2024年5月27日发(作者：骆天韵)
第七讲:齐次线性方程组的解空间
པད་མ་སྲི་ཆོད་དང་ཧྲི་ཐར་སོལ་མ།
白玛石久和石塔卓玛
一:
Ax0
的解集是一个向量空间
设
N(A)
xAx0
全体Ax=0的解
证明：首先看
N(A)
中能否做加法运算:任意取
x,yN(A),
A(xy)AxAy
Ax0,Ay0
即
A(xy)AxAy000
所以
xyN(A)
即
N(A)
里可以做加法运算。
再看
N(A)
里能否做数乘运算，任意取一个数
aR,
任取
xN(A)
，
A(ax)a(Ax)a00
，
所以
axN(A)
即
N(A)
中可以做数乘运算。
总结：
N(A)
中可以加法运算和数乘运算，即
N(A)
为一个向量空间。
N(A)
的不同名称;①
Ax0
的解空间②
A
的零空间
二：
Ax0
的完整求解
112
例1：设
A
213
x
1
0
14
，
X
x
0
2
，
0
。
求解
Ax
3
415
x
3
0
0
0
解：在化简过程中右边始终就是
0
向量，因此只需化简左边系数矩阵。
112
213
112
112
112
1
A
01
314
1
011
011
0
415
314
115
022
415
022
0
033
0
101
101
101
011
011
11
0
000
00
即
Ax0
化简为
033
000
0
000
000
x
1
x
3
0
x
2
x
3
0
01
11
22
33
因为，
r(A)
=
真方程个数
=
2
，
未知量个数
=
3
，所以，
自由未知量个数
=
3-2=1
即
有一个自由未知量。
1
按排对，选
x
1
为自由未知量 取
x
1
1x
3
1x
2
1
即得到一个解
1
1
1
是解的代表。
这里
（也叫基础解系）
1
1
Ax0
的解空间
=
N(A)
a
a
1
a
1
=
a
aR
1
a
x
1
1222
0
x
2
例2：设
A2468
，
X
，
00
。
求解
Ax0
x
3
36810
0
x
4
1222
1222
1222
1202
0024
0024
0024
解：
0024
36810
0024
0000
0000
1202
x
1
2x
2
2x
4
0
0012
即
Ax0
化简为
x2x0
4
3
0000
因为
未知量个数
4
，
r(A)
真方程个数
=
2
，
所以
自由未知量
=
422
按以前的方法：选
x
1
和
x
2
为自由未知量取
x
1
1
x
3
a2b
a
，
x
2
bx
4
ab
，
2
a
1
0
0
0
0
1
b
a
1
b
a,bR
a
2
2b
1
1
a
b
1
22
即
N(A)
a
b
a2b
a,bR
1
ab
2
按现在的方法：
1
0
1
1
1
0
1
x
1
取
2
即
Ax0
的解空间的代表为
1
2
。
x
2
0
0
1
1
2
2
1
从而，
N(A)
a
1
b
2
a,bR
作业
123
设
A
246
x
1
268
，
X
x
2
，
2810
x
3
0
0
0
0
，
0
求解
Ax0
2024年5月27日发(作者：骆天韵)
第七讲:齐次线性方程组的解空间
པད་མ་སྲི་ཆོད་དང་ཧྲི་ཐར་སོལ་མ།
白玛石久和石塔卓玛
一:
Ax0
的解集是一个向量空间
设
N(A)
xAx0
全体Ax=0的解
证明：首先看
N(A)
中能否做加法运算:任意取
x,yN(A),
A(xy)AxAy
Ax0,Ay0
即
A(xy)AxAy000
所以
xyN(A)
即
N(A)
里可以做加法运算。
再看
N(A)
里能否做数乘运算，任意取一个数
aR,
任取
xN(A)
，
A(ax)a(Ax)a00
，
所以
axN(A)
即
N(A)
中可以做数乘运算。
总结：
N(A)
中可以加法运算和数乘运算，即
N(A)
为一个向量空间。
N(A)
的不同名称;①
Ax0
的解空间②
A
的零空间
二：
Ax0
的完整求解
112
例1：设
A
213
x
1
0
14
，
X
x
0
2
，
0
。
求解
Ax
3
415
x
3
0
0
0
解：在化简过程中右边始终就是
0
向量，因此只需化简左边系数矩阵。
112
213
112
112
112
1
A
01
314
1
011
011
0
415
314
115
022
415
022
0
033
0
101
101
101
011
011
11
0
000
00
即
Ax0
化简为
033
000
0
000
000
x
1
x
3
0
x
2
x
3
0
01
11
22
33
因为，
r(A)
=
真方程个数
=
2
，
未知量个数
=
3
，所以，
自由未知量个数
=
3-2=1
即
有一个自由未知量。
1
按排对，选
x
1
为自由未知量 取
x
1
1x
3
1x
2
1
即得到一个解
1
1
1
是解的代表。
这里
（也叫基础解系）
1
1
Ax0
的解空间
=
N(A)
a
a
1
a
1
=
a
aR
1
a
x
1
1222
0
x
2
例2：设
A2468
，
X
，
00
。
求解
Ax0
x
3
36810
0
x
4
1222
1222
1222
1202
0024
0024
0024
解：
0024
36810
0024
0000
0000
1202
x
1
2x
2
2x
4
0
0012
即
Ax0
化简为
x2x0
4
3
0000
因为
未知量个数
4
，
r(A)
真方程个数
=
2
，
所以
自由未知量
=
422
按以前的方法：选
x
1
和
x
2
为自由未知量取
x
1
1
x
3
a2b
a
，
x
2
bx
4
ab
，
2
a
1
0
0
0
0
1
b
a
1
b
a,bR
a
2
2b
1
1
a
b
1
22
即
N(A)
a
b
a2b
a,bR
1
ab
2
按现在的方法：
1
0
1
1
1
0
1
x
1
取
2
即
Ax0
的解空间的代表为
1
2
。
x
2
0
0
1
1
2
2
1
从而，
N(A)
a
1
b
2
a,bR
作业
123
设
A
246
x
1
268
，
X
x
2
，
2810
x
3
0
0
0
0
，
0
求解
Ax0