2023年12月22日发(作者：眭忆南)
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．数字问题
(1)多位数字表示问题
两位数＝十位数字×10＋个位数字．
三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．
如：一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，所以这个两位数是b个10和a个1的和，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a＋b.
(2)数位变换后多位数的表示
两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x，y表示这个四位数为100x＋y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y＋x.
一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的n便成了百位上的数．因此这个三位数是由n个100,0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n＋m.
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．
分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x，个位数字为y)
十位数字 个位数字 两位数
x y
原两位数 10x＋y
y x
新两位数 10y＋x
相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．
x＋y＝7，解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意，得10x＋y＋45＝10y＋x.x＝1，解得
y＝6.所以原两位数是16.
析规律 数字与数位的关系
解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．
2．行程问题
(1)行程问题：路程＝速度×时间
①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系．
②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程．
③航行问题：
顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；
逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．
(2)行程问题的应用：借助图示解答
【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，求火车的长度和速度．
分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在
桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．
解：设火车的长度为x m，火车的速度为y m/s，则根据题意，得
1 000＋x＝60y，x＝200，解得
1 000－x＝40y.y＝20.所以火车的长度为200 m，火车的速度为20 m/s.
3．怎么解答图形信息题
在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．
图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．
【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．
A．51元
C．8元
B．35元
D．7.5元
解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x元，水壶的单价为y元，根据图形信x＋y＝43，x＝8，息，得解得
3x＋2y＝94.y＝35.所以一个杯子的价格是8元，选C.
答案：C
谈重点 审清题意列方程组
列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．
4．用方程组解决与图形有关的问题
用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．
列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．
这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．
【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．
分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．
解：设每块地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
x＋y＝60，x＝45， 解得
2x＝x＋3y.y＝15.所以每块地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
2023年12月22日发(作者：眭忆南)
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．数字问题
(1)多位数字表示问题
两位数＝十位数字×10＋个位数字．
三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．
如：一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，所以这个两位数是b个10和a个1的和，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a＋b.
(2)数位变换后多位数的表示
两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x，y表示这个四位数为100x＋y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y＋x.
一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的n便成了百位上的数．因此这个三位数是由n个100,0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n＋m.
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．
分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x，个位数字为y)
十位数字 个位数字 两位数
x y
原两位数 10x＋y
y x
新两位数 10y＋x
相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．
x＋y＝7，解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意，得10x＋y＋45＝10y＋x.x＝1，解得
y＝6.所以原两位数是16.
析规律 数字与数位的关系
解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．
2．行程问题
(1)行程问题：路程＝速度×时间
①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系．
②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程．
③航行问题：
顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；
逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．
(2)行程问题的应用：借助图示解答
【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，求火车的长度和速度．
分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在
桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．
解：设火车的长度为x m，火车的速度为y m/s，则根据题意，得
1 000＋x＝60y，x＝200，解得
1 000－x＝40y.y＝20.所以火车的长度为200 m，火车的速度为20 m/s.
3．怎么解答图形信息题
在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．
图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．
【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．
A．51元
C．8元
B．35元
D．7.5元
解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x元，水壶的单价为y元，根据图形信x＋y＝43，x＝8，息，得解得
3x＋2y＝94.y＝35.所以一个杯子的价格是8元，选C.
答案：C
谈重点 审清题意列方程组
列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．
4．用方程组解决与图形有关的问题
用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．
列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．
这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．
【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．
分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．
解：设每块地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
x＋y＝60，x＝45， 解得
2x＝x＋3y.y＝15.所以每块地砖的长为45 cm，宽为15 cm.