2024年2月20日发(作者：祢夜春)

高考物理《万有引力与航天》常用模型最新模拟题精练专题06.三星和多星模型一．选择题1.（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a=r3。在∆t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（）A.v2E

并2.(2021黑龙江大庆三校清北班质检)天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(A.三颗星的质量可能不相等)4πl2B.某颗星的质量为3GT2C.它们的线速度大小均为23πlT16π4l4D.它们两两之间的万有引力大小为9GT4【参考答案】：D【名师解析】：三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周运动，可知它们相互间万有引力相等，lv24π24π23可得三颗星的质量相等，故A错误.由几何关系可知2cos30°，则F向mm2Rm2l，RTT3RF向Gm216π4l44π2l323πlF万2，又2cos30°，联立解得m，F万，故B、C错误，D正确.，v42l9GT3GT3TF万3.(2020·新乡一模)据天文学家推测，存在这样的平面四星系统，四颗恒星分别位于菱形的四个顶点，绕菱形的中心点、在菱形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，位于对角的两颗恒星质量相等。根据测量可知菱形的一个顶角为2θ，位于该顶角的恒星的质量为m1，位于相邻顶角的恒星的质量为m2，则8sin3θ－1A.8cos3θ－1tan3θ9sin3θ－1C.9cos3θ－1tan3θ【参考答案】：A【名师解析】设菱形的边长为L，恒星角速度为ω，则m1的运动半径为r1＝Lcosθ，m2的运动半径为r28cos3θ－1tan3θB.8sin3θ－19cos3θ－1tan3θD.9sin3θ－1m1＝(m2)＝Lsinθ。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别对m1和m2有Gm1m12Gm1m2cosθ＋＝m1r1ω222L2LcosθGm2m22Gm1m2sinθ＋＝m2r2ω222L2Lsinθ把上面的半径代入，联立这两个方程可解得8sin3θ－1m1＝，故选项A正确。m28cos3θ－1tan3θ2

4.（2023贵州名校联考）在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是（）2Gm2A．星球a做匀速圆周运动的加速度大小为r2B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为Gmrr3C.星球b做匀速圆周运动的周期为4π5GmD.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b的线速度均将缓慢增大【参考答案】C【名师解析】m2m25Gm2对星球a，由牛顿第二定律，ma=G2+G，选项A错误；对星球a，由2解得a=22rr4rmm5Gmm2v2m242G2+G，解得v=，选项B错误；对星球b，由G2+G，2=m2=mr22r2r4rrrrTr3解得T=4π，选项C正确；若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a，b做离心5Gm运动，线速度均将缓慢减小，选项D错误。【关键点拨】明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，根据牛顿第二定律列式分析即可。万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析。5.（2023北京丰台名校联考）两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地—月系统”看做双星系统，如图所示，O1位地球球心、O2位月球球心，它们绕着O1O2连线上的O点以角速度做圆周运动。P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离，该点处小物体受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。现沿O1O2连线方向为x轴，过O1与O1O2垂直方向为y轴建立直角坐标系。A、B、C分别为P关于x轴、y轴和原点O1的对称点，D为x轴负半轴上一点，到O1的距离小于P点到O1的距离。根据以上信息可以判断223

A．A点一定是拉格朗日点C．C点可能是拉格朗日点【参考答案】AB．B点一定是拉格朗日点D．D点可能是拉格朗日点【名师解析】根据题述，P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离，该点处小物体受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。而A点关于x轴与P点对称，所以A点一定是拉格朗日点，选项A正确BCD错误。6..三颗相同的质量都是M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是3GM2A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为2L2B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC．它们运行的轨道半径为3L22GMLD．它们运行的速度大小为【参考答案】BM2【名师解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F1=G2，方向沿着它们的连线。其中L4

