2024年6月4日发(作者：巧曲)
课题 乒乓球与盒子
教学内容
北京版四年级下册第八单元数学百花园乒乓球与盒子（P83）
指导思想与理论依据
《数学课程标准（2011版）》：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展
的过程。有效的教学活动的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生
是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。
数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生
的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学
生掌握恰当的数学学习方法。
学 情 分 析
抽屉原理是组合数学中一个重要的原理。学生在小学阶段涉及的排列组合问题
都较为简单，三年级的数学百花园中学生学习了“合理搭配”，即上衣与裤子的搭配
有几种方法，基本方法是连线法，学生都能掌握。四年级的组合问题为“乒乓球与
盒子”，这一内容联系实际，但思路灵活，变式多样，不易掌握。
本节内容看似简单，实则比较抽象，对于学生来说有以下3个挑战：
首先，对于抽屉原理的表述，需要很高的抽象概括能力。对“总有一个抽屉里
放入的物体数至少是多少” 这样的表述，学生不易理解，教学中学生也很难用“总
有”、“至少”这样的语言来陈述。
其次，受排列问题的影响，本节课不区分具体是哪一个抽屉，研究的是物体数
最多的一个抽屉里最少会有几个物体的这样一种现象，这对于四年级的学生来说理
解起来很有难度。尤其在枚举时，会对学生的分析造成干扰。
另外，在应用这一思想方法解决简单的实际问题时，建立乒乓球与盒子的对应
关系，并分析出实际问题中的“乒乓球”与“盒子”，这是解题的关键，对于学生来
说很具挑战性。
基于此，本节课通过创设情境、直观和实际操作等活动理解抽屉原理的内容，
掌握基本的的解题方法，初步经历简单的“数学证明”过程，为今后的学习提供必
要的经验基础。同时，在交流中引导学生对“枚举法”等方法进行比较，使学生逐
步学会有序思考，做到“不重复、不遗漏”，发展学生的思维能力。逐步形成有序地、
严密地思考问题的意识。
教 学 目 标
1. 在具体的情境中，学会运用“枚举”等方法解决问题，初步感知抽屉原理的基本
内容，即当m+1个物体放入m个抽屉中，总会有一个抽屉中放进了至少2个物体。
2. 初步经历简单的“数学证明”过程，为今后的学习积累必要的活动经验。
3. 在解决问题的过程中，感受数学知识的趣味性和魅力。
教学重难点
教学重点： 通过枚举的方式验证结论。
教学难点： 通过反证法验证结论，初步经历数学证明的过程。
教 学 过 程
导入：
师：老师这里有3个球和两个盒子，猜一猜下面老师要和大家做一个什么游戏？
预设：把3个球放进两个盒子里。
师：你猜的真准！（出示活动一）
活动一：有3个乒乓球要放到两个盒子里，可以怎么放？一共有几种放法？
师：要完成这个小游戏，老师需要两名小助手，一名同学放球，一名同学记录。谁
来试一试？（第一次记录教师演示）
预设一：一共有4种放法。
第一个盒子里放3个，第二个盒子里放0个。
第一个盒子里放0个，第二个盒子里放3个。
第一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个。
第一个盒子里放1个，第二个盒子里放2个。
板书记录结果： 盒子 盒子
三个球 3 0
0 3
2 1
1 2
预设二：一共有2种放法。
第一个盒子里放3个，第二个盒子里放0个。
第一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个。
板书记录结果： 盒子 盒子
三个球 3 0
2 1
师：一个有4种放法，一个有2种放法，请你对比观察这两种结果，这相差的2种
放法多在哪儿？
