2024年6月5日发(作者：纳俊驰)

2023—2024学年度九年级上学期期中测试

数学试卷

（考试时间为120分钟，满分为120分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只

有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

1．将

x



x2



5

化成一般式

ax

2

bxc0

后，

a

，

b

，

c

的值分别是（）

A．1，2，

5

B．1，

2

，

5

C．1，

2

，5D．1，2，5

2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

A．B．

C．

2

D．

3．把抛物线

yx

向右平移2个单位，再向下平移3`个单位，得到抛物线为（）

A．

y



x2



3

2

2

B．

y



x2



3

2

2

C．

y



x2



3

2

D．

y



x2



3

2

4．将二次函数

yx6x2

化成

y



xh



k

的形式应为（）

A．

y



x3



7

2

B．

y



x3



11

2

C．

y



x3



11

2

D．

y



x3



7

2

5．已知一元二次方程

x

2

4x10

的两根分别为

m

，

n

，则

mnmn

的值是（）

A．

5

B．

3

C．3D．5

6．如图，在

△ABC

中，

ABAC

，

BAC100

，在同一平面内，将

△ABC

绕点

A

顺时针旋转到

△AB

1

C

1

的位置，连接

BB

1

，若

BB

1

∥AC

1

，则

CAC

1

的度数是（）

A．

10

B．

20

C．

30

D．

40

7．如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成

一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是

70cm

2

，求剪去的小正方形的边长．设剪去

的小正方形的边长是

xcm

，根据题意，可列方程为（）

A．

12949x70

C．



12x



9x



70

B．

1294x

2

70

D．



122x



92x



70

8．如图，圆内接四边形

ABCD

中，

BCD105

，连接

OB

，

OC

，

OD

，

BD

，

BOC2COD

．则

CBD

的度数是（）

A．

20

B．

25

C．

30

D．

35

9．如图，在

△OBC

中，顶点

O



0,0



，

B



2,2



，

C



2,2



．将

△OBC

与正方形

ABCD

组成的图形绕点

O

逆时针旋转，每次旋转

90

，则第2023次旋转结束时，点

A

的坐标为（）

A．



6,2



B．



2,6



C．



6,2



D．



6,2



10．如图，平行四边形

ABCD

中，

AB12

，

AD10

，

A60

，

E

是边

AD

上一点，且

AE6

，

F

是边

AB

上的一个动点，将线段

EF

绕点

E

顺时针旋转

60

，得到

EN

，连接

BN

、

CN

，则

BNCN

的最

小值是（）

A．

321

B．

414

D．14C．

413

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接

填在答题卡指定的位置。

11．在平面直角坐标系中，点

P



5,3



关于原点的对称点

P



的坐标是________

12．某次晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物110件，则参加晚会的同学共有________人．

13．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以

O

为圆心的圆的一部分，如果

D

是

⊙O

中弦

AB

的中点，

CD

经过圆心

O

交

⊙O

于点

C

，

AB24

，

CD18

，则此圆的半径

OA

的长为________．

14．为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，

发现铅球在行进过程中高度

y

（m）与水平距离

x

（m）之间的关系为

y

次投掷的成绩是________m．

2

(x2)

