2024年8月6日发(作者：宿映寒)

第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案

4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示：

y(n)

311

y(n1)y(n2)x(n)x(n1)

483

画出实现该系统的方框图。

(1) 画出该系统的信号流程图。

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

x(n)

y(n)

+

3/4

1/8

（a）

z

1

z

1

x(n)

y(n)

z

3/4

z

-1/8

(b)

4.2 试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。

1

1

x(n)

z

1

2rcos



y(n)

r

2

z

1

网络Ⅰ

x(n)

rcos



z

1

rsin



rsin



y(n)

rcos



z

1

网络Ⅱ

解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程

y(n)2rcos



y(n1)r

2

y(n2)x(n)

由差分方程得系统函数

H

1

(z)

Y(z)1



121

X(z)12rcos



zrz

1

(rz

1

e

j



)(rz

1

e

j



)



由上式求出极点：

z

1

re

j



和

z

2

re

j



网络Ⅱ： 由图所示的原网络写出以下方程

W(z)X(z)(rsin



)z

1

Y(z)(rcos



)z

1

W(z)

①

Y(z)(rsin



)z

1

W(z)(rcos



)z

1

Y(z)

②

由式①得

X(z)(rsin



)z

1

Y(z)

W(z)

③

1(rcos



)z

1

将③代入式②，得

(rsin



)z

1

X(z)(r

2

sin

2



)z

2

Y(z)

Y(z)(rcos



)z

1

Y(z)

1

1(rcos



)z

由上式得系统函数

Y(z)(rsin



)z

1

H(z)



122

X(z)12(rcos



)zrz



(rsin



)z

1

(rz

1

e

j



)(rz

1

e

j



)

极点

z

1

re

j



和

z



2

re

j

可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。

4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述：

y(n)-

3

4

y(n-1)+

11

8

y(n-2)=x(n)+

3

x(n-1)

试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。

(1) 直接Ⅰ型；

(2) 直接Ⅱ型；

(3) 级联型；

(4) 并联型。

解 （1）直接Ⅰ型

x(n)

y(n)

z

1

z

1

1/3 3/4

z

1

-1/8

（2）直接Ⅱ型

x(n)

z

1

3/4 1/3

z

1

-1/8

（3）级联型

y(n)

x(n)

y(n)

z

z

1/4 1/3 1/2

将系统函数写成

11

1

1z

1

1

3

H(z)



1

1

1

1

1z1z

42

（4）并联型

x(n)

-7/3

y(n)

z

1/4

10/3

z

1/2

将系统函数写成部分分式形式

H(z)

1

1

7/310/3



1

1

1

1

1z1z

42

4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数；

52z

1

0.5z

2

(1)

H(z)=

13z

1

3z

2

z

3

3z

3

2z

2

2z5

(2)

H(x)=0.8

3

2

z4z3z2

解 (1)根据系统函数写出差分方程

y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)

5x(n)2x(n1)0.5x(n2)

直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示

x(n)

- 5

y(n)

z

z

2 -3

z

z

-0.5 -3

z

-1

将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下

图所示的直接Ⅱ型结构。

1

11

11

x(n)

-5

y(n)

z

-3 2

z

-3 -0.5

z

-1

（2）由系统函数写出差分方程

或

1

1

1

2y(n)3y(n1)4y(n2)y(n3)

4x(n)1.6x(n1)1.6x(n2)2.4x(n3)

y(n)1.5y(n1)2y(n2)0.5y(n3)

2x(n)0.8x(n1)0.8x(n2)1.2x(n3)

根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接



型结构的信号流程图。

x(n)

2

y(n)

z

z

0.8 -1.5

z

z

0.8 -2

z

z

1.2 -0.5

交换直接



型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ

型结构的信号流程图。

11

11

11

x(n)

2

y(n)

z

-1.5 0.8

z

-2 0.8

z

-0.5 1.2

4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。

1

1

1

5(1z

1

)(11.4412z

1

z

2

)

H(z)=

(10.5z

1

)(11.2728z

1

0.81z

2

)

/

解 （1）级联结构

根据

H(z)

的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。

x(n)

5

y(n)

z

z

0.5 -1 1.2728 -1.4412

z

-0.81 1

（2）并联型结构

将

H(z)

用部分分式表示为

1

11

3.9783.5664.858z

1



H(z)12.346

10.5z

1

11.2728z

1

0.81z

2

按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。

12.346

x(n)

y(n)

-3.978

z

0.5

-1

-3.566

z

1.2728 -4.858

z

1

1

1

-0.81

4.6 试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有

分段线性的性质，即



(



)



(

N1



)

22

具有

(1) 当N为奇数时，滤波器的幅度响应为

(N1)/2

H(



)

其中，

c(n)2h(



n1

c(n)sin(



n)

(N1)

N1

n)

,n=1,2,…,。

2

2

(2) 当N为偶数时，滤波器的幅度响应为

H(



)

其中，

d(n)2h(

1

d(n)sin[



(n)]



2

n1

N/2

N

N

n)

,n=1,2,…,。

2

2

对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。

h(n)

n

h(n)

N-1

0 N-1 0 n

H(



)

H(



)





0



2



0



2





/2

0



2





(N)



3

2

图P4.6

解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即

h(n)h(N1n)

故当N为奇数时，有

h(

N1N1

)h()0

22

N1

j



2

H(e

j



)e

因此



n0

N3

2

j2h(n)sin((

N1

n)



)

2

e

上式中n用

N3

N1



2

j



j

22

n0



2h(n)sin((

N1

n)



)

2

N1

n

置换，得

2

N1

N1



j(



)

2

22

n1

H(e

j



)e



2h(

N1

n)sin(



n)

2

由于滤波器的频率响应为

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

所以

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

令

c(n)2h(

H(



)

N1

N1

N),

n=1,2,…,得滤波器的幅度响应

2

2

(N1)/2



n1

c(n)sin(



n)

（2）

H(e)

j





h(n)e

n0

N

1

2

n0

N

1

2

j



n





h(n)e

j



n

n

N

2

N1





h(n)e

N

1

2

n0

j



n





h(N1n)e

j



n

n

N

2

N1





h(n)e

j



n





h(n)e

j



(N1n)

n0

N

1

2





h(n)(e

j



n

e

j



(N1n)

)

n0

N

1

2

e

N

1

j(N1)

2

2



N1

j



(n)

N1

2

h(n)(e(n)e)



2

n0

j



e

N

1

j(N1)

2

2





n0

j2h(n)sin[



(

N1

n)]

2

N1

n)]

2

e

用

N

1

j((N1))

2

22





2h(n)sin[



(

n0

N

n

置换n，得

2

N

j((N1))

2

22



H(e

j



)e



2h(

n1

N1

n)sin[



(n)]

22

滤波器的频率响应表示为

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

所以



(



)

N1







22

N

2

H(



)

其中

1

d(n)sin[



(n)]



2

n1

N

N

n),

n=1,2,…,

2

2

d(n)2h(

4.7 已知一模拟滤波器的传递函数为

H

a

(s)

