2024年6月13日发(作者：呼勃)
2020-2021学年浙江省金华市十校高一下学期期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合
A
＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈
A
B．{﹣1}∈
A
C．∅∈
A
D．0∈
A
【分析】直接利用元素与集合的关系，集合与集合的关系，判断选项即可．
解：1∈
A
，所以
A
正确；{﹣1}
⊆
A
，所以
B
不正确；∅⊆
A
，所以
C
不正确；0∉
A
，所以
D
不
正确．
故选：
A
．
2．关于函数
y
＝sin
x
+cos
x
，以下说法正确的是（ ）
A．在区间
B．在区间
C．在区间
D．在区间
上是增函数
上存在最小值
上是增函数
上存在最大值
，再结合三角函数的性质，即可求解．
，
，
，故选项
A
错误，选项
C
正确，
时，
y
取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选
【分析】将原式化简为
y
＝
解：∵
y
＝sin
x
+cos
x
＝
∴函数
y
的单调递增区间为
∴
当
项
B
错误，
当时，
y
取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项
D
错误．
故选：
C
．
3．现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
＝3，由【分析】基本事件总数
n
＝＝15，取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
m
＝
此能求出取出的鞋都是左脚的概率．
解：现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数
n
＝＝15，
＝3， 取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
m
＝
则取出的鞋都是左脚的概率是
P
＝＝
故选：
D
．
＝．
4．四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计
处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的
是（ ）
A．平均数为4，中位数为5
C．中位数为4，众数为5
B．平均数为5，方差为2.4
D．中位数为4，方差为2.8
【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可．
解：对于选项
A
，1，2，5，6，6符合条件，故
A
错，
对于选项
B
，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为
＝4，故
B
对，
对于选项
C
，1，2，4，5，5符合条件，故
C
错，
对于选项
D
，1，4，4，5，6符合条件，故
D
错，
故选：
B
．
5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所
用的时间．若用
f
（
x
）表示学生掌握和接受概念的能力（
f
（
x
）越大，表示学生的接受能
力越强），
x
表示提出和讲授概念的时间（单位：
min
），长期的实验和分析表明，
f
（
x
）
与
x
有以下关系：
f
（
x
）＝则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学
生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
【分析】分段研究函数
f
（
x
）的单调性，由此可判断选项
A
，求出
f
（5）和
f
（20），比
较大小即可判断选项
B
，由函数的单调性以及最值，即可判断选项
C
，计算学生注意力至少
达到55以上的持续时间，与13分钟比较即可判断选项
D
．
解：由题意，
f
（
x
）＝
当0＜
x
≤10时，
f
（
x
）＝﹣0.1
x
2
+2.6
x
+43＝﹣0.1（
x
﹣13）
2
+59.9，
故函数
f
（
x
）在（0，10]上单调递增，最大值为
f
（10）＝59.9；
当10＜
x
≤16时，
f
（
x
）＝59，故
f
（
x
）为常数函数，
当16＜
x
≤30时，
f
（
x
）＝﹣3
x
+107，故
f
（
x
）单调递减，所以
f
（
x
）＜
f
（16）＝59，
则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学
生的注意力开始分散，
故选项
A
正确；
因为
f
（5）＝﹣0.1×（5﹣13）
2
+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，
f
（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，
所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，
故选项
B
正确；
由选项
A
