2024年3月17日发(作者：出佳悦)
•
52
•
中学数学月刊
2021
年第
2
期
利用
GeoGebra
软件进
4
可视化探究教学
—
以
2020
年高考数学北京卷
20
题为例
’
—
翟洪亮
（
江苏省太湖高级中学
214125
）
商再金
（
江苏省灌云县教师发展中心
222000
）
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养
4(4
k
2
+
1)(64
k
2
—
8
)
>
0
，
—
2
<
k
<
2
.
由根与
32
k
2
为导向
，
因此需重视利用信息技术创设可视化的
教学情境,启发学生思考
，
引导学生把握数学内容
的本质
,
通过信息技术与教学内容的深度融合
，
提
系数的关系得
4
1
十
4
2
=
4
—
+
，
4
1
4
2
高教学的实效性.
GeoGebra
动态数学软件
（
下称
64
k
2
—
8
5
1
+
1
4
—
-
直线
MA
的方程为
5
+
1
=
5
+
2
4
十
GGB
）
是由美国数学教授
Markus
Hohenwarter
在
2002
年创建的一款将几何
、
代数
、
表格
、图形
、
统计和微积分集中在一起的容易使用的软件
，
它
—
(
2
k
+
1
)(
4
1
+
4
)
2
)
,
令
4
=
—
4
?
5
P
=
--------------
X
q
--------
同
1
+
以可视化的直观方式赢得了数学教师的青睐.
高考试题由专家组精心命制而成
，
有些试题
看似平常实质超常
，往往蕴含着漂亮的性质
，
有较
—
(
2
k
+
1
)(
4
2
+
4
)
理可得
5
q
=
-------------
X
q
--------
显然
5
p
5
q
<
2
+
0
日
—
(
k
+
1)(
4
1
+
4)
0,
M
5
p
+
5
q
=
--------------
X
q
------
十
1
+
—
(
k
+l)
(
2
+
4
)
(
八)
4
1
+
4
4
2
+
4
—
4
2
十
2
—
=
—
k
+
巩
4
7
十
2
+
4
；
十
2
丿
=
—
(2
k
+
1)
:
大的研究空间和教学价值
，
值得我们去探究•圆锥
曲线中的定点
、
定值问题是高考的热点
•
本文对
2020
年全国高考数学北京卷
20
题进行探究
，
猜
想其蕴涵的性质,先通过
GGB
软件进行验证
，
然
2
4
1
4
2
+
6
(
4
1
+
4
2
)
+
16
4
1
4
2
+
2
(
4
1
+
4
2
)
+
4
后给出证明
，
并将它们推广到其他圆锥曲线
•
现整
理成文
，
供同行参考
•
64
k
2
8
2
4
1
4
2
+
6
4
1
+
4
2
)
+
16
=
2
:
k
+
1
+
6
:
（
—
32
k
2
）
1
试
题
已知椭圆
C
#
^
+
-J
=
1
（
a
>
b
>
0
）
过点
a
2
b
2
4
2
5
2
十
％
+
16
=
0
，
所以更的值为
1
PB
砧居斗
］
2
探究
本题考查直线方程
、
直线与椭圆的位置关系
，
试题运算量较大
，
区分度明显
，
注重对数学运算素
A
（
—
2
，
—
1
）
,
且
a
=
2
b
.
（
1
）
求椭圆
C
的方程
；
⑵过点
B
（
―
4,0
）
的直线
Z
交椭圆
C
于
M
，
养的考查•做完此题后
，
笔者利用
GGB
软件的可
视性进行如下探究
：
N
两点
，
直线
MA
，
NA
分别交直线
4
=
—
4
于点
PB
p
，
Q
.
求
BK
的值
■
解
（
1
）
由题设得二+
72
=
1
，
a
=
2
b
，
解得
a
2
b
2
问题
1
若连结
AB
，
则直线
AM
，
AN
，
AB
的斜率之间有何关系
？
41
先利用
GGB
软件探究:输入
§
+
*
=
1
/在
4
2
5
2
4
4
5
2
a
2
=
8
，
b
2
=
2
，所以椭圆
C
的方程为
g
+
牙
=
1
.
（
2
）
设
M4
1,
5
1
）
，
N4
，
5
2
）
，
直线
MN
的
方程为
5
=
<4
+
4
）
,
代入
8
+
牙
=
1
得
（
4
<
2
+
椭圆
8
+
2
=
1
上取点
A
（
—
2
，
—
1
）
/
输入
4
2
5
2
4
=
—
4
—
取直线
4
=
—
4
与
4
轴的交点
B
（
—
4
，
0
）
/过点
B
作直线交椭圆于
M
，
N
两点/作直
线
AM
、
直线
AN
分
别交直线
4
=
—
4
于
P
，
Q
两点
/作直线
AB
/度量直线
AM
，
AN
，
AB
的斜率
4
2
5
2
1
）
4
2
+
32k
2
4
+
（
64
<
2
—
8
）
=
0
，
#
=
（
32
<
2
）
2
—
'
本文系江苏省教育科学“
十三五
”规划课题“
小组激励机制下提升高中生核心素养之学力的策略研究&编号:
D/2016/02/348
）
和
“
以
数学
抽
象为指
向
的可视化教学情境建构研究
&
编号:
B-b/2020/02/41
）
的阶段成果
.