3s2

2

2s3s1

试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数

H(z)

，设

T0.5

。

解 （1）冲激响应不变法

将

H

a

(s)

展开成部分分式

H

a

(s)



3s23s2



2s

2

3s1(2s1)(s1)

A

1

A



2

2s1s1

A

1



其中

3s2

1

1

s1

s

2

3s2

1

2s1

s1

11



2s1s1

A

2



因此

H

s

(s)

对式①求逆拉氏变换，得

h

a

(t)(0.5e

0.5t

e

t

)u(t)

上式中令t=nT，得

h(n)h

a

(nT)(0.5e

0.5nT

e

nT

)u(n)

对上式求h(n)的Z变换，得

H(z)

n



h(n)z



n





(0.5e

0.5nT

e

nT

)z

1

N0





将T=0.5代入上式得

0.51



1e

0.5T

z

1

1e

T

z

z

0.51



0.5T10.51

1ez1ez

H(z)

（2）双线性变换法

21z

1

1z

1

4

将

s

代入题给的

H

a

(s)

公式，得

11

T1z1z

1z

1

122

1

1z

H(z)

1z

1

2

1z

1

32()121

11

1z1z

(1410z

1

)(1z

1

)



32(1z

1

)

2

12(1z

1

)(1z

1

)(1z

1

)

2

144z

1

10z

2



4562z

1

21z

2

4.8 设

h

a

(t)

表示一模拟滤波器的冲激响应

e

0.9t

,

h

a

(t)

{

0,

t0

t0

用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器。把T当作参数，证明T为任何正值时，

数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。

解 在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得

h(n)h

a

(nT)



{

e

0.9nT

,

0,

1

n0

n0

求h(n)的Z变换，得数字滤波器的系统函数

H(z)

n



h(n)z

n





e

0.9nT

z

n



n0

0.9T

1e

0.9T

z

1

由于系统函数的极点为

ze

0.9T

1

，即极点不可能在，无论T为任何正值恒有

ze

单位圆内。这就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不

是稳定的。

令

ze

j



。由系统函数得滤波器的频率特性

j



H(e)

因此，滤波器的幅度响应为

1

1e

0.9T

e

j



H(e

j



)



1

1e

0.9Tj



e

j



因在（0-



）区间，随着



的增加，

H(e)

将下降，故该滤波器为低通滤波器。

4.9 已知一模拟系统的转移函数为

H

a

(s)

sa

(sa)

2

b

2

试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数H（z）。

（1） 冲激不变条件，也就是

h(n)h

a

(nT)

（2） 阶跃不变条件，也就是

s(n)s

a

(nT)

其中

s(n)s

a

(nT)

s

a

(t)

解 （1） 将

H

a

(s)

展开成部分分式



t



h

a



(d)



H

a

(s)

A

1

A

2

sa



22

(sa)bs(ajb)s(ajb)

sa

0.5

s(ajb)

s(ajb)

sa

0.5

s(ajb)

s(ajb)

A

1



其中

A

2



所以

H

a

(s)

0.50.5



s(ajb)s(ajb)

求逆拉氏变换，得

h

a(t)

0.5[e

(ajb)t

e

(ajb)t

]u(t)

上式中令t=nT，得

h

a(t)

0.5[e

(ajb)t

e

(ajb)t

]u(t)

对上式求Z变换，得系统函数

H(z)



h(n)z

n0



n

11

0.5[]

1e

aT

e

jbT

z

1

1e

aT

e

jbT

z

1

1e

aT

(cosbT)z

1



12e

aT

(cosbT)z

1

e

2aT

z

2

(2) 模拟滤波器的阶跃响应

s

a

(t)

与冲激响应

h

a

(t)

有以下关系

s

a

(t)



h

a

(



)d





t

阶跃响应

s

a

(t)

的拉氏变换

S

a

(t)

与冲激响应

h

a

(t)

的拉氏变换即传输函数

H

a

(s)

之间有以

下关系

1

S

a

(s)H

a

(s)

s

因此

S

a

(s)

1sa

22

ss(sa)b

将

S

a

(s)

展开成部分分式

S

a

(s)

1sa

ss(sa)

2

b

2

A

0

A

1

A

2



ss(ajb)s(ajb)



其中

A

0



A

1



A

2



所以

saa



(sa)

2

b

2

s0

a

2

b

2

sa1ajb



s[s(ajb)]

s(ajb)

2(ajb)2(a

2

b

2

)

sa1ajb



s[s(ajb)]

s(ajb)

2(ajb)2(a

2

b

2

)

S

a

(s)(

a1ajb1ajb1

)()()

222222

abs2(ab)s(ajb)2(ab)s(ajb)

求拉氏变换，得

s

a

(t)(

aajb

(ajb)t

ajb

(ajb)t

)()e()e

a

2

b

2

2(a

2

b

2

)2(a

2

b

2

)

上式中令t=nT，得阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)s

a

(nT)

s(n)s

a

(nT)

aajb

(ajb)nT

)()e

a

2

b

2

2(a

2

b

2

)

ajb

(ajb)nT

()e}u(n)

2(a

2

b

2

)

{(

对上式求Z变换，得阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)

的Z变换S（z）,

S(z)



n



s(n)z



n

aajv

(ajb)nT

)()e

2222

ab2(ab)

n0

ajb

(ajb)nTn

()e}z

22

2(ab)

11

(ajb)(ajb)

a11



2



2

[

2

aTjbT1



2

aTjbT1

]

212

ab1zab1eez1eez

a11



2



ab

2

1z

1

a

2

b

2

1

[(ajb)(1e

aT

e

jbT

z

1

)(ajb)(1e

aT

e

jbT

z

1

)]

[

2

]

1e

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

e

2aT

z

2

a11



2



ab

2

1z

1

a

2

b

2

1

[2aae

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

jbe

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

]

[

2

1e

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

e

2aT

z

2





{(

a11a[acos(bT)bsin(bT)]e

aT

z

1



2



2

{}

212aT12aT2

ab1zab12cos(bT)ezez

由于阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)

的Z变换

S(z)

与冲激响应h(n)的Z变换即系统函数

H（z）之间有以下关系

S(z)

1

1

H(z)

或

H(z)(1z)S(z)

1

1z

所以最后得系统函数

a1z

1



2

H(z)

2

22

abab

a[acos(bT)bsin(bT)]e

aT

z

1

{}

aT12aT2

12cos(bT)ezez

4.10 一延迟为



的理想限带微分器的频率响应为

jr





je,

H

a

(j)







0,



c

其他

（1） 用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应

H

d

(e

j



)

，假定



T

（2）



。



若

h

d

(n)

是



=0时由（1）确定的滤波器冲激响应，对某些



值，

h

d

(n)

可用

h

d

(n)

的延迟表示，即



h

d

(n)h

d

(nn



)

其中

n



为整数。确定这些



值应满足的条件及延迟

n



的值。

解 (1)设理想限带模拟微分器的冲激响应是

h

a

(t)

，用冲激响应不变法由它得到

h

'

d

(n)

