2024年8月27日发(作者：谭平晓)
第3课时 自由落体与竖直上抛运动
导学目标 1.掌握自由落体的运动规律及其应用.2.掌握竖直上抛运动的规律及其应用．
一、自由落体运动
[基础导引]
一个石子从楼顶自由落下，那么：
(1)它的运动性质是________________．
(2)从石子下落开始计时，经过时间t，它的速度为________．
(3)这段时间t内石子的位移是h＝______，同时有v＝______.
[知识梳理]
1．概念：物体只在________作用下，从________开始下落的运动叫自由落体运动．
2．基本特征：只受重力，且初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动．
3．基本规律
由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及
其推论都适用于自由落体运动．
(1)速度公式：v＝gt
1
2
(2)位移公式：h＝gt
2
(3)位移与速度的关系：v＝2gh
4．推论
v
1
(1)平均速度等于中间时刻的瞬时速度，也等于末速度的一半，即v＝＝gt
22
(2)在相邻的相等时间内下落的位移差Δh＝gT
2
(T为时间间隔)
二、竖直上抛运动
[基础导引]
竖直向上抛出一小石子，初速度为v
0
，那么：
(1)它的运动性质是________________．
(2)从开始上抛计时，t时刻小石子的速度为v＝________.
(3)从开始上抛计时，t时刻小石子离地面的高度为h＝______.
(4)从开始上抛计时，小石子到达最高点的时间为t
1
＝______，最高点离抛出点的高度：h
m
＝________.
(5)从开始上抛计时，小石子落回抛出点的时间为t
2
＝______，落回抛出点的速度为v＝
________.
[知识梳理]
1．概念：将物体以一定的初速度____________抛出去，物体只在________作用下的运动叫
竖直上抛运动．
2．基本特征：只受重力作用且初速度____________，以初速度的方向为正方向，则a＝
________.
2
2
3．运动分析：上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做匀加速直线运动，全过程可看作匀
减速直线运动．
4．基本公式：v＝________，h＝________________，v
2
－v
2
0
＝________.
思考：竖直上抛运动中若计算得出的速度和位移的值为负值，则它们表示的意义是什
么？
考点一 自由落体运动规律的应用
考点解读
自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，因此一切匀加速直线运动的
公式均适用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，更是经
常在自由落体运动中用到．
典例剖析
例1 在学习了伽利略对自由落体运动的研究后，甲同学给乙同学出了这样一道题：一个物
体从塔顶落下(不考虑空气阻力)，物体到达地面前最后一秒内通过的位移为整个位移的
9
2
，求塔高H(取g＝10 m/s)．
25
11h9
乙同学的解法：根据h＝gt
2
得物体在最后1 s内的位移h
1
＝gt
2
＝5 m，再根据
1
＝得
22H25
H＝13.9 m，乙同学的解法是否正确？如果正确说明理由，如果不正确请给出正确解析过
程和答案．
思维突破 由本题的解答过程，我们可以体会到选取合适的物理过程作为研究对象是多么重
要，运动学公式都对应于某一运动过程，复杂的运动过程中选择恰当的研究过程是关键．
跟踪训练1 如图1所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机
在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5„所示小球运动过程
中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.
根据图中的信息，下列判断错误的是 ( )
A．位置“1”是小球的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
d
C．小球下落的加速度为
2
T
图1
7d
D．小球在位置“3”的速度为
2T
考点二 竖直上抛运动规律的应用
考点解读
1．竖直上抛运动的研究方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体
运动处理，下降过程是上升过程的逆过程．
(2)整体法：从全过程来看，加速度方向始终与初速度的方向相反，所以也可把竖直上抛
运动看成是一个匀变速直线运动．
2．竖直上抛运动的对称性
如图2所示，物体以初速度v
0
竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最
高点，则
(1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间t
AC
和下降过程中从C→A
所用时间t
CA
相等，同理t
AB
＝t
BA
.
(2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度
大小相等．
可能处于下降阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解．
典例剖析
例2 某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．求：
(1)物体上升的最大高度是多少？回到抛出点所用的时间为多少？
(2)石子抛出后通过距抛出点下方20 m处所需的时间．不考虑空气阻力，取g＝10 m/s
2
.