明确：在我们今天的研究中，把第一个盒子里放1个，第二个盒子里放2个，和第
一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个，这两种不同的放法看做一种情况，都是
是一个盒子里放2个，另一个盒子放1个。两个盒子是完全一样的，不再区分是哪
一个盒子。
引导：3个球放进2个盒子里，一共有两种放法。请你观察每一种放法，看一看装
的最多的盒子里都装了几个球？
预设：在这两种放法中，装得最多的那个盒子里要么装有2个乒乓球，要么装有3
个。（将装的最多的盒子中的数字描红）
【设计意图：通过对比观察，明确今天研究的问题中不区分盒子，在结果中，引导
学生观察每种放法中装的最多的盒子中的球的数量。】
活动二：把4个球放进3个盒子里呢？可以怎么放？一共有几种放法？
师：如果乒乓球和盒子的数量分别增加1个，你能找到所有不同的放法吗？
合作提示：小组分工合作，一名同学边说边放，另一名同学负责记录。把您们的结
果记录到学习单上。
活动时间：2分钟。
找两组同学到前面演示、交流。（一组无序、一组有序）
（出示PPT）提问：
① 请你仔细观察他们两个小组的记录结果，看看他们的方法有什么不同？
② 哪种放球的方法最不容易遗漏？
小组汇报：
① 盒子 盒子 盒子
3 1 0
2 2 0
4 0 0
2 1 1
② 盒子 盒子 盒子
4 0 0
3 1 0
2 2 0
2 1 1
师：还有其他小组有不同的放法吗？
（少的不全，多的删掉，再次强调不区分盒子。）
讨论问题①：请你仔细观察他们两个小组的记录结果，看看他们的方法有什么不同？
预设：第一种放法没有规律，第二种放法第一个盒子依次是4、3、2、2，有一定的
规律。
讨论问题②：哪种放球的方法最不容易丢？
预设：第二种方法。
追问：你观察到他们是怎么放的？
预设：先把4个球都放进一个盒子里，然后从前一个盒子里拿出一个放进下一个盒
子里，依次从前一个盒子中拿出一个球分到后面的盒子里。
师：谁听懂了？再来说一说。
师：你们观察的真仔细，不仅找到了所有的放法，还做到了有序思考。谁能概括一
下他们的方法？
小结：①先让一个盒子有序放球，再把后面盒子的不同放法找全。
②摆放时要有序思考，有规律地找到所有的方法，做到不重复、不遗漏。
提问：观察最多的盒子里球的数量是什么样的？（将装的最多的盒子中的数字描红）
最多装几个？最少装几个？
师：我们把最少装2个这种情况叫做至少装两个。
小结：（指着数字）把4个乒乓球放进3个盒子里，不管怎么放，总会有一个盒子至
少装有2个球。
【设计意图：引入枚举法，巩固建立乒乓球与盒子的对应关系。引导学生进行有序
思考，在枚举的过程中做到不重不漏。体会“至少”表达的意思，初步理解“抽屉
原理”的基本内容。】
活动三：如果把5个乒乓球放进4个盒子里，会发生什么情况？
师：先猜测一下。（简要板书学生的猜想）
生：不管怎么放，也一定有一个盒子里至少放进了2个球。
师：你能想办法来验证你的猜想吗？试试看。
合作提示：
①有序思考
②放完第一个盒子的时候，多想想后面的几个盒子可能有多少种放法，一定要考虑
全。
学生动手操作，全班交流。
预设一：
盒子 盒子 盒子 盒子
5 0 0 0
4 1 0 0
3 2 0 0
3 1 1 1
2 2 1 0
2 1 1 1
提问：观察放球最多的盒子里（圈出来），最多放了多少个？最少放了多少个？
预设：最多放5个，最少放2个。
师：果然验证了我们的猜想。把5个乒乓球放进4个盒子里，不管怎么放，总会有
一个盒子至少放2个球。
预设二：找“最不利”的情况，先把所有的乒乓球平均分，每个盒子里只放一个，
最后还剩下一个球，这个球不管怎么放，总有一个盒子里会放进2个球。
师：连最不利的情况都能够保证结论成立，那么这个想法一定是正确的。
（这个方法较难，引导。）
交流与讨论：
①观察三次试验，你都发现了哪些规律？
（可以借助刚刚学习的证明方法，说说你的发现。）
发现1：关注球与盒子的数量关系。
预设：球的数量比盒子的数量多1.
