2024年3月17日发(作者：藤鸿羲)
考索窑探微
课程教育研究
CourseEducationResearch
2018年第48期
利用感生电偶极子推导范德瓦尔斯相互作用势
渊石室中学北湖校区四川成都610051冤
揖摘要铱范德瓦尔斯相互作用是原子间相互作用的一个重要组成部分与表现形式遥本文利用简单的感生电偶极子间的静电相
互作用模型袁结合量子理论对范德瓦尔斯相互作用势能函数的形式进行定量的推导遥结果表明范德瓦尔斯相互作用源自于静电
相互作用的量子力学效应袁势能函数随着原子间距离R以1/R
6
的形式幂函数衰减遥本文为人们理解范德瓦尔斯相互作用提供了
杨镇旭
一个半定量描述的视角
揖
揖
关键词
中图分类号
铱范德瓦尔斯相互作用
遥
铱G633.7揖文献标识码
谐振子电偶极子
铱A
一尧引言
原子间以及分子间相互作用力包括范德瓦尔斯相互作用
造成的吸引力尧泡利不相容原理造成的斥力尧固有电偶极矩间
相互作用尧氢键等等遥范德瓦尔斯相互作用的研究对人们了解
掌握原子级别微观世界中的相互作用有着重要意义遥近些年随
着对于诸如石墨烯等二维材料的研究的深入袁二维材料层间范
德瓦尔斯相互作用对于材料性质的影响越来越受到关注遥范德
瓦尔斯相互作用势实际上可以利用原子的感生电偶极子之间
的静电相互作用的模型推导得出袁该模型同样适用于理解分子
间相互作用力遥
二尧感生电偶极子模型的哈密顿量
原子间范德瓦尔斯相互作用力实际上是组成各原子的电
子和原子核之间的库仑相互作用遥对于一个稳定的基态原子袁
必然处在能量状态的最低点袁当原子轻微偏离这样的状态时袁
会造成能量的增加遥在我们的模型中袁我们考虑两个原子由于
原子间相互作用造成了各原子自身的正负电荷中心位置不再
重合袁相互之间位移为x袁形成感生电偶极矩qx遥把两个原子看
作一个整体袁系统依旧处于基态袁但是两个原子本身却偏离了
自身的基态遥由于x比较小袁因此可使用谐振子模型描述单个
原子的正负电荷中心的偏移造成的能量增加
2
袁同时忽略原子的
平动动能袁系统的哈密顿量为H=
2m
p
x
+
1
2
kx
2
遥由于我们考虑
的问题是原子间感生的电偶极矩袁简单考虑两个原子的感生电
偶极矩在同一条直线上袁也即问题是一维的遥考虑在一维直线
上两个距离为
x
x
R的原子感生出来电偶极子qx
1
和qx
2
袁且R逸
1
袁
2
有遥可以得到两原子间的因为电偶极子之间的静电相互
作用造成的能量的最低阶近似为院H
2
1
=
4仔缀
2
0
R
+
4仔缀
-
4仔缀
q
2
0
(R+x
1
)
-
4仔缀
q
2
0
(R-x
2
)
抑-
2
q
2
仔缀
x
0
(R+x
1
-x
2
)
1
x
2
0
R
3
遥因此系统的哈密顿量
为院
22
H=H
0
+H
1
=
2m
p
1
+
1
2
kx
2
2m
p
2
2
1
+
2
+
1
2
kx
2
-
2
q
仔缀
x
1
x
2
0
R
3
两个原子组成的系统处在系统的基态之上袁该能量H与
两个原子单独存在时能量H
0
不同袁因此造成了原子间相互作
用势遥这个模型也可以用来描述分子间相互作用力袁对于极性
分子袁模型的哈密顿量形式上相同袁对于非极性分子袁需要考虑
固有电偶极矩
2
qx
0
袁此时院
2
H
0
=
2m
p
1
+
1
2
k(x
1
-x
0
)
2
+
2m
p
2
+
1
2
k(x
2
-x
0
)
2
遥
三
1.谐振子基态能量
尧哈密顿量的基态能量
谐振子的本征能量可以使用定态薛定谔方程
蓸蔀
H鬃=E鬃解
得袁一维谐振子的本征能量为E=
n+
1
攸棕,n越0袁1袁2...