思维突破 对称法在运动学中的应用
对称性是物理美的重要体现，在很多物理现象和物理过程中都存在对称问题．而利用对称
法解题也是一种科学的思维方法，应用该法可以避免复杂的数学运算和推导，直接抓住问
题的实质、出奇制胜、快速简洁地解答问题．针对本题，竖直上抛运动的上升过程和下降
过程具有对称性，物体经过某点或某段的位移、时间、速度等都可利用对称法快速求出．
跟踪训练2 一气球以10 m/s的加速度由静止从地面上升，10 s末从它上面掉出一重物，
它从气球上掉出后经多少时间落到地面？(不计空气阻力，g取10 m/s
2
)
2.“临界分析法”解决抛体相
遇问题
例3 在高为h处，小球A由静止开始自由落下，与此同时，在A的正下方地面上以初速度
v
0
竖直向上抛出另一小球B，求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条
件(不计空气阻力作用，重力加速度为g)．
方法提炼
1．临界问题的特点
(1)物理现象的变化面临突变性．
(2)对于连续变化问题，物理量的变化出现拐点，呈现出两性，即能同时反映出两种过程
和两种现象的特点．
2．分析方法：解决临界问题，关键是找出临界条件．一般有两种基本方法：(1)以定理、定
律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特
殊解；(2)直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求出研究问题的规律和解．
跟踪训练3 如图3所示，A、B两棒长均为L＝1 m，A的下端和B的上端
相距s＝20 m，若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运
动，初速度v
0
＝40 m/s.
求：
图3
2
图2
特别提醒 在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也
(1)A、B两棒何时相遇；
(2)从相遇开始到分离所需的时间．
A组 自由落体运动
1．伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法，这就是 ( )
A．对自然现象进行总结归纳的方法
B．用科学实验进行探究的方法
C．对自然现象进行总结归纳，并用实验进行验证的方法
D．抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法
2．一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，不计空气阻力．已知它经过b
点时的速度为v，经过c点时的速度为3v.则ab段与ac段位移之比为 ( )
A．1∶3 B．1∶5 C．1∶8 D．1∶9
3．如图4所示，一根长为L＝10 m的直杆由A点静止释放，求它通过距A点为
h＝30 m，高为Δh＝1.5 m的窗户BC所用的时间Δt.(g取10 m/s)
B组 竖直上抛运动
图4
4．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员
跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，
并在计算机上作出压力—时间图象，假如作出的图象如图5所示．设运动员在空中运动
时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s
2
) ( )
2
图5
A．1.8 m B．3.6 m C．5.0 m D．7.2 m
5．在某一高度以v
0
＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小
为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s
2
) ( )
A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上
B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向下
C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向上
D．小球的位移大小一定是15 m
6．研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球
以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经
11 s产品撞击到地面．不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度．(g
取10 m/s
2
)
第3课时 自由落体与竖直上抛运动
(限时：45分钟)
一、选择题
1．甲物体的质量是乙物体质量的5倍，甲从H高处自由下落，同时乙从2H高处自由下落，
下列说法中正确的是(高度H远大于10 m) ( )
A．两物体下落过程中，同一时刻甲的速率比乙的大
B．下落1 s末，它们的速度相等
C．各自下落1 m，它们的速度相等
D．下落过程中甲的加速度比乙的大
2．某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横
杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s
2
) ( )
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s
3．石块A自塔顶自由落下高度为m时，石块B自离塔顶n处(在塔的下方)自由下落，两石
块同时落地，则塔高为 ( )
(m＋n)
2
A．m＋n B.
