LibreOJ #2759 蜜袋鼯（フクロモモンガ） 题解
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解析
首先我们考虑一下我们的策略。
无论给出何种方案，我们都需要遵守一个原则：非必要不爬升，且爬升时只爬升至足够飞过去的高度即可。
证明
对于前半句，我们这样分析：
我们假设可以突破高度只能大于等于0的限制。
那我们就可以持续进行飞行操作，直到到达终点再向上爬到树顶。
也就是说，我们将我们的操作从一系列的“飞跃-爬升”操作变成了一串连续的飞跃操作和一个爬升操作。
显然，只要我们选择的路径一定，我们最后爬升的路程一定是一定的。
我们不妨设其为 h h h 。
如果我们在这种情况下，选择在中间进行一次爬升操作，假设我们爬升的高度为 h ′ h' h′ 。
那么，我们到达最后的高度就是 H N − h + h ′ H_N - h + h' HN−h+h′。
然而，我们总共还是爬升了 h − h ′ + h ′ = h h-h'+h'=h h−h′+h′=h 的高度，总共爬升操作所用的时间也是不变的。
更何况我们还会遇到到一棵树正上方时高度大于树高的时候，这时候我们就只能降低高度，而在最后多的时间来爬升刚才降低的那一段距离。
这会导致如果我们瞎爬升的话，结果会劣于非必要不爬升的结果。
那么对于后半句，我们这样分析：
假设一种极限情况，一路上的树一棵比一棵矮，且每一次从树顶开始飞行都会飞跃目标树。
那么如果我们选择爬升的高度太多，就会导致爬升高度的浪费。
我们完全可以选择一种极端的情况，那么就是让我们的高度保持为0即可。
我们在每次飞跃一条边（假设其为 ( u , v ) (u,v) (u,v) ）时，我们如果之前已经保持了高度为0的话，我们就只需爬升 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) 的高度即可，即到达 v v v 点时高度仍然为零。而如果我们仍有高度 x x x的话，我们就爬升 (x-w[(u,v)]>=0)?0:(w[(u,v)]-x) 即可。
如果按照这样操作的话，我们只会在达到高度为0之前的时候才可能下降高度以适配较低的树高，最终得到的就是最优的结果。
之后对每一条边进行分析。
对于每一条边 ( u , v ) (u,v) (u,v) ，会有以下四种情况：
- 到达点正上方时的高度大于树高。
需要先向下爬到高度为 h v + w ( u , v ) h_v + w_{(u,v)} hv+w(u,v) 的点才能从该边飞过，可以证明这是最优选择。 - 在飞行途中不得不落地。
我们无论如何都无法通过这一条边，只能在向有向图中加边时忽略这一条边。 - 不向上爬无法正常飞到下一个点。
根据上面的证明，我们只需向上爬升至高度 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) ，保证尽量靠近地面。 - 可以正常飞到下一个点。
直接飞跃即可。
这样这个问题就变成了一个最短路问题。
而对于最短路的寻找，我们采用dijkstra算法。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100005;
const int M = 300005;
int head[N], ne[M << 1], to[M << 1], cost[M << 1], idx;
#define add(a,b,c) to[++idx]=b,ne[idx]=head[a],head[a]=idx,cost[idx]=c
#define bianli(x) for(int i=head[x];i;i=ne[i])
int val[N];
int n, m;
ll sum[N];
int H[N];
bool mark[N];
struct node
{ll v;int id;bool operator <(const node &A)const{return v > A.v;}
};
priority_queue<node> q;
void dijkstra(int at)
{for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=1e18;q.push({ 0,1 });H[1] = at;sum[1] = 0;ll v;while(!q.empty()){node now = q.top();q.pop();if(mark[now.id])continue;mark[now.id] = 1;int h = H[now.id];bianli(now.id){if(h - cost[i] > val[to[i]]){v = sum[now.id] + h - cost[i] - val[to[i]] + cost[i];if(sum[to[i]] > v){sum[to[i]] = v;H[to[i]] = val[to[i]];q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}else if(h - cost[i] < 0){v = sum[now.id] + cost[i] - h + cost[i];if(sum[to[i]] > v){sum[to[i]] = v;H[to[i]] = 0;q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}else{if(sum[to[i]] > sum[now.id] + cost[i]){sum[to[i]] = sum[now.id] + cost[i];H[to[i]] = h - cost[i];q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}}}
}
int main()
{int at;scanf("%d%d%d", &n, &m, &at);for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &val[i]);int a, b, c;while(m--){scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);if(val[a] >= c)add(a, b, c);if(val[b] >= c)add(b, a, c);}dijkstra(at);if(sum[n] == 1e18)puts("-1");else printf("%lld\n", sum[n] + val[n] - H[n]);return 0;
