2023年12月22日发(作者：势彤彤)

5.5 应用二元一次方程组---里程碑上的数

●教学目标

(一)教学知识点

1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数〞这一有趣场景中的数字问题和行程问题.

2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

(二)能力训练要求

1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.

2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.

(三)情感与价值观要求

1.“里程碑上的数〞这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.

2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.

●教学重点

1.用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.

2.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.

●教学难点

将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.

●教学方法

引导——讨论——发现法.

“里程碑上的数〞既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解.同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法.

●教具准备

幻灯片两张：

第一张：问题串(记作§5.5 A)；

第一张：例1(记作§5.5 B).

●教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

出示投影片(§5.5 A)

［问题1］(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.

(2)有两个两位数x和y,如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.

(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.

［师生共析］(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10,所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b.

(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.

(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.

［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题.

Ⅱ.讲援新课

［师］翻开课本P120，我们来研究“里程碑上的数〞.同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容.

［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个

0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.

［师］我们可以注意到“里程碑上的数〞这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关,同时，相对而言又有一定的难度.但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的,要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字.我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？

［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y.

［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系.

［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7.

［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的.说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等.现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程.

［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x).因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x).

［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解.

(由两位同学黑板上板演)

解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x,个位数字是y，根据题意，得方程组

xy7(100xy)(10yx)(10yx)

(10xy)

化简，得xy7

y6x①

②

把②代入①，得x=1

把x=1代入②，得y=6

所以，这个方程组的解为x1,

y6因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.

［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题.

出示投影片(§5.5 B)

［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.

分析：(1)此题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.

(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x.

解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y，那么

xy68

(100xy)(100yx)2178化简，得

xy68

99x99y2178即xy68

xy22解该方程组，得

x45

y23

所以这两个两位数分别是45和23.

Ⅲ.随堂练习

课本P121.

1.解：设十位数字是x,个位数字是y，那么有方程组x5

y610xy3(xy)23

10xy5(xy)1解得所以，这个两位数是56.

Ⅳ.课时小结

［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？

(引导学生回忆本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.不一定要明晰一个十分具体的步骤.只要学生了解这个过程即可，不必要求学生答复标准化、统一化)

［师生共同分析］

列二元一次方程组解应用题的主要步骤：

(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.

(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.

(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.

(4)解这个方程组并求出未知数的值.

(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?

(6)写出符合题意的解释.

Ⅴ.课后作业

1.课本习题5.6.

2.复习一次函数的图象，预习下一节?二元一次方程与一次函数?.

Ⅵ.活动与探究

北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？

起

终

点

点

武汉

4

3

重庆

8

5

北京

上海

过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海那么应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆.由每台运费的表格可知：

北京—→武汉 费用需4x百元.

北京—→重庆 费用需8y百元.

上海—→武汉 费用需3(6－x)百元.

上海—→重庆 费用需5(8－y)百元.

合计7600元即76百元.

结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得

xy10

4x8y3(6x)5(8y)76化简得xy10

x3x18解得x6

y4所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.

●板书设计

§5.5 里程碑上的数

一、里程碑上的数

(1)相等关系：

12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7.

(2)学生板演解答过程.

二、例题讲解

例：(医院为病人配制营养品)

三、随堂练习

(学生板演)

四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

1.8 完全平方公式(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二)能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.

●教具准备

投影片四张

第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)

第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)

第三张：例题，记作(§1.8.1 C)

第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验

田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

(出示投影片§1.8.1 A)

想一想：

(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？

(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

［生］用多项式乘法法那么可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2

(1)

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.

［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.

［师生共析］

(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2

↓

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(a +b)2=a2+2·a ·b + b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)

［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片(§1.8.1 B)

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;

(3)(mn－a)2.

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;

(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.

分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.

解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2

=4y2－4xy+x2；

方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.

(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.

(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2

=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.

(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2

=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)

=4xy.

方法二：(x+y)2－(x－y)2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2

=［(2x－3y)(2x+3y)］2

=［4x2－9y2］2

=16x4－72x2y2+81y4.

Ⅲ.随堂练习

课本1.计算：

(1)(1x－2y)2;(2)(2xy+1x)2;

25(3)(n+1)2－n2.

