2024年6月6日发(作者：闳嘉许)

排列组合

排列定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n

个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。

组合定义：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元

素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要

较强的抽象思维能力；

(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别

是逻辑关联词和量词)准确理解；

(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方

案时需要的思维量较大；

(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们

搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有

n

类办法，在第1类办法中有

m

1

种不同的方法，在

第2类办法中有

m

2

种不同的方法，…，在第

n

类办法中有

m

n

种不同

的方法，那么完成这件事共有：

Nm

1

m

2

m

n

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成

n

个步骤，做第1步有

m

1

种不同的方法，做

第2步有

m

2

种不同的方法，…，做第

n

步有

m

n

种不同的方法，那么

完成这件事共有：

Nm

1

m

2

m

n

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件

事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，

不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分

类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素

总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常

用的解题策略

具体情况分析

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素

占了这两个位置.

1

先排末位共有

C

3

1

然后排首位共有

C

4

131

C

4

A

4

C

3

最后排其它位置共有

A

4

3

113

C

3

A

4

288

由分步计数原理得

C

4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中

间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的

排法.

2024年6月6日发(作者：闳嘉许)

排列组合

排列定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n

个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。

组合定义：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元

素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要

较强的抽象思维能力；

(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别

是逻辑关联词和量词)准确理解；

(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方

案时需要的思维量较大；

(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们

搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有

n

类办法，在第1类办法中有

m

1

种不同的方法，在

第2类办法中有

m

2

种不同的方法，…，在第

n

类办法中有

m

n

种不同

的方法，那么完成这件事共有：

Nm

1

m

2

m

n

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成

n

个步骤，做第1步有

m

1

种不同的方法，做

第2步有

m

2

种不同的方法，…，做第

n

步有

m

n

种不同的方法，那么

完成这件事共有：

Nm

1

m

2

m

n

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件

事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，

不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分

类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素

总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常

用的解题策略

具体情况分析

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素

占了这两个位置.

1

先排末位共有

C

3

1

然后排首位共有

C

4

131

C

4

A

4

C

3

最后排其它位置共有

A

4

3

113

C

3

A

4

288

由分步计数原理得

C

4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中

间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的

排法.