2024年7月15日发(作者：庾语冰)

图像恢复问题的梯度稀疏化正则方法

赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西

【摘 要】针对图像恢复中边缘损坏及细节丢失等问题,从分析梯度直方图的分布特

征及梯度稀疏性最佳表示出发,提出了一种基于梯度稀疏性的正则方法,建立了具有

梯度先验信息的图像恢复模型.该模型不仅能够增强图像的细节特征,而且能够在去

除模糊及噪声与保持图像边缘之间取得很好的平衡.设计了一种新的优化算法对模

型进行求解.实验结果表明,新算法快速有效且收敛性好,新模型能够在很好地去除模

糊和噪声的同时,有效保留图像边缘及纹理等信息.%In order to alleviate the

defects in image ,the damage of the edges and the loss of

the details,a new gradient sparsity regularization model is derived based

on the analysis of the gradient histogram and the best penalty in sparse

proposed model can not only highlight the image

detail effectively but also achieve a good balance between blur and noise

removal and edge preservation.A new optimization algorithm is designed

to solve the new tion experiments on image denoising and

deblurring confirm that the numerical method is fast and efficient,the

proposed regularization model can well preserve the significant edges and

textures when effectively removing the blur and noise.

【期刊名称】《系统工程与电子技术》

【年(卷),期】2017(039)010

【总页数】6页(P2353-2358)

【关键词】图像恢复;梯度直方图;梯度稀疏化;优化算法

【作 者】赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西

【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;河南科技学院

数学科学学院,河南新乡453003;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安

710126;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;西安电子科技大学

数学与统计学院,陕西西安710126

【正文语种】中 文

【中图分类】TN911.73

图像恢复问题是计算机视觉和图像处理领域的经典研究课题之一[1-3]。众所周知,

在图像的形成、处理和传输过程中,由于成像系统、记录设备、传输介质和处理方

法的不完善导致图像质量下降,主要体现在图像存在模糊和噪声等。所谓图像恢复

是指由观测图像f还原干净图像u,这显然是一个病态的逆问题,故需要借助一些先

验知识进行建模。图像恢复的模型分很多种,其中基于变分的恢复模型是最常见的

方法之一,其目标函数中主要包括数据忠诚项和正则项两大部分。正则项也称为惩

罚项,其演化和形成来源于对干净图像先验信息的分析。基于对图像梯度先验分布

的分析,一个经典的正则方法是全变差(total variation, TV)正则,包括各向同性的

TV正则[3]和各向异性的TV正则[4-5]。两种正则在图像恢复应用中均能较好地保

持图像边缘,但是也有一些不尽如人意的地方,如块状效应等。对此有多种改进的方

法被提出,其中文献[6]提出用各向同性TV和各向异性TV的加权差作为正则项进行

图像恢复,改进后的方法能更好地表示图像梯度的稀疏性。然而实验结果表明,恢复

图像的边缘处会有水平或竖直方向的锯齿状现象,且图像中的细节保持得也不够好。

本文首先从信号的稀疏表示出发,结合梯度直方图的特征,分析上述正则的局限性及

原因,并提出一种既能使梯度稀疏又能有效恢复图像边缘的正则方法,建立相应的图

像恢复模型。其次,结合凸差算法(difference of convex algorithm,DCA)和交替方

向乘子法(alternating direction method of multipliers,ADMM)对新的模型进行

求解,设计一种快速的数值求解算法。最后利用新模型进行图像去噪和图像去模糊

实验,并结合实验结果得出结论:本文所提出的正则方法在去除噪声和模糊的同时能

有效地保持图像的边缘和细节,大大提高了恢复图像的质量。

图像退化模型可表示为

式中,f为观测图像；u为原始的干净图像；H为模糊核函数；n为噪声。基于变分

的恢复模型通常表示为

‖

式中,‖为数据忠诚项;J(u)为正则项。各向同性的TV正则项定义为

式中,Dx和Dy分别表示水平方向和竖直方向的离散偏导算子;D=[Dx,Dy]为离散的

梯度算子。而各向异性的TV正则项表示为

文献[6]将二者结合,以其加权差作为正则项,将恢复模型改进为

‖

本节首先从稀疏性的角度分析图像梯度的特征,并指出模型(5)的不足及其原因。然

后提出新的正则方法,并建立对应的恢复模型。对梯度稀疏性的分析分为如下两个

方面。

一方面,在压缩感知中,刻画稀疏信号x∈Rn最佳的稀疏正则是L0范数‖x‖0。而带

L0范数正则的极小值问题是非确定性多项式(non-deterministic polynomial, NP)