1解：(1)(1x－2y)2=(1x)2－2·x·2y+(2y)2=1x2－2xy+4y2

22241(2)(2xy+1x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(1x)2=4x2y2+4x2y+5555125x2

(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.

方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.

Ⅳ.课后作业

1.课本习题1.13的第1、2、3题.

2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？

［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.

令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+

20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.

因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.

但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16

和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).

［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.

●板书设计

1.8. 完全平方公式(一)

一、几何背景

试验田的总面积有两种表示形式：

①a2+2ab+b2

②(a+b)2

比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2

二、代数推导

(a+b)2=(a+b)(a+b)

=a2+2ab+b2

(a－b)2=［a+(－b)］2

=a2－2ab+b2

三、例题讲例

例1.利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2

(2)(4x+5y)2

(3)(mn－a)2

四、随堂练习(略)

●备课资料

一、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.

他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.

二、参考练习

1.填空题

(1)(－3x+4y)2= .

(2)(－2a－b)2= .

(3)x2－4xy+ =(x－2y)2.

(4)a2+b2=(a+b)2+ .

(5)1a2+ +9b2=(1a+3b)2.

42(6)(a－2b)2+(a+2b)2= .

2.选择题

(1)以下计算正确的选项是( )

A.(m－1)2=m2－1

B.(x+1)(x+1)=x2+x+1

C.(1x－y)2=1x2－xy－y2

24D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4

(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是( )

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,那么正方形的面积增加了( )

A.36 cm2 B.12a cm2

C.(36+12a)cm2

3.用乘法公式计算

(1)(1x－1y)2

2 D.以上都不对

3(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2

(3)29×31×(302+1)

(4)9992

答案：1.(1)9x2－24xy+16y2

(2)4a2+4ab+b2 (3)4y2 (4)－2ab

(5)3ab (6)2a2+8b2

2.(1)D (2)C (3)C

3.(1)1x2－1xy+1y2 (2)－8x2y2

439(3)809999 (4)998001

2023年12月22日发(作者：势彤彤)

5.5 应用二元一次方程组---里程碑上的数

●教学目标

(一)教学知识点

1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数〞这一有趣场景中的数字问题和行程问题.

2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

(二)能力训练要求

1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.

2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.

(三)情感与价值观要求

1.“里程碑上的数〞这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.

2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.

●教学重点

1.用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.

2.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.

●教学难点

将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.

●教学方法

引导——讨论——发现法.

“里程碑上的数〞既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解.同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法.

●教具准备

幻灯片两张：

第一张：问题串(记作§5.5 A)；

第一张：例1(记作§5.5 B).

●教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

出示投影片(§5.5 A)

［问题1］(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.

(2)有两个两位数x和y,如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.

(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.

［师生共析］(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10,所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b.

(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.

(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.

［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题.

Ⅱ.讲援新课

［师］翻开课本P120，我们来研究“里程碑上的数〞.同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容.

［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个

0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.

［师］我们可以注意到“里程碑上的数〞这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关,同时，相对而言又有一定的难度.但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的,要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字.我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？

［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y.

［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系.

［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7.

［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的.说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等.现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程.

［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x).因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x).

［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解.

(由两位同学黑板上板演)

解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x,个位数字是y，根据题意，得方程组

xy7(100xy)(10yx)(10yx)

(10xy)

化简，得xy7

y6x①

②

把②代入①，得x=1

把x=1代入②，得y=6

所以，这个方程组的解为x1,

y6因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.

［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题.

出示投影片(§5.5 B)

［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.

分析：(1)此题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.

(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x.

解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y，那么

xy68

(100xy)(100yx)2178化简，得

xy68

99x99y2178即xy68

xy22解该方程组，得

x45

y23

所以这两个两位数分别是45和23.

Ⅲ.随堂练习

课本P121.

1.解：设十位数字是x,个位数字是y，那么有方程组x5

y610xy3(xy)23

10xy5(xy)1解得所以，这个两位数是56.