[1]
袁其中
棕
个零点能结果可以使用不确定性原理给出解释
是谐振子的固有频率遥基态能量在n=0
2
时取到
袁由于
袁谐振子的这
吟x吟p逸
窑232窑
揖文章编号铱2095-3089渊2018冤48-0232-02
1
2
攸袁系统能量
H=
姨
2m
p
2
+
1
2
kx
2
=
(吟
22
姨
2m
P)
+
1
2
k(吟x)
2
逸2
姨
(吟
2m
P)1
2
k(吟x)
2
=
m
k
吟x吟p=
1
2
攸
m
k
两个谐振子袁如果相互之间没有耦合袁则系统基态能量是
两个振子基态能量的加和袁例如两个相聚无穷远的原子
姨
袁其基
态能量由H
0
给出袁为两个谐振子基态能量加和攸
m
k
遥如果
有耦合袁则需要求出简正模式袁系统的基态能量是简正模式对
应的振动基态能量的加和
2.原子及非极性分子
遥
简正模式完全可以使用分析力学的方法给出袁其结果和量
子力学的结果是一致的袁此处我们使用拉格朗日力学给出简正
模式以及简正频率遥
系统的拉格朗日量为L=
1
mx
2
1
mx
222
1
+
2
-
1
kx
1
-
1
kx
2
+
2
q
2
仔缀
x
2222
1
x
2
0
R
3
遥令孜
1
=
x
1
+x
2
2
袁孜
2
=
x
1
-x
2
2
遥则拉格朗日函数可被化简为
L=
1
2
m孜
22
2
2
2
2
1
+
1
2
m孜
2
-
1
2
(k-
2仔缀
q
3
)孜
1
-
1
0
R2
(k+
2仔缀
q
0
R
3
)x
2
孜
由保守系统中的拉格朗日方程能够得到关于两个自由度
1
袁孜
2
的两个独立的谐振子运动遥容易观察得到袁第一个自由度
描述的是体系的质心运动袁第二个自由度描述的是体系的相对
运动
姨
袁分别对应着系统的两个本征频率
蓸蔀
棕
+
棕
依
=
m
1
k+
軍
2仔缀
q
袁棕
_
2
0
R
3
考虑R比较大袁按照
姨
1+x抑1+
1
2
x-
1
8
x
2
袁可以得到此
时系统基态能量的最低阶近似为
1
姨
蓸蔀
2
攸(棕
+
+棕
_
)抑攸
m
k
-
1
2
m
k
4仔缀
q
2
攸
2
0
kR
3
=攸
m
k
-
R
A
6
遥相比于相距无穷远的两个
原子基态能量攸
姨
姨
姨
m
k
袁系统能量由于范德瓦尔斯相互作用降
低了
A
6
袁也即范德瓦尔斯相互作用势U(R)=-
A由原子的性质给出
R
遥势能的形式表明范德瓦尔斯相互作用是
R
A
6
袁其中常数
一个吸引力
3.极性分子
遥
由于存在固有电偶极矩袁x
0
屹0袁此时H
q
2
x
2
1
抑-
2仔缀
0
0
R
3
没有
造成谐振子之间的耦合袁因此简正模式和简正频率不变遥基态
能量为攸
姨
k
-
q
2
2
m2仔缀
x
0
0
R
3
遥此时系统由于固有电偶极子间相互
q
2
x
2
作用造成的势能形式为-
2仔缀
0
0
R
3
遥
.. All Rights Reserved.