难问题。为了避开求解困难,涌现出多种改进方法。其中最佳的凸松弛是L1范数正

则。除此之外,Lp(0

等[10-14]都有很好的表现。特别地,L1-L2范数正则较其他几种正则有明显的优势,

主要体现在:首先当感知矩阵高度相干或者明显不符合限制等距性质(restricted

isometry property,RIP)条件时,极小化L1-L2范数正则能更好地恢复稀疏信号;其

次L1-L2范数正则对应的极小化问题可以用DCA快速求解。然而L1-L2范数正则

在原点附近及坐标轴上对‖x‖0的近似效果并不好。故文献[6]将其改进为如式(5)

所示的L1-αL2 (α=0.5)范数正则。

另一方面,模型(5)中的正则项可等价表示为

‖|Du|1-0.5|Du|2‖1

式中,第2项等式成立的条件是在任意的点(x,y)处有|Du(x,y)|1-0.5|Du(x,y)|2≥0成

立,事实上,对任意一个向量z=[z1,z2]T,均有

0.5=0.5|z|2

式中,|Du|1-0.5|Du|2可以看成是对|Du|0的一种逼近。由此可见,Jani(u)-

0.5Jiso(u)更侧重在一个像素点处对其梯度关于两个方向的稀疏化。这种局部两方

向稀疏的局限性体现在:图像的边缘不一定是水平走向或竖直走向,故局部两方向稀

疏会导致产生水平或竖直方向的块状效应。针对如上问题,本文从整体分析梯度的

稀疏性。众所周知,干净图像的梯度是全局稀疏的,即其梯度直方图中大的梯度只占

很小的比例。而带噪图像和模糊图像的梯度不稀疏,它们的梯度直方图分布比较均

匀。由图1的梯度直方图可观察到,对干净图像而言,其梯度的模绝大多数都为零,即

使非零,也分布在零的附近。带噪图像和模糊图像中都有相当数量像素点的梯度的

模远离零点且分布较均匀,由此可见它们的梯度不稀疏。

基于如上分析,本文考虑梯度的模在整幅图像的稀疏性,并引入参数α,用L1-αL2范

数近似L0稀疏表示,提出新的正则‖|Du|2‖1-α‖|Du|2‖2,其中

从而新的图像恢复模型为

式中,α和μ为参数,且α∈[0,1]。特别地,当α=0时,模型(7)退化为以TV为正则的

恢复模型,当α=0.5时,模型(7)为模型(5)的直接改进。比较而言,模型(7)的优势体现

在:正则项‖|Du|2‖1-α‖|Du|2‖2是由两个部分的线性运算组成的,极小化第一部

分‖|Du|2‖1可以对图像进行扩散和平滑,能够去除噪声和模糊;极小化第二部分-

α‖|Du|2‖2可以对图像进行反扩散,对图像的边缘和细节起到增强效果;由于

α‖|Du|2‖2≪‖|Du|2‖1,故将二者结合起来能够以去除噪声和模糊为主,同时兼顾边

缘和细节部分的适度增强和保留,且参数α的引入使得新模型有更好的自适应性和

更广泛的适用性,从而更能提高模型的性能。此外,模型(7)中的正则是各向同性的,在

恢复过程中可避免水平或竖直方向的块状现象。

本文结合DCA算法[15]和ADMM算法[16]求解模型(7)。其中DCA算法被广泛

应用于非凸优化问题的求解,特别地,近年来在图像处理中有很好的应用[14,17-20]。

记模型(7)中的目标函数为F(u),并将其设计为

式中

式中,c>0保证G和H均为强凸函数。故模型(7)等价于式(10)极小化问题。

上述目标函数是两个凸函数的差,因此应用DCA算法对其进行求解,具体算法步骤

如下：

步骤 1 更新v=∂K(u)

