2024年6月11日发(作者：辉童)

非线性Black-Scholes 期权定价模型研究

作者：董 艳

来源：《现代经济信息》 2015年第22期

董 艳 陕西铁路工程职业技术学院

摘要：本项目尝试以非线性Black-Scholes 模型下的期权定价问题为研究对象，以期权的

近似定价公式为研究目标，找出期权的一个有效的近似解，既能进行理论分析，也便于数值模

拟.

关键词：非线性；Black-Scholes 模型；期权定价；数值模拟

中图分类号：O175 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2015)022-000272-01

一、研究意义

期权是近百年来金融学领域最重要的发现之一，其产生也是二十世纪国际金融市场最为重

要的创新。由于期权没有附加任何持有者应当履行的义务、只规定了持有者所享有的权利，因

此想获得这些期权就必须支付卖方一定的费用，这便产生了期权定价问题。

二、研究现状分析

在研究期权定价的众多方法之中最具有代表性的是偏微分方程方法，另一类较为重要的期

权定价研究方法就是基于Black-Scholes偏微分方程的差分方法，此外，针对Black-Scholes

偏微分方程的数值方法还有很多，这里不再细说，只罗列文献及其使用的方法：

1. 先使用积分变换将抛物方程化为常微分方程问题再进行有限差分。由于使用积分变换直

接消去了时间变量，因此，程序结构简单、运算速度快。

2. 有限元方法。这种方法有很高的计算精度，但运算量巨大，往往需要并行计算。

3. 边界元法。边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在

连续体域内划分单元的基本思想不同，其只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函

数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。目

前使用边界元方法来研究期权定价的文献还不多见，笔者仅找到一篇。

期权定价的数值方法很多，而且已经发展的相当完善。这些数值结论在期权定价理论研究

中发挥了很大的作用，但是显式定价公式在某些方面的优点还是数值结论无法代替的。比如，

期权的显式定价公式可以很好地分析期权的性质而且不存在计算量大的问题，不会像数值结论

那样，使得学者很难在计算精度和计算速度之间取舍。不幸的是，在所有的期权适合的抛物偏

微分方程中，可以找到解析解的寥寥无几。既然对于非线性Black-Scholes 模型下的期权定价

问题没有精确定价公式，那么找到一个数学上一致性和严密的近似定价公式也不失为一个很好

的解决方法。

三、立项主要内容

1. 基于奇异摄动理论，针对非线性Black-Scholes 模型下的相关期权定价问题的研究

首先，根据混合分数布朗运动的Ito 公式和完备金融市场的精确复制策略，确定各类期权

定价问题的抛物方程模型；其次，和经典的Black-Scholes 模型下期权定价公式所满足的抛物

偏微分方程进行比对，确定需要摄动展开的变量；再次，分析这些变量是否存在可以用来摄动

展开的小参数，如果不存在，则需要引入一个或者多个小参数以便将来达到简化方程的目的；

最后，针对这些小参数进行奇异摄动展开，从而获得期权有关这些小参数的幂级数近似解。具

体研究的期权包括以下几类：欧式期权、障碍期权、阶梯期权、Bala 期权以及几何平均亚式期