4m
2
(m＋n)
m
2
C. D.
4(m＋n)m－n
4. 取一根长2 m 左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一
个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、
84 cm，如图1所示，站在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂下，
且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内．松手后开始计时，若不计空气
阻力，则第2、3、4、5各垫圈 ( )
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)
5．“蹦床”是奥运体操的一种竞技项目，比赛时，可在弹性网上安装压力传感器，利用压
力传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并由计算机作出压力(F)－时间(t)图
象，如图2为某一运动员比赛时计算机作出的F－t图象，不计空气阻力，则关于该运
动员，下列说法正确的是 ( )
图1
图2
A．裁判打分时可以把该运动员的运动看成质点的运动
B．1 s末该运动员的运动速度最大
C．1 s末到2 s末，该运动员在做减速运动
D．3 s末该运动员运动到最高点
6. 小球从空中某处从静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中
某一高度处，此过程中小球速度随时间变化的关系如图3所示，则
( )
A．在下落和上升两个过程中，小球的加速度不同
B．小球开始下落处离地面的高度为0.8 m
C．整个过程中小球的位移为1.0 m
D．整个过程中小球的平均速度大小为2 m/s
7．一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰
好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长
1
度，如图4所示．已知曝光时间为 s，则小石子出发点离A
1 000
点的距离约为 ( )
A．6.5 m B．10 m
C．20 m D．45 m
8．在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气
阻力，设塔足够高．则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为 ( )
A．10 m B．20 m C．30 m D．50 m
9．不计空气阻力，以一定的初速度竖直上抛一物体，从抛出至回到抛出点的时间为t，现在
物体上升的最大高度的一半处设置一块挡板，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向
相反，撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为 ( )
A．0.5t B．0.4t C．0.3t D．0.2t
10．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，
g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g
归于测长度和时间，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛
小球又落到原处的时间为T
2
，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P
点到又回到P点所用的时间为T
1
，测得T
1
、T
2
和H，可求得g等于 ( )
8H4H
A.
2
B.
2
T
2
－T
2
T
2
12
－T
1
8HH
C.
2
D.
(T
2
－T
1
)4(T
2
－T
1
)
2
二、非选择题
11．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开
始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为______ s，
这时第3个小球和第5个小球相距______ m(g取10 m/s)．
12．2011年5月20日，在天津市奥体中心进行的2011年全国跳水冠军赛男子10米跳台决
赛中，来自四川队的选手邱波以552.75分的成绩获得冠军．他在跳台上腾空而起，到
达最高点时他的重心离台面的高度为1 m，当他下降到手触及水面时要伸直双臂做一个
翻掌压水花的动作，这时他的重心离水面也是1 m．设他静止站在台面上时重心距台面
2
图3
图4
的高度为0.8 m，重力加速度g＝10 m/s
2
，问：
(1)他的起跳速度约是多大？
(2)从起跳到入水(手掌触水)共需多长时间？
13. 如图5所示，质量为m的小车，静止在光滑的水平地面上，
车长为L
0
，现给小车施加一个水平向右的恒力F，使小车
向右做匀加速直线运动，与此同时在小车的正前方x
0
处的
正上方H高处，有一个可视为质点的小球从静止开始做自
由落体运动(重力加速度为g)，问恒力F满足什么条件时小
球可以落到小车上？
答案
基础再现
一、
基础导引 (1)匀加速直线运动 (2)gt
1
(3)gt
2
2gh
2
知识梳理 1.重力 静止
二、
v
0
v
0
1
2
基础导引 (1)匀减速直线运动 (2)v
0
－gt (3)v
0
t－gt (4)
2g2g
2v
0
(5) －v
0
g
1
知识梳理 1.竖直向上 重力 2.竖直向上 －g 4.v
0
－gt v
0
t－gt
2
－2gh
2
思考：速度是负值表示物体正在下落，而位移是负值则表示物体正在抛出点下方．
课堂探究
例1 见解析
跟踪训练1 A [由题图可知相邻的相等时间间隔的位移差相等都为d，B对；由Δx＝aT
2
＝d可知C对；位置“3”是小球从位置“2”到位置“4”的中间时刻，据推论有v
3
＝
3d＋4d
7d
＝，D对；位置“1”到位置“2”的距离与位置“2”到位置“3”的距离之比
2T2T
为2∶3，位置“1”不是小球释放的初始位置，故选A.]
例2 (1)20 m 4 s (2)(2＋2 2) s
跟踪训练2 10(1＋2) s
例3 见解析
跟踪训练3 (1)0.5 s (2)0.05 s
分组训练
1．D
v
2
(3v)
2
2．D [经过b点时的位移为h
ab
＝，经过c点时的位移为h
ac
＝，所以h
ab
∶h
ac
＝1∶9，
2g2g
故选D.]