步骤 2 更新u

‖|Du|2‖1+c‖

终止条件达到最大迭代次数或者

上述算法中的式(11)是显示表达式,可以直接求解。式(12)中的极小化问题可以采用

ADMM算法。引入等式约束d=Du,式(12)等价于

‖‖|d|2‖1+c‖

s.t. Du=d

引入增广Lagrange函数

〈vn+1,u〉+‖

式中,b为Lagrange乘子；λ为罚参数。求解式(12)的ADMM算法为

式中,关于u的子问题中目标函数可微,故u的更新有闭式解

(μHTf+λDT(dk-bk)+vn+1)

更新d的子问题可以用软阈值算法进行求解

将式(15)～式(17)代入DCA算法,可以得到求解模型(7)的总算法。对算法中涉及的

参数,在实验部分有详细的分析和设置。

为验证本文方法的有效性,将模型(7)分别应用于图像去噪及图像去模糊任务中。选

取Bars、Cameraman、House、Lena、Barbara以及Boat共6幅256像素

×256像素的灰度图像进行实验。 文中所有实验都是在Matlab 7.8 环境下进行的。

实验平台为: HP Z800 Workstation, Intel Core (TM) 2 DUO CPU, 2.40 GHz,

7.98 G内存, Windows 7操作系统。本文利用峰值信噪比(peak signal-to-noise

ratio, PSNR)、结构相似性(structural similarity index measurement, SSIM)及

信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)对恢复结果做质量评估。为叙述方便,将几种

不同的正则方法分别用不同的符号表示。 记TV正则方法为TV,模型(5)中的正则

记为(L1-0.5L2)1,而模型(5)中的0.5取成1时的正则记为(L1-L2)1。

4.1 参数选取

为使新模型性能达到最优,本节分析模型(7)中α的值对恢复结果的影响。对各个实

验图像分别加入方差为20的高斯噪声,用模型(7)进行去噪,其中α∈[0,1],记录每个

α对应的恢复图像的PSNR、SNR及SSIM,如图2所示。由图2可见,Bars、

Cameraman、Lena及Barbara等4幅图像的3个指标均在α=0.5附近达到最优,

对House和Lena图像而言,α=0.5时的结果也是较优的,从整体趋势观察,恢复结

果的3个指标随着α从0～1呈现弧形的变化趋势。基于以上分析,在后续的实验

中取α=0.5。

4.2 图像去噪

在图像去噪过程中,恢复模型中的为单位算子。本文对每幅图像加入均值为0,标准

差为20的高斯白噪声。实验中的相关参数设置如下:DCA迭代次数

maxDCA=10,ADMM算法迭代次数maxADMM=200,模型参数μ=0.05,罚参数

λ=1,在实验过程中观察到DCA中的c取为0时可以同样得到很好的实验结果,故

实验中取c=0。实验结果如表1所示,其中指标分别是PSNR,SSIM及SNR。由表

1数据可知,本文方法比其他几种方法在大多数情形下都能取得较高的PSNR、

SSIM及SNR。其中SSIM比其他几种方法高出0.001～0.02,PSNR高出0.1～1.5

dB,SNR高出0.1～1 dB,优势比较明显。

图3中以House图像为例给出了几种方法的去噪效果对比图。可以看出,(L1-

0.5L2)1比TV正则去噪效果略好,但一些边缘恢复效果不佳(如图中矩形框所标示

的区域),从式(5)及式(6)可知,(L1-0.5L2)1更倾向于使梯度水平方向稀疏或竖直方向

稀疏,这种方法很容易使恢复图像的边缘产生边缘附近的块状效应或锯齿状现象。

相比之下,本文的正则方法是对梯度在各个方向进行稀疏约束,恢复出来的边缘比较

清晰,基本上没有块状或锯齿状现象,噪声去除的比较彻底,恢复图像有更好的视觉效

果。

需要特别关注的是Bars图像去噪效果。表1中数据显示(L1-0.5L2)1比本文方法

能得到更高的指标。为此,在图4给出两种方法的视觉效果对比,观察可知Bars图

像中的灰度边缘多以水平或竖直的直线为主,由前面的模型分析可知,(L1-0.5L2)1

更侧重于恢复水平或竖直方向的边缘,故有很好的恢复结果。然而,观察可知本文模

型同样将边缘和细节保持地非常好,恢复质量基本上与(L1-0.5L2)1一致。

4.3 图像去模糊

在图像去模糊实验中,对干净图像做大小为15×15标准差为1.5的高斯模糊,并加入

标准差为10的高斯白噪声。实验中的参数设置如下:DCA迭代次数

maxDCA=2,ADMM算法迭代次数maxADMM=200,模型参数μ=2,罚参数