权。

2. 期权的奇异摄动方法的收敛性、误差估计及其仿真分析上述奇异摄动方法是针对非线性

的Black-Scholes 模型设计的，所得结论也都是有关小参数的幂级数近似解。这一事实也自然

而然的启发我们研究近似结论的误差估计、收敛速度问题。本项目拟采用理论分析和仿真模拟

相结合的方式，以期在各领域交叉研究方面取得突破性的成果。此外，采用模拟仿真来验证理

论分析结果，也将为应用其解决实际问题奠定扎实的基础。

四、研究方案

在项目的具体实施过程中，计划按照“摄动展开—误差估计—数值验证”的步骤展开研究。

项目的具体实施过程如下：

1. 对现有的期权定价方法进行分析，具体包括：第一，研究现有的期权定价方法的有效性

和可行性。第二，寻找现有的期权定价方法的优缺点及其中存在的问题。第三，寻找相应的解

决办法。

2. 利用Keymann-Kac 公式或者Green 函数寻找近似结论的误差估计，具体包括：

Keymann-Kac 公式方法：第一，首先构造一个恰当的误差函数; 第二，其次推导误差函数满足

的抛物方程，尽量使得该抛物方程满足齐次边界条件，这方便我们采用Keymann-Kac 公式将上

述抛物问题转化为随机过程的数学期望问题；第三，再次再对数学期望进行逐步放大得到该期

权近似定价公式的一个误差估计。第四，最后通过分析误差估计有关小参数的极限性质，得到

近似结论的一致收敛性。Green 函数方法：Green 函数的功能和Keymann-Kac 公式有些类似，

它可以将抛物方程的经典解表示为积分形式。事实上，数学期望亦是一个积分计算问题，这启

发我们使用Green 函数代替Keymann-Kac 公式完成奇异摄动方法所得结论的误差估计问题。

3. 采用数值模拟来验证本项目得到的近似解和误差估计理论。

我们拟采用其它比较经典的数值方法( 比如有限差分方法、有限元方法)，在数值上验证本

项目所得结论的准确性。

参考文献：

[1] 武文娜, 周圣武, 黎伟. 分数布朗运动下支付红利的亚式期权定价[J]. 河南科技大学

学报自然科学版,2012,33(4):100-104.

[2] 黄文礼, 陶祥兴, 李胜宏. 分数维Vasicek 利率模型下的欧式期权定价公式[J]. 数

学学报中文版,2012,22(2):219-234.

[3] 任芳玲, 乔克林. 幂型几何亚式期权的微分方程定价法[J]. 陕西理工学院学

报,2012,28(3):42-44.

[4] 李志广. 参数依赖股票价格情形下的回望期权定价[J]. 数学杂志,2012,32(6):1091-

1099.

[5] 孙玉东, 师义民. 修正的Black-Scholes 模型下的欧式期权定价[J].高校应用数学学

报,2012,27(1):23-32.

2024年6月11日发(作者：辉童)

非线性Black-Scholes 期权定价模型研究

作者：董 艳

来源：《现代经济信息》 2015年第22期

董 艳 陕西铁路工程职业技术学院

摘要：本项目尝试以非线性Black-Scholes 模型下的期权定价问题为研究对象，以期权的

近似定价公式为研究目标，找出期权的一个有效的近似解，既能进行理论分析，也便于数值模

拟.

关键词：非线性；Black-Scholes 模型；期权定价；数值模拟

中图分类号：O175 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2015)022-000272-01

