2024年5月20日发(作者：汪晴画)

整体的方法

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视

全局，我们就不会真正理解一个问题．

解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从

问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”

的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．

整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘

处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体

运用．

例题求解

【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式

庆市竞赛题)

思路点拨 原式=

2000(xyz)

，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．

x3y

2000x2000y2000z

的值为 ．(安

x3y

【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足

a

4

b

4

c

4

b

2

c

2

，

b

4

c

4

a

4

a

2

c

2

，

c

4

a

4

b

4

a

2

b

2

，

则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加

入手．

【例3】 已知

x

11994

，求多项式

(4x

3

1997x1994)

2002

的值．

2

思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得

2x11994

，两边平方有理化，可得到零值多项式，

整体代入求值．

【例4】如图，凸八边形A

l

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

A

8

中，∠A

l

=∠A

5

，∠A

2

=∠A

6

，∠A

3

=∠A

7

，∠A

4

=∠A

8

，试证明：

该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．

(山东省竞赛题)

思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可

知向外作辅助线，关键是证明对边平行．

【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否

经过有限次变换，使表中的数全变为正数?

思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符

号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．

注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，

更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．

从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．

学历训练

1．如果

x

2

x10

，则

x

3

2x

2

3

= ．

( “希望杯”邀请赛试题)

2．已知

x

2

x

2

2



1

132

，那么

(

11x

)(

2

x)

= ．

1x1x

x1

(2001年武汉市中考题)

3．已知

x

是实数，且满足

(河南省竞赛题)

4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，

∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=

3

，则该六边形ABCDEF的面积是 ．

5．已知

a

1

52

3

x2x

2

x

2

2x2

，那么

x

2

2x

的值是 ．

，

b

1

52

，则

a

2

b

2

7

的值为( )

A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考题)

6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5

支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )

A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元

(江苏省竞赛题)

7．已知a

1

，a

2

，…a

2002

均为正数，且满足M=( a

1

+ a

2

+…+ a

2001

)( a

2

+ a

3

+…+ a

2001

－a

2002

)，N＝(a

1

+ a

2

+…+ a

2001

－a

2002

) (a

2

+ a

3

+…+ a

2001

)，则M与N之间的关系是( )

A．M>N B．M

(2002年绍兴市竞赛题)

8．已知

ab5

，且

cb10

，则

a

2

b

2

c

2

abbcac

等于( )

A．105 D．100 C．75 D．50

(北京市竞赛题)

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，

使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值．

(江苏省竞赛题)

10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．

11．设

a

2

b

2

12

，

b

2

c

2

12

，则

a

4

b

4

c

4

a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

a

2

的值等于 ．

( “希望杯”邀请赛试题)

12．已知

x

2

xy3

，

xyy

2

2

，则

2x

2

xy3y

2

2= ．

(湖北省数学竞赛题)

13．若

x22

，

y22

，则

x

6

y

6

的值是 ．

14．正数x

1

、x

2

、x

3

、x

4

、x

5

、x

6

同时满足

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

xxxxxxxxxxxxxxx

1

，

13456

2

，

12456

3

，

12356

4

，

x

1

x

2

x

3

x

4

x

1

x

2

x

3

x

4

x

6

xxxxx

6

，

12345

9

，则x

1

+x

2

+x

3

+x

4

+x

5

+x

6

z的值为 ．

x

5

x

6

(上海市竞赛题)

15． 已知实数x，y满足xy+x+y= 9，

x

2

yxy

2

20

z，则

x

2

y

2

的值为( )

A．6 B．17 C ．1 D．6或17

16．如图，在四边形ABCD中，AB=4－

2

，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )

A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定 (重庆市竞赛题)

17．若实数a、b满足

a

2

8a50

，

b

2

8b50

，则

A－20 B．2 C．2或－20 D．2或20

18．设 a、b、c为实数，

xa

2

2b

b1a1

的值为( )



a1b1



3

，

yb

2

2c



6

，

zc

2

2a



2

，则x、y、z中至少有一个( )

A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零

(全国初中数学竞赛题)

19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=

6

，BC=5－

3

，CD=6，求AD的长．

20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续

相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图．



ax

2

bxc0



21．求系数a、b、c间的关系式，使方程



bx

2

cxa0

有实数解．



cx

2

axb0



22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱

要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?

