2024年5月20日发(作者：枚柔怀)

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、

宿迁七市2021届高三第二次调研测试

数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩(

R

P)＝

A．M B．N C．

R

M D．

R

N

【答案】D

【考点】集合的运算：交并补

【解析】由题意可知

R

P＝

M

P∪

N

P，所以M∩(

R

P)＝

R

N，（或可根据题意画出韦恩图得

到），故答案选D.

2．已知x∈R，则“－3≤x≤4”是“lg(x

2

－x－2)≤1”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【考点】解对数方程、逻辑用语中条件的判断

【解析】由题意lg(x

2

－x－2)≤1＝lg10，即x

2

－x－2≤10，且x

2

－x－2＞0，可解得－3≤x＜

－1或2＜x≤4，而[－3，－1)∪(2，4][－3，4]，则“－3≤x≤4”是“lg(x

2

－x－2)≤1”必

要不充分条件，故答案选B.

3．欧拉恒等式：e

i

π

＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重

要的数：自然对数的底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是

在欧拉公式：e

iθ

＝cosθ＋isinθ(θ∈R)中，令θ＝π得到的．根据欧拉公式，e

2

i

复平面内对应

的点在

1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【考点】文化背景下的复数有关复平面中的位置

π

【解析】由题意e

2

i

＝cos2＋isin2，因为2∈(，π)，所以cos2＜0，sin2＞0，则e

2

i

复平面内

2

对应的点在第二象限，故答案选B.

4．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．右图是一种幄帐示

意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于

1

底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽

2

之比为5：3，则正脊与斜脊长度的比值为

389

A． B． C． D．1

5910

【答案】B

【考点】情境下的立体几何的二面角与长度问题

【解析】由题意作出帐顶的空间图形，如图，设AB＝3a，则BC＝5a，设A

1

O＝b，过点A

1

作底面ABCD的高为A

1

O，取AB的中点为点E，则OE∥AD∥BC，所以斜坡面与底面所成

A

1

O

1

A

1

O

1

二面角的平面角为∠A

1

EO，或∠A

1

FO，则tan∠A

1

EO＝

＝，tan∠A

1

FO＝

＝，所以

OE2OF2

348

OE＝OF＝2b＝a，即有a＝b，所以OB＝2OF＝22b，所以A

1

A

2

＝5a－2×2b＝b，A

1

B

233

8b

A

1

A

2

3

8

＝b

2

＋(22b)

2

＝3b，所以＝＝，故答案选B

A

1

B3b9

5．已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b＝2c，则a  c＝

1111

A．－ B．－ C． D．

2442

【答案】C

【考点】平面向量的数量积运算

2

1111

【解析】由题意知b＝c－

a，则b

2

＝(c－

a)

2

＝c

2

－a  c＋

a

2

，即1－a  c＋＝1，解得a  c

2244

1

＝，故答案选C.

4

6．函数f(x)＝sinxcosx＋3cosx的图象的一条对称轴为

ππππ

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

12632

【答案】A

【考点】三角函数的图象与性质、三角恒等变换化简

13π3ππ

【解析】由题意f(x)＝

sin2x＋(1＋cos2x)＝sin(2x＋)＋

，令2x＋＝＋2kπ，(k∈Z)，

223232

ππ

则其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故答案选A.

1212

7．某班45名学生参加“312”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳

动表现，评定为“优秀”、“合格”2个等级，结果如下表：

等级

优秀

项目

除草

植树

30

20

15

25

45

45

合格 合计

2

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】C

【考点】逻辑推断

【解析】由题意可设在两个项目中都“合格”的学生人数为a，除草合格植树优秀的学生人

数为b，除草优秀和植树合格的同学人数为c，则在两个项目中都“优秀”的人数为d，则a

＋b＝15，c＋d＝30，a＋c＝25，b＋d＝20，则d＝30－c＝30－(25－a)＝5＋a≤15，故答案

选C.