λ=1,c=0。由表2的实验结果可知,本文方法效果明显,体现在恢复图像的SSIM比

其他几种方法大约高出0.001～0.05,PSNR高出0.2～1.7 dB,SNR高出0.1～1 dB,

充分说明对应的恢复图像具有更高的质量。

图5进一步展示了几种方法对Cameraman图像恢复效果图。可以观察到,TV正

则方法可以较好地去除噪声和模糊,然而块状效应明显;(L1-0.5L2)1和(L1-L2)1块

状效应不明显,但是噪声和模糊去除得不够彻底;相比之下,本文方法去噪去模糊效果

更好,并且没有块状效应,视觉更清晰。综合以上结果,本文方法优于同类的几种正则

方法。

本文提出了一种新的正则方法并将其应用于图像恢复模型中,结合DCA和ADMM

设计了一种快速有效的数值求解算法,算法稳定,运行速度快,求解结果好。实验结果

表明，本文方法优于近几年发展的几类正则方法且可同时用于图像分解及图像分割

模型中。 进一步地,从扩散及反扩散角度分析可知,本文正则项中的第一

项‖|Du|2‖1可以看成是扩散项,具有很好的去除模糊和噪声的作用;第二项-

0.5‖|Du|2‖2是反扩散项,可以增强边缘[20]。新的正则方法通过在去除噪声和突

出边缘两个方面进行均衡,得到更好的恢复结果。故在本文的基础上,可以从扩散及

反扩散角度进一步分析和研究正则方法,这是本课题组后续工作的方向之一。

【相关文献】

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188-191,194.

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Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(1): 188-191,194.

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580-585.

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2024年7月15日发(作者：庾语冰)

图像恢复问题的梯度稀疏化正则方法

赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西

【摘 要】针对图像恢复中边缘损坏及细节丢失等问题,从分析梯度直方图的分布特

征及梯度稀疏性最佳表示出发,提出了一种基于梯度稀疏性的正则方法,建立了具有

梯度先验信息的图像恢复模型.该模型不仅能够增强图像的细节特征,而且能够在去

除模糊及噪声与保持图像边缘之间取得很好的平衡.设计了一种新的优化算法对模

型进行求解.实验结果表明,新算法快速有效且收敛性好,新模型能够在很好地去除模

糊和噪声的同时,有效保留图像边缘及纹理等信息.%In order to alleviate the

defects in image ,the damage of the edges and the loss of

the details,a new gradient sparsity regularization model is derived based

on the analysis of the gradient histogram and the best penalty in sparse

proposed model can not only highlight the image

detail effectively but also achieve a good balance between blur and noise

removal and edge preservation.A new optimization algorithm is designed

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deblurring confirm that the numerical method is fast and efficient,the

proposed regularization model can well preserve the significant edges and

textures when effectively removing the blur and noise.

【期刊名称】《系统工程与电子技术》

【年(卷),期】2017(039)010

【总页数】6页(P2353-2358)

