2024年6月11日发(作者：蛮秋灵)
鞍山师范学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ａｎｓｈａｎ
Ｎｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２００８—０８．１０（４）：１—４
关于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的证明
姜本源，胡煜寒，付林，高丹霞
（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山１１４０５１）
摘要：ｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型是２０世纪７０年代以来金融理论发展的最重要的基石，但是在各类文献
中却几乎没有关于它的详细、准确的证明．本文将有关文献中出现的错误加以更正，并优化了证明过程，给
出一个关于Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅ，期权定价模型严格的教学证明．
关键词：期权；期权定价模型；偏微分方程
中图分类号：０１７５．２
文献标识码：Ａ
文章篇号：１００８－２４４１（２００８）０４－０００１－０４
现代期权定价模型最早由被称为“金融数学之父”的法国数学家ＬｏｕｉｓＢａｃｈｅｌｉｅｒ于１９００年提
出［１］．１９６１年，Ｃ
Ｍ
Ｓｐｒｅｎｋｌｅ提出股票价格服从对数正态分布［２ｌ，有固定的均值和方差，并肯定了股价
发生随机漂移的可能性的基本假设．他以此假设为基础得到了一个买权定价公式．１９６４年，Ｂｏｎｅｓ童在
“股票期权价值理论的要素”［３Ｊ中，也假定股票收益呈对数分布；但是，和Ｓｐｒｅｎｋｌｅ不同的是，Ｂｏｎｅｓｓ考
虑了风险溢价的重要性，为了便于处理，他认为投资者不在乎风险．ＰａｕｌＡ．Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９７０年诺贝尔经
济学奖得主）１９６５年在“认股权定价的合理理论”【４Ｊ中，提出了一个欧式买权的定价模型．
１９７３年，ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ教授和Ｓｃｈｏｌｅｓ教授发表了“期权定价与公司负债（Ｔｈｅ
Ｐｒｉｃｉｎｇ
ｏｆ
Ｏｐｔｉｏｎｓ
ａｎｄ
Ｃｏｒｐｏｒａｔｅ
Ｌｉａｂｉｌｉｔｉｅｓ）”的论文［５
Ｊ，提出了具有划时代意义的期权定价模型——Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模
型；与此同时，Ｍｅｒｔｏｎ教授发表了有关期权定价的论文——“期权的理性定价理论（Ｔｈｅｏｒｙ
ｏｆ
Ｒａｔｉｏｎａｌ
Ｏｐｔｉｏｎ
Ｐｒｉｃｉｎｇ）”【６｜．这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础．
本文用偏微分方程的方法详细证明了Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型，对有关文献ｍ８
Ｊ中的错误进行
了修正，且适当优化了证明过程．
１
Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程
在满足相应的假设条件下，记Ｓ。为定价日标的股票价格，ｘ为买权合同的执行价格，ｒ为按连续复利
计算的无风险利率，ｒ为到期日，ｔ为当前定价日，矿为标的股票价格的波动率．
假设期权当前时刻ｔ的价值为Ｆ。，Ｆ。应为标的股票当前市场价格Ｓ。的函数．先构造套期组合，即在
当前时刻ｔ，以Ｓ。买人标的股票ＯＦ，／ＯＳ。股，同时以一卖空一份期权．此时，该组合的构造成本为Ａ。＝