8．若alna＞blnb＞clnc＝1，则

A．e

C．e

b＋c

lna＞e

c＋a

lnb＞e

a＋b

lnc B．e

c＋a

lnb＞e

lnc＞e

b＋c

lna＞e

a＋b

lnc

a＋b

lnc＞e

c＋a

lnb＞e

b＋c

lna D．e

a＋bb＋c

lna＞e

c＋a

lnb

【答案】C

【考点】函数与导数：构造新函数、利用单调性比较大小

3

1

【解析】由题意可设f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，解得x＝，则函数f(x)在(0，

e

1111

)单调递减，在(

，＋)上单调递增，且f(

)＝－

，因为alna＞blnb＞clnc＝1，所以f(a)＞

eeee

f(b)＞f(c)＝1，所以a＞b＞c，对式子e

b＋c

lna，e

c＋a

lnb，e

a＋b

lnc，同除e

a＋b＋c

lnalnb

，可化为

a

，

b

，

ee

1－xlnx

lnclnx

，则可构造g(x)＝，x≥c，g′(x)＝≤0，所以g(x)在[c，＋)上单调递减，所以

e

c

e

x

xe

x

g(a)＜g(b)＜g(c)，即e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知数列{a

n

}是等比数列，下列结论正确的为

A．若a

1

a

2

＞0，则a

2

a

3

＞0 B．若a

1

＋

a

3

＜0，则a

1

＋a

2

＜0

C．若a

2

＞a

1

＞0，则a

1

＋

a

3

＞2a

2

＞0 D．若a

1

a

2

＜0，则(a

2

－a

1

)(a

2

－a

3

)＜0

【答案】AC

【考点】数列的项的关系比较

【解析】由题意，对于选项A，若a

1

a

2

＞0，则a

2

a

3

＝a

1

a

2

q

2

＞0，故选项A正确；对于选项

B，a

1

＋

a

3

＝a

1

(1＋q

2

)＜0，则a

1

＜0，而a

1

＋a

2

＝a

1

(1＋q)，所以当q＞－1时，才有a

1

＋a

2

＜

0，而q可以≤－1，此时不能得到a

1

＋a

2

＜0，故选项B错误；对于选项C，因为a

2

＞a

1

＞

a

2

0，则q＝

＞1，所以(q－1)

2

＞0，即1＋q

2

＞2q，则a

1

(1＋q

2

)＞2a

1

q，即a

1

＋a

3

＞2a

2

＞0，

a

1

故选项C正确；对于选项D，因为a

1

a

2

＜0，所以a

1

2

q＜0，则q＜0，所以(a

2

－a

1

)(a

2

－a

3

)＝

a

1

(q－1)a

1

(q－q

2

)＝－a

1

2

q(q－1)

2

＞0，故选项D错误；故答案选AC.

10．已知函数f(x)＝|x

2

－a|(a∈R)，则y＝f(x)的大致图象可能为

a＋b

lnc＞e

c＋a

lnb＞e

b＋c

lna，故答案选C.

【答案】ABD

【考点】函数的图象识别与判断

【解析】由题意可设f(x)＝y，①当a＝0时，y＝|x

2

|＝x，图象即为选项A，故选项A正确；

4

②当a＜0时，y＝|x

2

－a|＝x

2

－a，即y

2

－x

2

＝－a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为焦点在

y轴上的双曲线的上半支，即为图象D，故选项D正确；③当a＞0时，若x∈[－a，a]，

则y

2

＋x

2

＝a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为在区间[－a，a]上，圆心在原点的上半圆；

若x∈(－，－a)∪(a，＋)，则x

2

－y

2

＝a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为焦点在x轴

在区间(－，－a)∪(a，＋)上的上方部分，即为图象B，故选项B正确；综上答案选

ABD.

11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的

各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次

为：1，1，2，3，5，8，13，…，则

A．在第9条斜线上，各数之和为55

B．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小

2n＋1－(－1)

C．在第n条斜线上，共有

个数

4

D．在第11条斜线上，最大的数是C

3

7

【答案】BCD

【考点】文化情境下的

23n

【解析】由题意可知，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C

0

2n－1

，C

2n－2

，C

2n－3

，…，C

n－1

，

12n

且第2n＋1(n∈N*)条斜线上的数依次为C

0

2n

，C

2n－1

，C

2n－2

，…，C

n

，对于选项A，在第9条

1234

斜线上，此时n＝4，各数之和为C

0

故选项A错

8

＋C

7

＋C

6

＋C

5

＋C

4

＝1＋7＋15＋10＋1＝34，

n

误；对于选项B，由图可知，当n≥5时，斜线上的数自左往右都是先增大后减小，故选项

2×2k＋1－(－1)

B正确；对于选项C，当n＝2k(k∈N*)时，斜线上有k个数，可表示为

，当

4

2×(2k＋1)＋1－(－1)

n＝2k＋1(k∈N)时，斜线上有k＋1个数，可表示为

4

2k＋1

2k

，且n＝1时也

1

符合，故选项C正确；对于选项D，在第11条斜线上，此时n＝5，各数分别为C

0

10

，C

9

，

3453

C

2

8

，C

7

，C

6

，C

5

，即为1，9，28，35，15，1，则最大的数为C

7

，故选项D正确；综上，答

案选BCD.

