2024年3月13日发(作者：朱绮烟)
习题课 两个计数原理与排列、组合
一、两个计数原理的应用
命题角度1 “类中有步”的计数问题
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，
甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之
星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果.
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计
算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有
30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果.
因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果.
反思感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办
法中有2步，每步的方法数如图所示.
所以，完成这件事的方法数为m
1
m
2
m
3
＋m
4
m
5
，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一
件事的完成，“步”缺一不可.
跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两
部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 D
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因
此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1
＝48.故选D.
命题角度2 “步中有类”的计数问题
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、
“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午
不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排
方式共有________种.(用数字作答)
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 264
解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试
项目.若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午
测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试
A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学
后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有
11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种).
反思感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这
就是步中有类.
其中m
i
(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.
完成A→D这件事的方法数为m
1
(m
2
＋m
3
＋m
4
)m
5
.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法.
2024年3月13日发(作者：朱绮烟)
习题课 两个计数原理与排列、组合
一、两个计数原理的应用
命题角度1 “类中有步”的计数问题
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，
甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之
星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果.
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计
算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有
30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果.
因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果.
反思感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办
法中有2步，每步的方法数如图所示.
所以，完成这件事的方法数为m
1
m
2
m
3
＋m
4
m
5
，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一
件事的完成，“步”缺一不可.
跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两
部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
考点 涂色问题
题点 涂色问题
答案 D
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因
此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1
＝48.故选D.
命题角度2 “步中有类”的计数问题
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、
“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午
不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排
方式共有________种.(用数字作答)
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 264
解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试
项目.若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午
测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试
A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学
后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有
11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种).
反思感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这
就是步中有类.
其中m
i
(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.
完成A→D这件事的方法数为m
1
(m
2
＋m
3
＋m
4
)m
5
.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法.