2024年6月10日发(作者：云诗兰)
4.2 扩展经验正交函数分解（EEOF）
经验正交函数的优点在于其能用相对少的函数及时间权重来描述复杂的气象场的变化。
然而，气象场不仅在空间上有高度的相关性，而且在时间上有自相关及交叉相关。同时利用
空间、时间上的相关性压缩资料可能比经典的EOF分析更有效，也更利于物理解释。Wear
（1982）提出的扩展EOF分析，其基本方法类似EOF分析，但资料矩阵包含了几个时间上
连续的值。
分解方法：设m为空间点，n为时间点。EEOF(Extended Empirical Orthogonal Function)
考虑了时间上的自相关和交叉相关，取
X
3m(n2)
x
11
...
x
m1
x
12
...
x
m2
x
13
...
x
m3
x
12
...
x
13
...
x
14
...
...
...
...
...
...
...
x
m2
...
x
m3
...
x
m4
...
x
1n2
...
x
mn2
x
1n1
...
x
mn1
x
1n
...
x
mn
上面矩阵实际上是由t，t＋1，t＋2三个时刻的资料组成。第一行到第m行对应t时刻
的资料，第m＋1行到第2m行对应t＋1时刻，第2m＋1行到第3m行对应t＋2时刻。
AXX
T
A是一个后延相关矩阵，因为它既包含同时刻，又包含后延1个时刻和2个时刻的元素
值相乘的和。A矩阵为3m阶，可以求出3m个特征值
1
,
2
,...,
3m
，以及3m个特征向量
v
1
,v
2
,...,v
3m
。其中，每一个特征向量都是3m维列向量。由此
V(v
1
,v
2
,...,v
3m
)
TV
T
X
分解式为
XVZ
分析及应用：
EEOF分析方法与EOF的分析略有不同。其特征向量是3m维，故有
v
i
(v
i1
v
i2
...v
im
v
im1
v
im2
...v
i2m
v
i2m1
v
i2m2
...v
i3m
)
对应t
1
对应t
2
对应t
3
所以
v
1
所对应的m个空间点上有3张特征向量图，分别对应
t
1
,t
2
,t
3
时刻。从这三个时
刻的特征向量图上可以看出气象量场形势的变化和前进、后退的速度。这种信息在传统的
EOF中是得不到的。由于时间系数矩阵Z是3m行，n-2列，所以相应的时间权重也可由Z
得到。
需要指出的是，EEOF分析的资料矩阵不一定在（t，t＋1，t＋2）时次上给出，也可以
在（t，t＋3，t＋5），（t，t＋2，t＋4），…等时次上给出。但当资料场中时间持续性差的时
候，EEOF不如EOF容易解释。
4.3 复经验正交函数分解（CEOF）
复经验正交函数（Complex Empirical Orthogonal Function）是Barnett（1983）在研究季
风和信风系统之间相互作用时采用的方法。这种方法能清楚的表现出物理量场位相的变化及
空间传播特征。而一般的EOF只能揭露空间波动的驻波，对行波无能为力。
展开方法：
设实资料矩阵元素为
u
it
(i1,2,...,m;t1,2,...,n)
下标i，t分别表示空间点和时间序列
it
，组成复数矩阵 长度。首先用Hilbert变换，变换出虚部资料
u
it
)
U(x,t)
m
U
n
(u
it
iu
则CEOF模型为
m
U
n
(x,t)
m
B
n
(X)
m
P
n
(t)
H
mn
且需要满足
m
B
mm
B
m
I
m
P(
m
P
n
)
H
B
m
是m×m阶空间函数矩阵，列向量标准正交；
m
P
n
是m×n阶时间函数，行向量正
交。其中上标H为转置共轭。
因为
U
U
H
m
B
m
m
P
n
(
m
P
n
)
H
m
B
m
H
m
B
m
m
m
B
m
H
UU
H
是一个Hermite矩阵，由相关数学定理知
