2024年7月22日发(作者：德念柏)
最短路径算法—Bellman-Ford(贝尔曼-福特)
算法分析与实现(C/C++)
By
Tanky Woo
– 2011年01月17日Posted in:我的原创|My Original Creation, 算法|Algorithms
相关文章：
ra算法：
/?p=1890
算法：
/?p=1903
Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出
现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要
使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国
数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）
发明。Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，
数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]
为0；
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] =
Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，
跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如
果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出
单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
首先介绍一下松弛计算。如下图：
松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）
小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该
路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况
则不会修改点B的值，因为3＋4>6。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设
为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的
边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法
收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
2024年7月22日发(作者：德念柏)
最短路径算法—Bellman-Ford(贝尔曼-福特)
算法分析与实现(C/C++)
By
Tanky Woo
– 2011年01月17日Posted in:我的原创|My Original Creation, 算法|Algorithms
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/?p=1890
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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出
现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要
使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国
数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）
发明。Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，
数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]
为0；
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] =
Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，
跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如
果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出
单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
首先介绍一下松弛计算。如下图：
松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）
小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该
路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况
则不会修改点B的值，因为3＋4>6。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设
为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的
边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法
收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：