2021
年第
2
期
中学数学月刊
"
2
・
53
・
分别为
加
1
1
1
2
—
输
入
+
=
i
+如
―在
椭圆
上
移
M
.
如图
1
,
可以发现
+
=
2
l
2
，
即
<
AM
+
<
AN
=
2
<
ab
.
AM
A
N
分别交直线
4
=
4
0
k
AM
+
k
AN
=
2
k
AB
；
(
2
)
BP
=
BQ
这个
确吗
？
不
验证一下
：
P,Q
,
则
(1)
GGB
软件来
使用滑动条创设变量
"
'
(a
>
b
〉
0
)
—
输
22
入:飞
+
=
1
—
在
4
轴上任取一点
S
—
输入
"
2
b
2
4
=
4
(S
)
即得直线
4
=
4
0
—
在直线
4
=
4
0
上任
2
图
1
取一点
A
/作直线
4
=
么与
4
轴的交点
B
/过
4
0
点
B
作直线交椭圆于
MN
两点/作直线
AM
、
2
证明
因为
<
AM
+
k
AN^^T,
=
4
1
+
2
4
2
+
2
直线
AN
分
别交直线
4
=
"
于
P
Q
两点/输入
4
0
yP
=
y(P
)
得点
P
的纵坐标
/
输入
5Q
=
5
(
Q
)
kx
1
+
4k
+
1
4
1
+
2
kx
2
+
4k
+
1
4
2
+
2
Q
的纵
/
AB
/
度
AM
,
2kx
1
4
2
+
（
6
k
+
1
）
（
4
1
+
4
2
）
+
16
k
+
4
4
1
+
4
2
+
2
（
4
1
+
4
2
）
+
4
AN
,
AB
的斜率分别为
11
0
,
yP
=
—
yQ
,
可知上
►
趣区
a
•
绘图区
05ft
曲婕
0
、
,m
2
—
输入
方
=
1
+
1
1
—
2
m
2
—
椭
圆
上移动点
M
.
如图
2
,
发现
0
=
确的
.
b=3
问题
2
命题人为何要取椭
圆
上的点
•
C
：
l
,
*1.7iy3
-18
A
(
—
2
,
—
1)
?
如果选取其他点
，
那么
BP
=
BQ
,
<
am
+
k
AN
=
2
k
AB
还成立吗
？
GGB-
以发现
，
当且仅当点
A
位于
(
一
2
,
一
1
)
和
(
一
2
，
1)
两处时
，
有
(1)
k
AM
+
k
AN
=
•
•
b-3
•
m>0.66
A
m^ose
1
•
m
2
■
-047
t-B
m
1
2k
AB
；
(2')BP
=
BQ
.
由
(
—
2
,
—
—
1)
和
(
一
2
，
1)
两点
到
：
问题
3
GGB
■
从
•
輒仲
图
2
A
是直线
4
=
—
2
上的动点时
，
？
,
发现上述两个性质仍然
上述两个性质还成
成
证明
设
A
（
4
0
,
0
）
）
M
（
4
1
,
y
1
）
）
N
（
4
2
,
y
2
）
,
直线
MN
的方程为
y
=
k
（
4
—
±
）
'弋入
"
+
話
2
"
4
k
2
"
6
k
2
=
1
得
"
2
k
2
+
b
2
）
4
2
—
4
+
4
0
4
0
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
"
2
4
2
y
2
问题
4
当点
A
在直线
4
=
—
2
上
，
总有
(1)
BP
=
BQ
；
(2X
am
+
<
an
=
2k
=B
成立.这与所
t
y
给椭圆方程
8
+
2
=
1
以及直线
4
=
—
4
之间有
9
a
2
b
2
=
0
.
9
2
a
4
k
2
（
a
2
k
2
+
b
2
）
4
0
何内
系
？
发现点
A
的横坐标以及直线
4
=
一
4
与
4
轴
交点的
a
6
k
2
一
a
2
b
2
4
0
4
1
4
2
=
"k
+
（
1
）
因
为
k
=>
=
----
0
—
2
=
4
2
，
所以
<
=
m
+
之间的关系为(
一
2
)
X
(
—
4
)
=
8,
即
4
=
4
>
=
"
2
.
”
性质
1
到一般情形
：
4
2
5
2
已知
椭圆
C
：
飞+
=
1
("
〉
b
〉
"
2
b
2
殊情形
4
0
"
4
0
4
0
—
"
y
1
—
o
y
2
—
o
24
0
0
<
an
—
2
k
ab
=
+
2
2
4
1
—
4
0
4
2
—
4
0
4
0
—
"
0
),
点
A
为直线
4
=
4
0
上的动点
，
若过点
（
k4
1
（
4
2
—
40
）
+
（
4
2
—
（
4
1
—
40
）
B
0的直线
2
交椭圆
C
于
MN
两点
，
直线
4
0
（
41
一
4
0
）
（
4
2
—
4
0
）
・
54
・
中学数学月刊
国稚曲婕
*
『
>
绘
BB
区
g
a
=
2
2021
年第
2
期
<
1
4
2
—
!
