2024年3月9日发(作者：旁念)

根号下1+x平方的导数

根据链式法则，我们可以将问题转化为求解$sqrt{u}$的导数，其中$u=1+x^2$。

令$f(u)=sqrt{u}$，根据链式法则，导数$f'(u)$满足以下关系：

$$

frac{df(u)}{du} = frac{df(u)}{dx} cdot frac{dx}{du}

$$

由于$f(u)=sqrt{u}$，我们有$frac{df(u)}{du} =

frac{1}{2sqrt{u}}$。然而，我们还需要求解$frac{dx}{du}$。

由$u=1+x^2$，我们可以求解$frac{dx}{du}$：

$$

begin{aligned}

frac{d}{du}(u) &= frac{d}{du}(1+x^2)

1 &= 0 + frac{d}{du}(x^2)

1 &= 2x cdot frac{dx}{du}

frac{dx}{du} &= frac{1}{2x}

end{aligned}

$$

将这两个结果结合起来，我们可以得到$frac{df(u)}{dx}$的表达式：

$$

frac{df(u)}{dx} = frac{df(u)}{du} cdot frac{dx}{du} =

frac{1}{2sqrt{u}} cdot frac{1}{2x}

$$

最终，我们可以得到$sqrt{1+x^2}$的导数：

$$

frac{d(sqrt{1+x^2})}{dx} = frac{1}{2sqrt{u}} cdot

frac{1}{2x} = frac{1}{2xsqrt{1+x^2}}

$$

2024年3月9日发(作者：旁念)

根号下1+x平方的导数

根据链式法则，我们可以将问题转化为求解$sqrt{u}$的导数，其中$u=1+x^2$。

令$f(u)=sqrt{u}$，根据链式法则，导数$f'(u)$满足以下关系：

$$

frac{df(u)}{du} = frac{df(u)}{dx} cdot frac{dx}{du}

$$

由于$f(u)=sqrt{u}$，我们有$frac{df(u)}{du} =

frac{1}{2sqrt{u}}$。然而，我们还需要求解$frac{dx}{du}$。

由$u=1+x^2$，我们可以求解$frac{dx}{du}$：

$$

begin{aligned}

frac{d}{du}(u) &= frac{d}{du}(1+x^2)

1 &= 0 + frac{d}{du}(x^2)

1 &= 2x cdot frac{dx}{du}

frac{dx}{du} &= frac{1}{2x}

end{aligned}

$$

将这两个结果结合起来，我们可以得到$frac{df(u)}{dx}$的表达式：

$$

frac{df(u)}{dx} = frac{df(u)}{du} cdot frac{dx}{du} =

frac{1}{2sqrt{u}} cdot frac{1}{2x}

$$

最终，我们可以得到$sqrt{1+x^2}$的导数：

$$

frac{d(sqrt{1+x^2})}{dx} = frac{1}{2sqrt{u}} cdot

frac{1}{2x} = frac{1}{2xsqrt{1+x^2}}

$$