I ， J 3 9 贝心 B) (B C) = ((0,0), 6. 求下列函数的定义域 ： (1) y = y/x-2 •』 x+5 ； ② s 6 .解 ： （ 1 ） 要使原式有意义 ， 则 { x-2>0 即 x>2, x + 5 > 0 得函数的定义域为 ［ 2, +8 ） ；