----
卄
4
0
)(
4
】
+
4
2
)
+
2
&
2
+
4。
力
40
_
_____
4
0
/
____________________________
4
0
—
&
2
44
2
—
4
0
(
4
1
+
4
2
)
+
4
2
2
4
0
t
4
0
•
G
•
・・2
•
b-3
/L
/W
2a
2
k
2
40t
+
2
—
2
4
0
才
一
2
&<
2
4
00
—
<
—
&
2
b
2
4
§
—
2a
4
k
2
4
2
+
&
2
k
2
4
(5
+
b
2
4
(5
•
叫
・
O,2t
一
—
1-0
yP-4.03
■
0
—
&
2
=
0
所以
k
AM
+g=
2
k
AB
(2)
直线
AM
的方程为
5
—
0
=^^
4
—
4
1
一
4
0
5
]
—
0
•
I
・(4,84.
^-(^.84,0)
—
-1
C-|2L31,-1.72J
4
0
)
令
4
=
—
，
得
5
P
=
5
1
—
±
X
&
2
-
4
40
4
2
+
0
.
同
*
4
0
4
1
一
4
0
4
0
理可得
5
Q
=
5
2
0
X
&2
—
4
2
+
0
.
显然
，
4
2
一
4
0
4
0
Wc
•
区砒勁
•
P-(<7ie,4.03F
•
口
直战
图3
一
2
&
4
k
2
&
6
k
2
+
&
2
b
2
4
0
(&
2
k
2
—
b
2
)
4
0
4
1
4
2
=
(&
2
k
2
一
—
)
2
(1)
因为
<
ab
=
—
=
2
4
0
0
2
,
所以
<
am
+
5
p
5
q
<
0,
且
5
d
+
5
k
=
(
----
+
--------
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
&
2
一
4
2
0
乂
0
+
20
由
(1)
知
5
1
一
0
5
2
一
0
+
----
二一
乂
2
4
------
4
0
&
2
4
2
0
一
&
2
乂
1
乂
0
工
0
5
1
—
0
5
2
—
0
k
=N
一
2
k
AB
=
+
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
'
24
0
0
_
2
2
=
4
0
一
&
/
(
4
1
--------
0
(
4
2
一
4
0
)
+(
4
2
----------
0
(
4
1
一
4
0
)
0,
所以
bp
=
bq
.
40
/
'
40
问题
5
上述在椭圆中的两个性质能否推广
4
一
4
0
)(
2
—
4
0
)
4
0
0
2
—
k
2
4
0
0
一
—
4
0
0
一
2k
40
4
0
一
&
2
&
6
k
2
+
&2
b
2
4
§
一
2k
4
+
&
2
k
2
4
(5
一
b
2
4
(5
2
4
0
0
—
—
一
=
0,
所以
k
=M
+
k
AN
=
2
k
AB
4
2
0
一
&
2
到双曲线呢
？
圆锥
平面截圆锥而得•用一个不垂
，
它们分别
似
的性
直于圆锥的轴的平面截圆锥
，
当截面与圆锥的轴
夹角不同时
，
可以得到不同的截
椭圆
、
双
故
+
，
它们
椭圆中的上述两个性
22
5
以类比到
双
50
(2)
直线
AM
的方程为
5
—
0
=^^
4
—
1
一
0
n
2
5
_
0
-
2
—
4
2
4
0
),
令
4
=
匕
，
得
5
P
=4
X
0
+0
.
同
4
0
4
1
一
4
0
4
0
性质
2
已知双曲线
C
：
-
y
—
~2
=
1
（
&
>
0
,
&
2
b
2
b
>
0
）
,
点
A
为直线4
=
4
0
上的动点
，若过点
理可
^5
q
=
5
2
_
0
X
&
----
4
0
+
0
.
显然,
4
2
一
4
0
4
0
B
（
a
2
0
）
的直线
2
交双曲线
C
于
M
N
两点
，
直线
4
0
2
5
p
5
q
<
0
,
且
5
p
+
5
q
=
(
---
+
--------
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
AM
AN
分别交直线
4
=
4
0
（
D
m
+
k
AN
=
2k
AB
；
（
2
）
BP
=
BQ
.
样可以
PQ
,
则
&
2
一
4
2
0
5
1
一
0
5
2
一
0
+
2t.
由
(1)
知
+
2
—
Ju
0
乂
1
乂
0
工
2
工
0
GGB
软件来验证
，
如图
3,
发
0
,
故
BP
=
BQ
.