（ａＦ。／ＯＳ；）Ｓ。一ｆ．当时间变化一个微小区间出（从ｔ到ｔ＋Ａｔ），ＯＦ，／ＯＳ，可近似看成一个常数，从而该组
合价值Ａ。的改变量ｄＬ４。可写为
ｃＬ４。＝等ｄ．ｓ。一ｄ一
（１）
又由Ｂ１ａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的基本假设并利用伊藤引理【９Ｊ经化简可得
以。＝一（警＋枷；器卜
㈣
这表明在区间［ｆ，￡＋△￡］上，该套期组合价值的变动已确定，不存在风险．因此，根据无套利定价原则，
收稿日期：２００８－０３—１７
作者简介：姜本源（１９６７一）．男，辽宁鞍山人，辽宁科技大学理学院副教授
２
鞍山师范学院学报第１０卷
如不考虑交易成本等因素，在该时间段内，该组合的收益率应当是无风险利率ｒ，即
以ｔ＝以，出＝，．【（＿ＯａｓＦ。，，］ｓｔ—Ｅ】山
将式（２）和式（３）合并，化简便可得到Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程
（３）
ｑＯｔ嚆簧ＯＳ＾２
２譬警０Ｓ川
ｊ
１
（４）
２
Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型
以欧式买权为例，通过求解上述Ｂｌａｃｋ—Ｓｅｈｏｌｅｓ微分方程来推导Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型．
对于欧式买权而言，其价值Ｅ（＝ｃ，）在到期ＥｌＴ的边界条件为
Ｆｒ＝ｃｒ＝ｃ（ｓｒ，Ｔ）＝ｍａｘ（０，Ｓｒ—Ｘ）（５）
此时，式（４）可简写成
ｉ１盯２。０２≯０２Ｃ＋心嘉＋害一ｒｃ＝ｏ
为求解式（６），假定微分方程的解具有如下形式
ｃ（Ｓ，ｔ）＝以￡）ｙ（Ⅱ，ｔ，）
相应阶数的偏导数代人式（６）可得
（６）
（７）
此处以ｔ）和Ｙ（ｎ，口）为待定的未知函数，其中ｕ＝ｕ（Ｓ，ｔ），ｔ，＝＂（￡）．根据式（７）假定，分别计算ｃ对ｔ，Ｓ的
ｌｔｒ２Ｓ２ｆ（ｔ）【骞（塞）２…Ｏ＿Ｚ＿ａｓ２ｕ：Ｊ］＋ｒｓｆ（ｑａｙｕ
ａｃｇｊｕ州咖㈠¨
八ｔ）（老詈＋Ｏ劬ｙ
ｄ山ｖ厂’Ｉ畎ｔ），，（Ｈ，口）＝ｏ
现假定Ｙ（ｕ，移）满足热传导方程
（８）
０．ｙ＝磐
ｏｖ
Ｏｕ一
（９）
并假定
ｆ
７（ｔ）ｙ（Ⅱ，移）一砍ｆ）），（Ⅱ，移）＝０
上式经计算可得
以ｔ）＝ｅ一一卜‘’
若令
（１０）
口２＝÷盯２ｓ２（塞）２
Ｉ纛Ｊ
口５虿盯３
则由上式可解得
Ⅱ（ｓ，ｔ）＝ｑ詈Ｉ）ｌｎ（妻１１＋６（ｔ）
、盯、Ａ
（１１）
此时式（８）可化为
ｎ２蠹＋扣２酽ａＯｙⅡａｆ＿ｓ＿兰ｕ：．ｒＳ。ａｙ。。Ｏ。ｕ＋盟Ｏｕ韭Ｏｔ＋盟Ｏｖ生ｄｔ＝ｏ
再将式（９）代人上式有
盎Ｏｕ２ｋ２＋害）＋矿１
２。０２￡嘉＋ｒｓ
ａａｙⅡａａｓｕ＋丑Ｏｕ丝Ｏｔ＝ｏ
令
（１２）
口２＋害＝ｏ
可解得
第４期
姜本源，等：关于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅａ期权定价模型的证明
３
ｖ（ｔ）＝口２（Ｔ—ｆ）
同时，式（１２）亦可化为
（１３）
ｉ１叮２。ｃ，２≯ａ２ｕ＋ｒＳ趟＋ａｕａｔ＝。
ｉ１盯２Ｊ０２（一身）＋，ｓｔ、＆删ｌ＋６，㈤＝ｏ
可解出
６（ｔ）＝一√２＼盯ａ，＼２２。一ｒ）（丁一￡）
将其代人式（１１），得
（１４）
Ⅱ（ｓ，ｔ）＝厄（詈）【ｌｎ（妻）一（丁０．２一ｒ）（ｒ—ｔ）】
ｃ（ｓ，ｒ）＝，，［郴，耽们）］＝，，【ｑ詈）ｌｎ（专），ｏ】－ｍａｘ（叩一ｘ）
利用假定警＝ｇ，可得Ｙ满足以下定解问题
（－５）
由式（１０），有只ｒ）＝１，结合式（５）和式（７）及式（１３）和式（１５），可将到期日Ｔ的边界条件重写为
ｄＵ
·ａＯｖ，，＝ａ盘ｕｚ
利用Ｆｏｕｒｉｅｒ积分变换的方法，可得
（１６）
【，，【ｑ詈）·ｎ（妻），ｏ】．ｍａｘ（Ｏ，ｓ吲
，，（Ⅱ，口）＝三＿弓磊吾Ｊ：：妒（ｕ—ｆ）ｅｘｐ（一￡）ｃ培
（１７）
