2024年3月13日发(作者：壤驷心怡)

章末复习课

学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛

物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其

求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的

直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．

1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

平面内与两个定点

定义

F

1

，F

2

的距离的和等

于常数(大于|F

1

F

2

|)的

点的轨迹或集合

x

2

y

2

＋＝1(a>b>0)

a

2

b

2

a

2

－b

2

＝c

2

封闭图形

双曲线

平面内与两个定点

F

1

，F

2

的距离的差的

绝对值等于常数(小

于|F

1

F

2

|且不等于零)

的点的轨迹

x

2

y

2

－＝1(a>0，b>0)

a

2

b

2

a

2

＋b

2

＝c

2

y

2

＝2px(p>0)

平面内与一个定点F

和一条定直线l(F∉l)的

距离相等的点的轨迹

抛物线

标准方程

关系式

图形

对称性

顶点

离心率

准线方程

决定形状的因素

无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线

无对称中心

一条对称轴

两个

e>1

e决定开口大小

一个

e＝1

p

x＝－

2

2p决定开口大小

对称中心为原点

两条对称轴

四个

0

e决定扁平程度

2.求圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆、双曲线的标准方程

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确

定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax

2

＋By

2

＝1(A>0，B>0，

1111

A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax

2

＋

ABAB

11

By

2

＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．

AB

x

2

y

2

x

2

y

2

另外，与已知双曲线

2

－

2

＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为

2

－

2

＝λ(λ≠0)；已

abab

知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x

2

－y

2

＝λ(λ≠0)．

(2)抛物线的标准方程

求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位

置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y

2

＝2px(p≠0)或x

2

＝2py(p≠0)，然后建立方

程求出参数p的值．

3．直线与圆锥曲线有关的问题

(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解

的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑

该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲

线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．

(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝1＋k

2

x

1

－x

2



2

或|AB|＝



1＋

1

2



y

1

－y

2



2

，其中k



k



是直线l的斜率，(x

1

，y

1

)，(x

2

，y

2

)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x

1

－x

2

)

2

＝(x

1

＋x

2

)

2

－4x

1

x

2

，x

1

＋x

2

，x

1

x

2

可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．

4．方法、规律归纳

(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；

③列式——列出动点P所满足的关系式；

④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，

并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：

①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；

②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；

③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．

(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解

方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参

数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不

能改变方程的解集．

(4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．

2024年3月13日发(作者：壤驷心怡)

章末复习课

学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛

物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其

求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的

直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．

1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

平面内与两个定点

定义

F

1

，F

2

的距离的和等

于常数(大于|F

1

F

2

|)的

点的轨迹或集合

x

2

y

2

＋＝1(a>b>0)

a

2

b

2

a

2

－b

2

＝c

2

封闭图形

双曲线

平面内与两个定点

F

1

，F

2

的距离的差的

绝对值等于常数(小

于|F

1

F

2

|且不等于零)

的点的轨迹

x

2

y

2

－＝1(a>0，b>0)

a

2

b

2

a

2

＋b

2

＝c

2

y

2

＝2px(p>0)

平面内与一个定点F

和一条定直线l(F∉l)的

距离相等的点的轨迹

抛物线

标准方程

关系式

图形

对称性

顶点

离心率

准线方程

决定形状的因素

无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线

无对称中心

一条对称轴

两个

e>1

e决定开口大小

一个

e＝1

p

x＝－

2

2p决定开口大小

对称中心为原点

两条对称轴

四个

0

e决定扁平程度

2.求圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆、双曲线的标准方程

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确

定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax

2

＋By

2

＝1(A>0，B>0，

1111

A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax

2

＋

ABAB

11

By

2

＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．

AB

x

2

y

2

x

2

y

2

另外，与已知双曲线

2

－

2

＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为

2

－

2

＝λ(λ≠0)；已

abab

知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x

2

－y

2

＝λ(λ≠0)．

(2)抛物线的标准方程

求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位

置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y

2

＝2px(p≠0)或x

2

＝2py(p≠0)，然后建立方

程求出参数p的值．

3．直线与圆锥曲线有关的问题

(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解

的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑

该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲

线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．

(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝1＋k

2

x

1

－x

2



2

或|AB|＝



1＋

1

2



y

1

－y

2



2

，其中k



k



是直线l的斜率，(x

1

，y

1

)，(x

2

，y

2

)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x

1

－x

2

)

2

＝(x

1

＋x

2

)

2

－4x

1

x

2

，x

1

＋x

2

，x

1

x

2

可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．

4．方法、规律归纳

(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；

③列式——列出动点P所满足的关系式；

④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，

并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：

①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；

②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；

③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．

(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解

方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参

数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不

能改变方程的解集．

(4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．