现上述性
广到双
•
证明如下
：
问题
6
上
性
否
广到
？
从特殊椭圆蕴涵的性
和双
证明
设
A
（
4
0
,
）
,
M
（
4
1
5
1
）
N
（
4
2
,
广到一般椭圆中
,
因为在椭圆
5
2
）
，
直线
MN
的方程为
5
=
k
（
4
----
）
，
代入双
4
0
2
&
4
k
2
&
6
k
2
曲线方程
，
得
（
&
2
k
2
—
b
2
）
4
2
—
4
+
-------
2
+
4
0
4
0
将此性
椭圆类比到双
与其相应的准线与
4
轴的
之积都为
&
2
,
两
的
系相近
,
容
比推广.
•
一个
和一条准线
,
焦点
&
2
b
2
=
0
.
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
=
与其相应准线与
4
轴的
的
互为相反
2021
年第
2
期
中学数学月刊
・
55
・
数,这与椭圆和双曲线完全不同
，
无法直接进行类
比.此时我们要深挖
身
'
与其
5
]
—
0
（
2
）
直线
AM
的方程为
5
—
0=^^
4
—
1
—
0
10
相应的准线与
4
轴的
的
互
为相反数岀
fflpf
;
f#
5
Q
=
―
2
4
0
?
2
—
0
+
o
显然
，
y
p
y
Q
<
0
,
4
2
—
4
0
且
5
p
+
5
q
=
—
2
4
0
（
------
十
55
----
）
+
2r
，
由
4
1
—
4
0
4
2
—
4
0
小
、
斤口
5
1
—
0
5
2
—
t_t
_
（
1）
矢口
+
=
—
，
故
5
p
+
5
q
=
1
发'青想
AB
两点的
质
3
已知
也
互
为相反数
.
,C
：
5
2
=
2p4
（
p
>
0
）
,
点
A
为直线
4
=
4
0
上的动点,若过点
B
（
—
4
0,0
）
的
'
C
于
M
N
两点
，
直线
AM
AN
分
则
（
1
）
<
AM
+
<
an
=
别交直线
4
=
—
4
0
于点
P
2k
ab
；
（
2
）
BP
=
BQ
同样可以先利用
GGB
软件来验证
.
如图
4,
发
现上述性
—
0
2
0
0
广到
•
证明如下
：
—
2
4
。
X
0
+
2
方
=
0,
所以
BP
=
BQ
.
4
0
3
感
受
通过
GGB
场,不是将
创
视化教学情境
，
旨在
学生
，
而是
、
实验
、
发现
、
证明
，
让
,
建构知识体系'巴
克服数学知识的高度抽象性
,
建构一个数学探究
所蕴涵的性
图形的直观到性质的
学生亲历数学知识的发
来
，
使其
“
看不透&说不清
”
的一些性质通
态形式呈现
性
，
，
实现教学的可视化•这
，
调动学生学习的
发学生的探究
图
4
高学
#
=
k
（
4
+
4
0
）
,
教学的参与度'巴数学
“
冰冷
的美
的理
本质的认识
，
也
证明
设
A
（
4
0
'
）
”
转化为学生
“
火热的思考
&
促进其
解和
,
、
,
5
=
k
（
4
+
4
0
）
'
M
（
4
1
'
1
）
N
（
4
2
'
2
）
,
由方程绷
2
5
2
=
2
|4
,
得
k
2
4
2
+
2«
2
4
0
—
p'
）
4
+
<4
0
=
0
#
=
4
（
2
—
—
成反思的良
新月
好习惯.
基于信
息
技术的教育资源和教学手
异,正改变着教学方式.
GGB
槡槡
<<
<
°
或
°
<
<
<
槡槡
。
）
•
“
形
”
与
“
数
”
之间
换,突破数学因高度抽象概括的
”
的障碍
，
为改
，
切实
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
=
2
—
2
4
0
,
乂
1
乂
2
2
0
•
性所带来的
“
只可意会
、
不
善数学的教与学提供极大
统数
，
数
学教学的不足
，
提高教学效率•
《
普通高中数学课
（
1
）
因为
k
=B
=
0
，
所以
2
<
ab
=
0
•
于是
2
4
0
4
0
准
（
2017
年版
）
》
的实施建议中明确
学教师要
息
技术的
数学教学实
，
要
信
<
AM
+
k
an
—
2k
AB
=
+
1
0
2
0
0
，
实现信
息
技术与数学
的
度
•这要求数学教师要加强学习
，
掌
握
信息
步感受数学的奥妙
,
（
4
1
+
4
0
一
0
）
（
2
—
4
0
）
+
（
r
2
+
4
0
—
0
）
!
]
—
4
0
）
技术
，
勇于实践,也让学
（
4
4
4
0
—
k
1
—
4
0
）
（
4
2
—
4
0
）
0,
所以
k
y
^
+
k
y
W
=
2
k
AB
感
悟
数学的科学
、
会用数学语
和
达世界的
，
使学生逐
，
不
其数
成会用数学眼光观察世界
、
会用数学思维思考世
学
2024年3月17日发(作者：出佳悦)
•
52
•
中学数学月刊
2021
年第
2
期
利用
GeoGebra
软件进
4
可视化探究教学
—
以
2020
年高考数学北京卷
20
题为例
’
—
翟洪亮
（
江苏省太湖高级中学
214125
）
商再金
（
江苏省灌云县教师发展中心
222000
）
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养
4(4
k
2
+
1)(64
k
2
—
8
)
>
0
，
—
2
<
k
<
2
.