3．0.51 s
4．C
2
图5
6．495 m
答案
1．BC [甲、乙两物体的重力加速度相同，由于同时释放，由v＝gt可知，相同时刻有相同
的速度；由v
2
＝2gx知，下落相同位移时速度也相同．]
2．B [人的重心大约在身体的中间位置，由题意知人重心上升了0.9 m．由v
0
＝2gh可知本
题应选B，即人的起跳速度约为4 m/s.]
3．B [设塔高为h，B石块从开始下落到着地经历时间t
B
＝
到着地经历时间t
A
＝
有t
B
＝t
A
－t
A
′，即
2(h－n)
，A石块从开始下落
g
2h2m
，A石块自塔顶下落m经历时间t
A
′＝ ，以题意，应
gg
2
2(h－n)(m＋n)
2h2m
＝ － ，解之得h＝，B选项正确．]
ggg4m
2
4．B [垫圈之间的距离分别为12 cm、36 cm、60 cm、84 cm，满足1∶3∶5∶7的关系，
因此时间间隔相等，依次落到盘上的时间关系为1∶2∶3∶4，A、D错误，B正确；各
个时刻末的速度之比应为1∶2∶3∶4，因此C错误．]
5．D [运动员的外形和动作影响裁判打分，不能把该运动员的运动看成质点的运动，则A
错误；1 s末对弹性网的压力最大，运动员在最低点，速度为0,1 s末到2 s末，运动员在
做加速运动，2 s末到3 s末，运动员做竖直上抛运动，3 s末运动员运动到最高点，则D
正确．]
6．B [上升和下降过程中，小球运动的v－t图象斜率相同，即加速度相同，所以A选项不
正确；0～0.4 s内为自由落体过程，通过的位移即为高度0.8 m，B选项正确；前0.4 s
自由下落0.8 m，后0.2 s反弹向上运动0.2 m，所以整个过程小球位移为0.6 m，C选项
不正确；整个过程小球的平均速度大小为1 m/s，D选项不正确．]
7．C [AB长度为L＝0.02 m，小石子从A到B用时0.001 s，根据匀变速直线运动中间时刻
的瞬时速度等于这段时间的平均速度，即经过AB的中间时刻的瞬时速度v＝20 m/s，小
石子从静止开始下落到该处的高度为h，则v
2
＝2gh，解得h＝20 m，由于A点离AB的
中间时刻的位置很小，故小石子出发点离A点距离约为20 m．]
8．ACD [物体在塔顶上的A点竖直向上抛出，位移大小为10 m的
位置有两处，如图所示，一处在A点之上，另一处在A点之下．在
A点之上时，通过位移为10 m处又有上升和下降两种过程．上升
通过时，物体的路程L
1
等于位移x
1
的大小，即L
1
＝x
1
＝10 m；下
落通过时，路程L
2
＝2H－x
1
＝2×20 m－10 m＝30 m．在A点之
下时，通过的路程L
3
＝2H＋x
2
＝2×20 m＋10 m＝50 m．]
9．C [将物体的上升过程分成位移相等的两段，设下面一段位移所
用时间为t
1
，上面一段位移所用时间为t
2
，根据逆向思维可得：t
2
∶t
1
＝1∶(2－1)，又
知，物体撞击挡板后以原速度大小弹回(撞击所需时间不计)，物体上升和下降的总时间
t
t′＝2t
1
且t
1
＋t
2
＝，由以上几式可得：t′＝(2－1)t/2≈0.3t，正确答案为C.]
2
1T1
10．A [小球从O点能上升的最大高度为g(
2
)
2
，小球从P点到最高点能上升的高度为
222
T1T1T8H
g(
1
)
2
，所以有H＝g(
2
)
2
－g(
1
)
2
，由此得g＝
2
.]
