2024年5月21日发(作者：阚家骏)
第
4
卷
第
1
期
1
2023
年
2
月
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
JournalohenanormalUniversitNaturalScienceEdition
)
f
S
yg
N
y
(
Vol.41No.1
Feb.2023
()
文章编号
:
167358622
具有分布时滞的非线性广义系统
一致渐近稳定性准则
()
沈阳师范大学数学与系统科学学院
,
沈阳
110034
摘
要
:
针对一类具有分布时滞的非线性广义系统
,
利用李雅普诺夫第二方法和广义系统的
,
无脉冲的基础上
,
构造了新的增广
L
在
LaunovKrasovskii
泛函
(
L-K
泛函
)
-K
泛函中加入了三
yp
-
重积分项以获得更多的时滞信息
;
然后
,
对
L-K
泛函求导后产生的积分项应用边界估值更为精确
的
B
进行处理
,
利用
LesselLeendre
不等式
(
B-L
不等式
)
aunov
稳定性理论和线性矩阵不等式
gyp
-
给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则条件
;
最后
,
利用数值算例
,
通过
验证了所用方法的可行性和有效性
。
Matlab
中
LMI
工具箱求解
,
BesselLeendre
不等式
g
-
关
键
词
:
非线性广义系统
;
分布时滞
;
一致渐近稳定性准则
;
LaunovKrasovskii
泛函
;
yp
-
中图分类号
:
O231
文献标志码
:
A
孙
欣
,
李俊欣
受限等价变换
,
给出一致渐近稳定性准则
。
首先
,
在假设具有分布时滞的非线性广义系统是正则
、
:
1
/
doi
.16735862.2023.01.007
j
Uniformlsmtoticstabilitriterionforaclassofnonlinear
y
a
ypy
c
descritorsstemswithdistributeddela
pyy
SUNXin
,
LIJunxin
(,,)
ColleeofMathematicsandSstemsScienceShenanormalUniversitShenan10034
,
China
gyyg
N
yyg
1
:
T
Abstract
heuniformlsmtoticstabilitriterionforaclassofnonlineardescritorsstems
y
a
ypy
c
py
,
undertheassumtionthatthenonlineardescritor
pyypp
)
functional
(
L-Kfunctionalisconstructedinwhichtheadditionaldelanformationisobtainedb
y
i
y
,
ltheinteralterm
p
roducedb
g
t
pgygy
withdistributeddelasisdiscussedbaunov’ssecondmethodandthelimitedeuivalent
yy
L
ypq
,
sstemwithdistributeddelaisreularandimulsefreeanovelaumentedLaunovKrasovskii
yygpgyp
-
,
entltheuniformlsmtoticstabilitriterionforaclass
y
e
qyy
a
ypy
c
,
anumericalexamleis
p
rovidedtodemonstrate
yqyyp
ofnonlineardescritorsstemswithdistributeddelasisobtainedblinaunovstabilit
pyyy
a
ppyg
L
ypy
derivationofL-KfunctionalistreatedbesselLeendreineualitB-Lineualitithmore
y
B
gqy
(
qy
)
w
feasibilitndvaliditfthe
p
roosedmethodbirtueoftheLMItoolboxofMatlab.
y
a
y
o
py
v
;);
criterionLaunovKrasovskiifunctional
(
L-KfunctionalBesselLeendreineualit
ypgqy
--
:
n
;
d
;
u
Keords
onlineardescritorsstemsistributeddelaniformlsmtoticstabilit
pyyy
a
ypy
y
w
12
]
,
广义系统
[
也称为隐式系统
、
奇异系统或广义状态空间系统
,
频繁出现在一系列实际系统中
,
包
收稿日期
:
20221216
)。
基金项目
:
辽宁省教育厅科学研究经费项目
(
LJC202002
,
作者简介
:
孙
欣
(
女
,
辽宁沈阳人
,
沈阳师范大学教授
,
博士
。
1972
—)
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第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
37
、
括机器人电力系统
、
网络和经济系统
。
广义系统具有广泛的应用前景和深远的实际意义
,
因而引起国
内外众多学者的关注
。
目前
,
许多正常系统中的理论已成功扩展到相应的广义系统
,
例如可控性和可观
[]]
3
]
5
]
6
]
7
、、。
由于环境噪声
、
测性
[
鲁棒稳定性和镇定性
[
容许性
[
和最优控制
[
不确定
Launov
稳定性
4
、
yp
性或缓慢变化的参数在许多实际系统中广泛存在
,
因而非线性广义系统受到广泛关注
。
目前基于广义
89
]
。
系统的控制和系统理论中的大量基本概念和结果已成功扩展到非线性广义系统
[
时滞现象常常出现在各种工程
、
生物
、
机械和光学等系统中
,
而且是导致系统不稳定的主要原因
。
若系统中的时滞为过去一段时间系统变量的积分
,
这样的时滞称为分布时滞
。
分布时滞系统模型常用
于热力学
、
生态学或流行病学等领域
。
分布时滞具有在整个时滞区间的分散性影响
,
能够更精确地描述
[
10
]
系统
,
揭示事物变化的本质
。
Dinaunov
泛函方法和自由加权矩阵方法的非线性
g
等提出了基于
L
yp
]
广义时滞系统一致渐近稳定性准则
。
本文在文献
[
提出的非线性广义时滞系统中加入分布时滞
,
研
10
究具有分布时滞的非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则
。
[
1
]
、
估计有关
。
积分项估计常用的方法有模型变换法
、
自由矩阵法和积
Park
不等式法
1
Moon
不等式法
、
]
12
分不等式法
[
等
。
为了获得依赖于时滞的稳定条件
,
降低现有稳定性标准的保守性仍然是上述参考文
1314
]
献中的核心问题
。
在相关研究中
,
研究人员
[
通常使用
Jensen
积分不等式
、
Wirtiner
积分不等式
g
[
5
]
和辅助函数积分不等式来处理
L
提出了边界估值更为精
-K
函数导数生成的一些积分项
。
Seuret
等
1
非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则与
LaunovKrasovskii
泛函求导后产生的积分项的
yp
-
Jensen
不等式和
Wirtiner
不等式相比
,
B-L
不等式具有更小的保守性
。
受此启发
,
可以把
B-L
不等式
g
推广到具有分布时滞的非线性广义时滞系统
,
得到保守性更小的一致渐近稳定性准则
。
文献中尚未见
研究具有分布时滞的非线性广义系统的时滞依赖的一致渐近稳定性
,
这便是本文的工作动机
。
本文的主要工作是给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则
。
首先
,
假设系
统是正则
、
无脉冲的
,
在此基础上构造出一个新的增广型
L
然后
,
对
aunovKrasovskii
泛函
;
yp
-
LaunovKrasovskii
泛函求导后产生的积分项使用保守性更小的
BesselLeendre
不等式进行处理
,
ypg
--
有效地降低了结果的保守性
,
从而得到了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性判据
。
最
后
,
用数值例子验证了所用方法的可行性和有效性
。
nm
×
nnn
i
表
标记说明
全文中
,
表示
n
维向量空间
;
代表
m
×
R
C
表示复数域
;
R
n
实矩阵
;
R
+
×R→R
示从正实数和
n
维向量组成的乘积空间映射到一个
n
1
维向量
;
或
X
≥0
)
表示
X
是正定
(
或半正
X
>0
(
确的
BesselLeendre
不等式
,
并且利用所提出的不等式得到时滞系统保守性更小的稳定性条件
。
与
g
-
1
问题描述
定
)
矩阵
;
或
X
≥
表示
X
-
或半正定
)
矩阵
;
x
表示向量
x
的欧几里得范数
;
X
>
Y
(
Y
)
Y
是正定
(
I
代表适
(…)
维的单位矩阵
;
缩写
d
代表分块对角矩阵
。
ia
g
考虑具有分布时滞的非线性广义系统
t
ì
ï
̇
()()()),)),)
ï
Ex
t
=
Axt
+
A
1
x
t
-
h
+
A
2
x
(
s
d
s
+
F
t
x
(
tt
x
(
t
-
h
)
+
G
f
(
g
(
tτ
-
í
ï
)),(,]
î
x
(
ttt
∈
[
ax
h
,
τ
}
0
=
φ
(
-
m
∫
n
×
nn
×
nnnnn
1
,
2
为非线性系数
;
1
和
2
表示系统中的非线数
;
连续函数
f
:
F
∈R
G
∈RR
+
×R→R
R
+
×R→R
g
:
T2TT2T
,),))),,
性项
;
其中
t
0=0
,
t
0=0
满足如下范数界条件
:
α
x
(
t
x
(
tt
-
h
)
x
(
t
-
h
)
f
(
g
(
ff
≤
gg
≤
β
x
(
α
,
β
为正实数
。
nn
×
n
)
式中
:
是系统在时刻
t
的状态变量
;
矩阵
E
,
为已知的具有适当维数的常数矩
x
(
t
∈R
A
,
A
1
,
A
2
∈R
()
阵
,
且
r
是连续可微的向量值初始函
ank
E
)
=
r
≤
n
;
h
>0
,
τ
>0
分别为系统的常数时滞和分布时滞
;
t
φ
(
()
1
(,
则称矩阵对
(
是无脉冲的
。
-
A
)
=rank
E
)
E
,
A
)
)
是正则
、
无脉冲的
,
则称系统
(
是正则
、
无脉冲的
。
定义
2
若矩阵对
(
E
,
A
)
1
-
h
≤
t
≤0
[]
1
((
定义
1
使得行列式
d
则称矩阵对
(
是正则的
;
若
d
若存在
s
C
,
et
s
E
-
A
)
≠0
,
E
,
A
)
edet
sE
g
0
∈
0
))
≤
定义
3
如果系统
(
满足以下条件
:
正则且无脉冲
;
如果
∀
存在一个参数
x
(
使得对
1
ε
>0
,
t
ε
,
,
x
(
于任意可容的初始条件
,
满足
s
系统
(
的解
x
(
满足
t
)
u
t
)
≤
δ
(
ε
)
t
)
≤
ε
时
,
1
)
t
)
p
φ
(
φ
(
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38
t
→∞
[]
1
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
≤
)))
即那么称系统
(
是一致渐近稳定的
。
x
(
t
ε
,
lim
x
(
t
=0
,
1
I
é
ù
r
0
ú
,
GEH
=
ê
GAH
=
ê
ë
00
ú
û
n
×
n
,
引理
1
如果矩阵对
(
是正则
、
无脉冲的
,
那么存在
2
个可逆矩阵
G
,
使得
E
,
A
)
H
∈R
A
0
ùé
ê
1
ú
êú
ë
0
I
nr
û
-
()
2
[]
n
×
nn
,[,
参数
b
>
向量函数
x
:
则以下不等
引理
2
6
(
B-L
不等式
)
对于矩阵
R
∈R
R
>0
,
a
,
a
,
b
]
→R
式成立
:
其中
∫
b
a
))
x
T
(
s
Rx
(
s
d
s
≥
1357
TTTT
Ω
1
RΩ
1
+
Ω
2
RΩ
2
+
Ω
3
RΩ
3
+
Ω
4
RΩ
4
b
-
ab
-
ab
-
ab
-
a
()
3
其中
b
ì
ï
Ω
1
=
x
(),
s
d
s
ï
a
ï
bbb
2
ï
Ω
2
=-
x
())
s
d
s
+
x
(
s
d
s
d
θ
b
-
a
aθa
ï
ï
bbbbbb
612
ï
Ω
3
=
x
()))
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
θ
+
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
2
(
b
-
a
aθaauθ
b
-
a
)
ï
ï
bbbbbb
ï
1260
()())
í
Ω
4
=-
x
s
d
s
+
x
s
d
s
d
θ
-
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
+
2
()
ba
a
b
-
a
auθ
-
aθ
ï
ï
bbbb
20
)
ï
1
x
(
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
2
()
auθλ
ba
-
ï
ï
bb
216
T
T
̇̇
))
ï
x
T
(
s
Rx
(
s
d
s
d
u
≥
Ψ
1
+
Ψ
2
+
2
Ψ
1
R
2
Ψ
2
R
()()
au
baba
--
ï
ï
54128
TT
Ψ
3
+
Ψ
4
ï
(
2
Ψ
3
R
2
Ψ
4
R
(
î
b
-
a
)
b
-
a
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
()
4
),
Ψ
1
=
(
b
-
a
)
x
(
b
)
s
d
s
-
x
(
a
Ψ
2
Ψ
3
Ψ
4
2
主要结果
)
此处假设具有分布时滞的非线性广义系统
(
是正则
、
无脉冲的
。
1
∫
b
-
a
()
3
))
x
b
+
x
(
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
u
,
=
∫
∫∫
2
b
-
a
b
-
a
()
820
)))
x
b
-
x
(
s
d
s
+
x
(
s
d
s
d
u
-
x
(
s
d
s
d
λ
d
u
,
=
(
∫
∫∫
∫
∫∫
3
b
-
a
b
-
a
)
b
-
a
()
1590
)))
x
b
+
x
(
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
θ
+
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
-=
(
∫
∫∫
∫
∫∫
4
b
-
a
b
-
a
)
210
)
x
(
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
(
∫
∫∫∫
b
-
a
)
b
bbb
aau
bbbbbb
aau
2
auλ
bbb
aθ
bbb
auθa
2
bbbb
3
auθλ
)
n
×
(
n
-
r
,
并且满足
E
T
R
=0
,
若存在标量
ε
时滞
h
,
对称正定矩阵
P
>0
,
R
ε
0
,
τ
>0
,
0
,
T
0∈
1
,
2
>
i
>
i
>
Q
,
定理
考虑具有分布时滞的非线性广义系统
(
对于给定的标量
α
,
列满秩矩阵
R
∈
1
)
β
>0
,
Z
Z
é
12
ù
ú
,)
使得正定矩阵
Z
>0
,
适当维数的实矩阵
S
,
满足下面线性矩阵不等式
2
,
3
Z
=
ê
G
1
,
G
2
,
êú
ë
*
Z
3
û
Π
<
0
其中
é
W
1
W
2
ù
n
×
nn
×
nn
×
n
ú
,(,),((
矩阵
W
i
∈R
使得正定矩阵
W
>0
,
矩阵
Z
R
i
2
i
=1
,
2
,
3
)
W
=
ê
i
=1
,
i
∈R
j
=1
,
êú
ë
*
W
3
û
()
5
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第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
39
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
Π
=
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
123456789
ê
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
2
Π
223
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
33
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0
0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
44
Π
3
Π
3
Π
3
Π
35678
Π
5
Π
5
Π
5
Π
55678
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0000
0000
Π
29
Π
49
0
0
0
0
*
*
*
*
*
0
Π
1
,
10
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
11
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
12
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
13
Π
2
,
13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*