由根与
32
k
2
为导向
，
因此需重视利用信息技术创设可视化的
教学情境,启发学生思考
，
引导学生把握数学内容
的本质
,
通过信息技术与教学内容的深度融合
，
提
系数的关系得
4
1
十
4
2
=
4
—
+
，
4
1
4
2
高教学的实效性.
GeoGebra
动态数学软件
（
下称
64
k
2
—
8
5
1
+
1
4
—
-
直线
MA
的方程为
5
+
1
=
5
+
2
4
十
GGB
）
是由美国数学教授
Markus
Hohenwarter
在
2002
年创建的一款将几何
、
代数
、
表格
、图形
、
统计和微积分集中在一起的容易使用的软件
，
它
—
(
2
k
+
1
)(
4
1
+
4
)
2
)
,
令
4
=
—
4
?
5
P
=
--------------
X
q
--------
同
1
+
以可视化的直观方式赢得了数学教师的青睐.
高考试题由专家组精心命制而成
，
有些试题
看似平常实质超常
，往往蕴含着漂亮的性质
，
有较
—
(
2
k
+
1
)(
4
2
+
4
)
理可得
5
q
=
-------------
X
q
--------
显然
5
p
5
q
<
2
+
0
日
—
(
k
+
1)(
4
1
+
4)
0,
M
5
p
+
5
q
=
--------------
X
q
------
十
1
+
—
(
k
+l)
(
2
+
4
)
(
八)
4
1
+
4
4
2
+
4
—
4
2
十
2
—
=
—
k
+
巩
4
7
十
2
+
4
；
十
2
丿
=
—
(2
k
+
1)
:
大的研究空间和教学价值
，
值得我们去探究•圆锥
曲线中的定点
、
定值问题是高考的热点
•
本文对
2020
年全国高考数学北京卷
20
题进行探究
，
猜
想其蕴涵的性质,先通过
GGB
软件进行验证
，
然
2
4
1
4
2
+
6
(
4
1
+
4
2
)
+
16
4
1
4
2
+
2
(
4
1
+
4
2
)
+
4
后给出证明
，
并将它们推广到其他圆锥曲线
•
现整
理成文
，
供同行参考
•
64
k
2
8
2
4
1
4
2
+
6
4
1
+
4
2
)
+
16
=
2
:
k
+
1
+
6
:
（
—
32
k
2
）
1
试
题
已知椭圆
C
#
^
+
-J
=
1
（
a
>
b
>
0
）
过点
a
2
b
2
4
2
5
2
十
％
+
16
=
0
，
所以更的值为
1
PB
砧居斗
］
2
探究
本题考查直线方程
、
直线与椭圆的位置关系
，
试题运算量较大
，
区分度明显
，
注重对数学运算素
A
（
—
2
，
—
1
）
,
且
a
=
2
b
.
（
1
）
求椭圆
C
的方程
；
⑵过点
B
（
―
4,0
）
的直线
Z
交椭圆
C
于
M
，
养的考查•做完此题后
，
笔者利用
GGB
软件的可
视性进行如下探究
：
N
两点
，
直线
MA
，
NA
分别交直线
4
=
—
4
于点
PB
p
，
Q
.
求
BK
的值
■
解
（
1
）
由题设得二+
72
=
1
，
a
=
2
b
，
解得
a
2
b
2
问题
1
若连结
AB
，
则直线
AM
，
AN
，
AB
的斜率之间有何关系
？
41
先利用
GGB
软件探究:输入
§
+
*
=
1
/在
4
2
5
2
4
4
5
2
a
2
=
8
，
b
2
=
2
，所以椭圆
C
的方程为
g
+
牙
=
1
.
（
2
）
设
M4
1,
5
1
）
，
N4
，
5
2
）
，
直线
MN
的
方程为
5
=
<4
+
4
）
,
代入
8
+
牙
=
1
得
（
4
<
2
+
椭圆
8
+
2
=
1
上取点
A
（
—
2
，
—
1
）
/
输入
4
2
5
2
4
=
—
4
—
取直线
4
=
—
4
与
4
轴的交点
B
（
—
4
，
0
）
/过点
B
作直线交椭圆于
M
，
N
两点/作直
线
AM
、
直线
AN
分
别交直线
4
=
—
4
于
P
，
Q
两点
/作直线
AB
/度量直线
AM
，
AN
，
AB
的斜率
4
2
5
2
1
）
4
2
+
32k
2
4
+
（
64
<
2
—
8
）
=
0
，
#
=
（
32
<
2
）
2
—
'
本文系江苏省教育科学“
十三五
”规划课题“
小组激励机制下提升高中生核心素养之学力的策略研究&编号:
D/2016/02/348
）
和
“
以
数学
抽
象为指
向
的可视化教学情境建构研究
&
编号:
B-b/2020/02/41
）
的阶段成果
.