M2一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2F1cos30°=3G2，方向指向圆心，选项A错误BLM2v23正确；由rcos30°=L/2，解得它们运行的轨道半径r=L，选项C错误；由3G2=M可得v=3Lr选项D错误。7．某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则(A．每颗小星受到的万有引力为(3＋9)F3＋9B．每颗小星受到的万有引力为2FC．母星的质量是每颗小星质量的2倍D．母星的质量是每颗小星质量的33倍【参考答案】A【名师解析】：.每颗小星受到的万有引力的合力为9F＋2F·cos30°＝(3＋9)F，选项A正确B错误．由F＝mmG2和9F＝GLMmML/22得：＝3(倍)，选项CD错误．mcos30°)GM，L8．如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则(5GM2A．甲星所受合外力为4R2GM2B．乙星所受合外力为2RC．甲星和丙星的线速度相同D．甲星和丙星的角速度相同【参考答案】AD【名师解析】由万有引力定律可知，甲、乙和乙、丙之间的万有引力为F1＝GM·MM·M，甲、丙之间的万有引力为F2＝GR2（2R）2)GM25GM2＝2，甲星所受两个引力的方向相同，故合力为F1＋F2＝，A项正确；乙星所受两个引力等大、反4R4R2向，合力为零，B项错误；甲、丙两星线速度方向始终不同，C项错误；由题知甲、丙两星周期相同，由角速度定义可知，两星角速度相同，D项正确．9.宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用。四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。5

假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则A．每颗星做圆周运动的半径为L/212GmB．每颗星做圆周运动的向心力大小为2L2C．每颗星表面的重力加速度为Gm/R2D．每颗星做圆周运动的周期为2πL212Gm2L【参考答案】CD【名师解析】每颗星做圆周运动的半径为2L/2，选项A错误。每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm2122Gm力加速度为g=Gm/R，选项C正确。由2L22122Gm2m2+2G2cos45°=，选项B错误。每颗星表面的重2L2L22L22=m·2L/2·,解得：T=2πLT212Gm2L，选项D正确。10.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图9)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()图9A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GM312C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R5D.三角形三星系统的线速度大小为【参考答案】BC【名师解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，125GMR6

M2M24π2对直线三星系统有G2＋G＝M2R，解得T＝4πRRT（2R）2R，选项B正确；对三角形三星系统根据5GM312M24π2L万有引力和牛顿第二定律得2G2cos30°＝M2·，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星LT2cos30°5L2πr2π2cos30°3312系统的线速度大小为v＝＝，代入解得v＝··T65T5GM，选项D错误。R11.太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上。并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示。设这三个星体的质量均为M，且两种系统的运动周期相同，则A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝GMRR5GMB．直线三星系统的运动周期为T＝4πRC．三角形三星系统的线速度大小为v＝15GM2R12R5D．三角形三星系统中星体间的距离为L＝3【参考答案】BD【名师解析】它们做圆周运动的向心力由彼此间的万有引力提供，对直线三星系统中做圆周运动的星，根v12M2M215GM据万有引力定律和牛顿第二定律有：G2＋G＝M，解得：v＝，故选项A错误；根12RR2R2R7

据匀速圆周运动参量间的关系有：T＝2RR＝4πR，故选项B正确；同理，对三角形三星系统中v15GM2v2M2GM做圆周运动的星，有：2G2cos30°＝M，2rcos30°=L，解得：v2＝，由于两种系统的运动周LrL期相同，2R2r12=，解得：L＝3R，故选项D正确C错误。v1v25二．计算题1.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/T2．【名师解析】第一种形式：四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，每颗星做圆周运动的半径为2L/2，每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm22L2m2+2G2cos45°L122Gm=2L22，2122Gm由2L22=m·2L/2·,T12L。2解得：T1=2πL12Gm第二种形式：有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星刚好位于三角形的中心不动．轨道半径为r=3L/3。m2每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G+2G2cos30°2L3L3m233Gm=L22，8