课程教育研究
CourseEducationResearch
2018年第48期
考索窑探微
基于3C3R模型的PBL教学模式改革研究
渊1.江苏科技大学理学院江苏镇江2120032.江苏科技大学计算机学院江苏镇江212003冤
揖摘要铱本文通过对洪暐提出的3C3R问题设计模型分析与研究袁提出改良后的3C3R设计模型袁并与研究成果野PBL十个问
题冶相结合袁对3C3R六大成分进行融合利用袁更加明确师生在研究过程中的角色和地位袁从而明确学生的学习主体地位袁提升
PBL的效率遥
揖关键词铱PBL3C3R问题设计模型改良
揖基金项目铱江苏科技大学高等教育科学研究和教学改革研究课题渊GJKTY201616冤尧江苏科技大学研究生教育教学改革研究
与实践课题渊YJG2016Y_19冤成果之一遥
揖中图分类号铱G642.0揖文献标识码铱A揖文章编号铱2095-3089渊2018冤48-0233-02
分遥核心成分包括内容尧情境和联系渊Content尧Context尧
Connection袁3C冤袁用它们来支持内容尧概念学习袁强调了问题的
静态特征曰过程成分包括探究尧推理和反思渊Researching尧
Reasoning尧Reflecting袁3R冤袁它们支持了问题解决技能和自我导
向学习中的认知过程袁属于问题的动态特征遥
[2]
1.洪暐3C3R问题设计模型简述
从洪暐3C3R问题设计模型可以看出袁核心成分和过程成
分形成了内外互补的稳固三角形关系遥为提出问题尧分析问题尧
解决问题尧总结问题提供了较为全面的框架袁其中的三角关系袁
更显示了六大要素的缺一不可遥
其中核心成分主要关注的是问题的提出阶段院围绕研究主
题确定研究内容袁以及内容所涉及到的知识点分布袁并搭建内
容相互联系的结构关系曰根据研究内容构建代入式研究情境袁以
达到问题仿真环境曰除此之外还要注意研究过程中各种关联性
的事物袁处理好相互之间的联系遥核心成分中内容尧情境和联系
三者之间形成独立的需求袁并相互支撑袁成为开展研究之前的
准备工作袁也是保证问题解决的先决条件遥在PBL的角色分配
中袁教师的启发作用在此阶段显得尤为重要遥
核心成分关注的问题的提出阶段袁那么过程成分则更多地
关注了问题的解决和总结阶段遥PBL的核心要义是让学生参与
到问题解决活动的全过程袁强调的是学生主动能力的发挥遥
3C3R中的过程成分则全面展示了这一特性遥这些动态的过程
吴建成
1
吴健康
2
问题导向学习(Problembasedlearning,PBL)是教育界最具
革新的一种教学形式袁主要精神是野以本为本冶袁让学生成为应
用知识解决复杂问题和应用课题的主体袁并帮助学生形成独特
的思维能力和导向性的学习能力袁彻底改变教师在教学中的主
导地位遥PBL经过多年的发展和推演袁在国内外的基础教育和
高等教育中广泛开展袁成为促进教学改革的野主流范式冶
[1]
,并取
得了积极成果遥
一尧PBL中3C3R问题设计模型的提出
在问题导向学习中袁
学习始于问题尧终于问题袁
毫无疑问袁野问题冶是PBL
的核心遥那么袁问题设计就
在决定PBL的成功率上
扮演着关键角色遥在PBL
中袁问题的设计尧生成和挑
.. All Rights Reserved.
选成为教学过程中最为重
要的工作遥为了解决这一
挑战性任务袁密苏里大学
哥伦比亚分校毕业的学习
图1洪暐3C3R问题设计模型
[3]
技术专业博士洪暐提出了
一种指导有效尧精确和可靠问题设计的3C3R模型遥洪暐提出
的3C3R问题设计模型由两类成分所组成:核心成分和过程成
四尧模型的有效性和应用
上述讨论中没有考虑原子所处的状态遥从微扰论的观点来
看袁-A/R
6
的势能衰减来自于电偶极矩间相互作用的二阶微扰
结果遥对于S态的基态原子袁电子波函数分布呈完全的球对称袁
于是不需要考虑电四极矩的对能量的一阶微扰的贡献遥对于非
S态的原子袁原子具有不为零的轨道角动量与自旋角动量袁此
时原子有可能具有非零的电四极矩袁如果两个相互作用的原子
