2024年3月19日发(作者：波静逸)
数列中的最大最小项问题20题
一、单选题
1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为
q
的等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，且
a
1
1
，
a
2021
a
2022
1
，
A．
q1
C．
T
2022
是数列
T
n
中的最大值
【答案】B
【分析】由题分析出
0q1
，可得出数列
a
n
为正项递减数列，结合题意分析出正项
数列
a
n
前
2021
项都大于
1
，而从第
2022
项起都小于
1
，进而可判断出各选项的正误.
2
【详解】当
q0
时，则
a
2021
a
2022
a
2021
q0
，不合乎题意；
n
1
当
q1
时，对任意的
nN
，
a
n
a
1
q
0
，且有
a
2021
1
0
，则下列结论正确的是（
a
2022
1
B．
S
2021
S
2022
10
D．数列
T
n
无最大值
）
a
n
1
q
1
，可得
a
n
1
a
n
，
a
n
可得
a
2022
a
2021
a
1
1
，此时
故
0q1
，故
A
错误；
对任意的
nN
，
a
n
a
1
q
a
2021
1
0
，与题干不符，不合乎题意；
a
2022
1
n
1
a
n
1
q
1
，可得
a
n
1
a
n
，
0
，且有
a
n
此时，数列
a
n
为单调递减数列，则
a
2021
a
2022
，
结合
a
2021
1
0
可得
0a
2022
1a
2021
，
a
2022
1
结合数列的单调性可得
a
n
1
n
2021
,0
a
n
1
n
2022
故
S
2021
2021a
2021
20211
，
S
2022
S
2021
a
2022
20211
，
∴
S
2022
S
2021
1S
2022
S
2021
10
，
故B正确；
T
2021
是数列
T
n
中的最大值,故CD错误
故选：B.
2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列
a
n
的公比为
q
，
试卷第1页，共13页
a
2020
a
2021
1
，
a
2020
1
a
2021
1
0
，其前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，且满足条件
a
1
1
，
则下列选项错误的是（
A．
0q1
C．
T
2020
是数列
T
n
中的最大项
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得
a
2020
1
，
a
2021
1
，从而有
a
1
1
，
0q1
，则等比数列
{
a
n
}
为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．
）
B．
S
2020
1S
2021
D．
T
4041
1
【详解】等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，若
a
2020
a
2021
1
，则
(a
1
q
2019
)(a
1
q
2020
)(a
1
)
2
(q
4039
)1
，
由
a
1
1
，可得
q0
，则数列
{
a
n
}
各项均为正值，
若
(a
2020
1)(a
2021
1)0
，当
q1
时，由
a
1
1
则
a
n
1
恒成立，显然不适合，故
0q1
，
且
a
2020
1
，
0a
2021
1
，故
A
正确；
因为
0a
2021
1
，所以
S
2020
1S
2020
a
2021
S
2021
，故
B
正确；
根据
a
1
a
2
a
2020
1a
2021
0
，可知
T
2020
是数列
{
T
n
}
中的最大项，故
C
正确；
2
由等比数列的性质可得
a
1
a
4041
a
2
a
4040
a
2020
a
2022
a
2021
，
0a
2021
1
4041
1
，故
D
错误．
所以
T
4041
a
1
a
2
a
4041
a
2021
故选：
D
．
a
1
，
a
2
，
a
m
m
2
，
3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列
A
m
：…，
若存在公比为q的等比数列
B
m
1
：
b
1
，
b
2
，…，
b
m
1
，使得
b
k
a
k
b
k
1
，其中
k1
，
2，…，m，则称数列
B
m
1
为数列
A
m
的“等比分割数列”.若数列
A
10
的通项公式为
a
n
2
n
n
1,2,
,10
，其“等比分割数列”
B
11
的首项为1，则数列
B
11
的公比q的取
值范围是（
A．
2
10
,2
）
B．
2
11
,2
9
10
C．
2,2
9
10
D．
2,2
10
11
【答案】C
【分析】由题意可得，
q
n
1
2
n
q
n
n
1,2,3,
L
,10
，从而可得
q2
且
n
q
n
1
2
n
n
1,2,3,
L
,10
，可得
2
q
2
n
1
，再根据指数函数的单调性求出
2
n
n
1
的最小值
即可
试卷第2页，共13页
2024年3月19日发(作者：波静逸)
数列中的最大最小项问题20题
一、单选题
1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为
q
的等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，且
a
1
1
，
a
2021
a
2022
1
，
A．
q1
C．
T
2022
是数列
T
n
中的最大值
【答案】B
【分析】由题分析出
0q1
，可得出数列
a
n
为正项递减数列，结合题意分析出正项
数列
a
n
前
2021
项都大于
1
，而从第
2022
项起都小于
1
，进而可判断出各选项的正误.