【关键词】图像恢复;梯度直方图;梯度稀疏化;优化算法

【作 者】赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西

【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;河南科技学院

数学科学学院,河南新乡453003;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安

710126;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;西安电子科技大学

数学与统计学院,陕西西安710126

【正文语种】中 文

【中图分类】TN911.73

图像恢复问题是计算机视觉和图像处理领域的经典研究课题之一[1-3]。众所周知,

在图像的形成、处理和传输过程中,由于成像系统、记录设备、传输介质和处理方

法的不完善导致图像质量下降,主要体现在图像存在模糊和噪声等。所谓图像恢复

是指由观测图像f还原干净图像u,这显然是一个病态的逆问题,故需要借助一些先

验知识进行建模。图像恢复的模型分很多种,其中基于变分的恢复模型是最常见的

方法之一,其目标函数中主要包括数据忠诚项和正则项两大部分。正则项也称为惩

罚项,其演化和形成来源于对干净图像先验信息的分析。基于对图像梯度先验分布

的分析,一个经典的正则方法是全变差(total variation, TV)正则,包括各向同性的

TV正则[3]和各向异性的TV正则[4-5]。两种正则在图像恢复应用中均能较好地保

持图像边缘,但是也有一些不尽如人意的地方,如块状效应等。对此有多种改进的方

法被提出,其中文献[6]提出用各向同性TV和各向异性TV的加权差作为正则项进行

图像恢复,改进后的方法能更好地表示图像梯度的稀疏性。然而实验结果表明,恢复

图像的边缘处会有水平或竖直方向的锯齿状现象,且图像中的细节保持得也不够好。

本文首先从信号的稀疏表示出发,结合梯度直方图的特征,分析上述正则的局限性及

原因,并提出一种既能使梯度稀疏又能有效恢复图像边缘的正则方法,建立相应的图

像恢复模型。其次,结合凸差算法(difference of convex algorithm,DCA)和交替方

向乘子法(alternating direction method of multipliers,ADMM)对新的模型进行

求解,设计一种快速的数值求解算法。最后利用新模型进行图像去噪和图像去模糊

实验,并结合实验结果得出结论:本文所提出的正则方法在去除噪声和模糊的同时能

有效地保持图像的边缘和细节,大大提高了恢复图像的质量。

图像退化模型可表示为

式中,f为观测图像；u为原始的干净图像；H为模糊核函数；n为噪声。基于变分

的恢复模型通常表示为

‖

式中,‖为数据忠诚项;J(u)为正则项。各向同性的TV正则项定义为

式中,Dx和Dy分别表示水平方向和竖直方向的离散偏导算子;D=[Dx,Dy]为离散的

梯度算子。而各向异性的TV正则项表示为

文献[6]将二者结合,以其加权差作为正则项,将恢复模型改进为

‖

本节首先从稀疏性的角度分析图像梯度的特征,并指出模型(5)的不足及其原因。然

后提出新的正则方法,并建立对应的恢复模型。对梯度稀疏性的分析分为如下两个

方面。

一方面,在压缩感知中,刻画稀疏信号x∈Rn最佳的稀疏正则是L0范数‖x‖0。而带

L0范数正则的极小值问题是非确定性多项式(non-deterministic polynomial, NP)

难问题。为了避开求解困难,涌现出多种改进方法。其中最佳的凸松弛是L1范数正

则。除此之外,Lp(0

等[10-14]都有很好的表现。特别地,L1-L2范数正则较其他几种正则有明显的优势,

主要体现在:首先当感知矩阵高度相干或者明显不符合限制等距性质(restricted

isometry property,RIP)条件时,极小化L1-L2范数正则能更好地恢复稀疏信号;其

次L1-L2范数正则对应的极小化问题可以用DCA快速求解。然而L1-L2范数正则

在原点附近及坐标轴上对‖x‖0的近似效果并不好。故文献[6]将其改进为如式(5)