预设举例：①正例：把6个球放进5个盒子里。
②反例：把6个球放进7个盒子里。
发现2：发现盒子里球的数量最多就是所给球的数量；最少是不管哪种放法，总有
一个盒子里至少放两个球。（板书：至少放2个）
②这两个规律谁决定了谁？（存在哪个规律才有另一个规律？）
预设：第一个发现决定了第二个。当球比盒子的数量多1时，不管怎么放，总有一
个盒子里至少放2个球。
【设计意图：理解概括“抽屉原理”的基本原理，培养学生的类推能力。形成抽象
的数学思维。巩固枚举法，补充反证法，给予不同的解决问题的策略，让学有余力
的学生能够尽力更为严谨的证明思路，为今后的学习提供帮助。】
活动四：揭示“抽屉原理”，渗透数学文化
师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数
学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。
（简要介绍抽屉原理）
课后阅读：在我国的古代也有很多小故事，体现着“抽屉原理”中的大智慧。老师
今天就给大家带来这样的一个小故事——《二桃杀三士》（见附件）
【设计意图：介绍“抽屉原理”的提出，并通过历史小故事，渗透数学文化，也培
养学生的阅读审题、提取信息的能力，丰富“抽屉原理”的应用。】
课堂小结
本节课你有哪些收获？（知识+方法）
附：二桃杀三士
同学们你们“二桃杀三士”这个成语故事它来源于《晏子春秋.谏下二》，公孙接、田开
疆、古冶子事景公，以勇力搏虎闻。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过
不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他
们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小
吃桃。
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，
拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出
了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，
赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸
再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒
功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此
而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。 晏子采用借“桃”杀人的办法，
不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。 值得指出的是，在晏子的
权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。
在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两
名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个
桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免。
2024年6月4日发(作者：巧曲)
课题 乒乓球与盒子
教学内容
北京版四年级下册第八单元数学百花园乒乓球与盒子（P83）
指导思想与理论依据
《数学课程标准（2011版）》：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展
的过程。有效的教学活动的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生
是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。
数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生
的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学
生掌握恰当的数学学习方法。
学 情 分 析
抽屉原理是组合数学中一个重要的原理。学生在小学阶段涉及的排列组合问题
都较为简单，三年级的数学百花园中学生学习了“合理搭配”，即上衣与裤子的搭配
有几种方法，基本方法是连线法，学生都能掌握。四年级的组合问题为“乒乓球与
盒子”，这一内容联系实际，但思路灵活，变式多样，不易掌握。
本节内容看似简单，实则比较抽象，对于学生来说有以下3个挑战：
首先，对于抽屉原理的表述，需要很高的抽象概括能力。对“总有一个抽屉里