33Gm由L22=m·3L/3·2,T22解得：T2=2πL333GmL。星体运动的周期之比T1/T2=32612。2.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动；另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．已知每个星体的质量均为m，引力常量为G．试求：（1）第一种形式下，星体运动的线速度．（2）第一种形式下，星体运动的周期；（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径．【名师解析】（1）第一种形式：每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm22L2m2+2G2cos45°L122Gm=2L22，2122Gm由2L2=mv122L22，解得：v1=122Gm。22L2122Gm（2）由2L22=m·2L/2·,T1。解得：T1=2πL12Gm2L（3）设第二种形式下星体运动的轨道半径为r，则等边三角形的边长a=2rcos30°。m2m2每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G2+2G2cos30°ra9

3Gm2=1，23r223Gm2由1=mr（），r2T31解得：r=233312L。3．（2015·安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图6示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：ARORBRCC图6（1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【名师解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体的引力大小为：2m2mAmBFBA=G=G=FCA。方向如图4J。22arm2则合力的大小为：FA=2FBAcos30°=23G2。a（2）同上，B星体所受A、C星体的引力大小分别为：10

2m2m2mCmBmAmBFAB=G=G，FCB=G=G2。方向如图。222aarrm2FBx=FABcos60°+FCB=2G2。am2FBy=FABsin60°=3G2。a则合力的大小为：FB=FF2Bx2Bym2=7G2。a图7（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，3127RC==a。aa442m22（4）三星体运动周期相同，对C星体，由FC=FB=7G2=mRCaTa3解得：T=π。Gm4．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【名师解析】22m2m2v2（1）第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得G2Gm2RR2R解得星体运动的线速度v=5Gm4R星体运动的周期T=2RR=4πR。v5Gm（2）设第二种形式下星体做圆周运动的半径为r，则相邻两星体之间的距离s=3r，相邻两星体之间的万有引力F=Gmm3r2Gm2=3r211

2由星体做圆周运动可得3F=mrT解得r3243R1512R.5相邻两星体之间的距离s=3r=312

2024年2月20日发(作者：祢夜春)

高考物理《万有引力与航天》常用模型最新模拟题精练专题06.三星和多星模型一．选择题1.（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a=r3。在∆t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（）A.v2E

并2.(2021黑龙江大庆三校清北班质检)天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(A.三颗星的质量可能不相等)4πl2B.某颗星的质量为3GT2C.它们的线速度大小均为23πlT16π4l4D.它们两两之间的万有引力大小为9GT4【参考答案】：D【名师解析】：三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周运动，可知它们相互间万有引力相等，lv24π24π23可得三颗星的质量相等，故A错误.由几何关系可知2cos30°，则F向mm2Rm2l，RTT3RF向Gm216π4l44π2l323πlF万2，又2cos30°，联立解得m，F万，故B、C错误，D正确.，v42l9GT3GT3TF万3.(2020·新乡一模)据天文学家推测，存在这样的平面四星系统，四颗恒星分别位于菱形的四个顶点，绕菱形的中心点、在菱形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，位于对角的两颗恒星质量相等。根据测量可知菱形的一个顶角为2θ，位于该顶角的恒星的质量为m1，位于相邻顶角的恒星的质量为m2，则8sin3θ－1A.8cos3θ－1tan3θ9sin3θ－1C.9cos3θ－1tan3θ【参考答案】：A【名师解析】设菱形的边长为L，恒星角速度为ω，则m1的运动半径为r1＝Lcosθ，m2的运动半径为r28cos3θ－1tan3θB.8sin3θ－19cos3θ－1tan3θD.9sin3θ－1m1＝(m2)＝Lsinθ。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别对m1和m2有Gm1m12Gm1m2cosθ＋＝m1r1ω222L2LcosθGm2m22Gm1m2sinθ＋＝m2r2ω222L2Lsinθ把上面的半径代入，联立这两个方程可解得8sin3θ－1m1＝，故选项A正确。m28cos3θ－1tan3θ2