的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，
故选项
C
正确；
当0＜
x
≤10时，令
f
（
x
）＝55，
则﹣0.1×（
x
﹣13）
2
＝﹣4.9，所以（
x
﹣13）
2
＝49，
解得
x
＝20或
x
＝6，
又0＜
x
≤10，故
x
＝6，
当16＜
x
≤30时，令
f
（
x
）＝55，则﹣3
x
+107＝55，
解得
x
＝，
因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为﹣6＝，
所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下
完成，
故选项
D
错误．
故选：
D
．
6．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广
八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的
三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，
AB
∥
CD
∥
EF
，
AB
＝10，
CD
＝8，
EF
＝6，等腰梯
形
ABCD
和等腰梯形
ABFE
的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如
图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
【分析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由棱柱与棱锥体积公
式求解得答案．
解：按图2中的分割方式，中间为直三棱柱，
直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，
则直三棱柱的体积；
两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积
S
＝
则两个四棱锥的体积
，四棱锥的高为
h
＝3，
．
∴该“羡除”的体积为
V
＝
V
1
+
V
2
＝63+21＝84．
故选：
A
．
7．在△
ABC
中，过中线
AD
的中点
E
任作一直线分别交
AB
，
AC
于
M
，
N
两点，设
（
m
＞0，
n
＞0），则（ ）
，
A．
m
+
n
为定值
C．4
m
+
n
的最小值为
【分析】用
＝，
n
＝
表示出 和
B．
m
•
n
为定值
D．
m
+4
n
的最小值为6
，由于、共线，可得，且λ＜0，解出
m
，依次验证四个选项即可．
＝
﹣
+＝+＝
m
，∴＝（
m
﹣ ）﹣， 解：由题意可得
同理可得
由于、
＝（
n
﹣）
共线，∴
﹣
．
，且λ＜0．
∴（
m
﹣ ）＝λ[（
n
﹣）﹣]，
∴
m
﹣＝﹣λ，﹣＝λ（
n
﹣）
故
m
＝
∴
m
+
n
＝
错误；
4
m
+
n
＝1﹣λ+
确；
＝+（﹣λ﹣）≥+2＝，当且仅当λ＝﹣时成立，故
C
正
，
n
＝
+＝
，
＝﹣，
m
•
n
＝均与λ取值有关，故
AB
m
+4
n
＝
误．
故选：
C
．
＝+（﹣﹣）≥+2＝，当且仅当λ＝﹣2时成立，故
D
错
8．设函数
f
（
x
）的定义域为
I
，如果对任意
x
1
∈
I
，都存在
x
2
∈
I
，使得
f
（
x
1
）+
f
（
x
2
）＝0，
称函数
f
（
x
）为“
D
函数”，则下列函数为“
D
函数”的是（ ）
A．
f
（
x
）＝3
x
B．
f
（
x
）＝
e
x
+
lnx
C．
f
（
x
）＝
x
2
﹣2
x
D．
f
（
x
）＝sin
x
﹣cos
x
+sin
x
•cos
x
【分析】由条件知
D
函数
f
（
x
）的值域关于原点对称，从而求选项中函数的值域并观察即
可．
解：∵对任意
x
1
∈
I
，都存在
x
2
∈
I
，使得
f
（
x
1
）+
f
（
x
2
）＝0，∴函数
f
（
x
）的值域关于
原点对称，
f
（
x
）＝3
x
的值域为（0，+∞），故
A
错误，
f
（
x
）＝
e
x
+
lnx
的值域为（﹣∞，+∞），故
B
正确，
f
（
x
）＝
x
2
﹣2
x
的值域为[﹣1，+∞），故
C
错误，
f
（
x
）＝sin
x
﹣cos
x
+sin
x
•cos
x
＝sin
x
﹣cos
x
+
﹣cos
x
）+，
∵﹣≤sin
x
﹣cos
x
≤，∴﹣﹣≤
f
（
x
）≤1，故
D
错误，
2
＝﹣（sin
x
﹣cos
x
）+（sin
x
故选：
B
．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，点
P
是其所在平面内一点，（ ）
A．若
B．若3
＝，则点
P
在△
ABC
的中位线上
，则
P
为△
ABC
的重心
C．若
a
2
+
b
2
＞
c
2
，则△
ABC
为锐角三角形
D．若
c
cos
B
＝
b
cos
C
，则△
ABC
是等腰三角形
【分析】设
AC
的中点为
E
，
BC
的中点为
F
，由已知可得
由3，得
判定
A
；设
BC
中点为
G
，
判定
B
；举例说明
C
错误；利用正弦定理及两角差的正弦判定
D
．
＝，
，即
，
，
解：对于
A
，由
得
设
AC