所示的L1-αL2 (α=0.5)范数正则。

另一方面,模型(5)中的正则项可等价表示为

‖|Du|1-0.5|Du|2‖1

式中,第2项等式成立的条件是在任意的点(x,y)处有|Du(x,y)|1-0.5|Du(x,y)|2≥0成

立,事实上,对任意一个向量z=[z1,z2]T,均有

0.5=0.5|z|2

式中,|Du|1-0.5|Du|2可以看成是对|Du|0的一种逼近。由此可见,Jani(u)-

0.5Jiso(u)更侧重在一个像素点处对其梯度关于两个方向的稀疏化。这种局部两方

向稀疏的局限性体现在:图像的边缘不一定是水平走向或竖直走向,故局部两方向稀

疏会导致产生水平或竖直方向的块状效应。针对如上问题,本文从整体分析梯度的

稀疏性。众所周知,干净图像的梯度是全局稀疏的,即其梯度直方图中大的梯度只占

很小的比例。而带噪图像和模糊图像的梯度不稀疏,它们的梯度直方图分布比较均

匀。由图1的梯度直方图可观察到,对干净图像而言,其梯度的模绝大多数都为零,即

使非零,也分布在零的附近。带噪图像和模糊图像中都有相当数量像素点的梯度的

模远离零点且分布较均匀,由此可见它们的梯度不稀疏。

基于如上分析,本文考虑梯度的模在整幅图像的稀疏性,并引入参数α,用L1-αL2范

数近似L0稀疏表示,提出新的正则‖|Du|2‖1-α‖|Du|2‖2,其中

从而新的图像恢复模型为

式中,α和μ为参数,且α∈[0,1]。特别地,当α=0时,模型(7)退化为以TV为正则的

恢复模型,当α=0.5时,模型(7)为模型(5)的直接改进。比较而言,模型(7)的优势体现

在:正则项‖|Du|2‖1-α‖|Du|2‖2是由两个部分的线性运算组成的,极小化第一部

分‖|Du|2‖1可以对图像进行扩散和平滑,能够去除噪声和模糊;极小化第二部分-

α‖|Du|2‖2可以对图像进行反扩散,对图像的边缘和细节起到增强效果;由于

α‖|Du|2‖2≪‖|Du|2‖1,故将二者结合起来能够以去除噪声和模糊为主,同时兼顾边

缘和细节部分的适度增强和保留,且参数α的引入使得新模型有更好的自适应性和

更广泛的适用性,从而更能提高模型的性能。此外,模型(7)中的正则是各向同性的,在

恢复过程中可避免水平或竖直方向的块状现象。

本文结合DCA算法[15]和ADMM算法[16]求解模型(7)。其中DCA算法被广泛

应用于非凸优化问题的求解,特别地,近年来在图像处理中有很好的应用[14,17-20]。

记模型(7)中的目标函数为F(u),并将其设计为

式中

式中,c>0保证G和H均为强凸函数。故模型(7)等价于式(10)极小化问题。

上述目标函数是两个凸函数的差,因此应用DCA算法对其进行求解,具体算法步骤

如下：

步骤 1 更新v=∂K(u)

步骤 2 更新u

‖|Du|2‖1+c‖

终止条件达到最大迭代次数或者

上述算法中的式(11)是显示表达式,可以直接求解。式(12)中的极小化问题可以采用

ADMM算法。引入等式约束d=Du,式(12)等价于

‖‖|d|2‖1+c‖

s.t. Du=d

引入增广Lagrange函数

〈vn+1,u〉+‖

式中,b为Lagrange乘子；λ为罚参数。求解式(12)的ADMM算法为

式中,关于u的子问题中目标函数可微,故u的更新有闭式解

(μHTf+λDT(dk-bk)+vn+1)