都具有非零的电四极矩袁电四极矩之间的相互作用对能量的一
阶微扰的结果为1/R
5
的衰减形式
[2]
袁这一项结果可能是吸引
力袁也可能是排斥力遥另外袁全同粒子之间的交换相互作用也有
可能造成能量上的变化遥不过所有的这些未在模型中考虑的因
素袁在对基态的角动量分量的所有可能取值做平均后袁均会为
0
[2]
袁因此上述模型中得到的范德瓦尔斯相互作用势的表达式可
以比较普适地应用在原子间相互作用的描述之中遥
由于模型的结果需要考虑二级微扰袁其中有虚过程的跃迁
发生袁故会有势的延迟传播问题遥系统从基态跃迁到激发态很
快又回到基态的过程是一个虚过程袁这一过程的时间尺度为
攸
袁在这一时间尺度上袁考虑相对论效应袁原子之间的距离
E
n
-E
0
需要远小于相互作用的传播距离袁也即R臆
c攸
袁这是上述
E
n
-E
0
模型成立的条件之一遥
在间距R接近原子本身的线度时袁电子波函数间的交叠
变得不可忽略袁由于泡利不相容原理袁此时原子间还存在着以
1/R
12
衰减的排斥势场袁这一项产生的排斥力和范德瓦尔斯相
互作用势产生的吸引力相互平衡时袁就得到了原子间的平衡距
离袁这可以用来解释原子晶体的晶格常数尧范德瓦尔斯外延的
二维材料的原子层间距等等实验结果遥
五尧结语
在本文中袁我们利用简单的原子间感生电偶极子的静电相
互作用模型推导得到在相对原子本身线度较大袁相对于发生相
对论效应较小的尺度中袁范德瓦尔斯相互作用势的势能表达形
式遥推导过程表明袁范德瓦尔斯相互作用是一个量子力学的效
应遥势能函数的表达形式1/R
6
可以用来描述原子间以及非极
性分子间的相互作用吸引力袁结合泡利不相容原理得到的原子
间斥力袁就可以得到描述原子间相互作用的Lenard-Jones势
[3]
袁
该结果比较普适地描述了中性原子间的相互作用力,应用十分
广泛遥
参考文献院
[1]朗道,栗弗席兹.量子力学渊非相对论理论冤[M].北京:高等
教育出版社,2011:61-64.
[2]朗道,栗弗席兹.量子力学渊非相对论理论冤[M].北京:高等
教育出版社,2011:314-316.
[3]基泰尔.固体物理导论[M].北京:化学工业出版社,2011:
44-46.
窑233窑
2024年3月17日发(作者：藤鸿羲)
考索窑探微
课程教育研究
CourseEducationResearch
2018年第48期
利用感生电偶极子推导范德瓦尔斯相互作用势
渊石室中学北湖校区四川成都610051冤
揖摘要铱范德瓦尔斯相互作用是原子间相互作用的一个重要组成部分与表现形式遥本文利用简单的感生电偶极子间的静电相
互作用模型袁结合量子理论对范德瓦尔斯相互作用势能函数的形式进行定量的推导遥结果表明范德瓦尔斯相互作用源自于静电
相互作用的量子力学效应袁势能函数随着原子间距离R以1/R
6
的形式幂函数衰减遥本文为人们理解范德瓦尔斯相互作用提供了
杨镇旭
一个半定量描述的视角
揖
揖
关键词
中图分类号
铱范德瓦尔斯相互作用
遥
铱G633.7揖文献标识码
谐振子电偶极子
铱A
一尧引言
原子间以及分子间相互作用力包括范德瓦尔斯相互作用
造成的吸引力尧泡利不相容原理造成的斥力尧固有电偶极矩间
相互作用尧氢键等等遥范德瓦尔斯相互作用的研究对人们了解
掌握原子级别微观世界中的相互作用有着重要意义遥近些年随
着对于诸如石墨烯等二维材料的研究的深入袁二维材料层间范
德瓦尔斯相互作用对于材料性质的影响越来越受到关注遥范德
瓦尔斯相互作用势实际上可以利用原子的感生电偶极子之间
的静电相互作用的模型推导得出袁该模型同样适用于理解分子
间相互作用力遥
二尧感生电偶极子模型的哈密顿量
原子间范德瓦尔斯相互作用力实际上是组成各原子的电
子和原子核之间的库仑相互作用遥对于一个稳定的基态原子袁
必然处在能量状态的最低点袁当原子轻微偏离这样的状态时袁
会造成能量的增加遥在我们的模型中袁我们考虑两个原子由于
原子间相互作用造成了各原子自身的正负电荷中心位置不再
重合袁相互之间位移为x袁形成感生电偶极矩qx遥把两个原子看