22222T
2
－T
2
1
11．0.5 35
12．(1)2 m/s (2)1.61 s
13．mgx
0
/H 0 ＋L 0 )/H
2024年8月27日发(作者：谭平晓)
第3课时 自由落体与竖直上抛运动
导学目标 1.掌握自由落体的运动规律及其应用.2.掌握竖直上抛运动的规律及其应用．
一、自由落体运动
[基础导引]
一个石子从楼顶自由落下，那么：
(1)它的运动性质是________________．
(2)从石子下落开始计时，经过时间t，它的速度为________．
(3)这段时间t内石子的位移是h＝______，同时有v＝______.
[知识梳理]
1．概念：物体只在________作用下，从________开始下落的运动叫自由落体运动．
2．基本特征：只受重力，且初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动．
3．基本规律
由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及
其推论都适用于自由落体运动．
(1)速度公式：v＝gt
1
2
(2)位移公式：h＝gt
2
(3)位移与速度的关系：v＝2gh
4．推论
v
1
(1)平均速度等于中间时刻的瞬时速度，也等于末速度的一半，即v＝＝gt
22
(2)在相邻的相等时间内下落的位移差Δh＝gT
2
(T为时间间隔)
二、竖直上抛运动
[基础导引]
竖直向上抛出一小石子，初速度为v
0
，那么：
(1)它的运动性质是________________．
(2)从开始上抛计时，t时刻小石子的速度为v＝________.
(3)从开始上抛计时，t时刻小石子离地面的高度为h＝______.
(4)从开始上抛计时，小石子到达最高点的时间为t
1
＝______，最高点离抛出点的高度：h
m
＝________.
(5)从开始上抛计时，小石子落回抛出点的时间为t
2
＝______，落回抛出点的速度为v＝
________.
[知识梳理]
1．概念：将物体以一定的初速度____________抛出去，物体只在________作用下的运动叫
竖直上抛运动．
2．基本特征：只受重力作用且初速度____________，以初速度的方向为正方向，则a＝
________.
2
2
3．运动分析：上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做匀加速直线运动，全过程可看作匀
减速直线运动．
4．基本公式：v＝________，h＝________________，v
2
－v
2
0
＝________.
思考：竖直上抛运动中若计算得出的速度和位移的值为负值，则它们表示的意义是什
么？
考点一 自由落体运动规律的应用
考点解读
自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，因此一切匀加速直线运动的
公式均适用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，更是经
常在自由落体运动中用到．
典例剖析
例1 在学习了伽利略对自由落体运动的研究后，甲同学给乙同学出了这样一道题：一个物
体从塔顶落下(不考虑空气阻力)，物体到达地面前最后一秒内通过的位移为整个位移的
9
2
，求塔高H(取g＝10 m/s)．
25
11h9
乙同学的解法：根据h＝gt
2
得物体在最后1 s内的位移h
1
＝gt
2
＝5 m，再根据
1
＝得
22H25
H＝13.9 m，乙同学的解法是否正确？如果正确说明理由，如果不正确请给出正确解析过
程和答案．
思维突破 由本题的解答过程，我们可以体会到选取合适的物理过程作为研究对象是多么重
要，运动学公式都对应于某一运动过程，复杂的运动过程中选择恰当的研究过程是关键．
跟踪训练1 如图1所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机
在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5„所示小球运动过程
中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.
根据图中的信息，下列判断错误的是 ( )
A．位置“1”是小球的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
d
C．小球下落的加速度为
2
T
图1
7d
D．小球在位置“3”的速度为
2T
考点二 竖直上抛运动规律的应用
考点解读
1．竖直上抛运动的研究方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体
运动处理，下降过程是上升过程的逆过程．
(2)整体法：从全过程来看，加速度方向始终与初速度的方向相反，所以也可把竖直上抛
运动看成是一个匀变速直线运动．
2．竖直上抛运动的对称性
如图2所示，物体以初速度v
0
竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最
高点，则
(1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间t
AC
和下降过程中从C→A
所用时间t
CA
相等，同理t
AB
＝t
BA
.
(2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度
大小相等．
可能处于下降阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解．
典例剖析
例2 某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．求：
(1)物体上升的最大高度是多少？回到抛出点所用的时间为多少？
(2)石子抛出后通过距抛出点下方20 m处所需的时间．不考虑空气阻力，取g＝10 m/s
2
.