。设

h

'

d

(n)

的傅里叶变换用

H(e

j



)

表示，则有

H(e)

因为已知

H

a

(j)0,





/T

c

所以





1





1



j



H(e)



H

a

(j)(j)e

T

,

c

T

k

TTTT

j



j



n



h



'

d

(n)e

j



n

1





2







H

a

(jjk)

T

k

TT

设数字微分器的单位取样响应是

h

d

(n)

，则有

h

d

(n)Th

a

(nT)Th

d

(n)

因此，数字微分器的频率响应为

H

d

(e)

j



'

n



h(n)e

d



j



T

n



h



'

d

(n)e

j









j





T

je,

c







T

T



0其他



(2) 因为



0

时数字微分器的频率响应为







j,

j



H

d

(e)



T



0,







T



c

其他

所以由

h

d

(n)

j



h

d

(nn



)

知道

n



H

d

(e)



h(n)e

d



j



n



n



h(nn



)e

d





j



n

e

j



n







j



n



,



je

H

d

(e

j



)



T





0,





T

c

其他

将式②与式①对照，得

n







T

因为

n



为整数，所以



应取T的整数陪是值。

4.11 图P4.11表示一数字滤波器的频率响应。

（1） 假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作

图的方法求该模拟滤波器的频率响应特性。

（2） 假设它是用双线性变换得到的，重做（1）。

H(e)

1

1/4





2



/3



/3

0



/3

2



/3

图P4.11

j







解

4.12 用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止

频率



p

0.2613



处的衰减不大于0.75dB，在阻带截止频率



T

0.4018



处的衰减不小

于20dB。

解 (1)求滤波器的阶数N

1

0.10.75

10

0.1



p

1

1

101

2

lg[

0.1



]

lg[

0.120

]

2

10

T

1

101

N

0.2613



lg()

lg(

P

)

0.4018





T

0.1885

1

lg[]

2

1.3602

99

7.2777

lg0.65030.1863

取N=8

（3） 求滤波器的3dB截止频率



c

0.1



p



p

[10

其中

1]



1

2N



c



T

[10

0.1



T

1]



1

2N



p

[10



T

[10

0.1



p

1]

1]



1

2N

1

2N

0.2613



[10

0.4018



[10

0.10.75

1]





1

28

0.9111

0.1



T



0.120

1]

1

28

0.9472

因此

0.9111

c

0.9472

选取



c

0.9111

，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。

（3）求

H

a

(s)

的极点

s

k



c

e

j(



2N



k



)

N2

0.9111e

j(

9



k)

168

,

k= 0，1，…，15

其中，左半s平面的极点为

s

0

0.9111e

s

1

0.9111e

s

2

0.9111e

s

3

0.9111e

*

3

j

9



16

0.1778j0.8936

0.5062j0.7575

0.7575j0.5062

0.8963j0.1778

0.8936j0.1778

0.7575j0.5062

0.5062j0.7575

j(

9





)

168

9





)

164

j(

j(

93





)

168

j(

s

4

s0.9111e

*

93





)

168

s

5

s

2

0.9111e

s

6

s0.9111e

*

*

1

j(

9





)

164

j(

9





)

168

s

7

s

0

0.9111e

j

9



16

0.1778j0.8963

（4）求传输函数

H

a

(s)

H

a

(s)



C

'

N



(ss

k

)(ss

k

)

*

k0

N

1

2



0.9111

8



(ss)(ss

k

k0

3

*

k

)



0.4748



[s

k0

3

2

(s

k

s

k

*

)ss

k

s

k

*

]



0.4748

2222

(s0.3556s0.83)(s1.0124s0.83)(s1.515s0.83)(s1.7872s0.83)



0.4748

8765432

s4.67s10.905s16.536s17.7s13.715s7.515s2.671s0.475

（5）用查表法求传输函数

H

a

(s)

根据表得到8阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数

H

a

'

(s)

H

a

'

(s)

'

1

s

8

5.1258s

7

13.1371s

6

21.8462s

5

25.6884s

4

21.8462s

3

5.1258s1

将

H

a

(s)

中s用

ss



取代，得

H

a

(s)



c

0.9111

H

a

(s)

0.4748

s

8

4.67s

7

10.905s

6

16.536s

5

17.7s

4

13.715s

3

7.515s

2

2.671s0.475

与（4）结果相同。

4.13 使用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器。假定取样频率

f

s

1.5kHz

处衰减不

小于12dB。

解 将

f

p

.和

f

T

转换成数字频率



p

和



T



p

2



f

p

2



10002000





T

2



f

T

2



15003000



T

11

10

4

3

f

a

1010



p

T

p

10

4

2000



0.2





T

T

T

103000



0.3



4

（2）求滤波器的阶数N和巴特沃斯模拟低通滤波器的3dB截止频率



c

取T=1，将数字频率



p

和



T

预畸变，得预畸变后的



p

和



T



p



20.2



tan2tan2tan(0.1



)0.649841





p

T22





20.3





tan

T

2tan2tan(0.15



)1.0190537

T



T22

因此，模拟低通滤波器的指标为



20lgH

a

(j

p

)20lgH

a

(j0.649841)1.8



①







20lgH

a

(j

T)

20lgH

a

(j1.0190537)12

由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得

20lgH

a

(j)10lg1(

将式②代入式①，得



2N

)

②



c

0.649841

2N

)1.8

③



c

20lgH

a

(j

p

)10lg1(

1.0190537

2N

20lgH

a

(j

T

)10lg1()12

④



c

联立求解式③和式④，得

10

0.11.8

1

1

lg[

0.112

]

2

1



0.7305515

3.738942

N

10

0.649841

lg()

0.1953899

1.0190537

取N=4。将N=4分别代入式③和式④，得



c

0.649841(10

0.11.8

1)



1

24



c1

0.7063



c2

0.7274

c

1.0190537(10

0.112

1)

取



c



1



24

1

(

c1



c2

)0.7168

。

2

也可以直接引用公式来求N和



c

，但应注意，对双线性变换法来说，公式中的



p

和



T

都是预畸变后的值。

（3）求

H

a

(s)

的极点

s

k



c

e

j(

k



)

2NN2





0.7168e

j(

5



k)

84

， k=0,1,…,7

其中，左半s平面的极点为

s

0

0.7168e

s

1

0.7168e

5

j



8

0.2743j0.6623

0.6623j0.2743

5



(



)

84

s

2

s

1

*

0.6623j0.2743

s

3

s

0

*

0.2743j0.6623

（4）求传输函数

H

a

(s)

H

a

(s)



c

N

N

2

k0



*

0.7168

4

(ss

k

)(ss

k

)

0.264



(ss)(ss)

kk

k0

1





[s

k0

1

2

(s

k

s

k

*

)ss

k

s

k

*

]

0.264

22

(s0.5486s0.5139)(s1.3246s0.5139)

0.264



4

s1.8732s

3

1.7545s

2

0.9626s0.264



（5）用查表法求传输函数

H

a

(s)

根据表得到4阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数

H

a

(s)

'