Ⅳ.课时小结

［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？

(引导学生回忆本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.不一定要明晰一个十分具体的步骤.只要学生了解这个过程即可，不必要求学生答复标准化、统一化)

［师生共同分析］

列二元一次方程组解应用题的主要步骤：

(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.

(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.

(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.

(4)解这个方程组并求出未知数的值.

(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?

(6)写出符合题意的解释.

Ⅴ.课后作业

1.课本习题5.6.

2.复习一次函数的图象，预习下一节?二元一次方程与一次函数?.

Ⅵ.活动与探究

北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？

起

终

点

点

武汉

4

3

重庆

8

5

北京

上海

过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海那么应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆.由每台运费的表格可知：

北京—→武汉 费用需4x百元.

北京—→重庆 费用需8y百元.

上海—→武汉 费用需3(6－x)百元.

上海—→重庆 费用需5(8－y)百元.

合计7600元即76百元.

结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得

xy10

4x8y3(6x)5(8y)76化简得xy10

x3x18解得x6

y4所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.

●板书设计

§5.5 里程碑上的数

一、里程碑上的数

(1)相等关系：

12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7.

(2)学生板演解答过程.

二、例题讲解

例：(医院为病人配制营养品)

三、随堂练习

(学生板演)

四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

1.8 完全平方公式(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二)能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.

●教具准备

投影片四张

第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)

第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)

第三张：例题，记作(§1.8.1 C)

第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验

田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

(出示投影片§1.8.1 A)

想一想：

(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？

(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

［生］用多项式乘法法那么可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2

(1)

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.

［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.

［师生共析］

(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2

↓

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(a +b)2=a2+2·a ·b + b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)

［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片(§1.8.1 B)

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;

(3)(mn－a)2.

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;

(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.

分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.

解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2

=4y2－4xy+x2；

方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.

(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.

(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2

=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.

(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2

=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)

=4xy.

方法二：(x+y)2－(x－y)2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.

(5)(2x－3y)2(2x+3y)2

=［(2x－3y)(2x+3y)］2

=［4x2－9y2］2

=16x4－72x2y2+81y4.

Ⅲ.随堂练习

课本1.计算：

(1)(1x－2y)2;(2)(2xy+1x)2;

25(3)(n+1)2－n2.

1解：(1)(1x－2y)2=(1x)2－2·x·2y+(2y)2=1x2－2xy+4y2

22241(2)(2xy+1x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(1x)2=4x2y2+4x2y+5555125x2

(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.

方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.

Ⅳ.课后作业

1.课本习题1.13的第1、2、3题.

2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？

［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.

令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+

20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.

因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.

但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16

和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).

［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.

●板书设计

1.8. 完全平方公式(一)

一、几何背景

试验田的总面积有两种表示形式：

①a2+2ab+b2

②(a+b)2

比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2

二、代数推导

(a+b)2=(a+b)(a+b)

=a2+2ab+b2

(a－b)2=［a+(－b)］2

=a2－2ab+b2

三、例题讲例

例1.利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2

(2)(4x+5y)2

(3)(mn－a)2

四、随堂练习(略)

●备课资料

一、杨辉

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.

他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.

二、参考练习

1.填空题

(1)(－3x+4y)2= .

(2)(－2a－b)2= .

(3)x2－4xy+ =(x－2y)2.

(4)a2+b2=(a+b)2+ .

(5)1a2+ +9b2=(1a+3b)2.

42(6)(a－2b)2+(a+2b)2= .

2.选择题

(1)以下计算正确的选项是( )

A.(m－1)2=m2－1

B.(x+1)(x+1)=x2+x+1

C.(1x－y)2=1x2－xy－y2

24D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4

(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是( )

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,那么正方形的面积增加了( )

A.36 cm2 B.12a cm2

C.(36+12a)cm2

3.用乘法公式计算

(1)(1x－1y)2

2 D.以上都不对

3(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2

(3)29×31×(302+1)

(4)9992

答案：1.(1)9x2－24xy+16y2

(2)4a2+4ab+b2 (3)4y2 (4)－2ab

(5)3ab (6)2a2+8b2

2.(1)D (2)C (3)C

3.(1)1x2－1xy+1y2 (2)－8x2y2

439(3)809999 (4)998001