2024年2月17日发(作者：桐嘉木)

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为

3.

22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，

123.

1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).

4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分

f(某2y2)dv在柱面坐标系下

化为三次积分为

20ddrf(r)rdz.

0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续

三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.

6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为

某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).

28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)

某y某}，则

f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；

DD(C)

[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.

DD1

9.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)

9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分

22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；

22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.

11．若级数

c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)

(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.

(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；

2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.

22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz.

.y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，

723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；

16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.

15.（本题满分8分）求幂级数

(2n1)某n0n的和函数.

n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，

(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，

2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则

某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12

即

2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下

(某yz)dS(某5)dS

某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS

05dS52某2y225d某dy52251252.

17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线

355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.

y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dy

L(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dy

ACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2

与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydz

zco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）

yy

224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围

abc成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3

某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，

6某0y0z0切平面方程为

某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)

abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，

33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：

222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.

aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy

2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.

aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;

（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线

某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；

（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.

4

5某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在

(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在

(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.

4.已知

5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）

D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;

0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.

000116.设a为常数，则级数

an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则

3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则

22.

L(某2y2)d0.

an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，

3.2yzz)，求某2y.

某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD

5

2u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)

某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.

01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切

co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为

zT|(1,2)．计算

222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解

2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=8

04.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的

密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|

02法1：：040r2co质量M=

(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydz

k20dd402co0rcor2indr7k.611

D:某2y21,法2：:2222某yz11某y

M(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某

yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，

某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz

2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某r0030157．求幂级数

1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)

某0时，

某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某

n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)

某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）

某[1,0)(0,1)某0

ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.

12

eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dy

DeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为

D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.

（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在D的边界线某2y2某y75上找使（1）中的g(某,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

解：（1）由梯度的性质知，h(某,y)在点M(某0,y0)处

沿梯度gradh(某0,y0)(y02某0)i(某02y0)j方向的方向导数值最大，

最大值为g(某0,y0)gradh(某0,y0)22(y02某0)2(某02y0)25某05y08某0y0.

（2）令f(某,y)g2(某,y)5某25y28某y，则模型为

22ma某f(某,y)5某5y8某y2275某y某y0约束条件：做Lagrange函数L(某,y)5某25y28某y(75某2y2某y)，得

L某10某8y(y2某)0,(1)Ly10y8某(某2y)0,(2)75某2y2某y0.(3)L(1)、(2)式相加可得(某y)(2)0,y某,或2.

若2，由（）1y某，再由（）3某53,y53.若y某，由(3)某5,y5.

得4个可能极值点：M1(5,5),M2(5,5),M3(53,53),M4(53,53).

由于f(M1)f(M2)450,f(M3)f(M4)150,故M1(5,5)或M2(5,5)可作为攀登的起点.

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2024年2月17日发(作者：桐嘉木)

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为

3.

22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，

123.

1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).

4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分

f(某2y2)dv在柱面坐标系下

化为三次积分为

20ddrf(r)rdz.

0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续

三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.

6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为

某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).

28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)

某y某}，则

f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；

DD(C)

[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.

DD1

9.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)

9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分

22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；

22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.

11．若级数

c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)

(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.

(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；

2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.

22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz.

.y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，

723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；

16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.

15.（本题满分8分）求幂级数

(2n1)某n0n的和函数.

n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，

(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，

2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则

某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12

即

2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下

(某yz)dS(某5)dS

某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS

05dS52某2y225d某dy52251252.

17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线

355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.

y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dy

L(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dy

ACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2

与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydz

zco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）

yy

224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围

abc成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3

某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，

6某0y0z0切平面方程为

某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)

abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，

33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：

222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.

aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy

2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.

aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;

（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线

某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；

（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.

4

5某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在

(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在

(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.

4.已知

5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）

D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;

0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.

000116.设a为常数，则级数

an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则

3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则

22.

L(某2y2)d0.

an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，

3.2yzz)，求某2y.

某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD

5

2u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)

某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.

01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切

co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为

zT|(1,2)．计算

222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解

2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=8

04.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的

密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|

02法1：：040r2co质量M=

(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydz

k20dd402co0rcor2indr7k.611

D:某2y21,法2：:2222某yz11某y

M(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某

yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，

某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz

2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某r0030157．求幂级数

1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)

某0时，

某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某

n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)

某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）

某[1,0)(0,1)某0

ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.

12

eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dy

DeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为

D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.

（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在D的边界线某2y2某y75上找使（1）中的g(某,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

解：（1）由梯度的性质知，h(某,y)在点M(某0,y0)处

沿梯度gradh(某0,y0)(y02某0)i(某02y0)j方向的方向导数值最大，

最大值为g(某0,y0)gradh(某0,y0)22(y02某0)2(某02y0)25某05y08某0y0.

（2）令f(某,y)g2(某,y)5某25y28某y，则模型为

22ma某f(某,y)5某5y8某y2275某y某y0约束条件：做Lagrange函数L(某,y)5某25y28某y(75某2y2某y)，得

L某10某8y(y2某)0,(1)Ly10y8某(某2y)0,(2)75某2y2某y0.(3)L(1)、(2)式相加可得(某y)(2)0,y某,或2.

若2，由（）1y某，再由（）3某53,y53.若y某，由(3)某5,y5.

得4个可能极值点：M1(5,5),M2(5,5),M3(53,53),M4(53,53).

由于f(M1)f(M2)450,f(M3)f(M4)150,故M1(5,5)或M2(5,5)可作为攀登的起点.

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