的中点为
E
，
BC
的中点为
F
，可得
则
P
、
E
、
F
三点共线，即点
P
在△
ABC
的中位线上，故
A
正确；
对于
B
，设
BC
中点为
G
，由3
∴
，得，
，即
P
为△
ABC
的重心，故
B
正确；
对于
C
，取
a
＝3，
b
＝5，
c
＝4，满足
a
2
+
b
2
＞
c
2
，但
a
2
+
c
2
＝
b
2
，△
ABC
为直角三角形，故
C
错
误；
对于
D
，由
c
cos
B
＝
b
cos
C
，得sin
C
cos
B
＝sin
B
cos
C
，∴sin（
C
﹣
B
）＝0，
∵0＜
C
＜π，0＜
B
＜π，∴﹣π＜
C
﹣
B
＜π，可得
C
﹣
B
＝0，即
B
＝
C
，△
ABC
为等腰三角形，
故
D
正确．
故选：
ABD
．
10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件
A
为“两个骰
子朝上一面的数字之和为奇数”，事件
B
为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件
C
为
“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件
A
、
B
是相互独立事件
B．事件
B
、
C
是互斥事件
C．
P
（
A
）＝
P
（
B
）＝
P
（
C
）
D．
P
（
ABC
）＝
【分析】利用列举法分别求出事件
A
，
B
，
C
，
AB
，
ABC
的概率，结合互斥事件、相互独立事
件的定义直接求解．
解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数
n
＝6×6＝36，
记事件
A
为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件
A
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），
（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），
（6，5），
∴
P
（
A
）＝＝，
事件
B
为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件
B
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），
（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（5，6），
∴
P
（
B
）＝＝，
事件
C
为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件
C
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），
（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），
（6，6），
∴
P
（
C
）＝＝，
事件
AB
包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），
（5，6），
P
（
AB
）＝，
∵
P
（
AB
）＝
P
（
A
）
P
（
B
），∴事件
A
、
B
是相互独立事件，故
A
正确；
事件
B
与
C
能同时发生，故事件
B
与
C
不是互斥事件，故
B
错误；
P
（
A
）＝
P
（
B
）＝
P
（
C
）＝，故
C
正确；
ABC
包包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），
（5，6），
∴
P
（
ABC
）＝
故选：
AC
．
11．下列四个函数中，满足对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）的
是（ ）
A．
f
（
x
）＝1+2sin
2
x
C．
f
（
x
）＝
B．
f
（
x
）＝2
x
＝．故
D
错误．
D．
f
（
x
）＝
ln
（
x
+1）
【分析】将
a
+
b
+
c
，
a
，
b
，
c
依次代入四个函数中，依次验证是否满足条件即可．
解：若
f
（
x
）＝1+2sin
2
x
，则
f
（
a
+
b
+
c
）＝1+2sin
2
（
a
+
b
+
c
），
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝1+2sin
2
a
+1+2sin
2
b
+1+2sin
2
c
＝3+2sin
2
a
+2sin
2
b
+2sin
2
c
，
故1+2sin
2
（
a
+
b
+
c
）≤3≤3+2sin
2
a
+2sin
2
b
+2sin
2
c
，
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
A
正确，
若
f
（
x
）＝2
x
，令
a
＝
b
＝
c
＝1，
f
（
a
+
b
+
c
）＝
f
（3）＝8，
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝2+2+2
＝6，故
