2024年2月25日发(作者：牢锐锋)

计算过程如下：

I=积分e^(ax)sin(bx)dx（分部积分法）

=1/a积分：sin(bx)d(e^(ax))

=1/a*sin(bx)*e^(ax)-1/a积分：e^(ax)d(sinbx)

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a积分：e^(ax)cos(bx)dx

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*积分：cos(bx)d(e^(ax))

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b/a^2积分：e^(ax)d(cos(bx))

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b^2/a^2积分：e^(ax)sin(bx)dx

移项得到:

(1-b^2/a^2)I

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)

=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/a^2

I=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/(1-b^2)

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分，可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

2024年2月25日发(作者：牢锐锋)

计算过程如下：

I=积分e^(ax)sin(bx)dx（分部积分法）

=1/a积分：sin(bx)d(e^(ax))

=1/a*sin(bx)*e^(ax)-1/a积分：e^(ax)d(sinbx)

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a积分：e^(ax)cos(bx)dx

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*积分：cos(bx)d(e^(ax))

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b/a^2积分：e^(ax)d(cos(bx))

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b^2/a^2积分：e^(ax)sin(bx)dx

移项得到:

(1-b^2/a^2)I

=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)

=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/a^2

I=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/(1-b^2)

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分，可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。