思维突破 对称法在运动学中的应用
对称性是物理美的重要体现，在很多物理现象和物理过程中都存在对称问题．而利用对称
法解题也是一种科学的思维方法，应用该法可以避免复杂的数学运算和推导，直接抓住问
题的实质、出奇制胜、快速简洁地解答问题．针对本题，竖直上抛运动的上升过程和下降
过程具有对称性，物体经过某点或某段的位移、时间、速度等都可利用对称法快速求出．
跟踪训练2 一气球以10 m/s的加速度由静止从地面上升，10 s末从它上面掉出一重物，
它从气球上掉出后经多少时间落到地面？(不计空气阻力，g取10 m/s
2
)
2.“临界分析法”解决抛体相
遇问题
例3 在高为h处，小球A由静止开始自由落下，与此同时，在A的正下方地面上以初速度
v
0
竖直向上抛出另一小球B，求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条
件(不计空气阻力作用，重力加速度为g)．
方法提炼
1．临界问题的特点
(1)物理现象的变化面临突变性．
(2)对于连续变化问题，物理量的变化出现拐点，呈现出两性，即能同时反映出两种过程
和两种现象的特点．
2．分析方法：解决临界问题，关键是找出临界条件．一般有两种基本方法：(1)以定理、定
律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特
殊解；(2)直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求出研究问题的规律和解．
跟踪训练3 如图3所示，A、B两棒长均为L＝1 m，A的下端和B的上端
相距s＝20 m，若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运
动，初速度v
0
＝40 m/s.
求：
图3
2
图2
特别提醒 在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也
(1)A、B两棒何时相遇；
(2)从相遇开始到分离所需的时间．
A组 自由落体运动
1．伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法，这就是 ( )
A．对自然现象进行总结归纳的方法
B．用科学实验进行探究的方法
C．对自然现象进行总结归纳，并用实验进行验证的方法
D．抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法
2．一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，不计空气阻力．已知它经过b
点时的速度为v，经过c点时的速度为3v.则ab段与ac段位移之比为 ( )
A．1∶3 B．1∶5 C．1∶8 D．1∶9
3．如图4所示，一根长为L＝10 m的直杆由A点静止释放，求它通过距A点为
h＝30 m，高为Δh＝1.5 m的窗户BC所用的时间Δt.(g取10 m/s)
B组 竖直上抛运动
图4
4．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员
跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，
并在计算机上作出压力—时间图象，假如作出的图象如图5所示．设运动员在空中运动
时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s
2
) ( )
2
图5
A．1.8 m B．3.6 m C．5.0 m D．7.2 m
5．在某一高度以v
0
＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小
为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s
2
) ( )
A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上
B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向下
C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向上
D．小球的位移大小一定是15 m
6．研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球
以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经
11 s产品撞击到地面．不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度．(g
取10 m/s
2
)
第3课时 自由落体与竖直上抛运动
(限时：45分钟)
一、选择题
1．甲物体的质量是乙物体质量的5倍，甲从H高处自由下落，同时乙从2H高处自由下落，
下列说法中正确的是(高度H远大于10 m) ( )
A．两物体下落过程中，同一时刻甲的速率比乙的大
B．下落1 s末，它们的速度相等
C．各自下落1 m，它们的速度相等
D．下落过程中甲的加速度比乙的大
2．某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横
杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s
2
) ( )
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s
3．石块A自塔顶自由落下高度为m时，石块B自离塔顶n处(在塔的下方)自由下落，两石
块同时落地，则塔高为 ( )
(m＋n)
2
A．m＋n B.