H

a

'

(s)

将

H

a

(s)

中的s用

'

1

s

4

2.6131s

3

3.4142s

2

2.6131s1

ss



取代，得



c

0.7168



c

4

H

a

(s)

432234

s2.6131

c

s3.4142

c

s2.6131

c

s

c



0.264

3

3.4142

2

s0.71682.6

3

2s3160.87

4

168

3

s

4

2.61310.7s168

0.264



43

s1.873s11.7s5

2

42

0.71

0.s96240.264

与（4）的结果近似相等。

4.14 用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题4.13相同。

解

4.15 通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换采用双线性

变换法，假设取样频率为

2.4kHz

，在频率

160Hz

处衰减不大于3dB，在

40Hz

处衰减不小

于48dB。

解 （1）将高通数字滤波器的频率指标

f

p

和

f

T

折合成数字频率



p

T

p





T

T

T



2



f

p

f

s



2



1602





240015

2



f

T

2



40





f

s

240030

设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率



p

212



tantan()0.2126

T2215



21





T

'

tan

T

tan()0.0524

T2230



p

'



将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标



p



11

4.7040

'



p

0.2126

11



T



'

19.0840



T

0.0524

（2）根据模拟低同滤波器的指标求



,

c

,

和N



2

10

0.1



p

110

0.13

10.9953

或



0.9977



c



p

4.7040

k



p



T



4.7040

0.2465

19.0840

1

0.13

10

0.1



p

1

1

101

d[

0.1



]

2

[

0.148

]

2

3.971710

3

10

T

1101

11

arch

d



3.971710

3

N

11

archarch

k0.2465

arch251.7814

2.9941

arch4.0568

arch

取N=3。

（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数

令

x



，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中





c

4.70400.2126

V

3

2

(x)[x(4x

2

3)]

2

16x

6

24x

4

9x

2

16(0.2126)

6

24(0.2126)

4

9(0.2126)

2

0.001480.0490.4068

1

1e

2

V

3

2

(/

c

)

642

因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为

H

a

(j)

2



1

642

10.9953(0.001480.0490.4068)

1

642

0.001470.04880.40481

2



（4）求模拟低通滤波器的传输函数

将

js

代入

H

a

(j)

，得

H

a

(s)H

a

(s)H

a

(j)



2

js

1

642

0.00147s0.0488s0.4048s1

由上式求出

H

a

(s)H

a

(s)

的极点：

s

0

0.701j4.2517

s

1

1.4047

s

2

s

0

*

0.701j4.2517

s

3

0.701j4.2514

s

4

1.4047

s

5

s

3

*

0.701j4.2517

其中

s

0

，

s

1

和

s

2

是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通

滤波器，其传输函数为

H

a

(s)

B

(ss

1

)(ss

0

)(ss

2

)







B

(ss

1

)(ss

0

)(ss

0

*

)

B

(ss

1

)[s

2

(s

0

s

0

*

)ss

0

s

0

*

]

B

(s1.4047)[s

2

1.402s18.5684]

因N=3为奇数，所以

H

a

(0)1

，因此

BH

a

(0)1.404718.568426.083

最后得

H

a

(s)



26.083

2

(s1.4047)[s1.402s18.5684]

26.083

32

s2.8067s20.5385s26.083

注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：

s

k

a

c

sin(



2N





N

k)b

c

cos(



2N





N

k)

，k=0,1,…,2N-1

其中常量a和b用下列公式计算

a



1





2

1

0.9977

1

0.9977

2

12.4182

1111

)

1

N

a(aa

N

)0.5(2.4182

3

2.4182

3

2

0.5(1.34220.7451)0.2986

11



1

N

b(aa

N

)0.5(1.34220.7451)1.0437

2

a

c

0.29864.70401.4046

a

c

1.04374.70404.9096

将

a

c

和

b

c

的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：

s

0

1.4046sin(



23

)j4.9096cos(



23

)

0.7023j4.2518

s

1

1.4046sin()j4.9096cos()1.4046

233233



s

2

s

0

*

0.7023j4.2518

这里的结果与前面的数值基本相同。

（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器

用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数

23.083s

2

H

a

(s)

23

12.8067s20.5385s26.083s

（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器

1z

1

设T=2。将

s

代入模拟高通滤波器的传输函数，得

1z

1

1z

1

3

26.083()

1

1z

H(z)

111

1z1z

2

1z

3

12.806720.5385()26.083()

1z

1

1z

1

1z

1

0.5172(13z

1

3z

2

z

3

)



123

11.0293z1.1482z0.1458z

4.16 设

h

1

(n)

是一个偶对称序列，N=8，见图P4.16（a）。

h

2

(n)

是

h

1

(n)

的四点循环移位，

即

h

2

(n)h

1

((n4))

s

R

6

(n)

（1） 求出

h

1

(n)

的DFT与

h

2

(n)

的DFT之间的关系，即确定模

H

1

(k)

与

H

2

(k)

及相位



1

(k)

与



2

(k)

之间的关系。

（2） 由

h

1

(n)

和

h

2

(n)

可以构成两个FIR数字滤波器，试问它们都属于线性相位数字滤波

器吗？为什么？时延为多少？

（3） 如果

h

1

(n)

对应一个截止频率为



的低通滤波器，如图P4.16（b）所示，那么认为

2

h

2

(n)

也对应一个截止频率为

h

1

(n)



的低通滤波器合理吗？为什么？

2

n

0 1 2 3 4 5 6 7









/2

0



/2

图P4.16

解 (1)因为

h

1

(n)h

1

(N1n)

和

h

2

(n)h

2

(N1n)

，所以当N=8时，有



H

1

(k)



h

1

(n)







h

1

(n)e

nk

N

n0n0

7

N13

j

2



nk

8





h

1

(n)e

n4

2



nk

8

7

j

2



nk

8





h

1

(n)e

n0

3

3

j

2



nk

8





h

1

(7n)e

n4

j





h

1

(n)[e

n0

3

j

2



nk

8

e

e

j

2



(7n)k

8

]





h

1

(n)[e

n0

j

2



nk

8

j

2



(n1)k

8

]

H

2

(k)



h

2

(n)[e

n0

3

j

2



nk

8

e

j

2



(n1)k

8

]

由于

h

1

(n)h

2

(3n)

， n=0，1，2，3

所以

H

1

(k)



h

2

(3n)[e

n0

3

j

2



nk

8

e

j

2



(n1)k

8

]





h

2

(n)[e

n0

3

j

2



(3n)k

8

e

j

2



(4n)k

8

]

2



nk

8

e

j

2



4k

3

8



h(n)[e

2

n0

j

2



(n1)k

8

e

j

]

e

j



k

H

2

(k)

（2）因为

h

1

(n)

和

h

2

(n)

都是具有对称性质，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为

n(N1)/23.5

（3）由（1）的结果知道，

h

1

(n)

和

h

2

(n)

的幅度响应相等，所以可认为

h

2

(n)

也对应于一

个截止频率为



/2

的低通滤波器。

4.17 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器，其中



e

j(







)