12．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B

在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s．测绘兴趣小组利用

测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各

5

组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC

【答案】ACD

【考点】

【解析】由题意，对于选项A，已知∠BCD，∠BDC，CD，

可由正弦定理解△BCD，即解出BC的长度，再由△ABC中， AB＝BC×tan∠ACB，即可求

得塔高AB的长度，故选项A正确；对于选项B，已知∠ACB，∠BCD，∠ACD，CD，不能

构成一个三角形中的3个条件，故不能求解塔高AB的长度，故选项B错误；对于选项C，

已知∠ACD，∠ADC，CD，可由正弦定理求解△ACD中的AC长度，再由△ABC中， AB

＝AC×sin∠ACB，即可求得塔高AB的长度，故选项C正确；对于选项D，已知∠ACB，∠

BCD，可求得∠ACD，则在△ACD中结合∠ADC和CD，利用正弦定理解得AC的长度，再

由△ABC中， AB＝AC×sin∠ACB，即可求得塔高AB的长度，故选项D正确；综上，答案

选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量X~N(2，



)，P(X＞0)＝0.9，则P(2＜X≤4)＝ .

【答案】0.4

【考点】正态分布的应用：求某一区间的概率

【解析】由题意可得μ＝2，P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.1，而P(X＞2)＝0.5，所以P(2＜X≤4)＝

P(X＞2)－P(X＞4)＝0.5－0.1＝0.4，故答案为0.4.

14．能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，

2].”是真命题的一个区间I为 .

【答案】答案不唯一，只要形如[a，2]或(a，2]，其中0≤a＜1的均正确.

【考点】分段函数的基本性质：单调性的应用



x

2

－x，x≥1

1

【解析】由题意函数f(x)可化为f(x)＝



2

，则可知函数f(x)在(－，

)上单调递

2



－x＋x，x＜1

2

6

111

增，在(，1)上单调递减，在(1，＋)上单调递增，且f(0)＝f(1)＝0，f(

)＝

＜2，f(2)＝2，

224

则I区间[0，2]符合题意，，故答案可为[0，2].

xy

15．已知椭圆C

1

:

2

＋

2

＝1(a＞b＞0)的右顶点为P，右焦点F与抛物线C

2

的焦点重合，C

2

的

ab

顶点与C

1

的中心O重合．若C

1

与C

2

相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C

1

的离心

率为 .

1

【答案】

3

【考点】椭圆的几何性质、椭圆与平面几何的综合应用

p

【解析】由题意可设抛物线C

2

的方程为y

2

＝2px(p＞0)，且椭圆C

1

的焦距为2c，所以c＝，

2

此时抛物线方程可化为

x

2

4cx

2

y＝4cx，与椭圆C

1

联立，得到

2

＋

2

＝1，因为四边形

ab

OAPB为菱

22

a12ac

形，所以x＝，代入化简可得＋

2

＝1，又a

2

－b

2

＝c

2

，所以8ac＝3b

2

＝3a

2

－3c

2

，则3e

2

24b

11

＋8e－3＝0，解得e＝，故答案为

.

33

16．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AC＝8，点P到底面ABC的距离为7．若点P，A，B，

C均在一个半径为5的球面上，则PA

＋PB＋PC的最小值为 .

【答案】198

【考点】立体几何的外接球、截面的长度问题

【解析】

法一：由题意，过点P作PQ⊥平面ABC，可得OA＝5，OA

1

＝4，则OO

1

＝3，OO

2

＝4，PQ

＝7，则L＝PA＋PB＋PC＝3PQ

2

＋QA

2

＋QB

2

＋QC

2

＝147＋QA

2

＋QB

2

＋QC

2

，

222

222

转化为平面问题：因为QA

2

＋QC

2

＝2(QO

1

2

＋AO

1

2

)＝2(9＋16)＝50，QB

min

＝4－3＝1，所以

QA

2

＋QB

2

＋QC

2

＝50＋QB

2

≥51，当且仅当QB＝1时取等号，此时L有最小值，为147＋51

＝198，故答案为198.