B
错误，
若
f
（
x
）＝
且（
＜++
，则
f
（
a
+
b
+
c
）＝
++
，
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝
+2+2
++，
）
2
﹣（
，
）
2
＝（
a
+
b
+
c
）﹣（
a
+
b
+
c
+2）＜0，故
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
C
正确，
若
f
（
x
）＝
ln
（
x
+1），则
f
（
a
+
b
+
c
）＝
ln
（
a
+
b
+
c
+1），
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝
ln
（
a
+1）+
ln
（
b
+1）+
ln
（
c
+1）＝
ln
[（
a
+1）•（
b
+1）•（
c
+1）]
＝
ln
（
a
+
b
+
c
+1+
abc
+
ab
+
ac
+
bc
），
故
ln
（
a
+
b
+
c
+1）＜
ln
（
a
+
b
+
c
+1+
abc
+
ab
+
ac
+
bc
），
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
D
正确，
故选：
ACD
．
12．已知棱长为1的正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
，
E
，
F
分别是棱
AD
，
CD
上的动点，满足
AE
＝
DF
，
则（ ）
A．四棱锥
B
1
﹣
BEDF
的体积为定值
B．四面体
D
1
DEF
表面积为定值
C．异面直线
B
1
E
和
AF
所成角为90°
D．二面角
D
1
﹣
EF
﹣
B
1
始终小于60°
【分析】
A
，利用
S
＝
S
ABCD
﹣
S
△
ABE
﹣
S
△
BCF
＝1﹣﹣
FC
＝1﹣（
AE
+
BF
），即可判断；
B
，过
D
作
DH
⊥
EF
，连接
D
1
H
，则
D
1
H
⊥
EF
，设
AE
＝
DF
＝
x
，四面体
D
1
DEF
表面积为
S
＝
x
×
1+++＝1即可判断；
＝
x
﹣
x
+0＝0，即可判断；
C
，建立空间直角坐标系，设
AE
＝
x
，利用
D
，可得二面角
D
1
﹣
EF
﹣
D
就是∠
DHD
1
，求得cos∠
DHD
1
的范围即可判定．
解：对于
A
，因为四边形
BEDF
的面积为
S
＝
S
ABCD
﹣
S
△
ABE
﹣
S
△
BCF
＝1﹣
＝1﹣＝（定值）．
﹣
FC
＝1﹣（
AE
+
BF
）
2024年6月13日发(作者：呼勃)
2020-2021学年浙江省金华市十校高一下学期期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合
A
＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈
A
B．{﹣1}∈
A
C．∅∈
A
D．0∈
A
【分析】直接利用元素与集合的关系，集合与集合的关系，判断选项即可．
解：1∈
A
，所以
A
正确；{﹣1}
⊆
A
，所以
B
不正确；∅⊆
A
，所以
C
不正确；0∉
A
，所以
D
不
正确．
故选：
A
．
2．关于函数
y
＝sin
x
+cos
x
，以下说法正确的是（ ）
A．在区间
B．在区间
C．在区间
D．在区间
上是增函数
上存在最小值
上是增函数
上存在最大值
，再结合三角函数的性质，即可求解．
，
，
，故选项
A
错误，选项
C
正确，
时，
y
取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选
【分析】将原式化简为
y
＝
解：∵
y
＝sin
x
+cos
x
＝
∴函数
y
的单调递增区间为
∴
当
项
B
错误，
当时，
y
取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项
D
错误．
故选：
C
．
3．现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
＝3，由【分析】基本事件总数
n
＝＝15，取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
m
＝
此能求出取出的鞋都是左脚的概率．
解：现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，
基本事件总数
n
＝＝15，
＝3， 取出的鞋都是左脚包含的基本事件个数
m
＝
则取出的鞋都是左脚的概率是
P
＝＝
故选：
D
．
＝．
4．四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计
处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的
是（ ）
A．平均数为4，中位数为5
C．中位数为4，众数为5
B．平均数为5，方差为2.4
D．中位数为4，方差为2.8
【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可．
解：对于选项
A