}
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首先我们考虑一下我们的策略。
无论给出何种方案，我们都需要遵守一个原则：非必要不爬升，且爬升时只爬升至足够飞过去的高度即可。
证明
对于前半句，我们这样分析：
我们假设可以突破高度只能大于等于0的限制。
那我们就可以持续进行飞行操作，直到到达终点再向上爬到树顶。
也就是说，我们将我们的操作从一系列的“飞跃-爬升”操作变成了一串连续的飞跃操作和一个爬升操作。
显然，只要我们选择的路径一定，我们最后爬升的路程一定是一定的。
我们不妨设其为 h h h 。
如果我们在这种情况下，选择在中间进行一次爬升操作，假设我们爬升的高度为 h ′ h' h′ 。
那么，我们到达最后的高度就是 H N − h + h ′ H_N - h + h' HN−h+h′。
然而，我们总共还是爬升了 h − h ′ + h ′ = h h-h'+h'=h h−h′+h′=h 的高度，总共爬升操作所用的时间也是不变的。
更何况我们还会遇到到一棵树正上方时高度大于树高的时候，这时候我们就只能降低高度，而在最后多的时间来爬升刚才降低的那一段距离。
这会导致如果我们瞎爬升的话，结果会劣于非必要不爬升的结果。
那么对于后半句，我们这样分析：
假设一种极限情况，一路上的树一棵比一棵矮，且每一次从树顶开始飞行都会飞跃目标树。
那么如果我们选择爬升的高度太多，就会导致爬升高度的浪费。
我们完全可以选择一种极端的情况，那么就是让我们的高度保持为0即可。
我们在每次飞跃一条边（假设其为 ( u , v ) (u,v) (u,v) ）时，我们如果之前已经保持了高度为0的话，我们就只需爬升 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) 的高度即可，即到达 v v v 点时高度仍然为零。而如果我们仍有高度 x x x的话，我们就爬升 (x-w[(u,v)]>=0)?0:(w[(u,v)]-x) 即可。
如果按照这样操作的话，我们只会在达到高度为0之前的时候才可能下降高度以适配较低的树高，最终得到的就是最优的结果。
之后对每一条边进行分析。
对于每一条边 ( u , v ) (u,v) (u,v) ，会有以下四种情况：
- 到达点正上方时的高度大于树高。
需要先向下爬到高度为 h v + w ( u , v ) h_v + w_{(u,v)} hv+w(u,v) 的点才能从该边飞过，可以证明这是最优选择。 - 在飞行途中不得不落地。
我们无论如何都无法通过这一条边，只能在向有向图中加边时忽略这一条边。 - 不向上爬无法正常飞到下一个点。
根据上面的证明，我们只需向上爬升至高度 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) ，保证尽量靠近地面。 - 可以正常飞到下一个点。
直接飞跃即可。
这样这个问题就变成了一个最短路问题。
而对于最短路的寻找，我们采用dijkstra算法。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100005;
const int M = 300005;
int head[N], ne[M << 1], to[M << 1], cost[M << 1], idx;
#define add(a,b,c) to[++idx]=b,ne[idx]=head[a],head[a]=idx,cost[idx]=c
#define bianli(x) for(int i=head[x];i;i=ne[i])
int val[N];
int n, m;
ll sum[N];
int H[N];
bool mark[N];
struct node
{ll v;int id;bool operator <(const node &A)const{return v > A.v;}
};
priority_queue<node> q;
void dijkstra(int at)
{for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=1e18;q.push({ 0,1 });H[1] = at;sum[1] = 0;ll v;while(!q.empty()){node now = q.top();q.pop();if(mark[now.id])continue;mark[now.id] = 1;int h = H[now.id];bianli(now.id){if(h - cost[i] > val[to[i]]){v = sum[now.id] + h - cost[i] - val[to[i]] + cost[i];if(sum[to[i]] > v){sum[to[i]] = v;H[to[i]] = val[to[i]];q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}else if(h - cost[i] < 0){v = sum[now.id] + cost[i] - h + cost[i];if(sum[to[i]] > v){sum[to[i]] = v;H[to[i]] = 0;q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}else{if(sum[to[i]] > sum[now.id] + cost[i]){sum[to[i]] = sum[now.id] + cost[i];H[to[i]] = h - cost[i];q.push({ sum[to[i]],to[i] });}}}}
}
int main()
{int at;scanf("%d%d%d", &n, &m, &at);for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &val[i]);int a, b, c;while(m--){scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);if(val[a] >= c)add(a, b, c);if(val[b] >= c)add(b, a, c);}dijkstra(at);if(sum[n] == 1e18)puts("-1");else printf("%lld\n", sum[n] + val[n] - H[n]);return 0;
}