2021
年第
2
期
中学数学月刊
"
2
・
53
・
分别为
加
1
1
1
2
—
输
入
+
=
i
+如
―在
椭圆
上
移
M
.
如图
1
,
可以发现
+
=
2
l
2
，
即
<
AM
+
<
AN
=
2
<
ab
.
AM
A
N
分别交直线
4
=
4
0
k
AM
+
k
AN
=
2
k
AB
；
(
2
)
BP
=
BQ
这个
确吗
？
不
验证一下
：
P,Q
,
则
(1)
GGB
软件来
使用滑动条创设变量
"
'
(a
>
b
〉
0
)
—
输
22
入:飞
+
=
1
—
在
4
轴上任取一点
S
—
输入
"
2
b
2
4
=
4
(S
)
即得直线
4
=
4
0
—
在直线
4
=
4
0
上任
2
图
1
取一点
A
/作直线
4
=
么与
4
轴的交点
B
/过
4
0
点
B
作直线交椭圆于
MN
两点/作直线
AM
、
2
证明
因为
<
AM
+
k
AN^^T,
=
4
1
+
2
4
2
+
2
直线
AN
分
别交直线
4
=
"
于
P
Q
两点/输入
4
0
yP
=
y(P
)
得点
P
的纵坐标
/
输入
5Q
=
5
(
Q
)
kx
1
+
4k
+
1
4
1
+
2
kx
2
+
4k
+
1
4
2
+
2
Q
的纵
/
AB
/
度
AM
,
2kx
1
4
2
+
（
6
k
+
1
）
（
4
1
+
4
2
）
+
16
k
+
4
4
1
+
4
2
+
2
（
4
1
+
4
2
）
+
4
AN
,
AB
的斜率分别为
11
0
,
yP
=
—
yQ
,
可知上
►
趣区
a
•
绘图区
05ft
曲婕
0
、
,m
2
—
输入
方
=
1
+
1
1
—
2
m
2
—
椭
圆
上移动点
M
.
如图
2
,
发现
0
=
确的
.
b=3
问题
2
命题人为何要取椭
圆
上的点
•
C
：
l
,
*1.7iy3
-18
A
(
—
2
,
—
1)
?
如果选取其他点
，
那么
BP
=
BQ
,
<
am
+
k
AN
=
2
k
AB
还成立吗
？
GGB-
以发现
，
当且仅当点
A
位于
(
一
2
,
一
1
)
和
(
一
2
，
1)
两处时
，
有
(1)
k
AM
+
k
AN
=
•
•
b-3
•
m>0.66
A
m^ose
1
•
m
2
■
-047
t-B
m
1
2k
AB
；
(2')BP
=
BQ
.
由
(
—
2
,
—
—
1)
和
(
一
2
，
1)
两点
到
：
问题
3
GGB
■
从
•
輒仲
图
2
A
是直线
4
=
—
2
上的动点时
，
？
,
发现上述两个性质仍然
上述两个性质还成
成
证明
设
A
（
4
0
,
0
）
）
M
（
4
1
,
y
1
）
）
N
（
4
2
,
y
2
）
,
直线
MN
的方程为
y
=
k
（
4
—
±
）
'弋入
"
+
話
2
"
4
k
2
"
6
k
2
=
1
得
"
2
k
2
+
b
2
）
4
2
—
4
+
4
0
4
0
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
"
2
4
2
y
2
问题
4
当点
A
在直线
4
=
—
2
上
，
总有
(1)
BP
=
BQ
；
(2X
am
+
<
an
=
2k
=B
成立.这与所
t
y
给椭圆方程
8
+
2
=
1
以及直线
4
=
—
4
之间有
9
a
2
b
2
=
0
.
9
2
a
4
k
2
（
a
2
k
2
+
b
2
）
4
0
何内
系
？
发现点
A
的横坐标以及直线
4
=
一
4
与
4
轴
交点的
a
6
k
2
一
a
2
b
2
4
0
4
1
4
2
=
"k
+
（
1
）
因
为
k
=>
=
----
0
—
2
=
4
2
，
所以
<
=
m
+
之间的关系为(
一
2
)
X
(
—
4
)
=
8,
即
4
=
4
>
=
"
2
.
”
性质
1
到一般情形
：
4
2
5
2
已知
椭圆
C
：
飞+
=
1
("
〉
b
〉
"
2
b
2
殊情形
4
0
"
4
0
4
0
—
"
y
1
—
o
y
2
—
o
24
0
0
<
an
—
2
k
ab
=
+
2
2
4
1
—
4
0
4
2
—
4
0
4
0
—
"
0
),
点
A
为直线
4
=
4
0
上的动点
，
若过点
（
k4
1
（
4
2
—
40
）
+
（
4
2
—
（
4
1
—
40
）
B
0的直线
2
交椭圆
C
于
MN
两点
，
直线
4
0
（
41
一
4
0
）
（
4
2
—
4
0
）
・
54
・
中学数学月刊
国稚曲婕
*
『
>
绘
BB
区
g
a
=
2
2021
年第
2
期
<
1
4
2
—
!