,



H

d

(e)







0,

j









c









0



c









c

（1） 求出

h(n)

的表达式，确定



与N个关系。

（2） 改用汉宁窗设计，求出

h(n)

的表达式。

解

4.18 用哈明窗设计一个线性相位FIR滤波器，其中

j





,



e

H

d

(e)







0,

j





0.25



其他

设N=21，求h(n)的表达式及其数值。

解 将理想低通模拟滤波器的截止频率换算成数字域频率



c

T

c

2



f

c

T

2



f

c

2



125

0.25



f

s

1000

j





e,



j



H

d

(e)







0,

因此，理想低通线性相位数字滤波器的频率特性为



0.25



0.25











响应的单位取样响应为

1

h

d

(n)

2







H





d

(e)e

j



j



n

1

d





2





0.25



0.25



e

j



n

e

j



n

d





sin[0.25



(n



)]sin[0.25



(n10)]





(n



)



(n10)

根据时延要求，哈明窗的宽度应为N=2



+1=21,所以要设计的FIR线性相位低通数字

滤波器的单位取样响应为

h(n)

sin[0.25



(n10)]



(n)



(n10)

其中，



(n)

是哈明窗函数，定义为



(n)0.540.46cos(



10

n),

0n20

N1

10

是偶对称

2

由于设计的FIR低通数字滤波器具有线性相位，所以h(n)关于





的。因

H(z)



h(n)z

n0

20

20

n





sin[0.25



(n10)]



(n)z

n



(n10)

n0

20





a

n

z

n

n0

故

a

n



sin[0.25



(n10)]



[0.540.46cos(n)],

0n20



(n10)10

利用上式可计算出设计的FIR滤波器的系数如下：

a

0

a

20

0.00254648

a

1

a

19

0.00256375

a

2

a

18

0

a

3

a

17

0.00866936

a

4

a

16

0.02110671

a

5

a

15

0.02430854

a

6

a

14

0

a

7

a

13

0.06079995

a

8

a

12

0.14517283

a

9

a

11

0.22001165

a

10

0.25

4.19 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为

H

B

(e)H

B

(



)e

j



j



(



)

试证明

（1） 一个线性相位带通滤波器可以按下式构成

H

R

(e

j



)[1H

B

(



)]e

j



(



)

,0







（2） 试用带通滤波器的冲激响应

h

a

(n)

来表示带阻滤波器的冲激响应

h

R

(n)

。

解

4.20 用频率取样法设计一个线性相位低通滤波器，已知N=33，



c





/2

，过渡区取样值

H

1

0.39

。

（1） 试求各取样点的幅值

H(k)

和相角



(k)

。

（2） 用IFFT求出h(n)。

解

2024年8月6日发(作者：宿映寒)

第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案

4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示：

y(n)

311

y(n1)y(n2)x(n)x(n1)

483

画出实现该系统的方框图。

(1) 画出该系统的信号流程图。

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

x(n)

y(n)

+

3/4

1/8

（a）

z

1

z

1

x(n)

y(n)

z

3/4

z

-1/8

(b)

4.2 试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。

1

1

x(n)

z

1

2rcos



y(n)

r

2

z

1

网络Ⅰ

x(n)

rcos



z

1

rsin



rsin



y(n)

rcos



z

1

网络Ⅱ

解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程

y(n)2rcos



y(n1)r

2

y(n2)x(n)

由差分方程得系统函数

H

1

(z)

Y(z)1



121

X(z)12rcos



zrz

1

(rz

1

e

j



)(rz

1

e

j



)



由上式求出极点：

z

1

re

j



和

z

2

re

j



网络Ⅱ： 由图所示的原网络写出以下方程

W(z)X(z)(rsin



)z

1

Y(z)(rcos



)z

1

W(z)

①

Y(z)(rsin



)z

1

W(z)(rcos



)z

1

Y(z)

②

由式①得

X(z)(rsin



)z

1

Y(z)

W(z)

③

1(rcos



)z

1

将③代入式②，得

(rsin



)z

1

X(z)(r

2

sin

2



)z

2

Y(z)

Y(z)(rcos



)z

1

Y(z)

1

1(rcos



)z

由上式得系统函数

Y(z)(rsin



)z

1

H(z)



122

X(z)12(rcos



)zrz



(rsin



)z

1

(rz

1

e

j



)(rz

1

e

j



)

极点

z

1

re

j



和

z



2

re

j

可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。

4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述：

y(n)-

3

4

y(n-1)+

11

8

y(n-2)=x(n)+

3

x(n-1)

试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。

(1) 直接Ⅰ型；

(2) 直接Ⅱ型；

(3) 级联型；

(4) 并联型。

解 （1）直接Ⅰ型

x(n)

y(n)

z

1

z

1

1/3 3/4

z

1

-1/8

（2）直接Ⅱ型

x(n)

z

1

3/4 1/3

z

1

-1/8

（3）级联型

y(n)

x(n)

y(n)

z

z

1/4 1/3 1/2

将系统函数写成

11

1

1z

1

1

3

H(z)



1

1

1

1

1z1z

42

（4）并联型

x(n)

-7/3

y(n)

z

1/4

10/3

z

1/2

将系统函数写成部分分式形式

H(z)

1

1

7/310/3



1

1

1

1

1z1z

42

4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数；

52z

1

0.5z

2

(1)

H(z)=

13z

1

3z

2

z

3

3z

3

2z

2

2z5

(2)

H(x)=0.8

3

2

z4z3z2

解 (1)根据系统函数写出差分方程

y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)

5x(n)2x(n1)0.5x(n2)

直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示

x(n)

- 5

y(n)

z

z

2 -3

z

z

-0.5 -3

z

-1

将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下

图所示的直接Ⅱ型结构。

1

11

11

x(n)

-5

y(n)

z

-3 2

z

-3 -0.5

z

-1

（2）由系统函数写出差分方程

或

1

1

1

2y(n)3y(n1)4y(n2)y(n3)

4x(n)1.6x(n1)1.6x(n2)2.4x(n3)

y(n)1.5y(n1)2y(n2)0.5y(n3)

2x(n)0.8x(n1)0.8x(n2)1.2x(n3)

根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接



型结构的信号流程图。

x(n)

2

y(n)

z

z

0.8 -1.5

z

z

0.8 -2

z

z

1.2 -0.5

交换直接



型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ

型结构的信号流程图。

11

11

11

x(n)

2

y(n)

z

-1.5 0.8

z

-2 0.8

z

-0.5 1.2

4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。

1

1

1

5(1z

1

)(11.4412z

1

z

2

)

H(z)=

(10.5z

1

)(11.2728z

1

0.81z

2

)

/

解 （1）级联结构

根据

H(z)

的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。

x(n)

5

y(n)

z

z

0.5 -1 1.2728 -1.4412

z

-0.81 1

（2）并联型结构

将

H(z)

用部分分式表示为

1

11

3.9783.5664.858z

1



H(z)12.346

10.5z

1

11.2728z

1

0.81z

2

按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。

12.346

x(n)

y(n)