Π
4
,
10
Π
4
,
11
Π
4
,
12
Π
6
Π
6
Π
6678
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
7
Π
778
*
*
*
*
*
*
*
Π
88
*
*
*
*
*
*
Π
99
Π
1
Π
1
Π
10
,
100
,
110
,
12
*
*
*
*
Π
9
,
10
Π
9
,
11
Π
9
,
12
Π
1
Π
11
,
111
,
12
*
*
*
Π
12
,
12
*
*
Π
13
,
13
22
Π
1
E
T
PA
+
A
T
PE
+
Q
τ
Z
6
E
T
W
3
E
-
16
E
T
Z
E
+
SR
T
A
+
A
T
RS
T
+
1
=
1
+
Q
2
+
hW
1
+
1
-
1
3
22T2T
ε
α
I
-
10
hET
E
-
10
τ
ET
E
+
G
1
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+
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T
G
1112
T
TT
Π
1
,
14
ù
ú
Π
2
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14
ú
ú
0
ú
ú
0
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0
ú
ú
0
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ú
0
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
0
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0
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
Π
14
,
14
û
6060
T
T
360
T
Π
1
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T
W
2
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T
W
3
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-
10
hE
T
T
E
,
Π
1
EW
2
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2
E
T
W
3
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+
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T
T
E
5
=
16
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1
hh
h
360
T
T
840
T
1260
T
840
T
T
3360
T
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1
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E
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Π
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18
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1
2
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2
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3
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2
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2
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h
hhhh
60
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Π
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A
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1
A
2
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+
4
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0
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E
9
=
32
2
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1
τ
22T
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1
h
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2
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ZΠ
1
4
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T
W
3
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+
E
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PA
1
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1
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G
1
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1
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Z
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2
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G
2
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3
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3
1
+
A
G
60
T
T
360
T
360
T
T
840
T
1260
T
Π
1
,
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+
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E
T
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=
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2
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2
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τττ
840
T
T
3360
T
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1
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,
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1
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+
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+
G
1
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=-
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14
=
2
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3
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2
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44
hτ
TTT
Π
2
G
2
-
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h
W
3
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τ
ZTTΠ
2
G
2
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1
Π
2
G
2
A
2
,
Π
2
,
G
2
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3
+
1
+
2
,
3
=
9
=
13
=
44
T
2
22
120
T
TT
2
Π
2
,
G
2
G
,
Π
3
6
E
T
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3
E
+
ε
Π
3
16
E
T
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2
+
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3
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1
-
1
25
=
Q
β
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,
h
120
T
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480480
T
T
840
T
840
T
T
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3
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2
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2
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3
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,
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3
EΠ
36
=-
7
=
8
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2
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2
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3
EW
3
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2
h
hhhh
480
T
T
840
T
840
T
T
Π
4
,
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,
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4
,
11
=
312
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2
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2
2
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3
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3
EZ
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120
T
120
T
T
480
T
T
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T
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,
Π
4
16
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T
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E
,
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1
39
=
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3
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2
+
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τ
121200
T
T
Π
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2
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2
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E
T
W
3
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+
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E
6
=
1
hh
hhh
120
T
T
1200
Π
5
100
E
T
T
E
-
16
W
1
-
EW
2
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2
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T
W
3
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5
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1
h
h
4805400
T
T
84010080
T
6300
Π
5
E
-
E
-
2
E
T
T
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7
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1
2
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1
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3
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2
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3
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2
4
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3
hhhhh
84010080
T
T
13440
T
Π
5
E
8
=
1
3
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1
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4
EW
2
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3
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hhh
120016200
T
54
T
T
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6
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3
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T
W
2
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3
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2