4m
2
(m＋n)
m
2
C. D.
4(m＋n)m－n
4. 取一根长2 m 左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一
个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、
84 cm，如图1所示，站在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂下，
且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内．松手后开始计时，若不计空气
阻力，则第2、3、4、5各垫圈 ( )
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)
5．“蹦床”是奥运体操的一种竞技项目，比赛时，可在弹性网上安装压力传感器，利用压
力传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并由计算机作出压力(F)－时间(t)图
象，如图2为某一运动员比赛时计算机作出的F－t图象，不计空气阻力，则关于该运
动员，下列说法正确的是 ( )
图1
图2
A．裁判打分时可以把该运动员的运动看成质点的运动
B．1 s末该运动员的运动速度最大
C．1 s末到2 s末，该运动员在做减速运动
D．3 s末该运动员运动到最高点
6. 小球从空中某处从静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中
某一高度处，此过程中小球速度随时间变化的关系如图3所示，则
( )
A．在下落和上升两个过程中，小球的加速度不同
B．小球开始下落处离地面的高度为0.8 m
C．整个过程中小球的位移为1.0 m
D．整个过程中小球的平均速度大小为2 m/s
7．一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰
好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长
1
度，如图4所示．已知曝光时间为 s，则小石子出发点离A
1 000
点的距离约为 ( )
A．6.5 m B．10 m
C．20 m D．45 m
8．在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气
阻力，设塔足够高．则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为 ( )
A．10 m B．20 m C．30 m D．50 m
9．不计空气阻力，以一定的初速度竖直上抛一物体，从抛出至回到抛出点的时间为t，现在
物体上升的最大高度的一半处设置一块挡板，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向
相反，撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为 ( )
A．0.5t B．0.4t C．0.3t D．0.2t
10．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，
g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g
归于测长度和时间，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛
小球又落到原处的时间为T
2
，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P
点到又回到P点所用的时间为T
1
，测得T
1
、T
2
和H，可求得g等于 ( )
8H4H
A.
2
B.
2
T
2
－T
2
T
2
12
－T
1
8HH
C.
2
D.
(T
2
－T
1
)4(T
2
－T
1
)
2
二、非选择题
11．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开
始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为______ s，
这时第3个小球和第5个小球相距______ m(g取10 m/s)．
12．2011年5月20日，在天津市奥体中心进行的2011年全国跳水冠军赛男子10米跳台决
赛中，来自四川队的选手邱波以552.75分的成绩获得冠军．他在跳台上腾空而起，到
达最高点时他的重心离台面的高度为1 m，当他下降到手触及水面时要伸直双臂做一个
翻掌压水花的动作，这时他的重心离水面也是1 m．设他静止站在台面上时重心距台面
2
图3
图4
的高度为0.8 m，重力加速度g＝10 m/s
2
，问：
(1)他的起跳速度约是多大？
(2)从起跳到入水(手掌触水)共需多长时间？
13. 如图5所示，质量为m的小车，静止在光滑的水平地面上，
车长为L
0
，现给小车施加一个水平向右的恒力F，使小车
向右做匀加速直线运动，与此同时在小车的正前方x
0
处的
正上方H高处，有一个可视为质点的小球从静止开始做自
由落体运动(重力加速度为g)，问恒力F满足什么条件时小
球可以落到小车上？
答案
基础再现
一、
基础导引 (1)匀加速直线运动 (2)gt
1
(3)gt
2
2gh
2
知识梳理 1.重力 静止
二、
v
0
v
0
1
2
基础导引 (1)匀减速直线运动 (2)v
0
－gt (3)v
0
t－gt (4)
2g2g
2v
0
(5) －v
0
g
1
知识梳理 1.竖直向上 重力 2.竖直向上 －g 4.v
0
－gt v
0
t－gt
2
－2gh
2
思考：速度是负值表示物体正在下落，而位移是负值则表示物体正在抛出点下方．
课堂探究
例1 见解析
跟踪训练1 A [由题图可知相邻的相等时间间隔的位移差相等都为d，B对；由Δx＝aT
2
＝d可知C对；位置“3”是小球从位置“2”到位置“4”的中间时刻，据推论有v
3
＝
3d＋4d
7d
＝，D对；位置“1”到位置“2”的距离与位置“2”到位置“3”的距离之比
2T2T
为2∶3，位置“1”不是小球释放的初始位置，故选A.]
例2 (1)20 m 4 s (2)(2＋2 2) s
跟踪训练2 10(1＋2) s
例3 见解析
跟踪训练3 (1)0.5 s (2)0.05 s
分组训练
1．D
v
2
(3v)
2
2．D [经过b点时的位移为h
ab
＝，经过c点时的位移为h
ac
＝，所以h
ab
∶h
ac
＝1∶9，
2g2g
故选D.]