4.（2023贵州名校联考）在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是（）2Gm2A．星球a做匀速圆周运动的加速度大小为r2B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为Gmrr3C.星球b做匀速圆周运动的周期为4π5GmD.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b的线速度均将缓慢增大【参考答案】C【名师解析】m2m25Gm2对星球a，由牛顿第二定律，ma=G2+G，选项A错误；对星球a，由2解得a=22rr4rmm5Gmm2v2m242G2+G，解得v=，选项B错误；对星球b，由G2+G，2=m2=mr22r2r4rrrrTr3解得T=4π，选项C正确；若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a，b做离心5Gm运动，线速度均将缓慢减小，选项D错误。【关键点拨】明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，根据牛顿第二定律列式分析即可。万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析。5.（2023北京丰台名校联考）两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地—月系统”看做双星系统，如图所示，O1位地球球心、O2位月球球心，它们绕着O1O2连线上的O点以角速度做圆周运动。P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离，该点处小物体受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。现沿O1O2连线方向为x轴，过O1与O1O2垂直方向为y轴建立直角坐标系。A、B、C分别为P关于x轴、y轴和原点O1的对称点，D为x轴负半轴上一点，到O1的距离小于P点到O1的距离。根据以上信息可以判断223

A．A点一定是拉格朗日点C．C点可能是拉格朗日点【参考答案】AB．B点一定是拉格朗日点D．D点可能是拉格朗日点【名师解析】根据题述，P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离，该点处小物体受地球引力FE和月球引力FM的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。而A点关于x轴与P点对称，所以A点一定是拉格朗日点，选项A正确BCD错误。6..三颗相同的质量都是M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是3GM2A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为2L2B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC．它们运行的轨道半径为3L22GMLD．它们运行的速度大小为【参考答案】BM2【名师解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F1=G2，方向沿着它们的连线。其中L4

M2一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2F1cos30°=3G2，方向指向圆心，选项A错误BLM2v23正确；由rcos30°=L/2，解得它们运行的轨道半径r=L，选项C错误；由3G2=M可得v=3Lr选项D错误。7．某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则(A．每颗小星受到的万有引力为(3＋9)F3＋9B．每颗小星受到的万有引力为2FC．母星的质量是每颗小星质量的2倍D．母星的质量是每颗小星质量的33倍【参考答案】A【名师解析】：.每颗小星受到的万有引力的合力为9F＋2F·cos30°＝(3＋9)F，选项A正确B错误．由F＝mmG2和9F＝GLMmML/22得：＝3(倍)，选项CD错误．mcos30°)GM，L8．如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则(5GM2A．甲星所受合外力为4R2GM2B．乙星所受合外力为2RC．甲星和丙星的线速度相同D．甲星和丙星的角速度相同【参考答案】AD【名师解析】由万有引力定律可知，甲、乙和乙、丙之间的万有引力为F1＝GM·MM·M，甲、丙之间的万有引力为F2＝GR2（2R）2)GM25GM2＝2，甲星所受两个引力的方向相同，故合力为F1＋F2＝，A项正确；乙星所受两个引力等大、反4R4R2向，合力为零，B项错误；甲、丙两星线速度方向始终不同，C项错误；由题知甲、丙两星周期相同，由角速度定义可知，两星角速度相同，D项正确．9.宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用。四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。5

假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则A．每颗星做圆周运动的半径为L/212GmB．每颗星做圆周运动的向心力大小为2L2C．每颗星表面的重力加速度为Gm/R2D．每颗星做圆周运动的周期为2πL212Gm2L【参考答案】CD【名师解析】每颗星做圆周运动的半径为2L/2，选项A错误。每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm2122Gm力加速度为g=Gm/R，选项C正确。由2L22122Gm2m2+2G2cos45°=，选项B错误。每颗星表面的重2L2L22L22=m·2L/2·,解得：T=2πLT212Gm2L，选项D正确。10.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图9)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()图9A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GM312C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R5D.三角形三星系统的线速度大小为【参考答案】BC【名师解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，125GMR6