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-
E
6
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1
2
W
1
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2
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4
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540025920
T
T
1008050400
T
90720
T
Π
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+
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+
E
7
=
1
3
W
1
+
4
EW
2
+
4
W
2
5
EW
3
3
ET
hhhhh
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
40
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
1008050400
T
T
201600
T
Π
6
ET
E
8
=-
1
4
W
1
-
5
EW
2
-
4
hhh
5
T
T
1209600
T
1
T
Π
7
EW
2
+
ET
E
,
Π
8
W
1
-
ET
E
8
=
18
=-
1
5
W
1
+
6566
hhhhh
120
T
T
1200
T
Π
9
100
E
T
T
E
-
16
Z
EZ
E
9
=-
21
-
3
2
-
2
EZ
τ
τ
25920529200
T
50400
T
T
5
T
Π
7
ET
E
-
E
-
EW
3
E
7
=-
1
4
W
1
-
45
EW
2
-
5
W
2
6
hhhhh
121200
T
T
Π
9
,
Z
1
+
2
E
T
Z
E
+
3
E
T
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+
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E
10
=
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2
+
2
Z
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τττ
4805400
T
T
84010080
T
6300
Π
9
,
E
-
EZ
E
-
2
E
T
T
E
11
=-
1
-
232
2
-
2
Z
3
EZ
3
Z
4
τττττ
84010080
T
T
13440
T
Π
9
,
EZET
E
12
=
1
+
2
2
+
3
Z
43
τττ
120016200
T
54
T
T
Π
1
ET
E
-
3
E
T
Z
E
-
EZ
E
0
,
10
=-
1
-
223
2
-
2
Z
23
Z
4
τττττ
540025920
T
T
1008050400
T
90720
T
Π
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E
Z
E
+
ET
E
0
,
11
=
1
+
232
2
+
3
Z
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1008050400
T
T
201600
T
Π
1
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E
0
,
12
=-
1
-
2
2
-
454
τττ
25920529200
T
50400
T
T
5
T
Π
1
ZET
E
-
EZZ
E
-
EZ
E
1
,
11
=-
1
-
223
2
-
44556
τττττ
5
T
T
1209600
T
1
T
Π
1
ZEZET
E
,
Π
1
ZET
E
1
,
12
=
1
+
22
,
12
=-
1
-
2
2
+
56566
τττττ
)
则具有分布时滞的非线性广义系统
(
是一致渐近稳定的
。
1
τ
320
,
τ
1590210
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e
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e
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7
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-
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+
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11
-
12
3
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3
τ
4
τ
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,…,
)
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0
I
0
i
=
1
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2
,
14
i
=
[
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1
)
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,
n
,
n
14
i
n
]
×
(
-×
(
-
)
证明
首先证明具有分布时滞的非线性广义系统
(
是稳定的
。
1
췍
,
췍
,
根据引理
1
知
,
一定存在
2
个非奇异矩阵
M
使得
N
h
1590210
,
τ
3
Γe
e
ee
τee
Γe
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e
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1
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5
-
6
+
2
7
-
8
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,
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1
+
9
-
10
3
e
4
h
2
τ
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h
3
,
h
320
Π
1
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,
Π
1
εI
,
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hee
Γe
e
ee
e
ee
3
,
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14
,
14
=-
21
=
1
-
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,
2
=
1
+
5
-
6
Γ
3
=
1
-
5
+
6
-
2
7
2
h
3
h
h
I
0
ù
é
ú
,
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M
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M
췍췍
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û
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A
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T
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ù
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T
222
û
()
6
令
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111
T
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ù
211
111
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T
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T
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T
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êúêúê
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ú
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M
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M
2
M
úê
췍췍
P
2
P
2
TT
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12
û
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T
122
û
221
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췍
1
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é
A
é
A
é
W
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ù
211212
ù
1112
ù
T
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1
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1
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췍
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ê
췍
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21
=
1
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췍췍췍
A
1
A
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W
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A
1
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A
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W
12122
û
2122
û
2122
û
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2
췍
2
췍
3
췍
3
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WWS
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W
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W
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1112
ù
1112
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11
ù
T
11
T
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T
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2
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2
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M
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W
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W
3
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û
2122
û
21
û
췍췍췍췍
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é
0
ù
111
Z
112
ù
211
Z
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ù
T
ê
TT
1
-
êúêú
췍췍췍췍췍췍췍
ú
,
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ê
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ú
,
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ê
췍
Z
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=
NZ
2
M
úêú
췍췍췍
ZZ
ë
H
û
ëë
121
Z
122
û
221
Z
222
û
췍췍췍췍
ZFG
ééé
311
Z
312
ù
11
ù
11
ù
1
-
T
-
êúêúê
췍췍췍췍췍췍췍
,,
ZZF
=
MF
=
ê
췍
ú
G
=
MG
=
ê
췍
ú
=
ê
췍
3
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M
3
M
úú
췍
Z
ëë
F
1
ë
G
1321
Z
322
û
2
û
2
û
0
ù
췍췍
-
T
G
1
N
췍
,
췍췍
-
T
G
1
M
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-
1
,
췍
=
M
췍
-
T
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=
é
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GGR
1
=
M
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=
M
ê
췍
ú
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H
û
()
7
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第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
41
))
n
-
r
×
(
n
-
r
췍
∈R
(
其中
H
是非奇异矩阵
。
设
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x
(),
t
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x
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,
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∫
s
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∫
∫
∫∫
∫
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ttttttt
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tτuθλ
-
∫
t
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x
(
s
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s
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θ
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x
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s
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s
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u
,
∫
∫
∫
∫∫
ttttt
thθ