其中，妒（Ⅱ一手）＝姆（ｕ—ｆ，口）＝，，（ｕ—Ｇｏ）．令矗＝ｑ詈）Ｉｎ（妻），田２∥压，代入式（１７）可得
小∽＝去序Ｈ盖㈦而））．１】唧（一手）ｄ田
由式（１３）和式（１５）成立
㈣）
圭：蚓二！型！！
＿。ｈ
ｏ＿１‘１
（１９）
令ｄ：！ｇ紫，并将式。，９，和式ｃ２。，代人式ｃｔ８，，得
詈（Ⅱ一而）
瓦‘”√黝叩）
＝意｛ｑ詈）【－ｎ（量）一（譬一ｒ）（ｒ—ｔ）】一以订可可）＝
ｌｎ（量）一（譬一ｒ）（ｒ叫一盯∥而
（２０）
小∽＝等ｈ（一虿１（盯历Ⅷ２）”薄唧（一舢
作变量代换ｆ＝仃历＋ｒ／，代人上式可得
炯∽＝等仁４气ｘｐ（一≯１
２）凿一薄唧（一舢
４
鞍山师范学院学报第ｌＯ卷
将上式和式（１０）代入式（７），得
郴∽＝ｓ拦９气ｘｐ（一捌鸳－Ｘｅ－＇（ｒ－Ｏ拦唧（一舢
令
㈣，
¨“盯历＝土气尚｝
，吊
·ｎ（妻）＋（譬＋ｒ）（～）
（２２）
凼一螋二！叁兰！！
叮√Ｔ—ｔ
（２３）
将式（２２）、（２３）代人式（２１），并将ｓ换为Ｓ，，则可得欧式买权在定价日ｔ（ｔ＜ｒ）的价值ｃ。为
ｃ。＝ｃ（Ｓ。，ｔ）＝Ｓ。中（ｄ１）一‰。¨。”西（畋）
式（２４）中的咖（·）为标准正态分布的分布函数．
（２４）
由买权一卖权平价公式［１０］以及标准正态分布的分布函数中（茗）的性质少（石）＋中（一髫）＝１，可得欧
式卖权在定价日ｔ的价值Ｐ。为
Ｐ。＝ｃ。一ｓ。＋Ｄ。＋ｘｅ一一７一‘’ｃ，＝Ｘｅ一７‘７一‘’中（一ｄ２）一Ｓ，中（一ｄ１）
（２５）
式（２４）和式（２５）即为著名Ｂｌａｃｋ．Ｓｃ％ｌｅｓ的期权定价模型．
此外，还可利用风险中性定价法、二项式期权定价模型【１１］和鞅等方法来导出Ｂｌａｃｋ—Ｓｅｈｏｌｅｓ期权定
价模型．
参考文献：
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Ｌ．Ｔｈｅｏｒｉｅ
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Ｉｎｅ，２０００．
［１１］姜礼尚．期权定价的数学模型和方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．
ＰｒｏｏｆｏｆＢｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ
Ｏｐｔｉｏｎ－Ｐｒｉｃｉｎｇ
ＪＩＡＮＧ
Ｂｅｎ．ｙｕａｎ，ＨＵ
Ｙｕ—ｈａｎ，ＦＵ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ＆据ｒ柳ａｎｄ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｌａｃｋ·－Ｓｃｈｏｌｅｓ
Ｍｏｄｅｌ
１４０５１，Ｃｈｉｎａ）
Ｌｉｎ，ＧＡＯ
Ｄａｎ—ｘｉａ
ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＬｉａｏｎｉｎｇ，Ａｎｓｈａｎ１．ｉａｏｎｉｎｇ
１
ｏｐｔｉｏｎ．－ｐｒｉｃｉｎｇ
ｍｏｄｅｌｉｓｔｈｅｍｏｓｔ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｂａｓｉｓｉｎｔｈｅｆｉｎａｎｃｉａｌ
ｔｈｅｏｒｙｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ｎｏ
ｓｉｎｃｅ１９７０ｓ．Ｂｕｔｔｈｅｒｅｉｓａｌｍｏｓｔ
ｔｈｅ
ｅｒｒｏｒｓ
ｄｅｍｉｌｅｄ
ａｎｄ
ａｃｃｕｒａｔｅ
ｐｒｏｏｆ
ｉｎａｌｌｋｉｎｄｓｏｆ
ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ
ｃｏｒｒｅｃｔｓ
ｉｎｔｈｅ
ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ，ａｎｄｏｐｔｉｍｉｚｅｓ
ｔｈｅ
