2024年3月11日发(作者：剧达)
《线性系统理论》作业参考答案
1-1 证明：由矩阵
é
0
ê
0
ê
A
=
ê
0
ê
ê
M
ê
ë
-
a
n
则A的特征多项式为
10
01
00
MM
-
a
n-1
-
a
n-2
0
0
0
L
0
ù
L
0
ú
ú
L
0
ú
ú
OM
ú
L
-
a
1
ú
û
l
0
l
I-A=0
M
a
n
-1
l
0
M
0
-1
l
M
a
n-1
a
n-2
-1
l
l
0
0
MM
=
l
2
0
L
L
L
O
L
0
-1
l
M
a
n-2
a
n-3
a
n-4
=
l
n
+a
1
l
n-1
+
L
+a
n
若
l
i
是A的特征值，则
l
-10
L
0
l
-1
L
00
=
l
0
l
L
00+(-1)
n+1
a
n
(-1)
n-1
MMMMOM
l
+a
1
a
n-1
a
n-2
a
n-3
L
l
+a
1
L
0
0
L
0+
l
(-1)
n
a
n-1
(-1)
n-2
+a
n
=
LL
OM
L
l
+a
1
é
l
i
ê
0
ê
(
l
i
I-A)
u
i
=
ê
0
ê
ê
M
ê
ë
a
n
这表明
1
l
i
0-1
l
i
-1
0
l
i
MM
a
n-1
a
n-2
L
L
L
O
L
l
i
0
ùé
1
ùé
0
ù
úê
l
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0
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0
i
úúêúê
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l
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=
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M
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M
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M
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n-1nn-1
+a
1
ú
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l
i
+a
1
l
i
+
L
+a
n
ú
û
ê
ë
l
i
ú
û
ê
[
-1
l
i
2
L
l
n
是
l
i
所对应的特征向量。
i
]
T
1-2 根据矩阵函数的不同定义有如下两种证法：
证法1：一元函数
f(
l
i
)
展开成幂级数：
f(
l
i
)=
å
c
l
k
k=0
¥
k
¥
k
i
矩阵函数
f(A)
幂级数表示为：
f(A)=
k
å
cA
k
=
0
k
k
由于
l
i
为
A
的特征值，所以
l
i
为
A
的特征值，
k=1,2,L
设
l
i
对应的特征向量为
g
i
，则
f(A)
g
i
=
å
c
k
A
g
i
=
å
c
k
lg
=(
å
c
k
l
i
k
)
g
i
=f(
l
i
)
g
i
kk
ii
k=0k=0k=0
¥¥¥
所以
f(
l
i
)
是
f(A)
的一个特征值。
证法2：根据矩阵函数定义，设
p(
l
)
是函数
f(z)
在
l
(A)
上的Hermite插值多项式，则
f(A)=p(A)=Pdiag(p(J
1
),
L
p(J
s
))P
-1
，
因为
p(
l
)=f(
l
)
，所以
p(J
i
)=f(J
i
),i=1,2,L,s
。
其中
11
éù
(n
i
-1)
¢
p(
l
)p(
l
)
L
p(
l
)
iii
êú
1!(n
i
-1)!
êú
p(
l
)
OM
i
ú
p(J
i
)=
ê
1
êú
¢
(
l
i
)
O
p
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1!
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p(
l
i
)
ëû
n
i
´n
i
11
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¢
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l
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l
)
L
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l
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iii
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i
-1)!
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l
)
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)=
ê
1
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¢
(
l
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)
O
f
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1!
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f(
l
i
)
ëû
n
i
´n
i
f(A)=p(A)=Pdiag(f(J
1
),
L
f(J
s
))P
-1
。
可以看出，
f(
l
i
)
是
f(A)
的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为
D
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
4
，最小多项式为
Y
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
4
；
(2) 特征多项式为
D
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
2
(
l
-
l
1
)(
l
-
l
1
)=(
l
-
l
1
)
4
，
最小多项式为
Y
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
；
(3) 特征多项式为
D
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)(
l
-
l
1
)=(
l
-
l
1
)
，
最小多项式为
Y
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
2
。
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2
2024年3月11日发(作者：剧达)
《线性系统理论》作业参考答案
1-1 证明：由矩阵
é
0
ê
0
ê
A
=
ê
0
ê
ê
M
ê
ë
-
a
n
则A的特征多项式为
10
01
00
MM
-
a
n-1
-
a
n-2
0
0
0
L
0
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L
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L
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l
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M
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n
-1
l
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-1
l
M
a
n-1
a
n-2
-1
l
l
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=
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2
0
L
L
L
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L
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-1
l
M
a
n-2
a
n-3
a
n-4
=
l
n
+a
1
l
n-1
+
L
+a
n
若
l
i
是A的特征值，则
l
-10
L
0
l
-1
L
00
=
l
0
l
L
00+(-1)
n+1
a
n
(-1)
n-1
MMMMOM
l
+a
1
a
n-1
a
n-2
a
n-3
L
l
+a
1
L
0
0
L
0+
l
(-1)
n
a
n-1
(-1)
n-2
+a
n
=
LL
OM
L
l
+a
1
é
l
i
ê
0
ê
(
l
i
I-A)
u
i
=
ê
0
ê
ê
M
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ë
a
n
这表明
1
l
i
0-1
l
i
-1
0
l
i
MM
a
n-1
a
n-2
L
L
L
O
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1
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[
-1
l
i
2
L
l
n
是
l
i
所对应的特征向量。
i
]
T
1-2 根据矩阵函数的不同定义有如下两种证法：
证法1：一元函数
f(
l
i
)
展开成幂级数：
f(
l
i
)=
å
c
l
k
k=0
¥
k
¥
k
i
矩阵函数
f(A)
幂级数表示为：
f(A)=
k
å
cA
k
=
0
k
k
由于
l
i
为
A
的特征值，所以
l
i
为
A
的特征值，
k=1,2,L
设
l
i
对应的特征向量为
g
i
，则
f(A)
g
i
=
å
c
k
A
g
i
=
å
c
k
lg
=(
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c
k
l
i
k
)
g
i
=f(
l
i
)
g
i
kk
ii
k=0k=0k=0
¥¥¥
所以
f(
l
i
)
是
f(A)
的一个特征值。
证法2：根据矩阵函数定义，设
p(
l
)
是函数
f(z)
在
l
(A)
上的Hermite插值多项式，则
f(A)=p(A)=Pdiag(p(J
1
),
L
p(J
s
))P
-1
，
因为
p(
l
)=f(
l
)
，所以
p(J
i
)=f(J
i
),i=1,2,L,s
。
其中
11
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(n
i
-1)
¢
p(
l
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l
)
L
p(
l
)
iii
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i
-1)!
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p(
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l
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1
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(
l
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O
f
êú
1!
êú
f(
l
i
)
ëû
n
i
´n
i
f(A)=p(A)=Pdiag(f(J
1
),
L
f(J
s
))P
-1
。
可以看出，
f(
l
i
)
是
f(A)
的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为
D
1
(
l
)=(
l
-
l
1
)
4
，最小多项式为
Y
1
(
l
)=(
l
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l
1
)
4
；
(2) 特征多项式为
D
1
(
l
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l
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l
1
)
2
(
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l
1
)(
l
-
l
1
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)
4
，
最小多项式为
Y
1
(
l
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1
)
；
(3) 特征多项式为
D
1
(
l
)=(
l
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l
1
)(
l
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l
1
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l
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l
1
)
，
最小多项式为
Y
1
(
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1
)
2
。
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