2024年3月11日发(作者：宏和悌)
第四章 Z 变换
1 Z 变换的定义
(1)
序列
x( n)
X ( z) Z x( n)
n 0
x (n)z
n
的 ZT ：
(2)
复变函数
X ( z)
的
IZT
：
x( n) Z
1
X (z)
，
z
s
e
是复变量。
ZT
(3)
称
x(n)
与
X ( z)
为一对
Z
变换对。简记为
x(n)
X ( z)
或
x(n)X (z)
1
z
是单位时延。
1n
(4)
序列的 ZT 是
z
的幂级数。
z
代表了时延，
Z x (n) X (z) x(n)z
n
(5)
单边 ZT：
n 0
Z
B
x (n) X
B
( z) x(n) z
n
(6)
双边 ZT：
n
2 ZT 收敛域 ROC
定义：使给定序列
x( n)
的 Z 变换
X (z)
中的求和级数收敛的 z
x (n) z
n
x (n) z
n
n
收敛的充要条件是它
n
(3) 有限长序列的 ROC
序列
x( n)
在
n n
1
或
n n
2
2
)
时
x( n) 0
。
收敛域至少是
0 z
(
其中
n
1
n
。
序列的左右端点只会影响其在
0 和
处的收敛情况：
当
n
1
0,n
2
0
时，收敛域为
0
z
0,
除外)
当
n
1
0,n
2
0
(
z
时，收敛域为
0
z
(
z
除外 )
当
n
1
0,n
2
0
时，收敛域为
0
z
0
除外 )
右边序列的
(
z
ROC
序列
x( n)
在
n
n
1
x( n) 0
如果
n
时。
1
0
，则序列为因果序列。
ROC 的情况：
当
n
1
0
时， ROC 为
R
x1
当
n
1
0
时， ROC 为
R
z
；
x1
z
。
左边序列的 ROC
序列
x( n)
在
n n
2
时
x(n)
0
。
如果
n
2
1
，则序列为反因果序列。
ROC 的情况：
n
R
当
2
0 0 z
x2
时， ROC 为
0
；
当
n
2
0
时，ROC 为
z
R
x2
。
双边序列的
ROC
序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是
X ( z)
x(n)z
n
x( n)z
n
1
x(n) z
n
n n 0 n
R
x1
lim
n
x(n)
n
的集合。
R
x2
1
n
lim
x( n)
n
如果
R
x1
R
x2
存在且
R
x2
R
x1
，则双边序列的 ROC 为
R
x1
z R
x2
，否则， ROC 为空集，即双
边序列不存在 ZT 。
注意：
求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；
实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边
是 z 平面上的某个圆外面的区域。
ZT 与双边 ZT 是一致的，收敛域也相同，都
关于极点与 ROC 关系的一些结论：
一般地讲，序列的 ZT 在其 ROC 内是解析的，因此 ROC 内不应包含任何极点，且 ROC 是
连通的。
序列 ZT 的 ROC 是以极点为边界的。
右边序列 ZT 的 ROC ，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域 (不包括圆周 )。
左边序列 ZT 的 ROC ，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域 (不包括圆周 )。
双边序列 ZT 的 ROC ，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区
域( 不包括两个圆周 )。
3 常用序列及其
ZT
单位冲激序列
(n)
( n)
1,
0,
(n
(n
0)
0)
定义：
Z
(n)
n
(n)z
n
(0) 1
ZT ：
ROC ：
注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。
单位阶跃序列 u(n)
0
z
u( n)
1,
0,
(n
(n
0)
0)
定义：
z
Z u (n)
n
u (n) z
n
1
1
z
n
n 0
1
1
1
z
z
z
1
( z 1)
ZT ：
序列的单边 ZT 用双边 ZT 表示为：
序列是因果序列的充要条件是：
Z x(n)
Z
B
x(n)u (n)
x(n) x(n)u (n)
序列是反因果序列的充要条件是：
矩形脉冲序列 G
N
(n)
G
N
( n)
x(n) x( n)u( n 1)
1, 0 n
0, n
N
定义：
0, n
N 1
Z G
N
(n)
n
z
N
N
ZT ：
( )
0 z
n 0
注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样， 它们之间还存在一个时移关系。单
位斜变序列 nu(n)
1 z
1
1 z
Z x(n)
Z n
2
u(n)
z
2
,
( z 1)
( z 1)
z(z 1)
( z 1)
3
2
z( z
4z 1)
z 1
Z n
3
u (n)
(z
1)
4
z 1