-3.978

z

0.5

-1

-3.566

z

1.2728 -4.858

z

1

1

1

-0.81

4.6 试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有

分段线性的性质，即



(



)



(

N1



)

22

具有

(1) 当N为奇数时，滤波器的幅度响应为

(N1)/2

H(



)

其中，

c(n)2h(



n1

c(n)sin(



n)

(N1)

N1

n)

,n=1,2,…,。

2

2

(2) 当N为偶数时，滤波器的幅度响应为

H(



)

其中，

d(n)2h(

1

d(n)sin[



(n)]



2

n1

N/2

N

N

n)

,n=1,2,…,。

2

2

对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。

h(n)

n

h(n)

N-1

0 N-1 0 n

H(



)

H(



)





0



2



0



2





/2

0



2





(N)



3

2

图P4.6

解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即

h(n)h(N1n)

故当N为奇数时，有

h(

N1N1

)h()0

22

N1

j



2

H(e

j



)e

因此



n0

N3

2

j2h(n)sin((

N1

n)



)

2

e

上式中n用

N3

N1



2

j



j

22

n0



2h(n)sin((

N1

n)



)

2

N1

n

置换，得

2

N1

N1



j(



)

2

22

n1

H(e

j



)e



2h(

N1

n)sin(



n)

2

由于滤波器的频率响应为

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

所以

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

令

c(n)2h(

H(



)

N1

N1

N),

n=1,2,…,得滤波器的幅度响应

2

2

(N1)/2



n1

c(n)sin(



n)

（2）

H(e)

j





h(n)e

n0

N

1

2

n0

N

1

2

j



n





h(n)e

j



n

n

N

2

N1





h(n)e

N

1

2

n0

j



n





h(N1n)e

j



n

n

N

2

N1





h(n)e

j



n





h(n)e

j



(N1n)

n0

N

1

2





h(n)(e

j



n

e

j



(N1n)

)

n0

N

1

2

e

N

1

j(N1)

2

2



N1

j



(n)

N1

2

h(n)(e(n)e)



2

n0

j



e

N

1

j(N1)

2

2





n0

j2h(n)sin[



(

N1

n)]

2

N1

n)]

2

e

用

N

1

j((N1))

2

22





2h(n)sin[



(

n0

N

n

置换n，得

2

N

j((N1))

2

22



H(e

j



)e



2h(

n1

N1

n)sin[



(n)]

22

滤波器的频率响应表示为

H(e

j



)H(



)e

j



(



)

所以



(



)

N1







22

N

2

H(



)

其中

1

d(n)sin[



(n)]



2

n1

N

N

n),

n=1,2,…,

2

2

d(n)2h(

4.7 已知一模拟滤波器的传递函数为

H

a

(s)

3s2

2

2s3s1

试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数

H(z)

，设

T0.5

。

解 （1）冲激响应不变法

将

H

a

(s)

展开成部分分式

H

a

(s)



3s23s2



2s

2

3s1(2s1)(s1)

A

1

A



2

2s1s1

A

1



其中

3s2

1

1

s1

s

2

3s2

1

2s1

s1

11



2s1s1

A

2



因此

H

s

(s)

对式①求逆拉氏变换，得

h

a

(t)(0.5e

0.5t

e

t

)u(t)

上式中令t=nT，得

h(n)h

a

(nT)(0.5e

0.5nT

e

nT

)u(n)

对上式求h(n)的Z变换，得

H(z)

n



h(n)z



n





(0.5e

0.5nT

e

nT

)z

1

N0





将T=0.5代入上式得

0.51



1e

0.5T

z

1

1e

T

z

z

0.51



0.5T10.51

1ez1ez

H(z)

（2）双线性变换法

21z

1

1z

1

4

将

s

代入题给的

H

a

(s)

公式，得

11

T1z1z

1z

1

122

1

1z

H(z)

1z

1

2

1z

1

32()121

11

1z1z

(1410z

1

)(1z

1

)



32(1z

1

)

2

12(1z

1

)(1z

1

)(1z

1

)

2

144z

1

10z

2



4562z

1

21z

2

4.8 设

h

a

(t)

表示一模拟滤波器的冲激响应

e

0.9t

,

h

a

(t)

{

0,

t0

t0

用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器。把T当作参数，证明T为任何正值时，

数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。

解 在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得

h(n)h

a

(nT)



{

e

0.9nT

,

0,

1

n0

n0

求h(n)的Z变换，得数字滤波器的系统函数

H(z)

n



h(n)z

n





e

0.9nT

z

n



n0

0.9T

1e

0.9T

z

1

由于系统函数的极点为

ze

0.9T

1

，即极点不可能在，无论T为任何正值恒有

ze

单位圆内。这就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不

是稳定的。

令

ze

j



。由系统函数得滤波器的频率特性

j



H(e)

因此，滤波器的幅度响应为

1

1e

0.9T

e

j



H(e

j



)



1

1e

0.9Tj



e

j



因在（0-



）区间，随着



的增加，

H(e)

将下降，故该滤波器为低通滤波器。

4.9 已知一模拟系统的转移函数为

H

a

(s)

sa

(sa)

2

b

2

试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数H（z）。

（1） 冲激不变条件，也就是

h(n)h

a

(nT)

（2） 阶跃不变条件，也就是

s(n)s

a

(nT)

其中

s(n)s

a

(nT)

s

a

(t)

解 （1） 将

H

a

(s)

展开成部分分式



t



h

a



(d)



H

a

(s)

A

1

A

2

sa



22

(sa)bs(ajb)s(ajb)

sa

0.5

s(ajb)

s(ajb)

sa

0.5

s(ajb)

s(ajb)

A

1



其中

A

2



所以

H

a

(s)

0.50.5



s(ajb)s(ajb)

求逆拉氏变换，得

h

a(t)

0.5[e

(ajb)t

e

(ajb)t

]u(t)

上式中令t=nT，得

h

a(t)

0.5[e

(ajb)t

e

(ajb)t

]u(t)

对上式求Z变换，得系统函数

H(z)



h(n)z

n0



n

11

0.5[]

1e

aT

e

jbT

z

1

1e

aT

e

jbT

z

1

1e

aT

(cosbT)z

1



12e

aT

(cosbT)z

1

e

2aT

z

2

(2) 模拟滤波器的阶跃响应

s

a

(t)

与冲激响应

h

a

(t)

有以下关系

s

a

(t)



h

a

(



)d





t

阶跃响应

s

a

(t)

的拉氏变换

S

a

(t)

与冲激响应

h

a

(t)

的拉氏变换即传输函数

H

a

(s)

之间有以

下关系

1

S

a

(s)H

a

(s)

s

因此

S

a

(s)

1sa

22

ss(sa)b

将

S

a

(s)

展开成部分分式

S

a

(s)

1sa

ss(sa)

2

b

2

A

0

A

1

A

2



ss(ajb)s(ajb)



其中

A

0



A

1



A

2



所以

saa



(sa)

2

b

2

s0

a

2

b

2

sa1ajb



s[s(ajb)]

s(ajb)