放入的物体数至少是多少” 这样的表述，学生不易理解，教学中学生也很难用“总
有”、“至少”这样的语言来陈述。
其次，受排列问题的影响，本节课不区分具体是哪一个抽屉，研究的是物体数
最多的一个抽屉里最少会有几个物体的这样一种现象，这对于四年级的学生来说理
解起来很有难度。尤其在枚举时，会对学生的分析造成干扰。
另外，在应用这一思想方法解决简单的实际问题时，建立乒乓球与盒子的对应
关系，并分析出实际问题中的“乒乓球”与“盒子”，这是解题的关键，对于学生来
说很具挑战性。
基于此，本节课通过创设情境、直观和实际操作等活动理解抽屉原理的内容，
掌握基本的的解题方法，初步经历简单的“数学证明”过程，为今后的学习提供必
要的经验基础。同时，在交流中引导学生对“枚举法”等方法进行比较，使学生逐
步学会有序思考，做到“不重复、不遗漏”，发展学生的思维能力。逐步形成有序地、
严密地思考问题的意识。
教 学 目 标
1. 在具体的情境中，学会运用“枚举”等方法解决问题，初步感知抽屉原理的基本
内容，即当m+1个物体放入m个抽屉中，总会有一个抽屉中放进了至少2个物体。
2. 初步经历简单的“数学证明”过程，为今后的学习积累必要的活动经验。
3. 在解决问题的过程中，感受数学知识的趣味性和魅力。
教学重难点
教学重点： 通过枚举的方式验证结论。
教学难点： 通过反证法验证结论，初步经历数学证明的过程。
教 学 过 程
导入：
师：老师这里有3个球和两个盒子，猜一猜下面老师要和大家做一个什么游戏？
预设：把3个球放进两个盒子里。
师：你猜的真准！（出示活动一）
活动一：有3个乒乓球要放到两个盒子里，可以怎么放？一共有几种放法？
师：要完成这个小游戏，老师需要两名小助手，一名同学放球，一名同学记录。谁
来试一试？（第一次记录教师演示）
预设一：一共有4种放法。
第一个盒子里放3个，第二个盒子里放0个。
第一个盒子里放0个，第二个盒子里放3个。
第一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个。
第一个盒子里放1个，第二个盒子里放2个。
板书记录结果： 盒子 盒子
三个球 3 0
0 3
2 1
1 2
预设二：一共有2种放法。
第一个盒子里放3个，第二个盒子里放0个。
第一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个。
板书记录结果： 盒子 盒子
三个球 3 0
2 1
师：一个有4种放法，一个有2种放法，请你对比观察这两种结果，这相差的2种
放法多在哪儿？
明确：在我们今天的研究中，把第一个盒子里放1个，第二个盒子里放2个，和第
一个盒子里放2个，第二个盒子里放1个，这两种不同的放法看做一种情况，都是
是一个盒子里放2个，另一个盒子放1个。两个盒子是完全一样的，不再区分是哪
一个盒子。
引导：3个球放进2个盒子里，一共有两种放法。请你观察每一种放法，看一看装
的最多的盒子里都装了几个球？
预设：在这两种放法中，装得最多的那个盒子里要么装有2个乒乓球，要么装有3
个。（将装的最多的盒子中的数字描红）
【设计意图：通过对比观察，明确今天研究的问题中不区分盒子，在结果中，引导
学生观察每种放法中装的最多的盒子中的球的数量。】
活动二：把4个球放进3个盒子里呢？可以怎么放？一共有几种放法？
师：如果乒乓球和盒子的数量分别增加1个，你能找到所有不同的放法吗？
合作提示：小组分工合作，一名同学边说边放，另一名同学负责记录。把您们的结
果记录到学习单上。
活动时间：2分钟。
找两组同学到前面演示、交流。（一组无序、一组有序）
（出示PPT）提问：
① 请你仔细观察他们两个小组的记录结果，看看他们的方法有什么不同？
② 哪种放球的方法最不容易遗漏？
小组汇报：
① 盒子 盒子 盒子
3 1 0
2 2 0
4 0 0
2 1 1
② 盒子 盒子 盒子
4 0 0
3 1 0
2 2 0
2 1 1
师：还有其他小组有不同的放法吗？
（少的不全，多的删掉，再次强调不区分盒子。）
讨论问题①：请你仔细观察他们两个小组的记录结果，看看他们的方法有什么不同？
预设：第一种放法没有规律，第二种放法第一个盒子依次是4、3、2、2，有一定的
规律。
讨论问题②：哪种放球的方法最不容易丢？
预设：第二种方法。
追问：你观察到他们是怎么放的？
预设：先把4个球都放进一个盒子里，然后从前一个盒子里拿出一个放进下一个盒
子里，依次从前一个盒子中拿出一个球分到后面的盒子里。
师：谁听懂了？再来说一说。
师：你们观察的真仔细，不仅找到了所有的放法，还做到了有序思考。谁能概括一
下他们的方法？
小结：①先让一个盒子有序放球，再把后面盒子的不同放法找全。
②摆放时要有序思考，有规律地找到所有的方法，做到不重复、不遗漏。
提问：观察最多的盒子里球的数量是什么样的？（将装的最多的盒子中的数字描红）
最多装几个？最少装几个？
师：我们把最少装2个这种情况叫做至少装两个。
小结：（指着数字）把4个乒乓球放进3个盒子里，不管怎么放，总会有一个盒子至
少装有2个球。