2

2

，由此可知小明此

25

15．抛物线

yaxbxc

的顶点为

D



1,4



，与

x

轴的一个交点

A

在点



3,0



和



2,0



之间（不包含端点），

2

则以下结论：①

abc0

；②

b2a

；③

4a1

；④

ac2b1

．其中正确结论为________．（填序号）

16．已知直线

y2x2m

与抛物线

yxmx1

，当

1x3

时，它们有且只有一个公共点．则

m

的取

值范围为________．

2

三、解答题（共52分）

17．（8分）关于

x

的一元二次方程

x

2

6xk0

，若方程的一个根

x

1

2

，求

k

的值和方程的另一个根

x

2

．

18．（8分）如图为二次函数

yx2x3

的图象，试观察图象回答下列问题：

2

（1）写出方程

x

2

2x30

的解为

x

1



________，

x

2



________；

（2）当

y0

时，直接写出

x

的取值范围为________；

（3）方程

x

2

2x3t

有实数根，的取值范围是________；

（4）当

3x3

时，直接写出

y

的取值范围是________．

19．（8分）如图，将矩形

ABCD

绕着点

C

按顺时针方向旋转得到矩形

FECG

，点

B

与点

E

对应，点

E

恰好

落在

AD

边上，

BHCE

交于点

H

．

（1）求证：

ABBH

；

（2）连接

BG

交

CH

于

O

，已知

AB5

，

BC13

，求

BG

的长．

20．（8分）如图，

AB

是

⊙O

的直径，

AC

是弦，

D

是

AC

弧上一点，

P

是

AB

延长线上一点，连接

AD

，

DC

，

CP

．若

BAC



．

（1）求

ADC

的度数（用含



的代数式表示）；

（2）若

ACPADC

，

⊙O

的半径为6，

CP2BP

，求

AP

的长．

21．（8分）请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，已知

AB

是

⊙O

的直径，四边形

AODE

是平行四

边形，①如图1，当点

D

在圆上时，作

BAC

的角平分线

AM

：②如图2，当点

D

不在圆上时，作

BAC

的角平分线

AM

．

图1图2

（2）如图3，矩形

ABCD

内接于

⊙O

．点

E

是

CD

边的中点，作

ABD

的角平分线

BM

．（点

M

均在

⊙O

上）

图3

22．（10分）我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测

试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费

用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排

x

人生产乙

产品．

（1）求每天生产甲产品可获得的利润

y

1

（元）和乙产品可获得的利润

y

2

（元）与

x

之间的函数关系式；

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的梨润多1250元，求

x

的值；

（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为

W

（元），求

W

的最大值和相应的

x

的值。

23．（10分）如图，

△ABC

为等边三角形，

D

为平面内任意一点，连接

AD

．

（1）如图1，

D

在

BC

边上时，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

60

得到

AE

，连接

DE

，

CE

．直接写出

BD

与

CE

的数量关系为________；直线

BD

与

CE

所夹锐角为________度：

图1

（2）如图2，

D

在

BC

边上时，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

120

得到

AE

，连接

BE

交

AC

于

F

，

G

为

AB

边

的中点，连接

FG

．猜想

FG

与

AE

存在的关系，并证明你的猜想。

图2

（3）如图3，

D

为

△ABC

外一点，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

60

得到

AE

，连接

DE

，取

BC

，

DE

的中

点

M

，

N

，连接

MN

．试问：

MN

的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值：若变化，请说明理

BD

由．

图3

24．（12分）已知过点

D



0,2



的直线

AD

：

y

11

x2

与抛物线

G

1

：

yx

2

bxc

的图象交于点

A

，

24

B

，点

A

在

x

轴上，抛物线与

y

轴交于点

C



0,2



．

图1备用图图2备用图

（1）求抛物线

G

1

的解析式；

（2）点

P

是抛物线上的一个动点，设点

P

的横坐标为

m

．过点

P

作

y

轴的平行线，交直线

AB

于点

H

，交

x

轴于点

E

．当

BAC2PDH

时，求

m

的值．

（3）将抛物线

G

1

平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线

G

2

，过点

Q



2,3



的直线交抛物线

G

2

于

T

、

N

两点，过点

F



6,3



的直线交抛物线

G

2

于

T

、

M

两点．求证：直线

MN

过定点，并求出定点的坐标．

2023—2024学年度九年级上学期期中测试

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只

有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

1-5：ACDCA6-10：BDBAD

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接

填在答题卡指定的位置。

2024年6月5日发(作者：纳俊驰)

2023—2024学年度九年级上学期期中测试

数学试卷

（考试时间为120分钟，满分为120分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只

有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

1．将

x



x2



5

化成一般式

ax

2

bxc0

后，

a

，

b

，

c

的值分别是（）

A．1，2，

5

B．1，

2

，

5

C．1，

2

，5D．1，2，5

2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

A．B．

C．

2

D．

3．把抛物线

yx

向右平移2个单位，再向下平移3`个单位，得到抛物线为（）

A．

y



x2



3

2

2

B．

y



x2



3

2

2

C．

y



x2



3

2

D．

y



x2



3

2

4．将二次函数

yx6x2

化成

y



xh



k

的形式应为（）

A．

y



x3



7

2

B．

y



x3



11

2

C．

y



x3



11

2

D．

y



x3



7

2

5．已知一元二次方程

x

2

4x10

的两根分别为

m

，

n

，则

mnmn

的值是（）

A．

5

B．

3

C．3D．5

6．如图，在

△ABC

中，

ABAC

，

BAC100

，在同一平面内，将

△ABC

绕点

A

顺时针旋转到

△AB

1

C

1

的位置，连接

BB

1

，若

BB

1

∥AC

1

，则

CAC

1

的度数是（）

A．

10

B．

20

C．

30

D．

40

7．如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成

一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是

70cm

2

，求剪去的小正方形的边长．设剪去

的小正方形的边长是

xcm

，根据题意，可列方程为（）

A．

12949x70

C．



12x



9x



70

B．

1294x

2

70

D．



122x



92x



70

8．如图，圆内接四边形

ABCD

中，

BCD105

，连接

OB

，

OC

，

OD

，

BD

，

BOC2COD

．则

CBD

的度数是（）

A．

20

B．

25

C．

30

D．

35

9．如图，在

△OBC

中，顶点

O



0,0



，

B



2,2



，

C



2,2



．将

△OBC

与正方形

ABCD

组成的图形绕点

O

逆时针旋转，每次旋转

90

，则第2023次旋转结束时，点

A

的坐标为（）

A．



6,2



B．



2,6



C．



6,2



D．



6,2



10．如图，平行四边形

ABCD

中，

AB12

，

AD10

，

A60

，

E

是边

AD

上一点，且

AE6

，

F

是边

AB

上的一个动点，将线段

EF

绕点

E

顺时针旋转

60

，得到

EN

，连接

BN

、

CN

，则

BNCN

的最

小值是（）

A．

321

B．

414

D．14C．

413

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接

填在答题卡指定的位置。

11．在平面直角坐标系中，点

P



5,3



关于原点的对称点

P



的坐标是________

12．某次晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物110件，则参加晚会的同学共有________人．

