2024年3月18日发(作者：敬瑛)
中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围
一、解答题
1
(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x
2
-2tx+3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：
(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a 3 【答案】(1)t= 2 (2)t=5 (3)3 【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值； (2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若0 7 若t>3，当x=3时，函数值最小，解得t= (不合题意，舍去)； 3 (3)由A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定 抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)；由a<3,b<3且t>0∴4< 2m-2解得m>3；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时， 4 ∴3 【解析】(1)将(2,1)代入y=x 2 -2tx+3中， 3 得1=4-4t+3，解得，t=； 2 (2)抛物线对称轴为x=t． 若0 ∴t 2 -2t 2 +3=-2，解得t=±5． ∵t>0， ∴t=5 若t>3，当x=3时，函数值最小， 7 ∴-2=9-6t+3，解得t=(不合题意，舍去) 3 综上所述t=5． (3)∵A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称 m-2+m ∴=t,m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 2 ∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t， ∴此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3) ∵a<3,b<3且t>0 ∴4<2m-2，解得m>3． 当A，B都在对称轴左边时， ∵a ∴4 ·1· ∴m>6 当A，B分别在对称轴两侧时 ∵a ∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4 ∴3 综上所述3 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类 讨论是解题的关键． a≠ 2 (2023·浙江·统考中考真题)已知点 -m,0 和 3m,0 在二次函数y=ax 2 +bx+3(a,b是常数， 0)的图像上． (1)当m=-1时，求a和b的值； (2)若二次函数的图像经过点A n,3 且点A不在坐标轴上，当-2 (3)求证：b 2 +4a=0． 【答案】(1)a=-1,b=-2 (2)-4 (3)见解析 【分析】(1)由m=-1可得图像过点 1,0 和 -3,0 ，然后代入解析式解方程组即可解答； (2)先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点 n,3 , 0,3 ，即n=2m，然后再结合-2 (3)根据图像的对称性得- b =m，即b=-2am，顶点坐标为 m,am 2 +bm+3 ；将点 -m,0 和 2a 2 则am 2 +bm+3=am 2 -2am 2 +3=-am 2 +3=4， 3m,0 分别代入表达式并进行运算可得am=-1； 12a-b 2 进而得到 =4，然后化简变形即可证明结论． 4a 【解析】(1)解：当m=-1时，图像过点 1,0 和 -3,0 ， ∴ 0=a+b+3a=-1 ，解得 0=9a-3b+3 b=-2 ， ∴y=-x 2 -2x+3， ∴a=-1,b=-2． (2)解：∵函数图像过点 -m,0 和 3m,0 ， ∴函数图像的对称轴为直线x=m． ∵图像过点 n,3 , 0,3 ， ∴根据图像的对称性得n=2m． ∵-2 ∴-4 (3)解：∵图像过点 -m,0 和 3m,0 ， b ∴根据图像的对称性得-=m． 2a ∴b=-2am，顶点坐标为 m,am 2 +bm+3 ． 0=am 2 -bm+3① 将点 -m,0 和 3m,0 分别代人表达式可得 0=9am 2 +3bm+3② ①×3+②得12am 2 +12=0， ·2· 2024年3月18日发(作者：敬瑛) 中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围 一、解答题 1 (2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x 2 -2tx+3(t>0)中， (1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值： (3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a 3 【答案】(1)t= 2 (2)t=5 (3)3 【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值； (2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若0 7 若t>3，当x=3时，函数值最小，解得t= (不合题意，舍去)； 3 (3)由A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定 抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)；由a<3,b<3且t>0∴4< 2m-2解得m>3；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时， 4 ∴3 【解析】(1)将(2,1)代入y=x 2 -2tx+3中， 3 得1=4-4t+3，解得，t=； 2 (2)抛物线对称轴为x=t． 若0 ∴t 2 -2t 2 +3=-2，解得t=±5． ∵t>0， ∴t=5 若t>3，当x=3时，函数值最小， 7 ∴-2=9-6t+3，解得t=(不合题意，舍去) 3 综上所述t=5． (3)∵A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称 m-2+m ∴=t,m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 2 ∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t， ∴此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3) ∵a<3,b<3且t>0 ∴4<2m-2，解得m>3． 当A，B都在对称轴左边时， ∵a ∴4 ·1· ∴m>6 当A，B分别在对称轴两侧时 ∵a ∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4 ∴3 综上所述3 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类 讨论是解题的关键． a≠ 2 (2023·浙江·统考中考真题)已知点 -m,0 和 3m,0 在二次函数y=ax 2 +bx+3(a,b是常数， 0)的图像上． (1)当m=-1时，求a和b的值； (2)若二次函数的图像经过点A n,3 且点A不在坐标轴上，当-2 (3)求证：b 2 +4a=0． 【答案】(1)a=-1,b=-2 (2)-4 (3)见解析 【分析】(1)由m=-1可得图像过点 1,0 和 -3,0 ，然后代入解析式解方程组即可解答； (2)先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点 n,3 , 0,3 ，即n=2m，然后再结合-2 (3)根据图像的对称性得- b =m，即b=-2am，顶点坐标为 m,am 2 +bm+3 ；将点 -m,0 和 2a 2 则am 2 +bm+3=am 2 -2am 2 +3=-am 2 +3=4， 3m,0 分别代入表达式并进行运算可得am=-1； 12a-b 2 进而得到 =4，然后化简变形即可证明结论． 4a 【解析】(1)解：当m=-1时，图像过点 1,0 和 -3,0 ， ∴ 0=a+b+3a=-1 ，解得 0=9a-3b+3 b=-2 ， ∴y=-x 2 -2x+3， ∴a=-1,b=-2． (2)解：∵函数图像过点 -m,0 和 3m,0 ， ∴函数图像的对称轴为直线x=m． ∵图像过点 n,3 , 0,3 ， ∴根据图像的对称性得n=2m． ∵-2 ∴-4 (3)解：∵图像过点 -m,0 和 3m,0 ， b ∴根据图像的对称性得-=m． 2a ∴b=-2am，顶点坐标为 m,am 2 +bm+3 ． 0=am 2 -bm+3① 将点 -m,0 和 3m,0 分别代人表达式可得 0=9am 2 +3bm+3② ①×3+②得12am 2 +12=0， ·2·