-
thuθ
-
,)),,)
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x
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x
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1
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1
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(
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5
(
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)
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)
t
)
t
)
t
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8
()
9
V
2
(
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3
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2
h
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V
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x
t
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5
∫
∫
t
h
-
t
2
t
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x
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1
Q
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W
2
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x
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-
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2
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42
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
1260120
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11
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(
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x
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t
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(
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(
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T
T
̇
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T
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(
tG
2
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))))))
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T
(
t
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=
2
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2
+
2
T
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21
[
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和式
(
将式
(
和式
(
的左边和右边分别加
由式
(
15~
式
(
1920~
式
(
2215~
式
(
1920~
式
(
22
̇
(
到
V
中可得到
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t
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(
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1
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A
2
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-
h
)
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(
g
(
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x
(
t
tτ
-
()
22
第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
43
T
̇
()))
成立
,
则
V
由定理的条件即式
(
5
x
≤
t
Π
t
<0
成立
。
t
)
ξ
(
ξ
(
T
̇
())
V
x
t
Π
t
≤
ξ
(
t
)
ξ
(()
23
)
系统
(
是一致渐近稳定的
。
1
)
因此
,
具有分布时滞的非线性广义系统
(
是稳定的
。
下面将通过广义系统的受限等价变换来证明
1
()
é
ζ
1
t
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n
-
r
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,
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r
,
2
(),)
现在
,
让
ζ
(
其中
ζ
系统
(
可以写成
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=
Nx
(
t
=
ê
t
∈R1
1
t
∈R
ζ
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()
t
ζ
ëû
2
))
与系统
(
是等价的
。
由广义系统受限等价变换知系统
(
124
췍
)))
将
x
(
代入式
(
得到
t
=
N
t
8
ζ
(
췍
̇
췍췍췍
))
E
ttt
-
h
)
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A
+
A
+
A
12
ζ
(
ζ
(
ζ
(
췍췍
),)),)
s
d
s
+
F
tttt
-
h
)
+
G
f
(
g
(
ζ
(
ζ
(
∫
ζ
(
t
tτ
-
()
24
)
V
1
()(
t
))(
t
))
V
(
+
V
3
(
+
V
5
(
ζζζζ
t
=
t
+
V
2
ζ
t
+
V
4
ζ
t
))
与式
(
类似地可以获得
14~
式
(
23
T
̇
(
췍췍
()
췍
(
t
))
V
Π
ζξζ
t
≤
ξζ
t
<
0
()
25
()
26
췍
(
̇
)
c
),),,,
ζ
(),
ol
ζ
(
t
E
tt
-
h
)
t
-
τ
)
s
d
s
ξζζ
(
ζ
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(
t
=
th
-
t
{
),))
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
,
ζ
(
d
s
s
d
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θ
,
s
d
s
d
θ
d
u
,
ζ
(
ζ
(
ζ
(
∫
∫∫∫
∫
s
)
∫
∫
∫
∫∫
ttttttttt
thuθλ
-
tttt
tτ
-
tτθ
-
tτuθ
-
∫
t
∫
∫
tt
thθ
-
)
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θ
,
ζ
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u
,
ζ
(
∫
∫∫
ttt
thuθ
-
类似地
,
∫
t
0
T
췍췍
()
2
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V
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ζ
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≤
V
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λ
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0
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0
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V
(
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n
(
11
)
11
ζζ
(
ζ
ζ
(
1
t
1
t
P
1
t
-
V
ζ
0
ζ
(
),)),,)
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
,
tttt
-
h
)
f
(
g
(
ζ
(
ζ
(
ζ
(
}
∫
∫∫∫
tτuθλ
-
̇
())
Vs
d
s
≤-
λ
1
ζ
(
∫
t
0
)
2
d
s
s
≤-
λ
1
ζ
(
∫
t
0
()
2
d
s
<
0
ζ
1
s
当
λ
有
λ
ma
Π
)
>0
时
,
1
=-
x
(
)
由式
(
很容易得到
28
0
≤
췍
()
2
-
V
())
≤-
λ
λ
mi
P
0
n
(
11
)
1
ζζ
(
1
t
∫
t
0
()
2
d
s
<
0
ζ
2
s
()
27
()
28
()
29
()
30
()
31
∫
t
0
11
()
2
d
)),
ζ
()
2
d
))
s
≤
V
(
0
s
≤
V
(
0
ζζ
(
ζ
(
1
s
2
s
λλ
0
11
t
췍
-1
))
可以得到
根据
ζ
(
t
=
Nx
(
t
故
()
0
,()
0
limlim
ζζ
1
t
=
2
t
=
t
→
∞
t
→
∞
∫
)()
lim
x
ti
=
1
,
2
=
0
i
(
t
→
∞
)
则由定义
3
可知
,
系统
(
一致渐近稳定
。
证毕
。
1
)
lim
x
(
t
=
0
t
→
∞
并不多见
。
定理构造了一个新的
L
为了增加时滞信息
,
在泛函中增加了双重
aunovKrasovskii
泛函
,
yp
-
结果具有较小的保守性
。
Leendre
不等式进行处理
,
g
注释
定理给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则
,
到目前为止
,
这类判据
积分项和三重积分项
,
在处理由
L
应用了边界估值较为精确的
B-K
泛函求导后产生的积分项时
,
essel
-
3
数值算例
):
例
考虑如下具有分布时滞的非线性广义系统
(
1
其中
t
ì
ï
̇
))),)),)
ï
Ex
(
tx
(
t
x
(
t
-
h
)
s
d
s
+
F
t
x
(
tt
x
(
t
-
h
)
=
A
+
A
1
+
A
2
x
(
+
G
f
(
g
(
tτ
-
í
ï
)),{,]
î
x
(
ttt
∈
[
ax
h
,
τ
}
0
=
φ
(
-
m
∫
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44
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
8876
-
0.0805
ùé
-
0.
ú
,
F
=
ê
êú
G
=
9591
-
0.
7514
ûë
-
0.
选择
R
=
[
01
]
T
。
在本例中
,
10
ù
30120.1257
ù
é
é
-
0.
ú
,
êú
,
E
=
ê
AA
1
=
=
êêú
00
û
2351
-
1.0998
ú
ëë
0.
û
1.1965
-
0.7897
ùé
êú
êú
0348 0.
9169
ûë
-
0.
1.0
é
ê
-
ê
ë
0
0
ù
ú
,
A
2
=
2
ú
û
-
0.
00.4
ù
é
êú
ê
10
ú
ëû
)
当
h
=0.
一致渐近稳定的分布时滞上界
τ
1
时
,
保证系统
(
10.242
;
max
=
有效
。
)
当
τ
=0.
一致渐近稳定的常数时滞上界
h
ma
1
时
,
保证系统
(
10.361
。
x
=
,
数值算例表明
,
针对具有分布时滞的非线性广义系统
(
定理有可行性解
,
说明所用方法可行
1
)
4
结
语
系统进行控制
。
参考文献
:
本文针对具有分布时滞的非线性广义系统
,
得到一个一致渐近稳定性准则
,
数值例子说明了所提出
方法的有效性
。
以后
,
可以考虑设计状态反馈控制器或输出反馈控制器对具有分布时滞的非线性广义
[[:,
1
]
rcontrolsstemsM
]
.NewYorkSrinerVerla1989.
gypgg
-
[
杨冬梅
,
姚波
,
张庆灵
.
广义系统
[
2
]
M
]
.
北京
:
科学出版社
,
2004.
[],():
tica2001
,
371118671872.
[,
3
]
observabilitndimulsecontrollabilitflineartimevarininularsstems
py
a
py
o
yg
s
gy
-
[[],
4
]
ISHIHARA
,
JOAOY
,
utomatContr
ypgy
[,
5
]
XUSDOORENP
,
stabilitndstabilizationforsinularsstemswithstatedeland
y
a
gyy
a
[]
孙欣
,
于姗姗
.
基于
B
自然科学版
,
6
]
esselLeendre
不等式的连续广义时滞系统容许性条件
[
J.
沈阳大学学报
:
g
-
[
7
]
SHIZ
,
controlforaclassofcomlexsinularsstembasedonadativednamic
p
rorammin
ppgypygg
[
8
]
WUYB
,
ZHANGHX
,
obuststabilitonditionforuncertainsstemswithintervaltimevarin
y
c
yyg
-
[
9
]
RAMAKRISHNANK
,
nedeendentstabilitriterionforintervaltimedelastemswith
ygpy
c
y
s
y
---
[]
10DINGY
,
ZHONGS
,
anedeendentuniformlsmtoticstabilitriterionforaclassof
ygpy
a
ypy
c
--
[]]
龚冠桦
,
赵南
,
刘臻臻
,
等
.
基于
P
工程技术版
,
11ark
积分不等式线性时滞广义系统稳定性分析
[
J.
青岛大学学报
:
[],
12LIYZ
,
HEY
,
bilitriteriaofsinularsstemswithtimevarinelaiafreematrixbased
y
c
gyyg
d
y
v
---
[]
13HIENLV
,
VULH
,
ddeladeendentexonentialstabilitfsinularsstemswithmixed
pyppy
o
gy
-
[]:
A14SEURETA
,
erbasedinteralineualitlicationtotimedelastems
[
J
]
.
ggqyppy
s
y
--
[]]
15SEURETA
,
chfLMIconditionsforthestabilitnalsisoftimedelastems
[
J.
y
o
y
a
yy
s
y
-
SYSTControlLETT
,
2015
,
81
:
17.
,():
Automatica2013
,
49928602866.
[]():
trolTheor2015
,
9913641372.
yg
d
yy
A
,
-
[],(///):
tSci2018
,
49567810321039.
gqyy
():
2017
,
3221721.
[],():
earAnalReal2011
,
.
gy
-
[]():
nonlinear
p
,
2011
,
81141146.
[],():
delandnonlinear
p
tomControl2020
,
14198114.
y
a
[],():
2019
,
61188197.
():
2020
,
322173178.
[],():
utomatContr2002
,
47711221128.
py
():
2002
,
471119261930.