作一个整体袁系统依旧处于基态袁但是两个原子本身却偏离了
自身的基态遥由于x比较小袁因此可使用谐振子模型描述单个
原子的正负电荷中心的偏移造成的能量增加
2
袁同时忽略原子的
平动动能袁系统的哈密顿量为H=
2m
p
x
+
1
2
kx
2
遥由于我们考虑
的问题是原子间感生的电偶极矩袁简单考虑两个原子的感生电
偶极矩在同一条直线上袁也即问题是一维的遥考虑在一维直线
上两个距离为
x
x
R的原子感生出来电偶极子qx
1
和qx
2
袁且R逸
1
袁
2
有遥可以得到两原子间的因为电偶极子之间的静电相互
作用造成的能量的最低阶近似为院H
2
1
=
4仔缀
2
0
R
+
4仔缀
-
4仔缀
q
2
0
(R+x
1
)
-
4仔缀
q
2
0
(R-x
2
)
抑-
2
q
2
仔缀
x
0
(R+x
1
-x
2
)
1
x
2
0
R
3
遥因此系统的哈密顿量
为院
22
H=H
0
+H
1
=
2m
p
1
+
1
2
kx
2
2m
p
2
2
1
+
2
+
1
2
kx
2
-
2
q
仔缀
x
1
x
2
0
R
3
两个原子组成的系统处在系统的基态之上袁该能量H与
两个原子单独存在时能量H
0
不同袁因此造成了原子间相互作
用势遥这个模型也可以用来描述分子间相互作用力袁对于极性
分子袁模型的哈密顿量形式上相同袁对于非极性分子袁需要考虑
固有电偶极矩
2
qx
0
袁此时院
2
H
0
=
2m
p
1
+
1
2
k(x
1
-x
0
)
2
+
2m
p
2
+
1
2
k(x
2
-x
0
)
2
遥
三
1.谐振子基态能量
尧哈密顿量的基态能量
谐振子的本征能量可以使用定态薛定谔方程
蓸蔀
H鬃=E鬃解
得袁一维谐振子的本征能量为E=
n+
1
攸棕,n越0袁1袁2...
[1]
袁其中
棕
个零点能结果可以使用不确定性原理给出解释
是谐振子的固有频率遥基态能量在n=0
2
时取到
袁由于
袁谐振子的这
吟x吟p逸
窑232窑
揖文章编号铱2095-3089渊2018冤48-0232-02
1
2
攸袁系统能量
H=
姨
2m
p
2
+
1
2
kx
2
=
(吟
22
姨
2m
P)
+
1
2
k(吟x)
2
逸2
姨
(吟
2m
P)1
2
k(吟x)
2
=
m
k
吟x吟p=
1
2
攸
m
k
两个谐振子袁如果相互之间没有耦合袁则系统基态能量是
两个振子基态能量的加和袁例如两个相聚无穷远的原子
姨
袁其基
态能量由H
0
给出袁为两个谐振子基态能量加和攸
m
k
遥如果
有耦合袁则需要求出简正模式袁系统的基态能量是简正模式对
应的振动基态能量的加和
2.原子及非极性分子
遥
简正模式完全可以使用分析力学的方法给出袁其结果和量
子力学的结果是一致的袁此处我们使用拉格朗日力学给出简正
模式以及简正频率遥
系统的拉格朗日量为L=
1
mx
2
1
mx
222
1
+
2
-
1
kx
1
-
1
kx
2
+
2
q
2
仔缀
x
2222
1
x
2
0
R
3
遥令孜
1
=
x
1
+x
2
2
袁孜
2
=
x
1
-x
2
2
遥则拉格朗日函数可被化简为
L=
1
2
m孜
22
2
2
2
2
1
+
1
2
m孜
2
-
1
2
(k-
2仔缀
q
3
)孜
1
-
1
0
R2
(k+
2仔缀
q
0
R
3
)x
2
孜
由保守系统中的拉格朗日方程能够得到关于两个自由度
1
袁孜
2
的两个独立的谐振子运动遥容易观察得到袁第一个自由度
描述的是体系的质心运动袁第二个自由度描述的是体系的相对
运动
姨
袁分别对应着系统的两个本征频率
蓸蔀
棕
+
棕
依
=
m
1
k+
軍
2仔缀
q
袁棕
_
2
0
R
3
考虑R比较大袁按照
姨
1+x抑1+
1
2
x-
1
8
x
2
袁可以得到此
时系统基态能量的最低阶近似为
1
姨
蓸蔀
2
攸(棕
+
+棕
_
)抑攸
m
k
-
1
2
m
k
4仔缀
q
2
攸
2
0
kR
3
=攸
m