，1，2，5，6，6符合条件，故
A
错，
对于选项
B
，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为
＝4，故
B
对，
对于选项
C
，1，2，4，5，5符合条件，故
C
错，
对于选项
D
，1，4，4，5，6符合条件，故
D
错，
故选：
B
．
5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所
用的时间．若用
f
（
x
）表示学生掌握和接受概念的能力（
f
（
x
）越大，表示学生的接受能
力越强），
x
表示提出和讲授概念的时间（单位：
min
），长期的实验和分析表明，
f
（
x
）
与
x
有以下关系：
f
（
x
）＝则下列说法错误的是（ ）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学
生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
【分析】分段研究函数
f
（
x
）的单调性，由此可判断选项
A
，求出
f
（5）和
f
（20），比
较大小即可判断选项
B
，由函数的单调性以及最值，即可判断选项
C
，计算学生注意力至少
达到55以上的持续时间，与13分钟比较即可判断选项
D
．
解：由题意，
f
（
x
）＝
当0＜
x
≤10时，
f
（
x
）＝﹣0.1
x
2
+2.6
x
+43＝﹣0.1（
x
﹣13）
2
+59.9，
故函数
f
（
x
）在（0，10]上单调递增，最大值为
f
（10）＝59.9；
当10＜
x
≤16时，
f
（
x
）＝59，故
f
（
x
）为常数函数，
当16＜
x
≤30时，
f
（
x
）＝﹣3
x
+107，故
f
（
x
）单调递减，所以
f
（
x
）＜
f
（16）＝59，
则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学
生的注意力开始分散，
故选项
A
正确；
因为
f
（5）＝﹣0.1×（5﹣13）
2
+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，
f
（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，
所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，
故选项
B
正确；
由选项
A
的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，
故选项
C
正确；
当0＜
x
≤10时，令
f
（
x
）＝55，
则﹣0.1×（
x
﹣13）
2
＝﹣4.9，所以（
x
﹣13）
2
＝49，
解得
x
＝20或
x
＝6，
又0＜
x
≤10，故
x
＝6，
当16＜
x
≤30时，令
f
（
x
）＝55，则﹣3
x
+107＝55，
解得
x
＝，
因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为﹣6＝，
所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下
完成，
故选项
D
错误．
故选：
D
．
6．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广
八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的
三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，
AB
∥
CD
∥
EF
，
AB
＝10，
CD
＝8，
EF
＝6，等腰梯
形
ABCD
和等腰梯形
ABFE
的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如
图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．66 C．126 D．105
【分析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由棱柱与棱锥体积公
式求解得答案．
解：按图2中的分割方式，中间为直三棱柱，
直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，
则直三棱柱的体积；
两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积
S
＝
则两个四棱锥的体积
，四棱锥的高为
h
＝3，
．
∴该“羡除”的体积为
V
＝
V
1
+
V
2
＝63+21＝84．
故选：
A
．
7．在△
ABC
中，过中线
AD
的中点
E
任作一直线分别交
AB
，
AC
于
M
，
N
两点，设
（
m
＞0，
n
＞0），则（ ）
，
A．
m
+
n
为定值
C．4
m
+
n
的最小值为
【分析】用
＝，
n
＝
表示出 和
B．
m
•
n
为定值
D．
m
+4
n
的最小值为6
，由于、共线，可得，且λ＜0，解出
m
，依次验证四个选项即可．
＝
﹣
+＝+＝
m