m
B
m
H
(UU
H
)
m
B
m
H
由上面两式可知，
m
B
m
是由
UU
的特征向量作为列向量组成。所以，可得
H
PB
mnmm
m
U
n
H
综上所述，CEOF的计算归结为求Hermite矩阵
UU
的特征值和特征向量问题。
由此在复空间函数和时间函数基础上求出表征振荡和移动特征的空间振幅函数
S
k
(x)
（第k个，下同），空间位相函数
Q
k
(x)
，时间振幅函数
S
k
(t)
和时间位相函数
Q
k
(t)
，表达
式如下
*
S
k
(x)[B
k
(x)B
k
(x)]
1/2
ImB
k
(x)
Q
k
(x)arctan
ReB
k
(x)
*
S
k
(t)
P(t)P(t)
kk
1/2
ImP
k
(x)
Q
k
(t)arctan
ReP
k
(t)
式中x表示空间点，t为时间点，k为特征向量序号，
B
k
(x)
表示第k个特征值对应的
特征向量，Im、Re分别表示虚部和实部，
B
k
(x)、P
k
(t)
分别是
B
k
(x)、P
k
(t)
的共轭。
共轭定义为两个实部相同，虚部相反的复数。比如
**
Caib
*
Caib
称为共轭复数。
Hilbert(希尔伯特)变换：
CEOF分析时，要把原序列变为复数序列，这可以通过Hilbert变换来实现。
把原序列记为
u
i
(t)
，用Hilbert变换把这一时间序列变为它的虚部，记为
u
j
(t)
^
lL
u(tl)h(l)
j
L
l
为滤波器长度，取
7
25
2
2
l
sin()
l0
其中
h(l)
l
2
0
l0
可以证明，这一变换相当于
相位差的滤波过程。
2
如果在时间域方面考虑，
u
i
(t)
作傅立叶展开
u
i
(t)
a
i
(
)cos
tb
i
(
)sin
t
则
u
i
(t)
[a
i
(
)cos(
t90
)b
i
(
)sin(
t90
)]
^
[b
i
(
)cos
ta
i
(
)sin
t]
其中，
为圆频率，
a
i
(
),b
i
(
)
为傅立叶系数，
1
a
i
(
)
T
T
0
1
T
u
i
(t)cos
tdt
b
i
(
)
u
i
t()s
itdtn
。
T
0
计算结果分析：
对于CEOF的结果进行分析，主要分析在复空间函数和复时间函数基础上得到的4个振幅和
位相函数，对于某一气候变量场的移动特征要从振幅和位相两方面考虑。因此，合理的解释
CEOF的结果并非易事，需要具备丰富的天气气候知识，并根据所要解决的问题进行合理分
析。通过空间振幅函数，分析气候变量场的空间分布结构；根据空间相位函数分析波的传播
方向;时间振幅函数反映空间结构随时间变化,由时间相位函数分析波的传播速度。
2024年6月10日发(作者：云诗兰)
4.2 扩展经验正交函数分解（EEOF）
经验正交函数的优点在于其能用相对少的函数及时间权重来描述复杂的气象场的变化。
然而，气象场不仅在空间上有高度的相关性，而且在时间上有自相关及交叉相关。同时利用
空间、时间上的相关性压缩资料可能比经典的EOF分析更有效，也更利于物理解释。Wear
（1982）提出的扩展EOF分析，其基本方法类似EOF分析，但资料矩阵包含了几个时间上
连续的值。
分解方法：设m为空间点，n为时间点。EEOF(Extended Empirical Orthogonal Function)
考虑了时间上的自相关和交叉相关，取
X
3m(n2)
x
11
...
x
m1
x
12
...
x
m2
x
13
...
x
m3
x
12
...
x
13
...
x
14
...
...
...
...
...
...
...
x
m2
...
x
m3
...
x
m4
...
x
1n2
...
x
mn2
x
1n1
...
x
mn1
x
1n
...