7

2024年5月20日发(作者：枚柔怀)

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、

宿迁七市2021届高三第二次调研测试

数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩(

R

P)＝

A．M B．N C．

R

M D．

R

N

【答案】D

【考点】集合的运算：交并补

【解析】由题意可知

R

P＝

M

P∪

N

P，所以M∩(

R

P)＝

R

N，（或可根据题意画出韦恩图得

到），故答案选D.

2．已知x∈R，则“－3≤x≤4”是“lg(x

2

－x－2)≤1”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【考点】解对数方程、逻辑用语中条件的判断

【解析】由题意lg(x

2

－x－2)≤1＝lg10，即x

2

－x－2≤10，且x

2

－x－2＞0，可解得－3≤x＜

－1或2＜x≤4，而[－3，－1)∪(2，4][－3，4]，则“－3≤x≤4”是“lg(x

2

－x－2)≤1”必

要不充分条件，故答案选B.

3．欧拉恒等式：e

i

π

＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重

要的数：自然对数的底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是

在欧拉公式：e

iθ

＝cosθ＋isinθ(θ∈R)中，令θ＝π得到的．根据欧拉公式，e

2

i

复平面内对应

的点在

1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【考点】文化背景下的复数有关复平面中的位置

π

【解析】由题意e

2

i

＝cos2＋isin2，因为2∈(，π)，所以cos2＜0，sin2＞0，则e

2

i

复平面内

2

对应的点在第二象限，故答案选B.

4．“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．右图是一种幄帐示

意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于

1

底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽

2

之比为5：3，则正脊与斜脊长度的比值为

389

A． B． C． D．1

5910

【答案】B

【考点】情境下的立体几何的二面角与长度问题

【解析】由题意作出帐顶的空间图形，如图，设AB＝3a，则BC＝5a，设A

1

O＝b，过点A

1

作底面ABCD的高为A

1

O，取AB的中点为点E，则OE∥AD∥BC，所以斜坡面与底面所成

A

1

O

1

A

1

O

1

二面角的平面角为∠A

1

EO，或∠A

1

FO，则tan∠A

1

EO＝

＝，tan∠A

1

FO＝

＝，所以

OE2OF2

348

OE＝OF＝2b＝a，即有a＝b，所以OB＝2OF＝22b，所以A

1

A

2

＝5a－2×2b＝b，A

1

B

233

8b

A

1

A

2

3

8

＝b

2

＋(22b)

2

＝3b，所以＝＝，故答案选B

A

1

B3b9

5．已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b＝2c，则a  c＝

1111

A．－ B．－ C． D．

2442

【答案】C

【考点】平面向量的数量积运算

2

1111

【解析】由题意知b＝c－

a，则b

2

＝(c－

a)

2

＝c

2

－a  c＋

a

2

，即1－a  c＋＝1，解得a  c

2244

1

＝，故答案选C.

4

6．函数f(x)＝sinxcosx＋3cosx的图象的一条对称轴为

ππππ

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

12632

【答案】A

【考点】三角函数的图象与性质、三角恒等变换化简

13π3ππ

【解析】由题意f(x)＝

sin2x＋(1＋cos2x)＝sin(2x＋)＋

，令2x＋＝＋2kπ，(k∈Z)，

223232

ππ

则其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故答案选A.

1212

7．某班45名学生参加“312”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳

动表现，评定为“优秀”、“合格”2个等级，结果如下表：

等级

优秀

项目

除草

植树

30

20

15

25

45

45

合格 合计

2

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】C

【考点】逻辑推断

【解析】由题意可设在两个项目中都“合格”的学生人数为a，除草合格植树优秀的学生人

数为b，除草优秀和植树合格的同学人数为c，则在两个项目中都“优秀”的人数为d，则a

＋b＝15，c＋d＝30，a＋c＝25，b＋d＝20，则d＝30－c＝30－(25－a)＝5＋a≤15，故答案

选C.