，∴＝（
m
﹣ ）﹣， 解：由题意可得
同理可得
由于、
＝（
n
﹣）
共线，∴
﹣
．
，且λ＜0．
∴（
m
﹣ ）＝λ[（
n
﹣）﹣]，
∴
m
﹣＝﹣λ，﹣＝λ（
n
﹣）
故
m
＝
∴
m
+
n
＝
错误；
4
m
+
n
＝1﹣λ+
确；
＝+（﹣λ﹣）≥+2＝，当且仅当λ＝﹣时成立，故
C
正
，
n
＝
+＝
，
＝﹣，
m
•
n
＝均与λ取值有关，故
AB
m
+4
n
＝
误．
故选：
C
．
＝+（﹣﹣）≥+2＝，当且仅当λ＝﹣2时成立，故
D
错
8．设函数
f
（
x
）的定义域为
I
，如果对任意
x
1
∈
I
，都存在
x
2
∈
I
，使得
f
（
x
1
）+
f
（
x
2
）＝0，
称函数
f
（
x
）为“
D
函数”，则下列函数为“
D
函数”的是（ ）
A．
f
（
x
）＝3
x
B．
f
（
x
）＝
e
x
+
lnx
C．
f
（
x
）＝
x
2
﹣2
x
D．
f
（
x
）＝sin
x
﹣cos
x
+sin
x
•cos
x
【分析】由条件知
D
函数
f
（
x
）的值域关于原点对称，从而求选项中函数的值域并观察即
可．
解：∵对任意
x
1
∈
I
，都存在
x
2
∈
I
，使得
f
（
x
1
）+
f
（
x
2
）＝0，∴函数
f
（
x
）的值域关于
原点对称，
f
（
x
）＝3
x
的值域为（0，+∞），故
A
错误，
f
（
x
）＝
e
x
+
lnx
的值域为（﹣∞，+∞），故
B
正确，
f
（
x
）＝
x
2
﹣2
x
的值域为[﹣1，+∞），故
C
错误，
f
（
x
）＝sin
x
﹣cos
x
+sin
x
•cos
x
＝sin
x
﹣cos
x
+
﹣cos
x
）+，
∵﹣≤sin
x
﹣cos
x
≤，∴﹣﹣≤
f
（
x
）≤1，故
D
错误，
2
＝﹣（sin
x
﹣cos
x
）+（sin
x
故选：
B
．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，点
P
是其所在平面内一点，（ ）
A．若
B．若3
＝，则点
P
在△
ABC
的中位线上
，则
P
为△
ABC
的重心
C．若
a
2
+
b
2
＞
c
2
，则△
ABC
为锐角三角形
D．若
c
cos
B
＝
b
cos
C
，则△
ABC
是等腰三角形
【分析】设
AC
的中点为
E
，
BC
的中点为
F
，由已知可得
由3，得
判定
A
；设
BC
中点为
G
，
判定
B
；举例说明
C
错误；利用正弦定理及两角差的正弦判定
D
．
＝，
，即
，
，
解：对于
A
，由
得
设
AC
的中点为
E
，
BC
的中点为
F
，可得
则
P
、
E
、
F
三点共线，即点
P
在△
ABC
的中位线上，故
A
正确；
对于
B
，设
BC
中点为
G
，由3
∴
，得，
，即
P
为△
ABC
的重心，故
B
正确；
对于
C
，取
a
＝3，
b
＝5，
c
＝4，满足
a
2
+
b
2
＞
c
2
，但
a
2
+
c
2
＝
b
2
，△
ABC
为直角三角形，故
C
错
误；
对于
D
，由
c
cos
B
＝
b
cos
C
，得sin
C
cos
B
＝sin
B
cos
C
，∴sin（
C
﹣
B
）＝0，
∵0＜
C
＜π，0＜
B
＜π，∴﹣π＜
C
﹣
B
＜π，可得
C
﹣
B
＝0，即
B
＝
C
，△
ABC
为等腰三角形，
故
D
正确．
故选：
ABD
．
10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件
A
为“两个骰
子朝上一面的数字之和为奇数”，事件
B
为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件
C
为
“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件
A
、
B
是相互独立事件
B．事件
B
、
C
是互斥事件
C．
P
（
A
）＝
P
（
B
）＝
P
（
C
）
D．
P
（
ABC
）＝
【分析】利用列举法分别求出事件
A
，
B
，
C
，
AB
，
ABC
的概率，结合互斥事件、相互独立事
件的定义直接求解．
解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数
n
＝6×6＝36，
记事件
A
为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件
A
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），
（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），
（6，5），
∴
P
（
A
）＝＝，
事件
B
为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件
B
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），
（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（5，6），
∴
P
（
B
）＝＝，