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
2024年5月21日发(作者：阚家骏)
第
4
卷
第
1
期
1
2023
年
2
月
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
JournalohenanormalUniversitNaturalScienceEdition
)
f
S
yg
N
y
(
Vol.41No.1
Feb.2023
()
文章编号
:
167358622
具有分布时滞的非线性广义系统
一致渐近稳定性准则
()
沈阳师范大学数学与系统科学学院
,
沈阳
110034
摘
要
:
针对一类具有分布时滞的非线性广义系统
,
利用李雅普诺夫第二方法和广义系统的
,
无脉冲的基础上
,
构造了新的增广
L
在
LaunovKrasovskii
泛函
(
L-K
泛函
)
-K
泛函中加入了三
yp
-
重积分项以获得更多的时滞信息
;
然后
,
对
L-K
泛函求导后产生的积分项应用边界估值更为精确
的
B
进行处理
,
利用
LesselLeendre
不等式
(
B-L
不等式
)
aunov
稳定性理论和线性矩阵不等式
gyp
-
给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则条件
;
最后
,
利用数值算例
,
通过
验证了所用方法的可行性和有效性
。
Matlab
中
LMI
工具箱求解
,
BesselLeendre
不等式
g
-
关
键
词
:
非线性广义系统
;
分布时滞
;
一致渐近稳定性准则
;
LaunovKrasovskii
泛函
;
yp
-
中图分类号
:
O231
文献标志码
:
A
孙
欣
,
李俊欣
受限等价变换
,
给出一致渐近稳定性准则
。
首先
,
在假设具有分布时滞的非线性广义系统是正则
、
:
1
/
doi
.16735862.2023.01.007
j
Uniformlsmtoticstabilitriterionforaclassofnonlinear
y
a
ypy
c
descritorsstemswithdistributeddela
pyy
SUNXin
,
LIJunxin
(,,)
ColleeofMathematicsandSstemsScienceShenanormalUniversitShenan10034
,
China
gyyg
N
yyg
1
:
T
Abstract
heuniformlsmtoticstabilitriterionforaclassofnonlineardescritorsstems
y
a
ypy
c
py
,
undertheassumtionthatthenonlineardescritor
pyypp
)
functional
(
L-Kfunctionalisconstructedinwhichtheadditionaldelanformationisobtainedb
y
i
y
,
ltheinteralterm
p
roducedb
g
t
pgygy
withdistributeddelasisdiscussedbaunov’ssecondmethodandthelimitedeuivalent
yy
L
ypq
,
sstemwithdistributeddelaisreularandimulsefreeanovelaumentedLaunovKrasovskii
yygpgyp
-
,
entltheuniformlsmtoticstabilitriterionforaclass
y
e
qyy
a
ypy
c
,
anumericalexamleis
p
rovidedtodemonstrate
yqyyp
ofnonlineardescritorsstemswithdistributeddelasisobtainedblinaunovstabilit
pyyy
a
ppyg
L
ypy
derivationofL-KfunctionalistreatedbesselLeendreineualitB-Lineualitithmore
y
B
gqy
(
qy
)
w
feasibilitndvaliditfthe
p
roosedmethodbirtueoftheLMItoolboxofMatlab.
y
a
y
o
py
v
;);
criterionLaunovKrasovskiifunctional
(
L-KfunctionalBesselLeendreineualit
ypgqy
--
:
n
;
d
;
u
Keords
onlineardescritorsstemsistributeddelaniformlsmtoticstabilit
pyyy
a
ypy
y
w
12
]
,
广义系统
[
也称为隐式系统
、
奇异系统或广义状态空间系统
,
频繁出现在一系列实际系统中
,
包
收稿日期
:
20221216
)。
基金项目
:
辽宁省教育厅科学研究经费项目
(
LJC202002
,
作者简介
:
孙
欣
(
女
,
辽宁沈阳人
,
沈阳师范大学教授
,
博士
。
1972
—)
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
37
、
括机器人电力系统
、
网络和经济系统
。
广义系统具有广泛的应用前景和深远的实际意义
,
因而引起国
内外众多学者的关注
。
目前
,
许多正常系统中的理论已成功扩展到相应的广义系统
,
例如可控性和可观
[]]
3
]
5
]
6
]
7
、、。
由于环境噪声
、
测性
[
鲁棒稳定性和镇定性
[
容许性
[
和最优控制
[
不确定
Launov
稳定性
4
、
yp
性或缓慢变化的参数在许多实际系统中广泛存在
,
因而非线性广义系统受到广泛关注
。
目前基于广义
89
]
。
系统的控制和系统理论中的大量基本概念和结果已成功扩展到非线性广义系统
[
时滞现象常常出现在各种工程
、
生物
、
机械和光学等系统中
,
而且是导致系统不稳定的主要原因
。
若系统中的时滞为过去一段时间系统变量的积分
,
这样的时滞称为分布时滞
。
分布时滞系统模型常用
于热力学
、
生态学或流行病学等领域
。
分布时滞具有在整个时滞区间的分散性影响
,
能够更精确地描述
[
10
]
系统
,
揭示事物变化的本质
。
Dinaunov
泛函方法和自由加权矩阵方法的非线性
g
等提出了基于
L
yp
]
广义时滞系统一致渐近稳定性准则
。
本文在文献
[
提出的非线性广义时滞系统中加入分布时滞
,
研
10
究具有分布时滞的非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则
。
[
1
]
、
估计有关
。
积分项估计常用的方法有模型变换法
、
自由矩阵法和积
Park
不等式法
1
Moon
不等式法
、
]
12
分不等式法
[
等
。
为了获得依赖于时滞的稳定条件
,
降低现有稳定性标准的保守性仍然是上述参考文
1314
]
献中的核心问题
。
在相关研究中
,
研究人员
[
通常使用
Jensen
积分不等式
、
Wirtiner
积分不等式
g
[
5
]
和辅助函数积分不等式来处理
L
提出了边界估值更为精
-K
函数导数生成的一些积分项
。
Seuret
等
1
非线性广义时滞系统的一致渐近稳定性准则与
LaunovKrasovskii
泛函求导后产生的积分项的
yp
-
Jensen
不等式和
Wirtiner
不等式相比
,
B-L
不等式具有更小的保守性
。
受此启发
,
可以把
B-L
不等式
g
推广到具有分布时滞的非线性广义时滞系统
,
得到保守性更小的一致渐近稳定性准则
。
文献中尚未见
研究具有分布时滞的非线性广义系统的时滞依赖的一致渐近稳定性
,
这便是本文的工作动机
。
本文的主要工作是给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则
。
首先
,
假设系
统是正则
、
无脉冲的
,
在此基础上构造出一个新的增广型
L
然后
,
对
aunovKrasovskii
泛函
;
yp
-
LaunovKrasovskii
泛函求导后产生的积分项使用保守性更小的
BesselLeendre
不等式进行处理
,
ypg
--
有效地降低了结果的保守性
,
从而得到了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性判据
。
最
后
,
用数值例子验证了所用方法的可行性和有效性
。
nm
×
nnn
i
表
标记说明
全文中
,
表示
n
维向量空间
;
代表
m
×
R
C
表示复数域
;
R
n
实矩阵
;
R
+
×R→R
示从正实数和
n
维向量组成的乘积空间映射到一个
n
1
维向量
;
或
X
≥0
)
表示
X
是正定
(
或半正
X
>0
(
确的
BesselLeendre
不等式
,
并且利用所提出的不等式得到时滞系统保守性更小的稳定性条件
。
与
g
-
1
问题描述
定
)
矩阵
;
或
X
≥
表示
X
-
或半正定
)
矩阵
;
x
表示向量
x
的欧几里得范数
;
X
>
Y
(
Y
)
Y
是正定
(
I
代表适
(…)
维的单位矩阵
;
缩写
d
代表分块对角矩阵
。
ia
g
考虑具有分布时滞的非线性广义系统
t
ì
ï
̇
()()()),)),)
ï
Ex
t
=
Axt
+
A
1
x
t
-
h
+
A
2
x
(
s
d
s
+
F
t
x
(
tt
x
(
t
-
h
)
+
G
f
(
g
(
tτ
-
í
ï
)),(,]
î
x
(
ttt
∈
[
ax
h
,
τ
}
0
=
φ
(
-
m
∫
n
×
nn
×
nnnnn
1
,
2
为非线性系数
;
1
和
2
表示系统中的非线数
;
连续函数
f
:
F
∈R
G
∈RR
+
×R→R
R
+
×R→R
g
:
T2TT2T
,),))),,
性项
;
其中
t
0=0
,
t
0=0
满足如下范数界条件
:
α
x
(
t
x
(
tt
-
h
)
x
(
t
-
h
)
f
(
g
(
ff
≤
gg
≤
β
x
(
α
,
β
为正实数
。
nn
×
n
)
式中
:
是系统在时刻
t
的状态变量
;
矩阵
E
,