k
-
R
A
6
遥相比于相距无穷远的两个
原子基态能量攸
姨
姨
姨
m
k
袁系统能量由于范德瓦尔斯相互作用降
低了
A
6
袁也即范德瓦尔斯相互作用势U(R)=-
A由原子的性质给出
R
遥势能的形式表明范德瓦尔斯相互作用是
R
A
6
袁其中常数
一个吸引力
3.极性分子
遥
由于存在固有电偶极矩袁x
0
屹0袁此时H
q
2
x
2
1
抑-
2仔缀
0
0
R
3
没有
造成谐振子之间的耦合袁因此简正模式和简正频率不变遥基态
能量为攸
姨
k
-
q
2
2
m2仔缀
x
0
0
R
3
遥此时系统由于固有电偶极子间相互
q
2
x
2
作用造成的势能形式为-
2仔缀
0
0
R
3
遥
.. All Rights Reserved.
课程教育研究
CourseEducationResearch
2018年第48期
考索窑探微
基于3C3R模型的PBL教学模式改革研究
渊1.江苏科技大学理学院江苏镇江2120032.江苏科技大学计算机学院江苏镇江212003冤
揖摘要铱本文通过对洪暐提出的3C3R问题设计模型分析与研究袁提出改良后的3C3R设计模型袁并与研究成果野PBL十个问
题冶相结合袁对3C3R六大成分进行融合利用袁更加明确师生在研究过程中的角色和地位袁从而明确学生的学习主体地位袁提升
PBL的效率遥
揖关键词铱PBL3C3R问题设计模型改良
揖基金项目铱江苏科技大学高等教育科学研究和教学改革研究课题渊GJKTY201616冤尧江苏科技大学研究生教育教学改革研究
与实践课题渊YJG2016Y_19冤成果之一遥
揖中图分类号铱G642.0揖文献标识码铱A揖文章编号铱2095-3089渊2018冤48-0233-02
分遥核心成分包括内容尧情境和联系渊Content尧Context尧
Connection袁3C冤袁用它们来支持内容尧概念学习袁强调了问题的
静态特征曰过程成分包括探究尧推理和反思渊Researching尧
Reasoning尧Reflecting袁3R冤袁它们支持了问题解决技能和自我导
向学习中的认知过程袁属于问题的动态特征遥
[2]
1.洪暐3C3R问题设计模型简述
从洪暐3C3R问题设计模型可以看出袁核心成分和过程成
分形成了内外互补的稳固三角形关系遥为提出问题尧分析问题尧
解决问题尧总结问题提供了较为全面的框架袁其中的三角关系袁
更显示了六大要素的缺一不可遥
其中核心成分主要关注的是问题的提出阶段院围绕研究主
题确定研究内容袁以及内容所涉及到的知识点分布袁并搭建内
容相互联系的结构关系曰根据研究内容构建代入式研究情境袁以
达到问题仿真环境曰除此之外还要注意研究过程中各种关联性
的事物袁处理好相互之间的联系遥核心成分中内容尧情境和联系
三者之间形成独立的需求袁并相互支撑袁成为开展研究之前的
准备工作袁也是保证问题解决的先决条件遥在PBL的角色分配
中袁教师的启发作用在此阶段显得尤为重要遥
核心成分关注的问题的提出阶段袁那么过程成分则更多地
关注了问题的解决和总结阶段遥PBL的核心要义是让学生参与
到问题解决活动的全过程袁强调的是学生主动能力的发挥遥
3C3R中的过程成分则全面展示了这一特性遥这些动态的过程
吴建成
1
吴健康
2
问题导向学习(Problembasedlearning,PBL)是教育界最具
革新的一种教学形式袁主要精神是野以本为本冶袁让学生成为应
用知识解决复杂问题和应用课题的主体袁并帮助学生形成独特
的思维能力和导向性的学习能力袁彻底改变教师在教学中的主
导地位遥PBL经过多年的发展和推演袁在国内外的基础教育和
高等教育中广泛开展袁成为促进教学改革的野主流范式冶
[1]
,并取
得了积极成果遥
一尧PBL中3C3R问题设计模型的提出
在问题导向学习中袁
学习始于问题尧终于问题袁
毫无疑问袁野问题冶是PBL
的核心遥那么袁问题设计就
在决定PBL的成功率上
扮演着关键角色遥在PBL
中袁问题的设计尧生成和挑
.. All Rights Reserved.
