2024年6月5日发(作者：莫暖姝)

2015年计量经济学第二次作业答案

（chap3-4）

1. 现利用随机

{y

i

,x

1i

,x

2i

}

i1

将被解释变量

y

关于解释变量

x

1

和

x

2

进行OLS回归估计，

x

1

和

n

ˆ

和



ˆ

。假设

x

和

x

是正交的，即



xx



xx



0

，证

x

2

系数的估计分别为





i11i22

12

2

1

i1

n

明上述二元回归与

y

关于

x

1

和

x

2

分别进行OLS回归估计的两个一元回归给出相同的系数估

计，即

ˆ





1





x

i1

n

i1

n

i1

x

1



y

i

,

x

1



2





x

ˆ





2





x

i1

n

i1

n

i2

x

2



y

i

.

x

2



2

i1





x

i2

ˆ

，对称地可证



ˆ

。由二元回归的“partialling-out”方法，有 答案：仅证



2

1

ˆ





1



r

ˆ

y

1i

i1

n

n

i

,



r

ˆ

i1

2

1i

ˆˆ

ˆ

其中

r

1i

x

1i





0





2

x

2i

是

x

1

关于

x

2

回归的残差。因

x

1

和

x

2

是正交的，有

ˆ

2







(x

i1

n

1i

x

1

)(x

2i

x

2

)



0,

2i



(x

i1

n

n

x

2

)

2

ˆ

0

x

1

,

r

ˆ

故



1i

x

1i

x

1

。从而

ˆ





1



r

ˆ

y



(

x

1ii

i1

n

n

1i

x

1

)

y

i

,

x

1

)

2





r

ˆ

i1

2

i1

n

1i



(

x

i1

1i

这是

y

关于

x

1

进行OLS回归估计时

x

1

的系数估计。

2. 如下模型研究的是课堂出席率对期末考试分数的影响：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i

u

i

,i1,...,n

，

其中，

stndfnl

是期末考试分数，

atndrte

是课堂出席率，

priGPA

是入学试分数，n是样本

1

容量。假设该模型满足Gauss-Markov假设，是真实模型。请回答如下问题：

[1] 某研究员在进行OLS估计时忽略了变量

priGPA

，得到了如下结果：

ˆ





ˆ

atndrte

stndfnl

i





01i

ˆ

无偏，在什么条件下



ˆ

有偏。 请通过推导，分析在什么条件下



11

ˆ

是上偏还是下偏。请简述理由。 [2] 在问题[1]中，你是否能分析出



1

[3] 某研究员设定了如下模型研究出席率对期末考试分数的影响：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i





3

idnum



i

其中，

idnum

是学生身份证的后四位数字，这个变量是电脑随机生成的，与

stndfnl

独立。

对应的OLS估计结果为：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i





3

请分析



1

是

idnum

i

。

否为无偏估计量。

[4] 把真实模型中



1

的OLS估计量记为



1

，比较



1

和



1

的条件方差。

答案：[1]

ˆ







1



(atndrte

i

atndrte)stndfnl

i



(atndrteatndrte)

i

i0

i

2



(atndrteatndrte)(







atndrte





(atndrteatndrte)

1i

2

2

priGPA

i

u

i

)

ˆ

|atndrte,...,atndrte,priGPA,...,priGPA)E(



11n1n





1





2



(atndrteatndrte)priGPA



(atndrteatndrte)

i

2

i

i





1





2



1

ˆ

无偏。 从上面推导可知，当



2

等于零或者



1

等于零时，



1

ˆ

有偏，偏误为



。 当



2

和



1

同时不等于零时，



121

ˆ

偏误的方向决定于



和



的符号。从经济直觉看，入学试分数代表了学生的学习能[2]



2

11

力（或其他获得高分数的因素），学习能力越强，期末考试分数也会越高，因此

priGPA

对

stndfnl

的影响方向为正，即



2

0

；然而通过经济直觉或理论，

priGPA

对

atndrte

的影

响方向并不是很好判断。如果学习能力较高的学生具有较高的课堂出席率，即



1

0

，此时

2

2024年6月5日发(作者：莫暖姝)