8．若alna＞blnb＞clnc＝1，则

A．e

C．e

b＋c

lna＞e

c＋a

lnb＞e

a＋b

lnc B．e

c＋a

lnb＞e

lnc＞e

b＋c

lna＞e

a＋b

lnc

a＋b

lnc＞e

c＋a

lnb＞e

b＋c

lna D．e

a＋bb＋c

lna＞e

c＋a

lnb

【答案】C

【考点】函数与导数：构造新函数、利用单调性比较大小

3

1

【解析】由题意可设f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，解得x＝，则函数f(x)在(0，

e

1111

)单调递减，在(

，＋)上单调递增，且f(

)＝－

，因为alna＞blnb＞clnc＝1，所以f(a)＞

eeee

f(b)＞f(c)＝1，所以a＞b＞c，对式子e

b＋c

lna，e

c＋a

lnb，e

a＋b

lnc，同除e

a＋b＋c

lnalnb

，可化为

a

，

b

，

ee

1－xlnx

lnclnx

，则可构造g(x)＝，x≥c，g′(x)＝≤0，所以g(x)在[c，＋)上单调递减，所以

e

c

e

x

xe

x

g(a)＜g(b)＜g(c)，即e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知数列{a

n

}是等比数列，下列结论正确的为

A．若a

1

a

2

＞0，则a

2

a

3

＞0 B．若a

1

＋

a

3

＜0，则a

1

＋a

2

＜0

C．若a

2

＞a

1

＞0，则a

1

＋

a

3

＞2a

2

＞0 D．若a

1

a

2

＜0，则(a

2

－a

1

)(a

2

－a

3

)＜0

【答案】AC

【考点】数列的项的关系比较

【解析】由题意，对于选项A，若a

1

a

2

＞0，则a

2

a

3

＝a

1

a

2

q

2

＞0，故选项A正确；对于选项

B，a

1

＋

a

3

＝a

1

(1＋q

2

)＜0，则a

1

＜0，而a

1

＋a

2

＝a

1

(1＋q)，所以当q＞－1时，才有a

1

＋a

2

＜

0，而q可以≤－1，此时不能得到a

1

＋a

2

＜0，故选项B错误；对于选项C，因为a

2

＞a

1

＞

a

2

0，则q＝

＞1，所以(q－1)

2

＞0，即1＋q

2

＞2q，则a

1

(1＋q

2

)＞2a

1

q，即a

1

＋a

3

＞2a

2

＞0，

a

1

故选项C正确；对于选项D，因为a

1

a

2

＜0，所以a

1

2

q＜0，则q＜0，所以(a

2

－a

1

)(a

2

－a

3

)＝

a

1

(q－1)a

1

(q－q

2

)＝－a

1

2

q(q－1)

2

＞0，故选项D错误；故答案选AC.

10．已知函数f(x)＝|x

2

－a|(a∈R)，则y＝f(x)的大致图象可能为

a＋b

lnc＞e

c＋a

lnb＞e

b＋c

lna，故答案选C.

【答案】ABD

【考点】函数的图象识别与判断

【解析】由题意可设f(x)＝y，①当a＝0时，y＝|x

2

|＝x，图象即为选项A，故选项A正确；

4

②当a＜0时，y＝|x

2

－a|＝x

2

－a，即y

2

－x

2

＝－a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为焦点在

y轴上的双曲线的上半支，即为图象D，故选项D正确；③当a＞0时，若x∈[－a，a]，

则y

2

＋x

2

＝a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为在区间[－a，a]上，圆心在原点的上半圆；

若x∈(－，－a)∪(a，＋)，则x

2

－y

2

＝a，(y≥0)，此时函数f(x)的图象为焦点在x轴

在区间(－，－a)∪(a，＋)上的上方部分，即为图象B，故选项B正确；综上答案选

ABD.

11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的

各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次

为：1，1，2，3，5，8，13，…，则

A．在第9条斜线上，各数之和为55

B．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小

2n＋1－(－1)

C．在第n条斜线上，共有

个数

4

D．在第11条斜线上，最大的数是C

3

7

【答案】BCD

【考点】文化情境下的

23n

【解析】由题意可知，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C

0

2n－1

，C

2n－2

，C

2n－3

，…，C

n－1

，

12n

且第2n＋1(n∈N*)条斜线上的数依次为C

0

2n

，C

2n－1

，C

2n－2

，…，C

n

，对于选项A，在第9条

1234

斜线上，此时n＝4，各数之和为C

0

故选项A错

8

＋C

7

＋C

6

＋C

5

＋C

4

＝1＋7＋15＋10＋1＝34，

n

误；对于选项B，由图可知，当n≥5时，斜线上的数自左往右都是先增大后减小，故选项

2×2k＋1－(－1)

B正确；对于选项C，当n＝2k(k∈N*)时，斜线上有k个数，可表示为

，当

4

2×(2k＋1)＋1－(－1)

n＝2k＋1(k∈N)时，斜线上有k＋1个数，可表示为

4

2k＋1

2k

，且n＝1时也

1

符合，故选项C正确；对于选项D，在第11条斜线上，此时n＝5，各数分别为C

0

10

，C

9

，

3453

C

2

8

，C

7

，C

6

，C

5

，即为1，9，28，35，15，1，则最大的数为C

7

，故选项D正确；综上，答

案选BCD.