选成为教学过程中最为重
要的工作遥为了解决这一
挑战性任务袁密苏里大学
哥伦比亚分校毕业的学习
图1洪暐3C3R问题设计模型
[3]
技术专业博士洪暐提出了
一种指导有效尧精确和可靠问题设计的3C3R模型遥洪暐提出
的3C3R问题设计模型由两类成分所组成:核心成分和过程成
四尧模型的有效性和应用
上述讨论中没有考虑原子所处的状态遥从微扰论的观点来
看袁-A/R
6
的势能衰减来自于电偶极矩间相互作用的二阶微扰
结果遥对于S态的基态原子袁电子波函数分布呈完全的球对称袁
于是不需要考虑电四极矩的对能量的一阶微扰的贡献遥对于非
S态的原子袁原子具有不为零的轨道角动量与自旋角动量袁此
时原子有可能具有非零的电四极矩袁如果两个相互作用的原子
都具有非零的电四极矩袁电四极矩之间的相互作用对能量的一
阶微扰的结果为1/R
5
的衰减形式
[2]
袁这一项结果可能是吸引
力袁也可能是排斥力遥另外袁全同粒子之间的交换相互作用也有
可能造成能量上的变化遥不过所有的这些未在模型中考虑的因
素袁在对基态的角动量分量的所有可能取值做平均后袁均会为
0
[2]
袁因此上述模型中得到的范德瓦尔斯相互作用势的表达式可
以比较普适地应用在原子间相互作用的描述之中遥
由于模型的结果需要考虑二级微扰袁其中有虚过程的跃迁
发生袁故会有势的延迟传播问题遥系统从基态跃迁到激发态很
快又回到基态的过程是一个虚过程袁这一过程的时间尺度为
攸
袁在这一时间尺度上袁考虑相对论效应袁原子之间的距离
E
n
-E
0
需要远小于相互作用的传播距离袁也即R臆
c攸
袁这是上述
E
n
-E
0
模型成立的条件之一遥
在间距R接近原子本身的线度时袁电子波函数间的交叠
变得不可忽略袁由于泡利不相容原理袁此时原子间还存在着以
1/R
12
衰减的排斥势场袁这一项产生的排斥力和范德瓦尔斯相
互作用势产生的吸引力相互平衡时袁就得到了原子间的平衡距
离袁这可以用来解释原子晶体的晶格常数尧范德瓦尔斯外延的
二维材料的原子层间距等等实验结果遥
五尧结语
在本文中袁我们利用简单的原子间感生电偶极子的静电相
互作用模型推导得到在相对原子本身线度较大袁相对于发生相
对论效应较小的尺度中袁范德瓦尔斯相互作用势的势能表达形
式遥推导过程表明袁范德瓦尔斯相互作用是一个量子力学的效
应遥势能函数的表达形式1/R
6
可以用来描述原子间以及非极
性分子间的相互作用吸引力袁结合泡利不相容原理得到的原子
间斥力袁就可以得到描述原子间相互作用的Lenard-Jones势
[3]
袁
该结果比较普适地描述了中性原子间的相互作用力,应用十分
广泛遥
参考文献院
[1]朗道,栗弗席兹.量子力学渊非相对论理论冤[M].北京:高等
教育出版社,2011:61-64.
[2]朗道,栗弗席兹.量子力学渊非相对论理论冤[M].北京:高等
教育出版社,2011:314-316.
[3]基泰尔.固体物理导论[M].北京:化学工业出版社,2011:
44-46.
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