3．0.51 s
4．C
2
图5
6．495 m
答案
1．BC [甲、乙两物体的重力加速度相同，由于同时释放，由v＝gt可知，相同时刻有相同
的速度；由v
2
＝2gx知，下落相同位移时速度也相同．]
2．B [人的重心大约在身体的中间位置，由题意知人重心上升了0.9 m．由v
0
＝2gh可知本
题应选B，即人的起跳速度约为4 m/s.]
3．B [设塔高为h，B石块从开始下落到着地经历时间t
B
＝
到着地经历时间t
A
＝
有t
B
＝t
A
－t
A
′，即
2(h－n)
，A石块从开始下落
g
2h2m
，A石块自塔顶下落m经历时间t
A
′＝ ，以题意，应
gg
2
2(h－n)(m＋n)
2h2m
＝ － ，解之得h＝，B选项正确．]
ggg4m
2
4．B [垫圈之间的距离分别为12 cm、36 cm、60 cm、84 cm，满足1∶3∶5∶7的关系，
因此时间间隔相等，依次落到盘上的时间关系为1∶2∶3∶4，A、D错误，B正确；各
个时刻末的速度之比应为1∶2∶3∶4，因此C错误．]
5．D [运动员的外形和动作影响裁判打分，不能把该运动员的运动看成质点的运动，则A
错误；1 s末对弹性网的压力最大，运动员在最低点，速度为0,1 s末到2 s末，运动员在
做加速运动，2 s末到3 s末，运动员做竖直上抛运动，3 s末运动员运动到最高点，则D
正确．]
6．B [上升和下降过程中，小球运动的v－t图象斜率相同，即加速度相同，所以A选项不
正确；0～0.4 s内为自由落体过程，通过的位移即为高度0.8 m，B选项正确；前0.4 s
自由下落0.8 m，后0.2 s反弹向上运动0.2 m，所以整个过程小球位移为0.6 m，C选项
不正确；整个过程小球的平均速度大小为1 m/s，D选项不正确．]
7．C [AB长度为L＝0.02 m，小石子从A到B用时0.001 s，根据匀变速直线运动中间时刻
的瞬时速度等于这段时间的平均速度，即经过AB的中间时刻的瞬时速度v＝20 m/s，小
石子从静止开始下落到该处的高度为h，则v
2
＝2gh，解得h＝20 m，由于A点离AB的
中间时刻的位置很小，故小石子出发点离A点距离约为20 m．]
8．ACD [物体在塔顶上的A点竖直向上抛出，位移大小为10 m的
位置有两处，如图所示，一处在A点之上，另一处在A点之下．在
A点之上时，通过位移为10 m处又有上升和下降两种过程．上升
通过时，物体的路程L
1
等于位移x
1
的大小，即L
1
＝x
1
＝10 m；下
落通过时，路程L
2
＝2H－x
1
＝2×20 m－10 m＝30 m．在A点之
下时，通过的路程L
3
＝2H＋x
2
＝2×20 m＋10 m＝50 m．]
9．C [将物体的上升过程分成位移相等的两段，设下面一段位移所
用时间为t
1
，上面一段位移所用时间为t
2
，根据逆向思维可得：t
2
∶t
1
＝1∶(2－1)，又
知，物体撞击挡板后以原速度大小弹回(撞击所需时间不计)，物体上升和下降的总时间
t
t′＝2t
1
且t
1
＋t
2
＝，由以上几式可得：t′＝(2－1)t/2≈0.3t，正确答案为C.]
2
1T1
10．A [小球从O点能上升的最大高度为g(
2
)
2
，小球从P点到最高点能上升的高度为
222
T1T1T8H
g(
1
)
2
，所以有H＝g(
2
)
2
－g(
1
)
2
，由此得g＝
2
.]
22222T
2
－T
2
1
11．0.5 35
12．(1)2 m/s (2)1.61 s
13．mgx
0
/H 0 ＋L 0 )/H