为已知的具有适当维数的常数矩
x
(
t
∈R
A
,
A
1
,
A
2
∈R
()
阵
,
且
r
是连续可微的向量值初始函
ank
E
)
=
r
≤
n
;
h
>0
,
τ
>0
分别为系统的常数时滞和分布时滞
;
t
φ
(
()
1
(,
则称矩阵对
(
是无脉冲的
。
-
A
)
=rank
E
)
E
,
A
)
)
是正则
、
无脉冲的
,
则称系统
(
是正则
、
无脉冲的
。
定义
2
若矩阵对
(
E
,
A
)
1
-
h
≤
t
≤0
[]
1
((
定义
1
使得行列式
d
则称矩阵对
(
是正则的
;
若
d
若存在
s
C
,
et
s
E
-
A
)
≠0
,
E
,
A
)
edet
sE
g
0
∈
0
))
≤
定义
3
如果系统
(
满足以下条件
:
正则且无脉冲
;
如果
∀
存在一个参数
x
(
使得对
1
ε
>0
,
t
ε
,
,
x
(
于任意可容的初始条件
,
满足
s
系统
(
的解
x
(
满足
t
)
u
t
)
≤
δ
(
ε
)
t
)
≤
ε
时
,
1
)
t
)
p
φ
(
φ
(
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38
t
→∞
[]
1
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
≤
)))
即那么称系统
(
是一致渐近稳定的
。
x
(
t
ε
,
lim
x
(
t
=0
,
1
I
é
ù
r
0
ú
,
GEH
=
ê
GAH
=
ê
ë
00
ú
û
n
×
n
,
引理
1
如果矩阵对
(
是正则
、
无脉冲的
,
那么存在
2
个可逆矩阵
G
,
使得
E
,
A
)
H
∈R
A
0
ùé
ê
1
ú
êú
ë
0
I
nr
û
-
()
2
[]
n
×
nn
,[,
参数
b
>
向量函数
x
:
则以下不等
引理
2
6
(
B-L
不等式
)
对于矩阵
R
∈R
R
>0
,
a
,
a
,
b
]
→R
式成立
:
其中
∫
b
a
))
x
T
(
s
Rx
(
s
d
s
≥
1357
TTTT
Ω
1
RΩ
1
+
Ω
2
RΩ
2
+
Ω
3
RΩ
3
+
Ω
4
RΩ
4
b
-
ab
-
ab
-
ab
-
a
()
3
其中
b
ì
ï
Ω
1
=
x
(),
s
d
s
ï
a
ï
bbb
2
ï
Ω
2
=-
x
())
s
d
s
+
x
(
s
d
s
d
θ
b
-
a
aθa
ï
ï
bbbbbb
612
ï
Ω
3
=
x
()))
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
θ
+
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
2
(
b
-
a
aθaauθ
b
-
a
)
ï
ï
bbbbbb
ï
1260
()())
í
Ω
4
=-
x
s
d
s
+
x
s
d
s
d
θ
-
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
+
2
()
ba
a
b
-
a
auθ
-
aθ
ï
ï
bbbb
20
)
ï
1
x
(
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
2
()
auθλ
ba
-
ï
ï
bb
216
T
T
̇̇
))
ï
x
T
(
s
Rx
(
s
d
s
d
u
≥
Ψ
1
+
Ψ
2
+
2
Ψ
1
R
2
Ψ
2
R
()()
au
baba
--
ï
ï
54128
TT
Ψ
3
+
Ψ
4
ï
(
2
Ψ
3
R
2
Ψ
4
R
(
î
b
-
a
)
b
-
a
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
()
4
),
Ψ
1
=
(
b
-
a
)
x
(
b
)
s
d
s
-
x
(
a
Ψ
2
Ψ
3
Ψ
4
2
主要结果
)
此处假设具有分布时滞的非线性广义系统
(
是正则
、
无脉冲的
。
1
∫
b
-
a
()
3
))
x
b
+
x
(
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
u
,
=
∫
∫∫
2
b
-
a
b
-
a
()
820
)))
x
b
-
x
(
s
d
s
+
x
(
s
d
s
d
u
-
x
(
s
d
s
d
λ
d
u
,
=
(
∫
∫∫
∫
∫∫
3
b
-
a
b
-
a
)
b
-
a
()
1590
)))
x
b
+
x
(
s
d
s
-
x
(
s
d
s
d
θ
+
x
(
s
d
s
d
θ
d
u
-=
(
∫
∫∫
∫
∫∫
4
b
-
a
b
-
a
)
210
)
x
(
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
(
∫
∫∫∫
b
-
a
)
b
bbb
aau
bbbbbb
aau
2
auλ
bbb
aθ
bbb
auθa
2
bbbb
3
auθλ
)
n
×
(
n
-
r
,
并且满足
E
T
R
=0
,
若存在标量
ε
时滞
h
,
对称正定矩阵
P
>0
,
R
ε
0
,
τ
>0
,
0
,
T
0∈
1
,
2
>
i
>
i
>
Q
,
定理
考虑具有分布时滞的非线性广义系统
(
对于给定的标量
α
,
列满秩矩阵
R
∈
1
)
β
>0
,
Z
Z
é
12
ù
ú
,)
使得正定矩阵
Z
>0
,
适当维数的实矩阵
S
,
满足下面线性矩阵不等式
2
,
3
Z
=
ê
G
1
,
G
2
,
êú
ë
*
Z
3
û
Π
<
0
其中
é
W
1
W
2
ù
n
×
nn
×
nn
×
n
ú
,(,),((
矩阵
W
i
∈R
使得正定矩阵
W
>0
,
矩阵
Z
R
i
2
i
=1
,
2
,
3
)
W
=
ê
i
=1
,
i
∈R
j
=1
,
êú
ë
*
W
3
û
()
5
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
39
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
Π
=
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
1
Π
123456789
ê
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
2
Π
223
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
33
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0
0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
44
Π
3
Π
3
Π
3
Π
35678
Π
5
Π
5
Π
5
Π
55678
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0000
0000
Π
29
Π
49
0
0
0
0
*
*
*
*
*
0
Π
1
,
10
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
11
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
12
0
0
0
0
0
0
Π
1
,
13
Π
2
,
13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*
Π
4
,
10
Π
4
,
11
Π
4
,
12
Π
6
Π
6
Π
6678
*
*
*
*
*
*
*
*
Π
7
Π
778
*
*
*
*
*
*
*
Π
88
*
*
*
*
*
*
Π
99
Π
1
Π
1
Π
10
,
100
,
110
,
12
*
*
*
*
Π
9
,
10
Π
9
,
11
Π
9
,
12
Π
1
Π
11
,
111
,
12
*
*
*
Π
12
,
12
*
*
Π
13
,
13
22
Π
1
E
T
PA
+
A
T
PE
+
Q
τ
Z
6
E
T
W
3
E
-
16
E
T
Z
E
+
SR
T
A
+
A
T
RS
T
+
1
=
1
+
Q
2
+
hW
1
+
1
-
1
3
22T2T
ε
α
I
-
10
hET
E
-
10
τ
ET
E
+
G
1
A
+
A
T
G
1112
T
TT
Π
1
,
14
ù
ú
Π
2
,
14
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
Π
14
,
14
û
6060
T
T
360
T
Π
1
4
E
T
W
2
+
E
T
W
3
E
-
10
hE
T
T
E
,
Π
1
EW
2
-
2
E
T
W
3
E
+
180
E
T
T
E
5
=
16
=-
1
hh
h
360
T
T
840
T
1260
T
840
T
T
3360
T
Π
1
E
-
ET
E
,
Π
1
E
7
=
18
=-
1
2
EW
2
+
3
EW
3
3
EW
2
+
2
ET
h
hhhh
60
TT
Π
1
E
T
PA
2
+
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T
A
2
+
G
1
A
2
+
E
T
Z
E
+
4
E
T
Z
0
τE
T
T
E
9
=
32
2
-
1
τ
22T
Π
1
h
W
2
+
τ
ZΠ
1
4
E
T
W
3
E
+
E
T
PA
1
+
SR
T
A
1
+
G
1
A
1
,
Π
1
4
E
T
Z
E
2
=
2
-
G
2
,
3
=-
4
=-
3
1
+
A
G
60
T
T
360
T
360
T
T
840
T
1260
T
Π
1
,
EZ
E
+
180
E
T
T
E
,
Π
1
,
E
-
ET
E
10
=-
3211
=
32
2
-
2
+
2
EZ
2
EZ
3
EZ
ττ
τττ
840
T
T
3360