2024年3月11日发(作者：宏和悌)
第四章 Z 变换
1 Z 变换的定义
(1)
序列
x( n)
X ( z) Z x( n)
n 0
x (n)z
n
的 ZT ：
(2)
复变函数
X ( z)
的
IZT
：
x( n) Z
1
X (z)
，
z
s
e
是复变量。
ZT
(3)
称
x(n)
与
X ( z)
为一对
Z
变换对。简记为
x(n)
X ( z)
或
x(n)X (z)
1
z
是单位时延。
1n
(4)
序列的 ZT 是
z
的幂级数。
z
代表了时延，
Z x (n) X (z) x(n)z
n
(5)
单边 ZT：
n 0
Z
B
x (n) X
B
( z) x(n) z
n
(6)
双边 ZT：
n
2 ZT 收敛域 ROC
定义：使给定序列
x( n)
的 Z 变换
X (z)
中的求和级数收敛的 z
x (n) z
n
x (n) z
n
n
收敛的充要条件是它
n
(3) 有限长序列的 ROC
序列
x( n)
在
n n
1
或
n n
2
2
)
时
x( n) 0
。
收敛域至少是
0 z
(
其中
n
1
n
。
序列的左右端点只会影响其在
0 和
处的收敛情况：
当
n
1
0,n
2
0
时，收敛域为
0
z
0,
除外)
当
n
1
0,n
2
0
(
z
时，收敛域为
0
z
(
z
除外 )
当
n
1
0,n
2
0
时，收敛域为
0
z
0
除外 )
右边序列的
(
z
ROC
序列
x( n)
在
n
n
1
x( n) 0
如果
n
时。
1
0
，则序列为因果序列。
ROC 的情况：
当
n
1
0
时， ROC 为
R
x1
当
n
1
0
时， ROC 为
R
z
；
x1
z
。
左边序列的 ROC
序列
x( n)
在
n n
2
时
x(n)
0
。
如果
n
2
1
，则序列为反因果序列。
ROC 的情况：
n
R
当
2
0 0 z
x2
时， ROC 为
0
；
当
n
2
0
时，ROC 为
z
R
x2
。
双边序列的
ROC
序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是
X ( z)
x(n)z
n
x( n)z
n
1
x(n) z
n
n n 0 n
R
x1
lim
n
x(n)
n
的集合。
R
x2
1
n
lim
x( n)
n
如果
R
x1
R
x2
存在且
R
x2
R
x1
，则双边序列的 ROC 为
R
x1
z R
x2
，否则， ROC 为空集，即双
边序列不存在 ZT 。
注意：
求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；
实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边
是 z 平面上的某个圆外面的区域。
ZT 与双边 ZT 是一致的，收敛域也相同，都
关于极点与 ROC 关系的一些结论：
一般地讲，序列的 ZT 在其 ROC 内是解析的，因此 ROC 内不应包含任何极点，且 ROC 是
连通的。
序列 ZT 的 ROC 是以极点为边界的。
右边序列 ZT 的 ROC ，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域 (不包括圆周 )。
左边序列 ZT 的 ROC ，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域 (不包括圆周 )。
双边序列 ZT 的 ROC ，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区
域( 不包括两个圆周 )。
3 常用序列及其
ZT
单位冲激序列
(n)
( n)
1,
0,
(n
(n
0)
0)
定义：
Z
(n)
n
(n)z
n
(0) 1
ZT ：
ROC ：
注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。
单位阶跃序列 u(n)
0
z
u( n)
1,
0,
(n
(n
0)
0)
定义：
z
Z u (n)
n
u (n) z
n
1
1
z
n
n 0
1
1
1
z
z
z
1
( z 1)
ZT ：
序列的单边 ZT 用双边 ZT 表示为：
序列是因果序列的充要条件是：
Z x(n)
Z
B
x(n)u (n)
x(n) x(n)u (n)
序列是反因果序列的充要条件是：
矩形脉冲序列 G
N
(n)
G
N
( n)
x(n) x( n)u( n 1)
1, 0 n
0, n
N
定义：
0, n
N 1
Z G
N
(n)
n
z
N
N
ZT ：
( )
0 z
n 0
注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样， 它们之间还存在一个时移关系。单
位斜变序列 nu(n)
1 z
1
1 z
Z x(n)
Z n
2
u(n)
z
2
,
( z 1)
( z 1)
z(z 1)
( z 1)
3
2
z( z
4z 1)
z 1
Z n
3
u (n)
(z
1)
4
z 1