2
【详解】当
q0
时，则
a
2021
a
2022
a
2021
q0
，不合乎题意；
n
1
当
q1
时，对任意的
nN
，
a
n
a
1
q
0
，且有
a
2021
1
0
，则下列结论正确的是（
a
2022
1
B．
S
2021
S
2022
10
D．数列
T
n
无最大值
）
a
n
1
q
1
，可得
a
n
1
a
n
，
a
n
可得
a
2022
a
2021
a
1
1
，此时
故
0q1
，故
A
错误；
对任意的
nN
，
a
n
a
1
q
a
2021
1
0
，与题干不符，不合乎题意；
a
2022
1
n
1
a
n
1
q
1
，可得
a
n
1
a
n
，
0
，且有
a
n
此时，数列
a
n
为单调递减数列，则
a
2021
a
2022
，
结合
a
2021
1
0
可得
0a
2022
1a
2021
，
a
2022
1
结合数列的单调性可得
a
n
1
n
2021
,0
a
n
1
n
2022
故
S
2021
2021a
2021
20211
，
S
2022
S
2021
a
2022
20211
，
∴
S
2022
S
2021
1S
2022
S
2021
10
，
故B正确；
T
2021
是数列
T
n
中的最大值,故CD错误
故选：B.
2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列
a
n
的公比为
q
，
试卷第1页，共13页
a
2020
a
2021
1
，
a
2020
1
a
2021
1
0
，其前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，且满足条件
a
1
1
，
则下列选项错误的是（
A．
0q1
C．
T
2020
是数列
T
n
中的最大项
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得
a
2020
1
，
a
2021
1
，从而有
a
1
1
，
0q1
，则等比数列
{
a
n
}
为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．
）
B．
S
2020
1S
2021
D．
T
4041
1
【详解】等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，若
a
2020
a
2021
1
，则
(a
1
q
2019
)(a
1
q
2020
)(a
1
)
2
(q
4039
)1
，
由
a
1
1
，可得
q0
，则数列
{
a
n
}
各项均为正值，
若
(a
2020
1)(a
2021
1)0
，当
q1
时，由
a
1
1
则
a
n
1
恒成立，显然不适合，故
0q1
，
且
a
2020
1
，
0a
2021
1
，故
A
正确；
因为
0a
2021
1
，所以
S
2020
1S
2020
a
2021
S
2021
，故
B
正确；
根据
a
1
a
2
a
2020
1a
2021
0
，可知
T
2020
是数列
{
T
n
}
中的最大项，故
C
正确；
2
由等比数列的性质可得
a
1
a
4041
a
2
a
4040
a
2020
a
2022
a
2021
，
0a
2021
1
4041
1
，故
D
错误．
所以
T
4041
a
1
a
2
a
4041
a
2021
故选：
D
．
a
1
，
a
2
，
a
m
m
2
，
3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列
A
m
：…，
若存在公比为q的等比数列
B
m
1
：
b
1
，
b
2
，…，
b
m
1
，使得
b
k
a
k
b
k
1
，其中
k1
，
2，…，m，则称数列
B
m
1
为数列
A
m
的“等比分割数列”.若数列
A
10
的通项公式为
a
n
2
n
n
1,2,
,10
，其“等比分割数列”
B
11
的首项为1，则数列
B
11
的公比q的取
值范围是（
A．
2
10
,2
）
B．
2
11
,2
9
10
C．
2,2
9
10
D．
2,2
10
11
【答案】C
【分析】由题意可得，
q
n
1
2
n
q
n
n
1,2,3,
L
,10
，从而可得
q2
且
n
q
n
1
2
n
n
1,2,3,
L
,10
，可得
2
q
2
n
1
，再根据指数函数的单调性求出
2
n
n
1
的最小值
即可
试卷第2页，共13页