事件
C
为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件
C
包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），
（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），
（6，6），
∴
P
（
C
）＝＝，
事件
AB
包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），
（5，6），
P
（
AB
）＝，
∵
P
（
AB
）＝
P
（
A
）
P
（
B
），∴事件
A
、
B
是相互独立事件，故
A
正确；
事件
B
与
C
能同时发生，故事件
B
与
C
不是互斥事件，故
B
错误；
P
（
A
）＝
P
（
B
）＝
P
（
C
）＝，故
C
正确；
ABC
包包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），
（5，6），
∴
P
（
ABC
）＝
故选：
AC
．
11．下列四个函数中，满足对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）的
是（ ）
A．
f
（
x
）＝1+2sin
2
x
C．
f
（
x
）＝
B．
f
（
x
）＝2
x
＝．故
D
错误．
D．
f
（
x
）＝
ln
（
x
+1）
【分析】将
a
+
b
+
c
，
a
，
b
，
c
依次代入四个函数中，依次验证是否满足条件即可．
解：若
f
（
x
）＝1+2sin
2
x
，则
f
（
a
+
b
+
c
）＝1+2sin
2
（
a
+
b
+
c
），
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝1+2sin
2
a
+1+2sin
2
b
+1+2sin
2
c
＝3+2sin
2
a
+2sin
2
b
+2sin
2
c
，
故1+2sin
2
（
a
+
b
+
c
）≤3≤3+2sin
2
a
+2sin
2
b
+2sin
2
c
，
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
A
正确，
若
f
（
x
）＝2
x
，令
a
＝
b
＝
c
＝1，
f
（
a
+
b
+
c
）＝
f
（3）＝8，
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝2+2+2
＝6，故
B
错误，
若
f
（
x
）＝
且（
＜++
，则
f
（
a
+
b
+
c
）＝
++
，
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝
+2+2
++，
）
2
﹣（
，
）
2
＝（
a
+
b
+
c
）﹣（
a
+
b
+
c
+2）＜0，故
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
C
正确，
若
f
（
x
）＝
ln
（
x
+1），则
f
（
a
+
b
+
c
）＝
ln
（
a
+
b
+
c
+1），
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
）＝
ln
（
a
+1）+
ln
（
b
+1）+
ln
（
c
+1）＝
ln
[（
a
+1）•（
b
+1）•（
c
+1）]
＝
ln
（
a
+
b
+
c
+1+
abc
+
ab
+
ac
+
bc
），
故
ln
（
a
+
b
+
c
+1）＜
ln
（
a
+
b
+
c
+1+
abc
+
ab
+
ac
+
bc
），
故对任意正数
a
，
b
，
c
都有
f
（
a
+
b
+
c
）≤
f
（
a
）+
f
（
b
）+
f
（
c
），故
D
正确，
故选：
ACD
．
12．已知棱长为1的正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
，
E
，
F
分别是棱
AD
，
CD
上的动点，满足
AE
＝
DF
，
则（ ）
A．四棱锥
B
1
﹣
BEDF
的体积为定值
B．四面体
D
1
DEF
表面积为定值
C．异面直线
B
1
E
和
AF
所成角为90°
D．二面角
D
1
﹣
EF
﹣
B
1
始终小于60°
【分析】
A
，利用
S
＝
S
ABCD
﹣
S
△
ABE
﹣
S
△
BCF
＝1﹣﹣
FC
＝1﹣（
AE
+
BF
），即可判断；
B
，过
D
作
DH
⊥
EF
，连接
D
1
H
，则
D
1
H
⊥
EF
，设
AE
＝
DF
＝
x
，四面体
D
1
DEF
表面积为
S
＝
x
×
1+++＝1即可判断；
＝
x
﹣
x
+0＝0，即可判断；
C
，建立空间直角坐标系，设
AE
＝
x
，利用
D
，可得二面角
D
1
﹣
EF
﹣
D
就是∠
DHD
1
，求得cos∠
DHD
1
的范围即可判定．
解：对于
A
，因为四边形
BEDF
的面积为
S
＝
S
ABCD
﹣
S
△
ABE
﹣
S
△
BCF
＝1﹣
＝1﹣＝（定值）．
﹣
FC
＝1﹣（
AE
+
BF
）