(河南省竞赛题)

2024年5月20日发(作者：汪晴画)

整体的方法

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视

全局，我们就不会真正理解一个问题．

解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从

问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”

的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．

整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘

处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体

运用．

例题求解

【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式

庆市竞赛题)

思路点拨 原式=

2000(xyz)

，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．

x3y

2000x2000y2000z

的值为 ．(安

x3y

【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足

a

4

b

4

c

4

b

2

c

2

，

b

4

c

4

a

4

a

2

c

2

，

c

4

a

4

b

4

a

2

b

2

，

则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加

入手．

【例3】 已知

x

11994

，求多项式

(4x

3

1997x1994)

2002

的值．

2

思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得

2x11994

，两边平方有理化，可得到零值多项式，

整体代入求值．

【例4】如图，凸八边形A

l

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

A

8

中，∠A

l

=∠A

5

，∠A

2

=∠A

6

，∠A

3

=∠A

7

，∠A

4

=∠A

8

，试证明：

该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．

(山东省竞赛题)

思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可

知向外作辅助线，关键是证明对边平行．

【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否

经过有限次变换，使表中的数全变为正数?

思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符

号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．

注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，

更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．

从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．

学历训练

1．如果

x

2

x10

，则

x

3

2x

2

3

= ．

( “希望杯”邀请赛试题)

2．已知

x

2

x

2

2



1

132

，那么

(

11x

)(

2

x)

= ．

1x1x

x1

(2001年武汉市中考题)

3．已知

x

是实数，且满足

(河南省竞赛题)

4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，

∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=

3

，则该六边形ABCDEF的面积是 ．

5．已知

a

1

52

3

x2x

2

x

2

2x2

，那么

x

2

2x

的值是 ．

，

b

1

52

，则

a

2

b

2

7

的值为( )

A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考题)

6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5

支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )

A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元

(江苏省竞赛题)

7．已知a

1

，a

2

，…a

2002

均为正数，且满足M=( a

1

+ a

2

+…+ a

2001

)( a

2

+ a

3

+…+ a

2001

－a

2002

)，N＝(a

1

+ a

2

+…+ a

2001

－a

2002

) (a

2

+ a

3

+…+ a

2001

)，则M与N之间的关系是( )

A．M>N B．M

(2002年绍兴市竞赛题)

8．已知

ab5

，且

cb10

，则

a

2

b

2

c

2

abbcac

等于( )

A．105 D．100 C．75 D．50

(北京市竞赛题)

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，

使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值．

(江苏省竞赛题)

10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．

11．设

a

2

b

2

12

，

b

2

c

2

12

，则

a

4

b

4

c

4

a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

a

2

的值等于 ．

( “希望杯”邀请赛试题)

12．已知

x

2

xy3

，

xyy

2

2

，则

2x

2

xy3y

2

2= ．

(湖北省数学竞赛题)

13．若

x22

，

y22

，则

x

6

y

6

的值是 ．

14．正数x

1

、x

2

、x

3

、x

4

、x

5

、x

6

同时满足

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

xxxxxxxxxxxxxxx

1

，

13456

2

，

12456

3

，

12356

4

，

x

1

x

2

x

3

x

4

x

1

x

2

x

3

x

4

x

6

xxxxx

6

，

12345

9

，则x

1

+x

2

+x

3

+x

4

+x

5

+x

6

z的值为 ．

x

5

x

6

(上海市竞赛题)

15． 已知实数x，y满足xy+x+y= 9，

x

2

yxy

2

20

z，则

x

2

y

2

的值为( )

A．6 B．17 C ．1 D．6或17

16．如图，在四边形ABCD中，AB=4－

2

，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )

A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定 (重庆市竞赛题)

17．若实数a、b满足

a

2

8a50

，

b

2

8b50

，则

A－20 B．2 C．2或－20 D．2或20

18．设 a、b、c为实数，

xa

2

2b

b1a1

的值为( )



a1b1



3

，

yb

2

2c



6

，

zc

2

2a



2

，则x、y、z中至少有一个( )

A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零

(全国初中数学竞赛题)

19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=

6

，BC=5－

3

，CD=6，求AD的长．

20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续

相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图．



ax

2

bxc0



21．求系数a、b、c间的关系式，使方程



bx

2

cxa0

有实数解．



cx

2

axb0



22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱

要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?

(河南省竞赛题)