T
TT
Π
1
,
E
,
Π
1
,
E
T
PF
+
SR
T
F
+
G
1
FΠ
1
,
E
T
PG
+
SR
T
G
+
G
1
G
12
=-
213
=
14
=
2
+
3
EZ
2
ET
ττ
44
hτ
TTT
Π
2
G
2
-
G
+
h
W
3
+
τ
ZTTΠ
2
G
2
A
1
Π
2
G
2
A
2
,
Π
2
,
G
2
F
2
=-
3
+
1
+
2
,
3
=
9
=
13
=
44
T
2
22
120
T
TT
2
Π
2
,
G
2
G
,
Π
3
6
E
T
W
3
E
+
ε
Π
3
16
E
T
W
2
+
EW
3
E
14
=
3
=-
1
-
1
25
=
Q
β
I
,
h
120
T
T
480480
T
T
840
T
840
T
T
Π
3
EW
2
-
2
E
T
W
3
E
,
Π
3
EΠ
36
=-
7
=
8
=-
2
EW
2
+
3
EW
3
3
EW
2
h
hhhh
480
T
T
840
T
840
T
T
Π
4
,
E
,
Π
4
,
11
=
312
=-
2
+
2
2
EZ
3
EZ
3
EZ
τττ
120
T
120
T
T
480
T
T
Π
4
6
E
T
Z
E
,
Π
4
16
E
T
ZEZ
E
,
Π
4
,
EZ
E
4
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2
-
1
39
=
310
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3
Q
2
+
2
-
2
EZ
ττ
τ
121200
T
T
Π
5
W
1
+
2
E
T
W
2
+
2
W
2
E
+
3
E
T
W
3
E
+
ET
E
6
=
1
hh
hhh
120
T
T
1200
Π
5
100
E
T
T
E
-
16
W
1
-
EW
2
-
2
E
T
W
3
E
5
=-
1
h
h
4805400
T
T
84010080
T
6300
Π
5
E
-
E
-
2
E
T
T
E
7
=-
1
2
W
1
-
3
EW
2
-
3
W
2
4
EW
3
hhhhh
84010080
T
T
13440
T
Π
5
E
8
=
1
3
W
1
+
4
EW
2
+
3
ET
hhh
120016200
T
54
T
T
Π
6
E
-
3
E
T
W
2
-
3
W
2
E
-
E
6
=-
1
2
W
1
-
2
ET
4
EW
3
hhhhh
540025920
T
T
1008050400
T
90720
T
Π
6
E
+
E
+
E
7
=
1
3
W
1
+
4
EW
2
+
4
W
2
5
EW
3
3
ET
hhhhh
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
40
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
1008050400
T
T
201600
T
Π
6
ET
E
8
=-
1
4
W
1
-
5
EW
2
-
4
hhh
5
T
T
1209600
T
1
T
Π
7
EW
2
+
ET
E
,
Π
8
W
1
-
ET
E
8
=
18
=-
1
5
W
1
+
6566
hhhhh
120
T
T
1200
T
Π
9
100
E
T
T
E
-
16
Z
EZ
E
9
=-
21
-
3
2
-
2
EZ
τ
τ
25920529200
T
50400
T
T
5
T
Π
7
ET
E
-
E
-
EW
3
E
7
=-
1
4
W
1
-
45
EW
2
-
5
W
2
6
hhhhh
121200
T
T
Π
9
,
Z
1
+
2
E
T
Z
E
+
3
E
T
Z
E
+
ET
E
10
=
232
2
+
2
Z
ττ
τττ
4805400
T
T
84010080
T
6300
Π
9
,
E
-
EZ
E
-
2
E
T
T
E
11
=-
1
-
232
2
-
2
Z
3
EZ
3
Z
4
τττττ
84010080
T
T
13440
T
Π
9
,
EZET
E
12
=
1
+
2
2
+
3
Z
43
τττ
120016200
T
54
T
T
Π
1
ET
E
-
3
E
T
Z
E
-
EZ
E
0
,
10
=-
1
-
223
2
-
2
Z
23
Z
4
τττττ
540025920
T
T
1008050400
T
90720
T
Π
1
EZZ
E
+
E
Z
E
+
ET
E
0
,
11
=
1
+
232
2
+
3
Z
4453
τττττ
1008050400
T
T
201600
T
Π
1
ZEZET
E
0
,
12
=-
1
-
2
2
-
454
τττ
25920529200
T
50400
T
T
5
T
Π
1
ZET
E
-
EZZ
E
-
EZ
E
1
,
11
=-
1
-
223
2
-
44556
τττττ
5
T
T
1209600
T
1
T
Π
1
ZEZET
E
,
Π
1
ZET
E
1
,
12
=
1
+
22
,
12
=-
1
-
2
2
+
56566
τττττ
)
则具有分布时滞的非线性广义系统
(
是一致渐近稳定的
。
1
τ
320
,
τ
1590210
Γe
e
eee
e
ee
7
=
1
-
9
+
10
-
2
11
Γ
8
=
1
+
9
-
10
+
2
11
-
12
3
e
3
τ
4
τ
τττ
,…,
)
e
0
I
0
i
=
1
,
2
,
14
i
=
[
ni
1
)
n
,
n
,
n
14
i
n
]
×
(
-×
(
-
)
证明
首先证明具有分布时滞的非线性广义系统
(
是稳定的
。
1
췍
,
췍
,
根据引理
1
知
,
一定存在
2
个非奇异矩阵
M
使得
N
h
1590210
,
τ
3
Γe
e
ee
τee
Γe
e
e
4
=
1
+
5
-
6
+
2
7
-
8
Γ
5
=
1
-
9
,
6
=
1
+
9
-
10
3
e
4
h
2
τ
hh
h
3
,
h
320
Π
1
εI
,
Π
1
εI
,
Γ
hee
Γe
e
ee
e
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42
沈阳师范大学学报
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自然科学版
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第
41
卷
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()()()){
í
V
4
t
≤
ξ
t
eT
e
tt
Γ
EΓ
1
+
8
ΓEΓ
2
+
-
ξ
(
1211
21
ET
2
ET
ξ
4
ï
ï
T
T
T
T
()
27
ΓEΓ
4
ΓEΓ
4
}
t
13
+
6
1
3
ET
4
ET
ξ
ï
t
42
t
ï
ττ
T
T
̇
̇̇
()()()))
T
e
t
-
x
T
(
s
E
T
T
E
x
(
s
d
s
d
θ
t
=
ξ
t
e
222
ï
V
5
x
2
ξ
î
42
tτθ
-
thθ
-
()
18
ï
T
T
T
T
T
T
T
TT
(){()
ï
-
ξ
t
Γ
EΓ
5
+
8
ΓEΓ
6
+
27
ΓEΓ
7
+
64
ΓEΓ
8
}
t
2222
5
ET
6
ET
7
ET
8
ET
ξ
í
4
ï
̇
τ
TT
T
T
TTT
())()){
t
eT
e
tt
Γ
EΓ
5
+
8
ΓEΓ
6
+
-
ξ
(
2222
25
ET
6
ET
ξ
(
ξ
ï
V
5
t
≤
4
ï
ï
T
T
T
T
()
î
27
ΓEΓ
7
+
64
ΓEΓ
8
}
t
22
7
ET
8
ET
ξ
给定
ε
则有
对于非线性函数
,
0
,
ε0
,
1
>
2
>
∫
∫
ì
ï
-
τ
̇̇
))
x
(
s
ET
E
x
(
s
d
s
d
θ
≤
∫
∫
ï
2
tt
tτθ
-
2
t
̇̇
))
可得
x
T
(
s
E
T
T
E
x
(
s
d
s
d
θ
,
应用引理
2
,
2
t
TT
2
∫
∫
tτθ
-
()
19
{
T2T
,)),))))
0
≤-
ε
t
x
(
tt
x
(
t
α
x
(
t
x
(
t
+
ε
11
f
(
f
(
T
由
E
T
R
=0
有
T
2T
,),)
0
≤-
ε
t
x
(
t
-
h
)
t
x
(
t
-
h
)
t
-
h
)
x
(
t
-
h
)
+
ε
22
g
(
g
(
β
x
(
()
20
)
s
d
s
+
∫
x
(
t
tτ
-
),))),)
2
x
T
(
t
SR
T
F
t
x
(
tx
T
(
t
SR
T
G
t
x
(
t
-
h
)
+
2
f
(
g
(
利用自由加权矩阵法有
T
T
T
̇
[)))
0
=
2
x
T
(
tG
1
+
(
E
x
(
tG
2
]
×
̇
))))))
0
=
2
x
(
t
SREx
(
tx
T
(
t
SR
T
Ax
(
tx
T
(
t
SR
T
A
1
x
(
t
-
h
)
x
T
(
t
SR
T
A
2
=
2
+
2
+
2
T
()
21
[
)))),))))
和式
(
将式
(
和式
(
的左边和右边分别加
由式
(
15~
式
(
1920~
式
(
2215~
式
(
1920~
式
(
22
̇
(
到
V
中可得到
x
t
)
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̇
))
x
(
tx
(
t
x
(
t
-
h
)
-
E
+
A
+
A
1
+
A
2
),)),)
s
d
s
+
F
t
x
(
tt
x
(
t
-
h
)
+
G
f
(
g
(
]
∫
x
(
t
tτ
-
()
22
第
1
期
孙
欣
,
等
:
具有分布时滞的非线性广义系统一致渐近稳定性准则
43
T
̇
()))
成立
,
则
V
由定理的条件即式
(
5
x
≤
t
Π
t
<0
成立
。
t
)
ξ
(
ξ
(
T
̇
())
V
x
t
Π
t
≤
ξ
(