----
卄
4
0
)(
4
】
+
4
2
)
+
2
&
2
+
4。
力
40
_
_____
4
0
/
____________________________
4
0
—
&
2
44
2
—
4
0
(
4
1
+
4
2
)
+
4
2
2
4
0
t
4
0
•
G
•
・・2
•
b-3
/L
/W
2a
2
k
2
40t
+
2
—
2
4
0
才
一
2
&<
2
4
00
—
<
—
&
2
b
2
4
§
—
2a
4
k
2
4
2
+
&
2
k
2
4
(5
+
b
2
4
(5
•
叫
・
O,2t
一
—
1-0
yP-4.03
■
0
—
&
2
=
0
所以
k
AM
+g=
2
k
AB
(2)
直线
AM
的方程为
5
—
0
=^^
4
—
4
1
一
4
0
5
]
—
0
•
I
・(4,84.
^-(^.84,0)
—
-1
C-|2L31,-1.72J
4
0
)
令
4
=
—
，
得
5
P
=
5
1
—
±
X
&
2
-
4
40
4
2
+
0
.
同
*
4
0
4
1
一
4
0
4
0
理可得
5
Q
=
5
2
0
X
&2
—
4
2
+
0
.
显然
，
4
2
一
4
0
4
0
Wc
•
区砒勁
•
P-(<7ie,4.03F
•
口
直战
图3
一
2
&
4
k
2
&
6
k
2
+
&
2
b
2
4
0
(&
2
k
2
—
b
2
)
4
0
4
1
4
2
=
(&
2
k
2
一
—
)
2
(1)
因为
<
ab
=
—
=
2
4
0
0
2
,
所以
<
am
+
5
p
5
q
<
0,
且
5
d
+
5
k
=
(
----
+
--------
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
&
2
一
4
2
0
乂
0
+
20
由
(1)
知
5
1
一
0
5
2
一
0
+
----
二一
乂
2
4
------
4
0
&
2
4
2
0
一
&
2
乂
1
乂
0
工
0
5
1
—
0
5
2
—
0
k
=N
一
2
k
AB
=
+
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
'
24
0
0
_
2
2
=
4
0
一
&
/
(
4
1
--------
0
(
4
2
一
4
0
)
+(
4
2
----------
0
(
4
1
一
4
0
)
0,
所以
bp
=
bq
.
40
/
'
40
问题
5
上述在椭圆中的两个性质能否推广
4
一
4
0
)(
2
—
4
0
)
4
0
0
2
—
k
2
4
0
0
一
—
4
0
0
一
2k
40
4
0
一
&
2
&
6
k
2
+
&2
b
2
4
§
一
2k
4
+
&
2
k
2
4
(5
一
b
2
4
(5
2
4
0
0
—
—
一
=
0,
所以
k
=M
+
k
AN
=
2
k
AB
4
2
0
一
&
2
到双曲线呢
？
圆锥
平面截圆锥而得•用一个不垂
，
它们分别
似
的性
直于圆锥的轴的平面截圆锥
，
当截面与圆锥的轴
夹角不同时
，
可以得到不同的截
椭圆
、
双
故
+
，
它们
椭圆中的上述两个性
22
5
以类比到
双
50
(2)
直线
AM
的方程为
5
—
0
=^^
4
—
1
一
0
n
2
5
_
0
-
2
—
4
2
4
0
),
令
4
=
匕
，
得
5
P
=4
X
0
+0
.
同
4
0
4
1
一
4
0
4
0
性质
2
已知双曲线
C
：
-
y
—
~2
=
1
（
&
>
0
,
&
2
b
2
b
>
0
）
,
点
A
为直线4
=
4
0
上的动点
，若过点
理可
^5
q
=
5
2
_
0
X
&
----
4
0
+
0
.
显然,
4
2
一
4
0
4
0
B
（
a
2
0
）
的直线
2
交双曲线
C
于
M
N
两点
，
直线
4
0
2
5
p
5
q
<
0
,
且
5
p
+
5
q
=
(
---
+
--------
4
1
一
4
0
4
2
一
4
0
AM
AN
分别交直线
4
=
4
0
（
D
m
+
k
AN
=
2k
AB
；
（
2
）
BP
=
BQ
.
样可以
PQ
,
则
&
2
一
4
2
0
5
1
一
0
5
2
一
0
+
2t.
由
(1)
知
+
2
—
Ju
0
乂
1
乂
0
工
2
工
0
GGB
软件来验证
，
如图
3,
发
0
,
故
BP
=
BQ
.