2(ajb)2(a

2

b

2

)

sa1ajb



s[s(ajb)]

s(ajb)

2(ajb)2(a

2

b

2

)

S

a

(s)(

a1ajb1ajb1

)()()

222222

abs2(ab)s(ajb)2(ab)s(ajb)

求拉氏变换，得

s

a

(t)(

aajb

(ajb)t

ajb

(ajb)t

)()e()e

a

2

b

2

2(a

2

b

2

)2(a

2

b

2

)

上式中令t=nT，得阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)s

a

(nT)

s(n)s

a

(nT)

aajb

(ajb)nT

)()e

a

2

b

2

2(a

2

b

2

)

ajb

(ajb)nT

()e}u(n)

2(a

2

b

2

)

{(

对上式求Z变换，得阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)

的Z变换S（z）,

S(z)



n



s(n)z



n

aajv

(ajb)nT

)()e

2222

ab2(ab)

n0

ajb

(ajb)nTn

()e}z

22

2(ab)

11

(ajb)(ajb)

a11



2



2

[

2

aTjbT1



2

aTjbT1

]

212

ab1zab1eez1eez

a11



2



ab

2

1z

1

a

2

b

2

1

[(ajb)(1e

aT

e

jbT

z

1

)(ajb)(1e

aT

e

jbT

z

1

)]

[

2

]

1e

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

e

2aT

z

2

a11



2



ab

2

1z

1

a

2

b

2

1

[2aae

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

jbe

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

]

[

2

1e

aT

(e

jbT

e

jbT

)z

1

e

2aT

z

2





{(

a11a[acos(bT)bsin(bT)]e

aT

z

1



2



2

{}

212aT12aT2

ab1zab12cos(bT)ezez

由于阶跃响应

s

a

(t)

的取样值序列

s(n)

的Z变换

S(z)

与冲激响应h(n)的Z变换即系统函数

H（z）之间有以下关系

S(z)

1

1

H(z)

或

H(z)(1z)S(z)

1

1z

所以最后得系统函数

a1z

1



2

H(z)

2

22

abab

a[acos(bT)bsin(bT)]e

aT

z

1

{}

aT12aT2

12cos(bT)ezez

4.10 一延迟为



的理想限带微分器的频率响应为

jr





je,

H

a

(j)







0,



c

其他

（1） 用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应

H

d

(e

j



)

，假定



T

（2）



。



若

h

d

(n)

是



=0时由（1）确定的滤波器冲激响应，对某些



值，

h

d

(n)

可用

h

d

(n)

的延迟表示，即



h

d

(n)h

d

(nn



)

其中

n



为整数。确定这些



值应满足的条件及延迟

n



的值。

解 (1)设理想限带模拟微分器的冲激响应是

h

a

(t)

，用冲激响应不变法由它得到

h

'

d

(n)

。设

h

'

d

(n)

的傅里叶变换用

H(e

j



)

表示，则有

H(e)

因为已知

H

a

(j)0,





/T

c

所以





1





1



j



H(e)



H

a

(j)(j)e

T

,

c

T

k

TTTT

j



j



n



h



'

d

(n)e

j



n

1





2







H

a

(jjk)

T

k

TT

设数字微分器的单位取样响应是

h

d

(n)

，则有

h

d

(n)Th

a

(nT)Th

d

(n)

因此，数字微分器的频率响应为

H

d

(e)

j



'

n



h(n)e

d



j



T

n



h



'

d

(n)e

j









j





T

je,

c







T

T



0其他



(2) 因为



0

时数字微分器的频率响应为







j,

j



H

d

(e)



T



0,







T



c

其他

所以由

h

d

(n)

j



h

d

(nn



)

知道

n



H

d

(e)



h(n)e

d



j



n



n



h(nn



)e

d





j



n

e

j



n







j



n



,



je

H

d

(e

j



)



T





0,





T

c

其他

将式②与式①对照，得

n







T

因为

n



为整数，所以



应取T的整数陪是值。

4.11 图P4.11表示一数字滤波器的频率响应。

（1） 假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作

图的方法求该模拟滤波器的频率响应特性。

（2） 假设它是用双线性变换得到的，重做（1）。

H(e)

1

1/4





2



/3



/3

0



/3

2



/3

图P4.11

j







解

4.12 用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止

频率



p

0.2613



处的衰减不大于0.75dB，在阻带截止频率



T

0.4018



处的衰减不小

于20dB。

解 (1)求滤波器的阶数N

1

0.10.75

10

0.1



p

1

1

101

2

lg[

0.1



]

lg[

0.120

]

2

10

T

1

101

N

0.2613



lg()

lg(

P

)

0.4018





T

0.1885

1

lg[]

2

1.3602

99

7.2777

lg0.65030.1863

取N=8

（3） 求滤波器的3dB截止频率



c

0.1



p



p

[10

其中

1]



1

2N



c



T

[10

0.1



T

1]



1

2N



p

[10



T

[10

0.1



p

1]

1]



1

2N

1

2N

0.2613



[10

0.4018



[10

0.10.75

1]





1

28

0.9111

0.1



T



0.120

1]

1

28

0.9472

因此

0.9111

c

0.9472

选取



c

0.9111

，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。

（3）求

H

a

(s)

的极点

s

k



c

e

j(



2N



k



)

N2

0.9111e

j(

9



k)

168

,

k= 0，1，…，15

其中，左半s平面的极点为

s

0

0.9111e

s

1

0.9111e

s

2

0.9111e

s

3

0.9111e

*

3

j

9



16

0.1778j0.8936

0.5062j0.7575

0.7575j0.5062

0.8963j0.1778

0.8936j0.1778

0.7575j0.5062

0.5062j0.7575

j(

9





)

168

9





)

164

j(

j(

93





)

168

j(

s

4

s0.9111e

*

93





)

168

s

5

s

2

0.9111e

s

6

s0.9111e

*

*

1

j(

9





)

164

j(

9





)

168

s

7

s

0

0.9111e

j

9



16

0.1778j0.8963

（4）求传输函数

H

a

(s)

H

a

(s)



C

'

N



(ss

k

)(ss

k

)

*

k0

N

1

2



0.9111

8



(ss)(ss

k

k0

3

*

k

)



0.4748



[s

k0

3

2

(s

k

s

k

*

)ss

k

s

k

*

]



0.4748

2222

(s0.3556s0.83)(s1.0124s0.83)(s1.515s0.83)(s1.7872s0.83)



0.4748

8765432

s4.67s10.905s16.536s17.7s13.715s7.515s2.671s0.475

（5）用查表法求传输函数

H

a

(s)

根据表得到8阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数

H

a

'

(s)

H

a

'

(s)

'

1

s

8

5.1258s

7

13.1371s

6

21.8462s

5

25.6884s

4

21.8462s

3

5.1258s1

将

H

a

(s)

中s用

ss



取代，得

H

a

(s)



c

0.9111

H

a

(s)