一、研究意义

期权是近百年来金融学领域最重要的发现之一，其产生也是二十世纪国际金融市场最为重

要的创新。由于期权没有附加任何持有者应当履行的义务、只规定了持有者所享有的权利，因

此想获得这些期权就必须支付卖方一定的费用，这便产生了期权定价问题。

二、研究现状分析

在研究期权定价的众多方法之中最具有代表性的是偏微分方程方法，另一类较为重要的期

权定价研究方法就是基于Black-Scholes偏微分方程的差分方法，此外，针对Black-Scholes

偏微分方程的数值方法还有很多，这里不再细说，只罗列文献及其使用的方法：

1. 先使用积分变换将抛物方程化为常微分方程问题再进行有限差分。由于使用积分变换直

接消去了时间变量，因此，程序结构简单、运算速度快。

2. 有限元方法。这种方法有很高的计算精度，但运算量巨大，往往需要并行计算。

3. 边界元法。边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在

连续体域内划分单元的基本思想不同，其只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函

数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。目

前使用边界元方法来研究期权定价的文献还不多见，笔者仅找到一篇。

期权定价的数值方法很多，而且已经发展的相当完善。这些数值结论在期权定价理论研究

中发挥了很大的作用，但是显式定价公式在某些方面的优点还是数值结论无法代替的。比如，

期权的显式定价公式可以很好地分析期权的性质而且不存在计算量大的问题，不会像数值结论

那样，使得学者很难在计算精度和计算速度之间取舍。不幸的是，在所有的期权适合的抛物偏

微分方程中，可以找到解析解的寥寥无几。既然对于非线性Black-Scholes 模型下的期权定价

问题没有精确定价公式，那么找到一个数学上一致性和严密的近似定价公式也不失为一个很好

的解决方法。

三、立项主要内容

1. 基于奇异摄动理论，针对非线性Black-Scholes 模型下的相关期权定价问题的研究

首先，根据混合分数布朗运动的Ito 公式和完备金融市场的精确复制策略，确定各类期权

定价问题的抛物方程模型；其次，和经典的Black-Scholes 模型下期权定价公式所满足的抛物

偏微分方程进行比对，确定需要摄动展开的变量；再次，分析这些变量是否存在可以用来摄动

展开的小参数，如果不存在，则需要引入一个或者多个小参数以便将来达到简化方程的目的；

最后，针对这些小参数进行奇异摄动展开，从而获得期权有关这些小参数的幂级数近似解。具

体研究的期权包括以下几类：欧式期权、障碍期权、阶梯期权、Bala 期权以及几何平均亚式期

权。

2. 期权的奇异摄动方法的收敛性、误差估计及其仿真分析上述奇异摄动方法是针对非线性

的Black-Scholes 模型设计的，所得结论也都是有关小参数的幂级数近似解。这一事实也自然

而然的启发我们研究近似结论的误差估计、收敛速度问题。本项目拟采用理论分析和仿真模拟

相结合的方式，以期在各领域交叉研究方面取得突破性的成果。此外，采用模拟仿真来验证理

论分析结果，也将为应用其解决实际问题奠定扎实的基础。

四、研究方案

在项目的具体实施过程中，计划按照“摄动展开—误差估计—数值验证”的步骤展开研究。

项目的具体实施过程如下：

1. 对现有的期权定价方法进行分析，具体包括：第一，研究现有的期权定价方法的有效性

和可行性。第二，寻找现有的期权定价方法的优缺点及其中存在的问题。第三，寻找相应的解

决办法。

2. 利用Keymann-Kac 公式或者Green 函数寻找近似结论的误差估计，具体包括：

Keymann-Kac 公式方法：第一，首先构造一个恰当的误差函数; 第二，其次推导误差函数满足

的抛物方程，尽量使得该抛物方程满足齐次边界条件，这方便我们采用Keymann-Kac 公式将上

述抛物问题转化为随机过程的数学期望问题；第三，再次再对数学期望进行逐步放大得到该期

权近似定价公式的一个误差估计。第四，最后通过分析误差估计有关小参数的极限性质，得到

近似结论的一致收敛性。Green 函数方法：Green 函数的功能和Keymann-Kac 公式有些类似，

它可以将抛物方程的经典解表示为积分形式。事实上，数学期望亦是一个积分计算问题，这启

发我们使用Green 函数代替Keymann-Kac 公式完成奇异摄动方法所得结论的误差估计问题。

3. 采用数值模拟来验证本项目得到的近似解和误差估计理论。

我们拟采用其它比较经典的数值方法( 比如有限差分方法、有限元方法)，在数值上验证本

项目所得结论的准确性。

参考文献：

[1] 武文娜, 周圣武, 黎伟. 分数布朗运动下支付红利的亚式期权定价[J]. 河南科技大学

学报自然科学版,2012,33(4):100-104.

[2] 黄文礼, 陶祥兴, 李胜宏. 分数维Vasicek 利率模型下的欧式期权定价公式[J]. 数

学学报中文版,2012,22(2):219-234.

[3] 任芳玲, 乔克林. 幂型几何亚式期权的微分方程定价法[J]. 陕西理工学院学

报,2012,28(3):42-44.

[4] 李志广. 参数依赖股票价格情形下的回望期权定价[J]. 数学杂志,2012,32(6):1091-

1099.

[5] 孙玉东, 师义民. 修正的Black-Scholes 模型下的欧式期权定价[J].高校应用数学学

报,2012,27(1):23-32.