【设计意图：引入枚举法，巩固建立乒乓球与盒子的对应关系。引导学生进行有序
思考，在枚举的过程中做到不重不漏。体会“至少”表达的意思，初步理解“抽屉
原理”的基本内容。】
活动三：如果把5个乒乓球放进4个盒子里，会发生什么情况？
师：先猜测一下。（简要板书学生的猜想）
生：不管怎么放，也一定有一个盒子里至少放进了2个球。
师：你能想办法来验证你的猜想吗？试试看。
合作提示：
①有序思考
②放完第一个盒子的时候，多想想后面的几个盒子可能有多少种放法，一定要考虑
全。
学生动手操作，全班交流。
预设一：
盒子 盒子 盒子 盒子
5 0 0 0
4 1 0 0
3 2 0 0
3 1 1 1
2 2 1 0
2 1 1 1
提问：观察放球最多的盒子里（圈出来），最多放了多少个？最少放了多少个？
预设：最多放5个，最少放2个。
师：果然验证了我们的猜想。把5个乒乓球放进4个盒子里，不管怎么放，总会有
一个盒子至少放2个球。
预设二：找“最不利”的情况，先把所有的乒乓球平均分，每个盒子里只放一个，
最后还剩下一个球，这个球不管怎么放，总有一个盒子里会放进2个球。
师：连最不利的情况都能够保证结论成立，那么这个想法一定是正确的。
（这个方法较难，引导。）
交流与讨论：
①观察三次试验，你都发现了哪些规律？
（可以借助刚刚学习的证明方法，说说你的发现。）
发现1：关注球与盒子的数量关系。
预设：球的数量比盒子的数量多1.
预设举例：①正例：把6个球放进5个盒子里。
②反例：把6个球放进7个盒子里。
发现2：发现盒子里球的数量最多就是所给球的数量；最少是不管哪种放法，总有
一个盒子里至少放两个球。（板书：至少放2个）
②这两个规律谁决定了谁？（存在哪个规律才有另一个规律？）
预设：第一个发现决定了第二个。当球比盒子的数量多1时，不管怎么放，总有一
个盒子里至少放2个球。
【设计意图：理解概括“抽屉原理”的基本原理，培养学生的类推能力。形成抽象
的数学思维。巩固枚举法，补充反证法，给予不同的解决问题的策略，让学有余力
的学生能够尽力更为严谨的证明思路，为今后的学习提供帮助。】
活动四：揭示“抽屉原理”，渗透数学文化
师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数
学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。
（简要介绍抽屉原理）
课后阅读：在我国的古代也有很多小故事，体现着“抽屉原理”中的大智慧。老师
今天就给大家带来这样的一个小故事——《二桃杀三士》（见附件）
【设计意图：介绍“抽屉原理”的提出，并通过历史小故事，渗透数学文化，也培
养学生的阅读审题、提取信息的能力，丰富“抽屉原理”的应用。】
课堂小结
本节课你有哪些收获？（知识+方法）
附：二桃杀三士
同学们你们“二桃杀三士”这个成语故事它来源于《晏子春秋.谏下二》，公孙接、田开
疆、古冶子事景公，以勇力搏虎闻。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过
不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他
们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小
吃桃。
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，
拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出
了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，
赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸
再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒
功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此
而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。 晏子采用借“桃”杀人的办法，
不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。 值得指出的是，在晏子的
权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。
在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两
名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个
桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免。