t
)
ξ
(()
23
)
系统
(
是一致渐近稳定的
。
1
)
因此
,
具有分布时滞的非线性广义系统
(
是稳定的
。
下面将通过广义系统的受限等价变换来证明
1
()
é
ζ
1
t
ù
-1
n
-
r
êú
,
췍
))()
r
,
2
(),)
现在
,
让
ζ
(
其中
ζ
系统
(
可以写成
t
=
Nx
(
t
=
ê
t
∈R1
1
t
∈R
ζ
ú
()
t
ζ
ëû
2
))
与系统
(
是等价的
。
由广义系统受限等价变换知系统
(
124
췍
)))
将
x
(
代入式
(
得到
t
=
N
t
8
ζ
(
췍
̇
췍췍췍
))
E
ttt
-
h
)
=
A
+
A
+
A
12
ζ
(
ζ
(
ζ
(
췍췍
),)),)
s
d
s
+
F
tttt
-
h
)
+
G
f
(
g
(
ζ
(
ζ
(
∫
ζ
(
t
tτ
-
()
24
)
V
1
()(
t
))(
t
))
V
(
+
V
3
(
+
V
5
(
ζζζζ
t
=
t
+
V
2
ζ
t
+
V
4
ζ
t
))
与式
(
类似地可以获得
14~
式
(
23
T
̇
(
췍췍
()
췍
(
t
))
V
Π
ζξζ
t
≤
ξζ
t
<
0
()
25
()
26
췍
(
̇
)
c
),),,,
ζ
(),
ol
ζ
(
t
E
tt
-
h
)
t
-
τ
)
s
d
s
ξζζ
(
ζ
(
ζ
(
t
=
th
-
t
{
),))
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
,
ζ
(
d
s
s
d
s
d
θ
,
s
d
s
d
θ
d
u
,
ζ
(
ζ
(
ζ
(
∫
∫∫∫
∫
s
)
∫
∫
∫
∫∫
ttttttttt
thuθλ
-
tttt
tτ
-
tτθ
-
tτuθ
-
∫
t
∫
∫
tt
thθ
-
)
s
d
s
d
θ
,
ζ
()
s
d
s
d
θ
d
u
,
ζ
(
∫
∫∫
ttt
thuθ
-
类似地
,
∫
t
0
T
췍췍
()
2
-
V
())
≤
ζ
()()(())
≤
V
())))
λ
mi
P
0
t
0
-
V
(
=
n
(
11
)
11
ζζ
(
ζ
ζ
(
1
t
1
t
P
1
t
-
V
ζ
0
ζ
(
),)),,)
s
d
s
d
λ
d
θ
d
u
,
tttt
-
h
)
f
(
g
(
ζ
(
ζ
(
ζ
(
}
∫
∫∫∫
tτuθλ
-
̇
())
Vs
d
s
≤-
λ
1
ζ
(
∫
t
0
)
2
d
s
s
≤-
λ
1
ζ
(
∫
t
0
()
2
d
s
<
0
ζ
1
s
当
λ
有
λ
ma
Π
)
>0
时
,
1
=-
x
(
)
由式
(
很容易得到
28
0
≤
췍
()
2
-
V
())
≤-
λ
λ
mi
P
0
n
(
11
)
1
ζζ
(
1
t
∫
t
0
()
2
d
s
<
0
ζ
2
s
()
27
()
28
()
29
()
30
()
31
∫
t
0
11
()
2
d
)),
ζ
()
2
d
))
s
≤
V
(
0
s
≤
V
(
0
ζζ
(
ζ
(
1
s
2
s
λλ
0
11
t
췍
-1
))
可以得到
根据
ζ
(
t
=
Nx
(
t
故
()
0
,()
0
limlim
ζζ
1
t
=
2
t
=
t
→
∞
t
→
∞
∫
)()
lim
x
ti
=
1
,
2
=
0
i
(
t
→
∞
)
则由定义
3
可知
,
系统
(
一致渐近稳定
。
证毕
。
1
)
lim
x
(
t
=
0
t
→
∞
并不多见
。
定理构造了一个新的
L
为了增加时滞信息
,
在泛函中增加了双重
aunovKrasovskii
泛函
,
yp
-
结果具有较小的保守性
。
Leendre
不等式进行处理
,
g
注释
定理给出了具有分布时滞的非线性广义系统的一致渐近稳定性准则
,
到目前为止
,
这类判据
积分项和三重积分项
,
在处理由
L
应用了边界估值较为精确的
B-K
泛函求导后产生的积分项时
,
essel
-
3
数值算例
):
例
考虑如下具有分布时滞的非线性广义系统
(
1
其中
t
ì
ï
̇
))),)),)
ï
Ex
(
tx
(
t
x
(
t
-
h
)
s
d
s
+
F
t
x
(
tt
x
(
t
-
h
)
=
A
+
A
1
+
A
2
x
(
+
G
f
(
g
(
tτ
-
í
ï
)),{,]
î
x
(
ttt
∈
[
ax
h
,
τ
}
0
=
φ
(
-
m
∫
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44
沈阳师范大学学报
(
自然科学版
)
第
41
卷
8876
-
0.0805
ùé
-
0.
ú
,
F
=
ê
êú
G
=
9591
-
0.
7514
ûë
-
0.
选择
R
=
[
01
]
T
。
在本例中
,
10
ù
30120.1257
ù
é
é
-
0.
ú
,
êú
,
E
=
ê
AA
1
=
=
êêú
00
û
2351
-
1.0998
ú
ëë
0.
û
1.1965
-
0.7897
ùé
êú
êú
0348 0.
9169
ûë
-
0.
1.0
é
ê
-
ê
ë
0
0
ù
ú
,
A
2
=
2
ú
û
-
0.
00.4
ù
é
êú
ê
10
ú
ëû
)
当
h
=0.
一致渐近稳定的分布时滞上界
τ
1
时
,
保证系统
(
10.242
;
max
=
有效
。
)
当
τ
=0.
一致渐近稳定的常数时滞上界
h
ma
1
时
,
保证系统
(
10.361
。
x
=
,
数值算例表明
,
针对具有分布时滞的非线性广义系统
(
定理有可行性解
,
说明所用方法可行
1
)
4
结
语
系统进行控制
。
参考文献
:
本文针对具有分布时滞的非线性广义系统
,
得到一个一致渐近稳定性准则
,
数值例子说明了所提出
方法的有效性
。
以后
,
可以考虑设计状态反馈控制器或输出反馈控制器对具有分布时滞的非线性广义
[[:,
1
]
rcontrolsstemsM
]
.NewYorkSrinerVerla1989.
gypgg
-
[
杨冬梅
,
姚波
,
张庆灵
.
广义系统
[
2
]
M
]
.
北京
:
科学出版社
,
2004.
[],():
tica2001
,
371118671872.
[,
3
]
observabilitndimulsecontrollabilitflineartimevarininularsstems
py
a
py
o
yg
s
gy
-
[[],
4
]
ISHIHARA
,
JOAOY
,
utomatContr
ypgy
[,
5
]
XUSDOORENP
,
stabilitndstabilizationforsinularsstemswithstatedeland
y
a
gyy
a
[]
孙欣
,
于姗姗
.
基于
B
自然科学版
,
6
]
esselLeendre
不等式的连续广义时滞系统容许性条件
[
J.
沈阳大学学报
:
g
-
[
7
]
SHIZ
,
controlforaclassofcomlexsinularsstembasedonadativednamic
p
rorammin
ppgypygg
[
8
]
WUYB
,
ZHANGHX
,
obuststabilitonditionforuncertainsstemswithintervaltimevarin
y
c
yyg
-
[
9
]
RAMAKRISHNANK
,
nedeendentstabilitriterionforintervaltimedelastemswith
ygpy
c
y
s
y
---
[]
10DINGY
,
ZHONGS
,
anedeendentuniformlsmtoticstabilitriterionforaclassof
ygpy
a
ypy
c
--
[]]
龚冠桦
,
赵南
,
刘臻臻
,
等
.
基于
P
工程技术版
,
11ark
积分不等式线性时滞广义系统稳定性分析
[
J.
青岛大学学报
:
[],
12LIYZ
,
HEY
,
bilitriteriaofsinularsstemswithtimevarinelaiafreematrixbased
y
c
gyyg
d
y
v
---
[]
13HIENLV
,
VULH
,
ddeladeendentexonentialstabilitfsinularsstemswithmixed
pyppy
o
gy
-
[]:
A14SEURETA
,
erbasedinteralineualitlicationtotimedelastems
[
J
]
.
ggqyppy
s
y
--
[]]
15SEURETA
,
chfLMIconditionsforthestabilitnalsisoftimedelastems
[
J.
y
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yy
s
y
-
SYSTControlLETT
,
2015
,
81
:
17.
,():
Automatica2013
,
49928602866.
[]():
trolTheor2015
,
9913641372.
yg
d
yy
A
,
-
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,
49567810321039.
gqyy
():
2017
,
3221721.
[],():
earAnalReal2011
,
.
gy
-
[]():
nonlinear
p
,
2011
,
81141146.
[],():
delandnonlinear
p
tomControl2020
,
14198114.
y
a
[],():
2019
,
61188197.
():
2020
,
322173178.
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utomatContr2002
,
47711221128.
py
():
2002
,
471119261930.
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