12．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B

在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s．测绘兴趣小组利用

测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各

5

组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC

【答案】ACD

【考点】

【解析】由题意，对于选项A，已知∠BCD，∠BDC，CD，

可由正弦定理解△BCD，即解出BC的长度，再由△ABC中， AB＝BC×tan∠ACB，即可求

得塔高AB的长度，故选项A正确；对于选项B，已知∠ACB，∠BCD，∠ACD，CD，不能

构成一个三角形中的3个条件，故不能求解塔高AB的长度，故选项B错误；对于选项C，

已知∠ACD，∠ADC，CD，可由正弦定理求解△ACD中的AC长度，再由△ABC中， AB

＝AC×sin∠ACB，即可求得塔高AB的长度，故选项C正确；对于选项D，已知∠ACB，∠

BCD，可求得∠ACD，则在△ACD中结合∠ADC和CD，利用正弦定理解得AC的长度，再

由△ABC中， AB＝AC×sin∠ACB，即可求得塔高AB的长度，故选项D正确；综上，答案

选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量X~N(2，



)，P(X＞0)＝0.9，则P(2＜X≤4)＝ .

【答案】0.4

【考点】正态分布的应用：求某一区间的概率

【解析】由题意可得μ＝2，P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.1，而P(X＞2)＝0.5，所以P(2＜X≤4)＝

P(X＞2)－P(X＞4)＝0.5－0.1＝0.4，故答案为0.4.

14．能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，

2].”是真命题的一个区间I为 .

【答案】答案不唯一，只要形如[a，2]或(a，2]，其中0≤a＜1的均正确.

【考点】分段函数的基本性质：单调性的应用



x

2

－x，x≥1

1

【解析】由题意函数f(x)可化为f(x)＝



2

，则可知函数f(x)在(－，

)上单调递

2



－x＋x，x＜1

2

6

111

增，在(，1)上单调递减，在(1，＋)上单调递增，且f(0)＝f(1)＝0，f(

)＝

＜2，f(2)＝2，

224

则I区间[0，2]符合题意，，故答案可为[0，2].

xy

15．已知椭圆C

1

:

2

＋

2

＝1(a＞b＞0)的右顶点为P，右焦点F与抛物线C

2

的焦点重合，C

2

的

ab

顶点与C

1

的中心O重合．若C

1

与C

2

相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C

1

的离心

率为 .

1

【答案】

3

【考点】椭圆的几何性质、椭圆与平面几何的综合应用

p

【解析】由题意可设抛物线C

2

的方程为y

2

＝2px(p＞0)，且椭圆C

1

的焦距为2c，所以c＝，

2

此时抛物线方程可化为

x

2

4cx

2

y＝4cx，与椭圆C

1

联立，得到

2

＋

2

＝1，因为四边形

ab

OAPB为菱

22

a12ac

形，所以x＝，代入化简可得＋

2

＝1，又a

2

－b

2

＝c

2

，所以8ac＝3b

2

＝3a

2

－3c

2

，则3e

2

24b

11

＋8e－3＝0，解得e＝，故答案为

.

33

16．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AC＝8，点P到底面ABC的距离为7．若点P，A，B，

C均在一个半径为5的球面上，则PA

＋PB＋PC的最小值为 .

【答案】198

【考点】立体几何的外接球、截面的长度问题

【解析】

法一：由题意，过点P作PQ⊥平面ABC，可得OA＝5，OA

1

＝4，则OO

1

＝3，OO

2

＝4，PQ

＝7，则L＝PA＋PB＋PC＝3PQ

2

＋QA

2

＋QB

2

＋QC

2

＝147＋QA

2

＋QB

2

＋QC

2

，

222

222

转化为平面问题：因为QA

2

＋QC

2

＝2(QO

1

2

＋AO

1

2

)＝2(9＋16)＝50，QB

min

＝4－3＝1，所以

QA

2

＋QB

2

＋QC

2

＝50＋QB

2

≥51，当且仅当QB＝1时取等号，此时L有最小值，为147＋51

＝198，故答案为198.

7