ｃｏｕｒｓｅ
ｏｆ
ｐｒｏｏｆ．Ａ
ｓｔｒｉｃｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
ｐｒｏｏｆ
ｉｓ
ｇｉｖｅｎ
ａｂｏｕｔ
Ｂｌａｃｋ—
Ｓｅｈｏｌｅｓ
ｏｐｄｏｎ—ｐｒｉｃｉｎｇ
ｍｏｄｅｌ
ｉｎｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ．
ｍｏｄｅｌ；Ｐａｒｔｉａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｏｐｔｉｏｎ；Ｏｐｔｉｏｎ—ｐｒｉｃｉｎｇ
（责任编辑：张冬冬）
关于Black-Scholes期权定价模型的证明
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
姜本源， 胡煜寒， 付林， 高丹霞， JIANG Ben-yuan， HU Yu-han， FU Lin， GAO Dan-
xia
辽宁科技大学,理学院,辽宁,鞍山,114051
鞍山师范学院学报
JOURNAL OF ANSHAN NORMAL UNIVERSITY
2008,10(4)
2次
ier L
Theorie de la speculation 1900
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Warrant prices as indications of expectations 1962(01)
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Elements of a theory of Stock-option value[外文期刊] 1964(02)
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Rational theory of warrant pricing 1965(06)
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The pricing of options and corporate liabilities 1973(03)
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Theory d rational option pricing[外文期刊] 1973(01)
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期权定价模型及其应用研究 2001
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期权、期赁和特种衍生证券:理论、应用和实践 2002
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子科技大学学报（社会科学版）2006,8(6)
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利用热传导方程推导Black-Scholes期权定价模型[期刊论文]
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改革与开放 2012(8)
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Black-Scholes修正模型在衍生金融工具中的应用[期刊论文]
-
辽宁工程技术大学学报（社会科学
版） 2010(6)
2024年6月11日发(作者：蛮秋灵)
鞍山师范学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ａｎｓｈａｎ
Ｎｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２００８—０８．１０（４）：１—４
关于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的证明
姜本源，胡煜寒，付林，高丹霞
（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山１１４０５１）
摘要：ｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型是２０世纪７０年代以来金融理论发展的最重要的基石，但是在各类文献
中却几乎没有关于它的详细、准确的证明．本文将有关文献中出现的错误加以更正，并优化了证明过程，给
出一个关于Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅ，期权定价模型严格的教学证明．
关键词：期权；期权定价模型；偏微分方程
中图分类号：０１７５．２
文献标识码：Ａ
文章篇号：１００８－２４４１（２００８）０４－０００１－０４
现代期权定价模型最早由被称为“金融数学之父”的法国数学家ＬｏｕｉｓＢａｃｈｅｌｉｅｒ于１９００年提
出［１］．１９６１年，Ｃ
Ｍ
Ｓｐｒｅｎｋｌｅ提出股票价格服从对数正态分布［２ｌ，有固定的均值和方差，并肯定了股价
发生随机漂移的可能性的基本假设．他以此假设为基础得到了一个买权定价公式．１９６４年，Ｂｏｎｅｓ童在
“股票期权价值理论的要素”［３Ｊ中，也假定股票收益呈对数分布；但是，和Ｓｐｒｅｎｋｌｅ不同的是，Ｂｏｎｅｓｓ考
虑了风险溢价的重要性，为了便于处理，他认为投资者不在乎风险．ＰａｕｌＡ．Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９７０年诺贝尔经
济学奖得主）１９６５年在“认股权定价的合理理论”【４Ｊ中，提出了一个欧式买权的定价模型．
１９７３年，ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ教授和Ｓｃｈｏｌｅｓ教授发表了“期权定价与公司负债（Ｔｈｅ
Ｐｒｉｃｉｎｇ
ｏｆ
Ｏｐｔｉｏｎｓ
ａｎｄ
Ｃｏｒｐｏｒａｔｅ
Ｌｉａｂｉｌｉｔｉｅｓ）”的论文［５
Ｊ，提出了具有划时代意义的期权定价模型——Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模
型；与此同时，Ｍｅｒｔｏｎ教授发表了有关期权定价的论文——“期权的理性定价理论（Ｔｈｅｏｒｙ
ｏｆ
Ｒａｔｉｏｎａｌ
Ｏｐｔｉｏｎ
Ｐｒｉｃｉｎｇ）”【６｜．这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础．
本文用偏微分方程的方法详细证明了Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型，对有关文献ｍ８
Ｊ中的错误进行
了修正，且适当优化了证明过程．
１
Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程
在满足相应的假设条件下，记Ｓ。为定价日标的股票价格，ｘ为买权合同的执行价格，ｒ为按连续复利
计算的无风险利率，ｒ为到期日，ｔ为当前定价日，矿为标的股票价格的波动率．
假设期权当前时刻ｔ的价值为Ｆ。，Ｆ。应为标的股票当前市场价格Ｓ。的函数．先构造套期组合，即在
当前时刻ｔ，以Ｓ。买人标的股票ＯＦ，／ＯＳ。股，同时以一卖空一份期权．此时，该组合的构造成本为Ａ。＝
（ａＦ。／ＯＳ；）Ｓ。一ｆ．当时间变化一个微小区间出（从ｔ到ｔ＋Ａｔ），ＯＦ，／ＯＳ，可近似看成一个常数，从而该组
合价值Ａ。的改变量ｄＬ４。可写为
ｃＬ４。＝等ｄ．ｓ。一ｄ一