2015年计量经济学第二次作业答案

（chap3-4）

1. 现利用随机

{y

i

,x

1i

,x

2i

}

i1

将被解释变量

y

关于解释变量

x

1

和

x

2

进行OLS回归估计，

x

1

和

n

ˆ

和



ˆ

。假设

x

和

x

是正交的，即



xx



xx



0

，证

x

2

系数的估计分别为





i11i22

12

2

1

i1

n

明上述二元回归与

y

关于

x

1

和

x

2

分别进行OLS回归估计的两个一元回归给出相同的系数估

计，即

ˆ





1





x

i1

n

i1

n

i1

x

1



y

i

,

x

1



2





x

ˆ





2





x

i1

n

i1

n

i2

x

2



y

i

.

x

2



2

i1





x

i2

ˆ

，对称地可证



ˆ

。由二元回归的“partialling-out”方法，有 答案：仅证



2

1

ˆ





1



r

ˆ

y

1i

i1

n

n

i

,



r

ˆ

i1

2

1i

ˆˆ

ˆ

其中

r

1i

x

1i





0





2

x

2i

是

x

1

关于

x

2

回归的残差。因

x

1

和

x

2

是正交的，有

ˆ

2







(x

i1

n

1i

x

1

)(x

2i

x

2

)



0,

2i



(x

i1

n

n

x

2

)

2

ˆ

0

x

1

,

r

ˆ

故



1i

x

1i

x

1

。从而

ˆ





1



r

ˆ

y



(

x

1ii

i1

n

n

1i

x

1

)

y

i

,

x

1

)

2





r

ˆ

i1

2

i1

n

1i



(

x

i1

1i

这是

y

关于

x

1

进行OLS回归估计时

x

1

的系数估计。

2. 如下模型研究的是课堂出席率对期末考试分数的影响：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i

u

i

,i1,...,n

，

其中，

stndfnl

是期末考试分数，

atndrte

是课堂出席率，

priGPA

是入学试分数，n是样本

1

容量。假设该模型满足Gauss-Markov假设，是真实模型。请回答如下问题：

[1] 某研究员在进行OLS估计时忽略了变量

priGPA

，得到了如下结果：

ˆ





ˆ

atndrte

stndfnl

i





01i

ˆ

无偏，在什么条件下



ˆ

有偏。 请通过推导，分析在什么条件下



11

ˆ

是上偏还是下偏。请简述理由。 [2] 在问题[1]中，你是否能分析出



1

[3] 某研究员设定了如下模型研究出席率对期末考试分数的影响：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i





3

idnum



i

其中，

idnum

是学生身份证的后四位数字，这个变量是电脑随机生成的，与

stndfnl

独立。

对应的OLS估计结果为：

stndfnl

i





0





1

atndrte

i





2

priGPA

i





3

请分析



1

是

idnum

i

。

否为无偏估计量。

[4] 把真实模型中



1

的OLS估计量记为



1

，比较



1

和



1

的条件方差。

答案：[1]

ˆ







1



(atndrte

i

atndrte)stndfnl

i



(atndrteatndrte)

i

i0

i

2



(atndrteatndrte)(







atndrte





(atndrteatndrte)

1i

2

2

priGPA

i

u

i

)

ˆ

|atndrte,...,atndrte,priGPA,...,priGPA)E(



11n1n





1





2



(atndrteatndrte)priGPA



(atndrteatndrte)

i

2

i

i





1





2



1

ˆ

无偏。 从上面推导可知，当



2

等于零或者



1

等于零时，



1

ˆ

有偏，偏误为



。 当



2

和



1

同时不等于零时，



121

ˆ

偏误的方向决定于



和



的符号。从经济直觉看，入学试分数代表了学生的学习能[2]



2

11

力（或其他获得高分数的因素），学习能力越强，期末考试分数也会越高，因此

priGPA

对

stndfnl

的影响方向为正，即



2

0

；然而通过经济直觉或理论，

priGPA

对

atndrte

的影

响方向并不是很好判断。如果学习能力较高的学生具有较高的课堂出席率，即



1

0

，此时

2