2024年3月17日发(作者：鲍运菱)
第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次
讲授内容。
第二节几种常见的理论分布
重点：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。
难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。
一、二 项 分 布
一）、贝努利试验及其概率公式
将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率
都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与
A
之一，在每次
试验中出现A的概率是常数p(0 A 的概率是1-p=q，则称这一串重 复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。 在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，„，n次，现在我们来求事件A 恰好发 生k(0≤k≤n)次的概率P n (k)。 先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 C 4 2 种： A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 其中A k (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生； A k (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验 不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P( A 1 A 2 A 3 A 4 )=P( A 1 A 2 A 3 A 4 )=„= P( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = P( A 1 )·P( A 2 )·P( A 3 )·P( A 4 )= pq 试验中，事件A恰好发生2次的概率为 P 4 (2) = P( A 1 A 2 A 3 A 4 )+P( A 1 A 2 A 3 A 4 )+„+ P( A 1 A 2 A 3 A 4 )= C 4 pq 2 242 242 又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次 一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 P n (k) = C n pq k knk k=0,1,2„，n (3-14) 若把(4-14)式与二项展开式 n (qp) n k0 C n pq kknk 相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件A发生k次的概率恰好等于 (qp) 展开式 中的第k+1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。 n 二）、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下： 设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,„，n，且有 P n (k) = C n pq kknk k=0,1,2„，n 其中p ＞ 0 ， q ＞ 0 ， p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x ～ B(n,p)。 显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数， 只能取正 整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。 二项分布由n和p两个参数决定： 1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大 ，分布逐渐趋于对称，如 图4—9 所示； 2、当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图4—10所示； 3、对于固定的n及p，当k增加时，P n (k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。 此外，在n较大，np 、 nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的 极限分布是正态分布。 三）、二项分布的概率计算及应用条件 例：豌豆红花和白花杂交后， 在F2红花：白花＝3：1，若每次观察4株，共观察100次， 问得红花为0、1、2、3、4株的概率各为多少？ 表 观察4株出现红花的概率分布表 (p=0.75 q=1-p=0.25) 概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x) P(0) C40p0q4 0.0039 0.0039 0.39 P(1) C41p1q3 0.0469 0.0508 4.69 P(2) C42p2q2 0.2109 0.2617 21.09 P(3) C43p3q1 0.4219 0.6836 42.19 P(4) C44p4q0 0.3164 1.000 31.64 合计 1.000 100 例2：鸡蛋孵化率为，每次选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种可能概率，若做1000次试 验，其理论次数分别为多少？ 图4—9 n值不同的二项分布比较 图4—10 p值不同的二项分布比较
2024年3月17日发(作者：鲍运菱)
第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次
讲授内容。
第二节几种常见的理论分布
重点：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。
难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。
一、二 项 分 布
一）、贝努利试验及其概率公式
将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率
都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与
A
之一，在每次
试验中出现A的概率是常数p(0 A 的概率是1-p=q，则称这一串重 复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。 在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，„，n次，现在我们来求事件A 恰好发 生k(0≤k≤n)次的概率P n (k)。 先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 C 4 2 种： A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 其中A k (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生； A k (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验 不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P( A 1 A 2 A 3 A 4 )=P( A 1 A 2 A 3 A 4 )=„= P( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = P( A 1 )·P( A 2 )·P( A 3 )·P( A 4 )= pq 试验中，事件A恰好发生2次的概率为 P 4 (2) = P( A 1 A 2 A 3 A 4 )+P( A 1 A 2 A 3 A 4 )+„+ P( A 1 A 2 A 3 A 4 )= C 4 pq 2 242 242 又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次 一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 P n (k) = C n pq k knk k=0,1,2„，n (3-14) 若把(4-14)式与二项展开式 n (qp) n k0 C n pq kknk 相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件A发生k次的概率恰好等于 (qp) 展开式 中的第k+1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。 n 二）、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下： 设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,„，n，且有 P n (k) = C n pq kknk k=0,1,2„，n 其中p ＞ 0 ， q ＞ 0 ， p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x ～ B(n,p)。 显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数， 只能取正 整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。 二项分布由n和p两个参数决定： 1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大 ，分布逐渐趋于对称，如 图4—9 所示； 2、当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图4—10所示； 3、对于固定的n及p，当k增加时，P n (k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。 此外，在n较大，np 、 nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的 极限分布是正态分布。 三）、二项分布的概率计算及应用条件 例：豌豆红花和白花杂交后， 在F2红花：白花＝3：1，若每次观察4株，共观察100次， 问得红花为0、1、2、3、4株的概率各为多少？ 表 观察4株出现红花的概率分布表 (p=0.75 q=1-p=0.25) 概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x) P(0) C40p0q4 0.0039 0.0039 0.39 P(1) C41p1q3 0.0469 0.0508 4.69 P(2) C42p2q2 0.2109 0.2617 21.09 P(3) C43p3q1 0.4219 0.6836 42.19 P(4) C44p4q0 0.3164 1.000 31.64 合计 1.000 100 例2：鸡蛋孵化率为，每次选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种可能概率，若做1000次试 验，其理论次数分别为多少？ 图4—9 n值不同的二项分布比较 图4—10 p值不同的二项分布比较