（１）
又由Ｂ１ａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的基本假设并利用伊藤引理【９Ｊ经化简可得
以。＝一（警＋枷；器卜
㈣
这表明在区间［ｆ，￡＋△￡］上，该套期组合价值的变动已确定，不存在风险．因此，根据无套利定价原则，
收稿日期：２００８－０３—１７
作者简介：姜本源（１９６７一）．男，辽宁鞍山人，辽宁科技大学理学院副教授
２
鞍山师范学院学报第１０卷
如不考虑交易成本等因素，在该时间段内，该组合的收益率应当是无风险利率ｒ，即
以ｔ＝以，出＝，．【（＿ＯａｓＦ。，，］ｓｔ—Ｅ】山
将式（２）和式（３）合并，化简便可得到Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程
（３）
ｑＯｔ嚆簧ＯＳ＾２
２譬警０Ｓ川
ｊ
１
（４）
２
Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型
以欧式买权为例，通过求解上述Ｂｌａｃｋ—Ｓｅｈｏｌｅｓ微分方程来推导Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型．
对于欧式买权而言，其价值Ｅ（＝ｃ，）在到期ＥｌＴ的边界条件为
Ｆｒ＝ｃｒ＝ｃ（ｓｒ，Ｔ）＝ｍａｘ（０，Ｓｒ—Ｘ）（５）
此时，式（４）可简写成
ｉ１盯２。０２≯０２Ｃ＋心嘉＋害一ｒｃ＝ｏ
为求解式（６），假定微分方程的解具有如下形式
ｃ（Ｓ，ｔ）＝以￡）ｙ（Ⅱ，ｔ，）
相应阶数的偏导数代人式（６）可得
（６）
（７）
此处以ｔ）和Ｙ（ｎ，口）为待定的未知函数，其中ｕ＝ｕ（Ｓ，ｔ），ｔ，＝＂（￡）．根据式（７）假定，分别计算ｃ对ｔ，Ｓ的
ｌｔｒ２Ｓ２ｆ（ｔ）【骞（塞）２…Ｏ＿Ｚ＿ａｓ２ｕ：Ｊ］＋ｒｓｆ（ｑａｙｕ
ａｃｇｊｕ州咖㈠¨
八ｔ）（老詈＋Ｏ劬ｙ
ｄ山ｖ厂’Ｉ畎ｔ），，（Ｈ，口）＝ｏ
现假定Ｙ（ｕ，移）满足热传导方程
（８）
０．ｙ＝磐
ｏｖ
Ｏｕ一
（９）
并假定
ｆ
７（ｔ）ｙ（Ⅱ，移）一砍ｆ）），（Ⅱ，移）＝０
上式经计算可得
以ｔ）＝ｅ一一卜‘’
若令
（１０）
口２＝÷盯２ｓ２（塞）２
Ｉ纛Ｊ
口５虿盯３
则由上式可解得
Ⅱ（ｓ，ｔ）＝ｑ詈Ｉ）ｌｎ（妻１１＋６（ｔ）
、盯、Ａ
（１１）
此时式（８）可化为
ｎ２蠹＋扣２酽ａＯｙⅡａｆ＿ｓ＿兰ｕ：．ｒＳ。ａｙ。。Ｏ。ｕ＋盟Ｏｕ韭Ｏｔ＋盟Ｏｖ生ｄｔ＝ｏ
再将式（９）代人上式有
盎Ｏｕ２ｋ２＋害）＋矿１
２。０２￡嘉＋ｒｓ
ａａｙⅡａａｓｕ＋丑Ｏｕ丝Ｏｔ＝ｏ
令
（１２）
口２＋害＝ｏ
可解得
第４期
姜本源，等：关于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅａ期权定价模型的证明
３
ｖ（ｔ）＝口２（Ｔ—ｆ）
同时，式（１２）亦可化为
（１３）
ｉ１叮２。ｃ，２≯ａ２ｕ＋ｒＳ趟＋ａｕａｔ＝。
ｉ１盯２Ｊ０２（一身）＋，ｓｔ、＆删ｌ＋６，㈤＝ｏ
可解出
６（ｔ）＝一√２＼盯ａ，＼２２。一ｒ）（丁一￡）
将其代人式（１１），得
（１４）
Ⅱ（ｓ，ｔ）＝厄（詈）【ｌｎ（妻）一（丁０．２一ｒ）（ｒ—ｔ）】
ｃ（ｓ，ｒ）＝，，［郴，耽们）］＝，，【ｑ詈）ｌｎ（专），ｏ】－ｍａｘ（叩一ｘ）
利用假定警＝ｇ，可得Ｙ满足以下定解问题
（－５）
由式（１０），有只ｒ）＝１，结合式（５）和式（７）及式（１３）和式（１５），可将到期日Ｔ的边界条件重写为
ｄＵ
·ａＯｖ，，＝ａ盘ｕｚ
利用Ｆｏｕｒｉｅｒ积分变换的方法，可得
（１６）
【，，【ｑ詈）·ｎ（妻），ｏ】．ｍａｘ（Ｏ，ｓ吲
，，（Ⅱ，口）＝三＿弓磊吾Ｊ：：妒（ｕ—ｆ）ｅｘｐ（一￡）ｃ培
（１７）
其中，妒（Ⅱ一手）＝姆（ｕ—ｆ，口）＝，，（ｕ—Ｇｏ）．令矗＝ｑ詈）Ｉｎ（妻），田２∥压，代入式（１７）可得
小∽＝去序Ｈ盖㈦而））．１】唧（一手）ｄ田