M2M24π2对直线三星系统有G2＋G＝M2R，解得T＝4πRRT（2R）2R，选项B正确；对三角形三星系统根据5GM312M24π2L万有引力和牛顿第二定律得2G2cos30°＝M2·，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星LT2cos30°5L2πr2π2cos30°3312系统的线速度大小为v＝＝，代入解得v＝··T65T5GM，选项D错误。R11.太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上。并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示。设这三个星体的质量均为M，且两种系统的运动周期相同，则A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝GMRR5GMB．直线三星系统的运动周期为T＝4πRC．三角形三星系统的线速度大小为v＝15GM2R12R5D．三角形三星系统中星体间的距离为L＝3【参考答案】BD【名师解析】它们做圆周运动的向心力由彼此间的万有引力提供，对直线三星系统中做圆周运动的星，根v12M2M215GM据万有引力定律和牛顿第二定律有：G2＋G＝M，解得：v＝，故选项A错误；根12RR2R2R7

据匀速圆周运动参量间的关系有：T＝2RR＝4πR，故选项B正确；同理，对三角形三星系统中v15GM2v2M2GM做圆周运动的星，有：2G2cos30°＝M，2rcos30°=L，解得：v2＝，由于两种系统的运动周LrL期相同，2R2r12=，解得：L＝3R，故选项D正确C错误。v1v25二．计算题1.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/T2．【名师解析】第一种形式：四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，每颗星做圆周运动的半径为2L/2，每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm22L2m2+2G2cos45°L122Gm=2L22，2122Gm由2L22=m·2L/2·,T12L。2解得：T1=2πL12Gm第二种形式：有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星刚好位于三角形的中心不动．轨道半径为r=3L/3。m2每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G+2G2cos30°2L3L3m233Gm=L22，8

33Gm由L22=m·3L/3·2,T22解得：T2=2πL333GmL。星体运动的周期之比T1/T2=32612。2.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动；另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．已知每个星体的质量均为m，引力常量为G．试求：（1）第一种形式下，星体运动的线速度．（2）第一种形式下，星体运动的周期；（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径．【名师解析】（1）第一种形式：每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=Gm22L2m2+2G2cos45°L122Gm=2L22，2122Gm由2L2=mv122L22，解得：v1=122Gm。22L2122Gm（2）由2L22=m·2L/2·,T1。解得：T1=2πL12Gm2L（3）设第二种形式下星体运动的轨道半径为r，则等边三角形的边长a=2rcos30°。m2m2每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G2+2G2cos30°ra9

3Gm2=1，23r223Gm2由1=mr（），r2T31解得：r=233312L。3．（2015·安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图6示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：ARORBRCC图6（1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【名师解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体的引力大小为：2m2mAmBFBA=G=G=FCA。方向如图4J。22arm2则合力的大小为：FA=2FBAcos30°=23G2。a（2）同上，B星体所受A、C星体的引力大小分别为：10

2m2m2mCmBmAmBFAB=G=G，FCB=G=G2。方向如图。222aarrm2FBx=FABcos60°+FCB=2G2。am2FBy=FABsin60°=3G2。a则合力的大小为：FB=FF2Bx2Bym2=7G2。a图7（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，3127RC==a。aa442m22（4）三星体运动周期相同，对C星体，由FC=FB=7G2=mRCaTa3解得：T=π。Gm4．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【名师解析】22m2m2v2（1）第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得G2Gm2RR2R解得星体运动的线速度v=5Gm4R星体运动的周期T=2RR=4πR。v5Gm（2）设第二种形式下星体做圆周运动的半径为r，则相邻两星体之间的距离s=3r，相邻两星体之间的万有引力F=Gmm3r2Gm2=3r211

2由星体做圆周运动可得3F=mrT解得r3243R1512R.5相邻两星体之间的距离s=3r=312