13．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以

O

为圆心的圆的一部分，如果

D

是

⊙O

中弦

AB

的中点，

CD

经过圆心

O

交

⊙O

于点

C

，

AB24

，

CD18

，则此圆的半径

OA

的长为________．

14．为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，

发现铅球在行进过程中高度

y

（m）与水平距离

x

（m）之间的关系为

y

次投掷的成绩是________m．

2

(x2)

2

2

，由此可知小明此

25

15．抛物线

yaxbxc

的顶点为

D



1,4



，与

x

轴的一个交点

A

在点



3,0



和



2,0



之间（不包含端点），

2

则以下结论：①

abc0

；②

b2a

；③

4a1

；④

ac2b1

．其中正确结论为________．（填序号）

16．已知直线

y2x2m

与抛物线

yxmx1

，当

1x3

时，它们有且只有一个公共点．则

m

的取

值范围为________．

2

三、解答题（共52分）

17．（8分）关于

x

的一元二次方程

x

2

6xk0

，若方程的一个根

x

1

2

，求

k

的值和方程的另一个根

x

2

．

18．（8分）如图为二次函数

yx2x3

的图象，试观察图象回答下列问题：

2

（1）写出方程

x

2

2x30

的解为

x

1



________，

x

2



________；

（2）当

y0

时，直接写出

x

的取值范围为________；

（3）方程

x

2

2x3t

有实数根，的取值范围是________；

（4）当

3x3

时，直接写出

y

的取值范围是________．

19．（8分）如图，将矩形

ABCD

绕着点

C

按顺时针方向旋转得到矩形

FECG

，点

B

与点

E

对应，点

E

恰好

落在

AD

边上，

BHCE

交于点

H

．

（1）求证：

ABBH

；

（2）连接

BG

交

CH

于

O

，已知

AB5

，

BC13

，求

BG

的长．

20．（8分）如图，

AB

是

⊙O

的直径，

AC

是弦，

D

是

AC

弧上一点，

P

是

AB

延长线上一点，连接

AD

，

DC

，

CP

．若

BAC



．

（1）求

ADC

的度数（用含



的代数式表示）；

（2）若

ACPADC

，

⊙O

的半径为6，

CP2BP

，求

AP

的长．

21．（8分）请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，已知

AB

是

⊙O

的直径，四边形

AODE

是平行四

边形，①如图1，当点

D

在圆上时，作

BAC

的角平分线

AM

：②如图2，当点

D

不在圆上时，作

BAC

的角平分线

AM

．

图1图2

（2）如图3，矩形

ABCD

内接于

⊙O

．点

E

是

CD

边的中点，作

ABD

的角平分线

BM

．（点

M

均在

⊙O

上）

图3

22．（10分）我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测

试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费

用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排

x

人生产乙

产品．

（1）求每天生产甲产品可获得的利润

y

1

（元）和乙产品可获得的利润

y

2

（元）与

x

之间的函数关系式；

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的梨润多1250元，求

x

的值；

（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为

W

（元），求

W

的最大值和相应的

x

的值。

23．（10分）如图，

△ABC

为等边三角形，

D

为平面内任意一点，连接

AD

．

（1）如图1，

D

在

BC

边上时，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

60

得到

AE

，连接

DE

，

CE

．直接写出

BD

与

CE

的数量关系为________；直线

BD

与

CE

所夹锐角为________度：

图1

（2）如图2，

D

在

BC

边上时，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

120

得到

AE

，连接

BE

交

AC

于

F

，

G

为

AB

边

的中点，连接

FG

．猜想

FG

与

AE

存在的关系，并证明你的猜想。

图2

（3）如图3，

D

为

△ABC

外一点，将

AD

绕点

A

逆时针旋转

60

得到

AE

，连接

DE

，取

BC

，

DE

的中

点

M

，

N

，连接

MN

．试问：

MN

的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值：若变化，请说明理

BD

由．

图3

24．（12分）已知过点

D



0,2



的直线

AD

：

y

11

x2

与抛物线

G

1

：

yx

2

bxc

的图象交于点

A

，

24

B

，点

A

在

x

轴上，抛物线与

y

轴交于点

C



0,2



．

图1备用图图2备用图

（1）求抛物线

G

1

的解析式；

（2）点

P

是抛物线上的一个动点，设点

P

的横坐标为

m

．过点

P

作

y

轴的平行线，交直线

AB

于点

H

，交

x

轴于点

E

．当

BAC2PDH

时，求

m

的值．

（3）将抛物线

G

1

平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线

G

2

，过点

Q



2,3



的直线交抛物线

G

2

于

T

、

N

两点，过点

F



6,3



的直线交抛物线

G

2

于

T

、

M

两点．求证：直线

MN

过定点，并求出定点的坐标．

2023—2024学年度九年级上学期期中测试

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只

有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

1-5：ACDCA6-10：BDBAD

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接

填在答题卡指定的位置。