2024年5月25日发(作者：黄修)
总体、样本和统计量的含义
总体、样本和统计量是统计学中的基本概念，它们在研
究数据时起着至关重要的作用。本文将深入论述这三个概念
的含义，并列出相应的公式，最后通过举例进行说明。
一、总体
总体是指研究对象的全体，也可以理解为我们想要了解
的整个现象。例如，我们要研究全国100个城市的平均工资
水平，那么总体就是这100个城市的所有居民的工资。
总体的计算公式为：总体容量=城市数量×每个城市的
人口数量
二、样本
样本是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行研
究和分析。样本的大小取决于我们的研究目的和资源限制。
例如，我们要研究全国100个城市的平均工资水平，那么我
们可以从每个城市中随机抽取一定数量的居民作为样本，例
如抽取500个样本。
样本的计算公式为：样本容量=样本数量
三、统计量
统计量是用来描述样本特征的数值指标，它可以帮助我
们了解样本的总体特征。例如，我们可以计算每个城市的平
均工资、平均工资的标准差等统计量。
四、总体、样本和统计量的关系
1. 总体容量与样本容量的关系：总体容量=样本容量×
（总体中每个个体被抽到的概率）
2. 样本均值与总体均值的关系：样本均值=总体均值×
（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量
3. 样本标准差与总体标准差的关系：样本标准差=总体
标准差×（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量
五、举例说明
假设我们要研究全国100个城市的平均工资水平，采用
分层抽样的方法，从每个城市中抽取50个居民作为样本。
现在我们来计算各个统计量。
1. 总体容量：总体容量=100×（1-（1-0.5）^50）=100
×（1-0.957423）=26.38≈26（单位：万元）
2. 样本容量：样本容量=50×100=5000（单位：人）
3. 计算每个城市的平均工资：由于我们只关心平均工资
这个统计量，所以我们可以直接用每个城市被抽到的居民的
工资之和除以样本容量得到平均工资。例如，第一个城市被
抽到的工资总和为a1，第二个城市被抽到的工资总和为a2，
以此类推，第100个城市被抽到的工资总和为ak100。那么
第一个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50，第二
个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50，以此类推，
第100个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50。
4. 计算平均工资的标准差：首先计算每个城市的平均工
资与总体平均工资的差值，然后对这些差值进行平方，接着
求这些平方差值的平均值，最后对这个平均值进行开方，得
到平均工资的标准差。例如，第一个城市的平均工资与总体
平均工资的差值为b1-μ，第二个城市的平均工资与总体平
均工资的差值为b2-μ，以此类推，第100个城市的平均工
资与总体平均工资的差值为b100-μ。那么第一个城市的平
方差值之和为s1=(b1-μ)^2+(b2-μ)^2+...+(bk-μ)^2，第
二个城市的平方差值之和为s2=(b1-μ)^2+(b2-
μ)^2+...+(bk-μ)^2，以此类推，第100个城市的平方差值
之和为s100=(b1-μ)^2+(b2-μ)^2+...+(bk-μ)^2。那么第
一个城市的平均工资标准差的平方为σ^2=s1/50，第二个城
市的平均工资标准差的平方为σ^2=s2/50，以此类推，第
100个城市的平均工资标准差的平方为σ^2=s1/50。最后对
σ^2开方，得到平均工资的标准差。
2024年5月25日发(作者：黄修)
总体、样本和统计量的含义
总体、样本和统计量是统计学中的基本概念，它们在研
究数据时起着至关重要的作用。本文将深入论述这三个概念
的含义，并列出相应的公式，最后通过举例进行说明。
一、总体
总体是指研究对象的全体，也可以理解为我们想要了解
的整个现象。例如，我们要研究全国100个城市的平均工资
水平，那么总体就是这100个城市的所有居民的工资。
总体的计算公式为：总体容量=城市数量×每个城市的
人口数量
二、样本
样本是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行研
究和分析。样本的大小取决于我们的研究目的和资源限制。
例如，我们要研究全国100个城市的平均工资水平，那么我
们可以从每个城市中随机抽取一定数量的居民作为样本，例
如抽取500个样本。
样本的计算公式为：样本容量=样本数量
三、统计量
统计量是用来描述样本特征的数值指标，它可以帮助我
们了解样本的总体特征。例如，我们可以计算每个城市的平
均工资、平均工资的标准差等统计量。
四、总体、样本和统计量的关系
1. 总体容量与样本容量的关系：总体容量=样本容量×
（总体中每个个体被抽到的概率）
2. 样本均值与总体均值的关系：样本均值=总体均值×
（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量
3. 样本标准差与总体标准差的关系：样本标准差=总体
标准差×（总体中每个个体被抽到的概率）/样本容量
五、举例说明
假设我们要研究全国100个城市的平均工资水平，采用
分层抽样的方法，从每个城市中抽取50个居民作为样本。
现在我们来计算各个统计量。
1. 总体容量：总体容量=100×（1-（1-0.5）^50）=100
×（1-0.957423）=26.38≈26（单位：万元）
2. 样本容量：样本容量=50×100=5000（单位：人）
3. 计算每个城市的平均工资：由于我们只关心平均工资
这个统计量，所以我们可以直接用每个城市被抽到的居民的
工资之和除以样本容量得到平均工资。例如，第一个城市被
抽到的工资总和为a1，第二个城市被抽到的工资总和为a2，
以此类推，第100个城市被抽到的工资总和为ak100。那么
第一个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50，第二
个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50，以此类推，
第100个城市的平均工资为（a1+a2+...+ak100）/50。
4. 计算平均工资的标准差：首先计算每个城市的平均工
资与总体平均工资的差值，然后对这些差值进行平方，接着
求这些平方差值的平均值，最后对这个平均值进行开方，得
到平均工资的标准差。例如，第一个城市的平均工资与总体
平均工资的差值为b1-μ，第二个城市的平均工资与总体平
均工资的差值为b2-μ，以此类推，第100个城市的平均工
资与总体平均工资的差值为b100-μ。那么第一个城市的平
方差值之和为s1=(b1-μ)^2+(b2-μ)^2+...+(bk-μ)^2，第
二个城市的平方差值之和为s2=(b1-μ)^2+(b2-
μ)^2+...+(bk-μ)^2，以此类推，第100个城市的平方差值
之和为s100=(b1-μ)^2+(b2-μ)^2+...+(bk-μ)^2。那么第
一个城市的平均工资标准差的平方为σ^2=s1/50，第二个城
市的平均工资标准差的平方为σ^2=s2/50，以此类推，第
100个城市的平均工资标准差的平方为σ^2=s1/50。最后对
σ^2开方，得到平均工资的标准差。