0.4748

s

8

4.67s

7

10.905s

6

16.536s

5

17.7s

4

13.715s

3

7.515s

2

2.671s0.475

与（4）结果相同。

4.13 使用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器。假定取样频率

f

s

1.5kHz

处衰减不

小于12dB。

解 将

f

p

.和

f

T

转换成数字频率



p

和



T



p

2



f

p

2



10002000





T

2



f

T

2



15003000



T

11

10

4

3

f

a

1010



p

T

p

10

4

2000



0.2





T

T

T

103000



0.3



4

（2）求滤波器的阶数N和巴特沃斯模拟低通滤波器的3dB截止频率



c

取T=1，将数字频率



p

和



T

预畸变，得预畸变后的



p

和



T



p



20.2



tan2tan2tan(0.1



)0.649841





p

T22





20.3





tan

T

2tan2tan(0.15



)1.0190537

T



T22

因此，模拟低通滤波器的指标为



20lgH

a

(j

p

)20lgH

a

(j0.649841)1.8



①







20lgH

a

(j

T)

20lgH

a

(j1.0190537)12

由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得

20lgH

a

(j)10lg1(

将式②代入式①，得



2N

)

②



c

0.649841

2N

)1.8

③



c

20lgH

a

(j

p

)10lg1(

1.0190537

2N

20lgH

a

(j

T

)10lg1()12

④



c

联立求解式③和式④，得

10

0.11.8

1

1

lg[

0.112

]

2

1



0.7305515

3.738942

N

10

0.649841

lg()

0.1953899

1.0190537

取N=4。将N=4分别代入式③和式④，得



c

0.649841(10

0.11.8

1)



1

24



c1

0.7063



c2

0.7274

c

1.0190537(10

0.112

1)

取



c



1



24

1

(

c1



c2

)0.7168

。

2

也可以直接引用公式来求N和



c

，但应注意，对双线性变换法来说，公式中的



p

和



T

都是预畸变后的值。

（3）求

H

a

(s)

的极点

s

k



c

e

j(

k



)

2NN2





0.7168e

j(

5



k)

84

， k=0,1,…,7

其中，左半s平面的极点为

s

0

0.7168e

s

1

0.7168e

5

j



8

0.2743j0.6623

0.6623j0.2743

5



(



)

84

s

2

s

1

*

0.6623j0.2743

s

3

s

0

*

0.2743j0.6623

（4）求传输函数

H

a

(s)

H

a

(s)



c

N

N

2

k0



*

0.7168

4

(ss

k

)(ss

k

)

0.264



(ss)(ss)

kk

k0

1





[s

k0

1

2

(s

k

s

k

*

)ss

k

s

k

*

]

0.264

22

(s0.5486s0.5139)(s1.3246s0.5139)

0.264



4

s1.8732s

3

1.7545s

2

0.9626s0.264



（5）用查表法求传输函数

H

a

(s)

根据表得到4阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数

H

a

(s)

'

H

a

'

(s)

将

H

a

(s)

中的s用

'

1

s

4

2.6131s

3

3.4142s

2

2.6131s1

ss



取代，得



c

0.7168



c

4

H

a

(s)

432234

s2.6131

c

s3.4142

c

s2.6131

c

s

c



0.264

3

3.4142

2

s0.71682.6

3

2s3160.87

4

168

3

s

4

2.61310.7s168

0.264



43

s1.873s11.7s5

2

42

0.71

0.s96240.264

与（4）的结果近似相等。

4.14 用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题4.13相同。

解

4.15 通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换采用双线性

变换法，假设取样频率为

2.4kHz

，在频率

160Hz

处衰减不大于3dB，在

40Hz

处衰减不小

于48dB。

解 （1）将高通数字滤波器的频率指标

f

p

和

f

T

折合成数字频率



p

T

p





T

T

T



2



f

p

f

s



2



1602





240015

2



f

T

2



40





f

s

240030

设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率



p

212



tantan()0.2126

T2215



21





T

'

tan

T

tan()0.0524

T2230



p

'



将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标



p



11

4.7040

'



p

0.2126

11



T



'

19.0840



T

0.0524

（2）根据模拟低同滤波器的指标求



,

c

,

和N



2

10

0.1



p

110

0.13

10.9953

或



0.9977



c



p

4.7040

k



p



T



4.7040

0.2465

19.0840

1

0.13

10

0.1



p

1

1

101

d[

0.1



]

2

[

0.148

]

2

3.971710

3

10

T

1101

11

arch

d



3.971710

3

N

11

archarch

k0.2465

arch251.7814

2.9941

arch4.0568

arch

取N=3。

（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数

令

x



，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中





c

4.70400.2126

V

3

2

(x)[x(4x

2

3)]

2

16x

6

24x

4

9x

2

16(0.2126)

6

24(0.2126)

4

9(0.2126)

2

0.001480.0490.4068

1

1e

2

V

3

2

(/

c

)

642

因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为

H

a

(j)

2



1

642

10.9953(0.001480.0490.4068)

1

642

0.001470.04880.40481

2



（4）求模拟低通滤波器的传输函数

将

js

代入

H

a

(j)

，得

H

a

(s)H

a

(s)H

a

(j)



2

js

1

642

0.00147s0.0488s0.4048s1

由上式求出

H

a

(s)H

a

(s)

的极点：

s

0

0.701j4.2517

s

1

1.4047

s

2

s

0

*

0.701j4.2517

s

3

0.701j4.2514

s

4

1.4047

s

5

s

3

*

0.701j4.2517

其中

s

0

，

s

1

和

s

2

是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通

滤波器，其传输函数为

H

a

(s)

B

(ss

1

)(ss

0

)(ss

2

)







B

(ss

1

)(ss

0

)(ss

0

*

)

B

(ss

1

)[s

2

(s

0

s

0

*

)ss

0

s

0

*

]

B

(s1.4047)[s

2

1.402s18.5684]

因N=3为奇数，所以

H

a

(0)1

，因此

BH

a

(0)1.404718.568426.083

最后得

H

a

(s)



26.083

2

(s1.4047)[s1.402s18.5684]

26.083

32

s2.8067s20.5385s26.083

注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：

s

k

a

c

sin(



2N





N

k)b

c

cos(



2N





N

k)

，k=0,1,…,2N-1

其中常量a和b用下列公式计算

a



1





2

1

0.9977

1

0.9977

2

12.4182

1111

)

1

N

a(aa

N

)0.5(2.4182

3

2.4182

3

2

0.5(1.34220.7451)0.2986

11



1

N

b(aa

N

)0.5(1.34220.7451)1.0437

2

a

c

0.29864.70401.4046

a

c

1.04374.70404.9096

将

a

c

和

b

c

的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：

s

0

1.4046sin(



23

)j4.9096cos(



23

)

0.7023j4.2518

s

1

1.4046sin()j4.9096cos()1.4046

233233



s

2

s

0

*

0.7023j4.2518

这里的结果与前面的数值基本相同。

（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器

用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数

23.083s

2

H

a

(s)

23

12.8067s20.5385s26.083s

（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器

1z

1

设T=2。将

s

代入模拟高通滤波器的传输函数，得