2024年5月30日发(作者：苌鸿羲)
证明四点共面的方法
方法一：向量法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则它们所在向量的线性组合为0向量，即
λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0
其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减
去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通
过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0
x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1
其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断
其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即
AB × AC 与 AD 共垂，或者 AB × AD 与 AC 共垂，或者 AC × AD 与
AB 共垂
其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四
边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向
量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通
过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
2024年5月30日发(作者：苌鸿羲)
证明四点共面的方法
方法一：向量法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则它们所在向量的线性组合为0向量，即
λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0
其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减
去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通
过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0
x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1
其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断
其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法
对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，
则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即
AB × AC 与 AD 共垂，或者 AB × AD 与 AC 共垂，或者 AC × AD 与
AB 共垂
其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四
边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向
量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通
过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。