更新d的子问题可以用软阈值算法进行求解

将式(15)～式(17)代入DCA算法,可以得到求解模型(7)的总算法。对算法中涉及的

参数,在实验部分有详细的分析和设置。

为验证本文方法的有效性,将模型(7)分别应用于图像去噪及图像去模糊任务中。选

取Bars、Cameraman、House、Lena、Barbara以及Boat共6幅256像素

×256像素的灰度图像进行实验。 文中所有实验都是在Matlab 7.8 环境下进行的。

实验平台为: HP Z800 Workstation, Intel Core (TM) 2 DUO CPU, 2.40 GHz,

7.98 G内存, Windows 7操作系统。本文利用峰值信噪比(peak signal-to-noise

ratio, PSNR)、结构相似性(structural similarity index measurement, SSIM)及

信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)对恢复结果做质量评估。为叙述方便,将几种

不同的正则方法分别用不同的符号表示。 记TV正则方法为TV,模型(5)中的正则

记为(L1-0.5L2)1,而模型(5)中的0.5取成1时的正则记为(L1-L2)1。

4.1 参数选取

为使新模型性能达到最优,本节分析模型(7)中α的值对恢复结果的影响。对各个实

验图像分别加入方差为20的高斯噪声,用模型(7)进行去噪,其中α∈[0,1],记录每个

α对应的恢复图像的PSNR、SNR及SSIM,如图2所示。由图2可见,Bars、

Cameraman、Lena及Barbara等4幅图像的3个指标均在α=0.5附近达到最优,

对House和Lena图像而言,α=0.5时的结果也是较优的,从整体趋势观察,恢复结

果的3个指标随着α从0～1呈现弧形的变化趋势。基于以上分析,在后续的实验

中取α=0.5。

4.2 图像去噪

在图像去噪过程中,恢复模型中的为单位算子。本文对每幅图像加入均值为0,标准

差为20的高斯白噪声。实验中的相关参数设置如下:DCA迭代次数

maxDCA=10,ADMM算法迭代次数maxADMM=200,模型参数μ=0.05,罚参数

λ=1,在实验过程中观察到DCA中的c取为0时可以同样得到很好的实验结果,故

实验中取c=0。实验结果如表1所示,其中指标分别是PSNR,SSIM及SNR。由表

1数据可知,本文方法比其他几种方法在大多数情形下都能取得较高的PSNR、

SSIM及SNR。其中SSIM比其他几种方法高出0.001～0.02,PSNR高出0.1～1.5

dB,SNR高出0.1～1 dB,优势比较明显。

图3中以House图像为例给出了几种方法的去噪效果对比图。可以看出,(L1-

0.5L2)1比TV正则去噪效果略好,但一些边缘恢复效果不佳(如图中矩形框所标示

的区域),从式(5)及式(6)可知,(L1-0.5L2)1更倾向于使梯度水平方向稀疏或竖直方向

稀疏,这种方法很容易使恢复图像的边缘产生边缘附近的块状效应或锯齿状现象。

相比之下,本文的正则方法是对梯度在各个方向进行稀疏约束,恢复出来的边缘比较

清晰,基本上没有块状或锯齿状现象,噪声去除的比较彻底,恢复图像有更好的视觉效

果。

需要特别关注的是Bars图像去噪效果。表1中数据显示(L1-0.5L2)1比本文方法

能得到更高的指标。为此,在图4给出两种方法的视觉效果对比,观察可知Bars图

像中的灰度边缘多以水平或竖直的直线为主,由前面的模型分析可知,(L1-0.5L2)1

更侧重于恢复水平或竖直方向的边缘,故有很好的恢复结果。然而,观察可知本文模

型同样将边缘和细节保持地非常好,恢复质量基本上与(L1-0.5L2)1一致。

4.3 图像去模糊

在图像去模糊实验中,对干净图像做大小为15×15标准差为1.5的高斯模糊,并加入

标准差为10的高斯白噪声。实验中的参数设置如下:DCA迭代次数

maxDCA=2,ADMM算法迭代次数maxADMM=200,模型参数μ=2,罚参数

λ=1,c=0。由表2的实验结果可知,本文方法效果明显,体现在恢复图像的SSIM比

其他几种方法大约高出0.001～0.05,PSNR高出0.2～1.7 dB,SNR高出0.1～1 dB,

充分说明对应的恢复图像具有更高的质量。

图5进一步展示了几种方法对Cameraman图像恢复效果图。可以观察到,TV正

则方法可以较好地去除噪声和模糊,然而块状效应明显;(L1-0.5L2)1和(L1-L2)1块

状效应不明显,但是噪声和模糊去除得不够彻底;相比之下,本文方法去噪去模糊效果

更好,并且没有块状效应,视觉更清晰。综合以上结果,本文方法优于同类的几种正则

方法。

本文提出了一种新的正则方法并将其应用于图像恢复模型中,结合DCA和ADMM

设计了一种快速有效的数值求解算法,算法稳定,运行速度快,求解结果好。实验结果

表明，本文方法优于近几年发展的几类正则方法且可同时用于图像分解及图像分割

模型中。 进一步地,从扩散及反扩散角度分析可知,本文正则项中的第一

项‖|Du|2‖1可以看成是扩散项,具有很好的去除模糊和噪声的作用;第二项-

0.5‖|Du|2‖2是反扩散项,可以增强边缘[20]。新的正则方法通过在去除噪声和突

出边缘两个方面进行均衡,得到更好的恢复结果。故在本文的基础上,可以从扩散及

反扩散角度进一步分析和研究正则方法,这是本课题组后续工作的方向之一。

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