x
mn
上面矩阵实际上是由t，t＋1，t＋2三个时刻的资料组成。第一行到第m行对应t时刻
的资料，第m＋1行到第2m行对应t＋1时刻，第2m＋1行到第3m行对应t＋2时刻。
AXX
T
A是一个后延相关矩阵，因为它既包含同时刻，又包含后延1个时刻和2个时刻的元素
值相乘的和。A矩阵为3m阶，可以求出3m个特征值
1
,
2
,...,
3m
，以及3m个特征向量
v
1
,v
2
,...,v
3m
。其中，每一个特征向量都是3m维列向量。由此
V(v
1
,v
2
,...,v
3m
)
TV
T
X
分解式为
XVZ
分析及应用：
EEOF分析方法与EOF的分析略有不同。其特征向量是3m维，故有
v
i
(v
i1
v
i2
...v
im
v
im1
v
im2
...v
i2m
v
i2m1
v
i2m2
...v
i3m
)
对应t
1
对应t
2
对应t
3
所以
v
1
所对应的m个空间点上有3张特征向量图，分别对应
t
1
,t
2
,t
3
时刻。从这三个时
刻的特征向量图上可以看出气象量场形势的变化和前进、后退的速度。这种信息在传统的
EOF中是得不到的。由于时间系数矩阵Z是3m行，n-2列，所以相应的时间权重也可由Z
得到。
需要指出的是，EEOF分析的资料矩阵不一定在（t，t＋1，t＋2）时次上给出，也可以
在（t，t＋3，t＋5），（t，t＋2，t＋4），…等时次上给出。但当资料场中时间持续性差的时
候，EEOF不如EOF容易解释。
4.3 复经验正交函数分解（CEOF）
复经验正交函数（Complex Empirical Orthogonal Function）是Barnett（1983）在研究季
风和信风系统之间相互作用时采用的方法。这种方法能清楚的表现出物理量场位相的变化及
空间传播特征。而一般的EOF只能揭露空间波动的驻波，对行波无能为力。
展开方法：
设实资料矩阵元素为
u
it
(i1,2,...,m;t1,2,...,n)
下标i，t分别表示空间点和时间序列
it
，组成复数矩阵 长度。首先用Hilbert变换，变换出虚部资料
u
it
)
U(x,t)
m
U
n
(u
it
iu
则CEOF模型为
m
U
n
(x,t)
m
B
n
(X)
m
P
n
(t)
H
mn
且需要满足
m
B
mm
B
m
I
m
P(
m
P
n
)
H
B
m
是m×m阶空间函数矩阵，列向量标准正交；
m
P
n
是m×n阶时间函数，行向量正
交。其中上标H为转置共轭。
因为
U
U
H
m
B
m
m
P
n
(
m
P
n
)
H
m
B
m
H
m
B
m
m
m
B
m
H
UU
H
是一个Hermite矩阵，由相关数学定理知
m
B
m
H
(UU
H
)
m
B
m
H
由上面两式可知，
m
B
m
是由
UU
的特征向量作为列向量组成。所以，可得
H
PB
mnmm
m
U
n
H
综上所述，CEOF的计算归结为求Hermite矩阵
UU
的特征值和特征向量问题。
由此在复空间函数和时间函数基础上求出表征振荡和移动特征的空间振幅函数
S
k
(x)
（第k个，下同），空间位相函数
Q
k
(x)
，时间振幅函数
S
k
(t)
和时间位相函数
Q
k
(t)
，表达
式如下
*
S
k
(x)[B
k
(x)B
k
(x)]
1/2
ImB
k
(x)
Q
k
(x)arctan
ReB
k
(x)
*
S
k
(t)
P(t)P(t)
kk
1/2
ImP
k
(x)
Q
k
(t)arctan
ReP
k
(t)
式中x表示空间点，t为时间点，k为特征向量序号，
B
k
(x)
表示第k个特征值对应的
特征向量，Im、Re分别表示虚部和实部，
B
k
(x)、P
k
(t)
分别是
B
k
(x)、P
k
(t)
的共轭。
共轭定义为两个实部相同，虚部相反的复数。比如
**
Caib
*
Caib
称为共轭复数。
Hilbert(希尔伯特)变换：
CEOF分析时，要把原序列变为复数序列，这可以通过Hilbert变换来实现。
把原序列记为
u
i
(t)
，用Hilbert变换把这一时间序列变为它的虚部，记为
u
j
(t)
^
lL
u(tl)h(l)
j
L
l
为滤波器长度，取
7
25
2
2
l
sin()
l0
其中
h(l)
l
2
0
l0
可以证明，这一变换相当于
相位差的滤波过程。
2
如果在时间域方面考虑，
u
i
(t)
作傅立叶展开
u
i
(t)
a
i
(
)cos
tb
i
(
)sin
t
则
u
i
(t)
[a
i
(
)cos(
t90
)b
i
(
)sin(
t90
)]
^
[b
i
(
)cos
ta
i
(
)sin
t]
其中，
为圆频率，
a
i
(
),b
i
(
)
为傅立叶系数，
1
a
i
(
)
T
T
0
1
T
u
i
(t)cos
tdt
b
i
(
)
u
i
t()s
itdtn
。
T
0
计算结果分析：
对于CEOF的结果进行分析，主要分析在复空间函数和复时间函数基础上得到的4个振幅和
位相函数，对于某一气候变量场的移动特征要从振幅和位相两方面考虑。因此，合理的解释
CEOF的结果并非易事，需要具备丰富的天气气候知识，并根据所要解决的问题进行合理分
析。通过空间振幅函数，分析气候变量场的空间分布结构；根据空间相位函数分析波的传播
方向;时间振幅函数反映空间结构随时间变化,由时间相位函数分析波的传播速度。