由式（１３）和式（１５）成立
㈣）
圭：蚓二！型！！
＿。ｈ
ｏ＿１‘１
（１９）
令ｄ：！ｇ紫，并将式。，９，和式ｃ２。，代人式ｃｔ８，，得
詈（Ⅱ一而）
瓦‘”√黝叩）
＝意｛ｑ詈）【－ｎ（量）一（譬一ｒ）（ｒ—ｔ）】一以订可可）＝
ｌｎ（量）一（譬一ｒ）（ｒ叫一盯∥而
（２０）
小∽＝等ｈ（一虿１（盯历Ⅷ２）”薄唧（一舢
作变量代换ｆ＝仃历＋ｒ／，代人上式可得
炯∽＝等仁４气ｘｐ（一≯１
２）凿一薄唧（一舢
４
鞍山师范学院学报第ｌＯ卷
将上式和式（１０）代入式（７），得
郴∽＝ｓ拦９气ｘｐ（一捌鸳－Ｘｅ－＇（ｒ－Ｏ拦唧（一舢
令
㈣，
¨“盯历＝土气尚｝
，吊
·ｎ（妻）＋（譬＋ｒ）（～）
（２２）
凼一螋二！叁兰！！
叮√Ｔ—ｔ
（２３）
将式（２２）、（２３）代人式（２１），并将ｓ换为Ｓ，，则可得欧式买权在定价日ｔ（ｔ＜ｒ）的价值ｃ。为
ｃ。＝ｃ（Ｓ。，ｔ）＝Ｓ。中（ｄ１）一‰。¨。”西（畋）
式（２４）中的咖（·）为标准正态分布的分布函数．
（２４）
由买权一卖权平价公式［１０］以及标准正态分布的分布函数中（茗）的性质少（石）＋中（一髫）＝１，可得欧
式卖权在定价日ｔ的价值Ｐ。为
Ｐ。＝ｃ。一ｓ。＋Ｄ。＋ｘｅ一一７一‘’ｃ，＝Ｘｅ一７‘７一‘’中（一ｄ２）一Ｓ，中（一ｄ１）
（２５）
式（２４）和式（２５）即为著名Ｂｌａｃｋ．Ｓｃ％ｌｅｓ的期权定价模型．
此外，还可利用风险中性定价法、二项式期权定价模型【１１］和鞅等方法来导出Ｂｌａｃｋ—Ｓｅｈｏｌｅｓ期权定
价模型．
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ｎｏ
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ｔｈｅ
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ｄｅｍｉｌｅｄ
ａｎｄ
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ｐｒｏｏｆ
ｉｎａｌｌｋｉｎｄｓｏｆ
ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｉｓ
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ｉｎｔｈｅ
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ｔｈｅ
ｃｏｕｒｓｅ
ｏｆ
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ｐｒｏｏｆ
ｉｓ
ｇｉｖｅｎ
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Ｓｅｈｏｌｅｓ
ｏｐｄｏｎ—ｐｒｉｃｉｎｇ
ｍｏｄｅｌ
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ｍｏｄｅｌ；Ｐａｒｔｉａｌ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｏｐｔｉｏｎ；Ｏｐｔｉｏｎ—ｐｒｉｃｉｎｇ
（责任编辑：张冬冬）
关于Black-Scholes期权定价模型的证明
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
姜本源， 胡煜寒， 付林， 高丹霞， JIANG Ben-yuan， HU Yu-han， FU Lin， GAO Dan-
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辽宁科技大学,理学院,辽宁,鞍山,114051
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