现上述性
广到双
•
证明如下
：
问题
6
上
性
否
广到
？
从特殊椭圆蕴涵的性
和双
证明
设
A
（
4
0
,
）
,
M
（
4
1
5
1
）
N
（
4
2
,
广到一般椭圆中
,
因为在椭圆
5
2
）
，
直线
MN
的方程为
5
=
k
（
4
----
）
，
代入双
4
0
2
&
4
k
2
&
6
k
2
曲线方程
，
得
（
&
2
k
2
—
b
2
）
4
2
—
4
+
-------
2
+
4
0
4
0
将此性
椭圆类比到双
与其相应的准线与
4
轴的
之积都为
&
2
,
两
的
系相近
,
容
比推广.
•
一个
和一条准线
,
焦点
&
2
b
2
=
0
.
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
=
与其相应准线与
4
轴的
的
互为相反
2021
年第
2
期
中学数学月刊
・
55
・
数,这与椭圆和双曲线完全不同
，
无法直接进行类
比.此时我们要深挖
身
'
与其
5
]
—
0
（
2
）
直线
AM
的方程为
5
—
0=^^
4
—
1
—
0
10
相应的准线与
4
轴的
的
互
为相反数岀
fflpf
;
f#
5
Q
=
―
2
4
0
?
2
—
0
+
o
显然
，
y
p
y
Q
<
0
,
4
2
—
4
0
且
5
p
+
5
q
=
—
2
4
0
（
------
十
55
----
）
+
2r
，
由
4
1
—
4
0
4
2
—
4
0
小
、
斤口
5
1
—
0
5
2
—
t_t
_
（
1）
矢口
+
=
—
，
故
5
p
+
5
q
=
1
发'青想
AB
两点的
质
3
已知
也
互
为相反数
.
,C
：
5
2
=
2p4
（
p
>
0
）
,
点
A
为直线
4
=
4
0
上的动点,若过点
B
（
—
4
0,0
）
的
'
C
于
M
N
两点
，
直线
AM
AN
分
则
（
1
）
<
AM
+
<
an
=
别交直线
4
=
—
4
0
于点
P
2k
ab
；
（
2
）
BP
=
BQ
同样可以先利用
GGB
软件来验证
.
如图
4,
发
现上述性
—
0
2
0
0
广到
•
证明如下
：
—
2
4
。
X
0
+
2
方
=
0,
所以
BP
=
BQ
.
4
0
3
感
受
通过
GGB
场,不是将
创
视化教学情境
，
旨在
学生
，
而是
、
实验
、
发现
、
证明
，
让
,
建构知识体系'巴
克服数学知识的高度抽象性
,
建构一个数学探究
所蕴涵的性
图形的直观到性质的
学生亲历数学知识的发
来
，
使其
“
看不透&说不清
”
的一些性质通
态形式呈现
性
，
，
实现教学的可视化•这
，
调动学生学习的
发学生的探究
图
4
高学
#
=
k
（
4
+
4
0
）
,
教学的参与度'巴数学
“
冰冷
的美
的理
本质的认识
，
也
证明
设
A
（
4
0
'
）
”
转化为学生
“
火热的思考
&
促进其
解和
,
、
,
5
=
k
（
4
+
4
0
）
'
M
（
4
1
'
1
）
N
（
4
2
'
2
）
,
由方程绷
2
5
2
=
2
|4
,
得
k
2
4
2
+
2«
2
4
0
—
p'
）
4
+
<4
0
=
0
#
=
4
（
2
—
—
成反思的良
新月
好习惯.
基于信
息
技术的教育资源和教学手
异,正改变着教学方式.
GGB
槡槡
<<
<
°
或
°
<
<
<
槡槡
。
）
•
“
形
”
与
“
数
”
之间
换,突破数学因高度抽象概括的
”
的障碍
，
为改
，
切实
由根与系数的关系得
4
1
+
4
2
=
2
—
2
4
0
,
乂
1
乂
2
2
0
•
性所带来的
“
只可意会
、
不
善数学的教与学提供极大
统数
，
数
学教学的不足
，
提高教学效率•
《
普通高中数学课
（
1
）
因为
k
=B
=
0
，
所以
2
<
ab
=
0
•
于是
2
4
0
4
0
准
（
2017
年版
）
》
的实施建议中明确
学教师要
息
技术的
数学教学实
，
要
信
<
AM
+
k
an
—
2k
AB
=
+
1
0
2
0
0
，
实现信
息
技术与数学
的
度
•这要求数学教师要加强学习
，
掌
握
信息
步感受数学的奥妙
,
（
4
1
+
4
0
一
0
）
（
2
—
4
0
）
+
（
r
2
+
4
0
—
0
）
!
]
—
4
0
）
技术
，
勇于实践,也让学
（
4
4
4
0
—
k
1
—
4
0
）
（
4
2
—
4
0
）
0,
所以
k
y
^
+
k
y
W
=
2
k
AB
感
悟
数学的科学
、
会用数学语
和
达世界的
，
使学生逐
，
不
其数
成会用数学眼光观察世界
、
会用数学思维思考世
学